吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 高一数学月考试卷以古希腊正五角星、铜钱模型、托里拆利点等情境融合向量、三角函数、解三角形等知识，基础与创新结合，培养数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量运算、三角函数定义、解三角形|基础巩固，如第4题正弦定理应用| |多选题|3/18|三角公式辨析、圆与正方形动态问题|情境创新，如第10题铜钱动点问题| |填空题|3/15|三角恒等变换、向量模长计算|能力提升，如第14题单位向量最值| |解答题|5/77|向量夹角、解三角形综合、函数图象变换、托里拆利点应用|分层设问，如第16题三问从基础到周长最值，第19题结合数学史考应用|

高一数学 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题所给选项中有且只有一个正确选项） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，满足，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 已知，若恒成立，则（ ） A. B. C. D. 6. 古希腊数学家在研究正五角星时，发现其内部包含顶角为的等腰三角形，这类三角形的底边长与腰长之比为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是，最小值是0 B. 的最小正周期是，最小值是1 C. 的最小正周期是，最小值是0 D. 的最小正周期是，最小值是1 8. 如图，在中，，E在边AC上，且，若，，则（ ） A. 20 B. 24 C. 26 D. 28 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，，在正方形的边上，且，关于点对称，则的值可能是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 11. 已知函数（）的两个相邻的零点为，，且，则的值可以是（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 15 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________. 13. 若，，且，，则______； 14. 已知， ， 是平面向量， 是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ________ ． 四、解答题：本题共5个小题，共77分． 15. 已知向量，，满足，，. （1）求向量，所成的角的大小； （2）若，求实数的值. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， （1）求角A的大小； （2）若D为BC中点， ， ，求边a； （3）若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 17. 已知函数. （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，，且，均为锐角，求的值. 18. 若函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①当时，的最大值为，求的值； ②已知的三个顶点均在函数的图象上，且，，，点在线段上运动，求的取值范围. 19. 我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为. （1）若，则 ①求； ②若，设点为的“点”， 求； （2）若，设点为的“点”，，求实数的最小值. CBBCA BDA 9ABD 10BC 11AD 12 2 13 14 ## 15 【详解】（1） ，即 则，即 （2），， 即 16 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 在中， ， 所以， 即， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， ， 又，所以，所以， 又因为，所以． 【小问3详解】 由正弦定理得，可得， ， ， ， 因为是锐角三角形，且，则， 得，得，，， 故的周长最大值为6． 17【小问1详解】 . 【小问2详解】 ，即， . 【小问3详解】 因为，均为锐角，所以， 因为，， 所以，解得. 18 【小问1详解】 由图可知， ，可得，则 由，则，，得，， 又，则，故； 【小问2详解】 ①图象上所有的点向右平移个单位长度，得到， 将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，周期为， 当，令，则，区间长度为. 的最大值等于区间内的最大值减最小值， 由题该值为，仅当最大值为、最小值为时满足. 因此，或， 解得，或， 综上所述， ②设， 因为，，， 所以，， ， 因为，所以，于是有， 所以， 所以的取值范围是. 19【小问1详解】 ①在 中，由正弦定理得， ，有， ， ， ，，又， ； ②由①知，则 的三个角都小于， 由“点”定义知：， 设，，，由得 ，整理得， 所以 . 【小问2详解】 由，结合正弦定理， 有，均为三角形内角， 或（舍），即，， 由点为的“点”，得， 设， ，，， 由， 得， 由余弦定理得 ， ， ， 相加得，得， 整理得， 于是，当且仅当，即时取等号， 又 因为 而 解得，所以实数的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $