25.3 实际问题与一元二次方程 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，涵盖几何图形、传播与增长率、循环三大问题类型。通过旧识回顾列方程解应用题步骤，结合生活实例（如矩形面积、传染病传播）搭建学习支架，实现从旧知到新知的自然迁移。 其亮点在于以生活化情境培养数学眼光，如用社交软件传播、社区团购订单等问题激发探究欲。通过多种设元方法对比（如矩形问题不同设未知数方式）发展数学思维，总结传播问题公式a(1+x)^n=b强化数学语言。学生能提升建模能力，教师可借助结构化资源高效教学。

25.3 实际问题与一元二次方程 人教版(2024)九年级上册 第二十五章 一元二次方程 （第1课时） 人教版(2024)九年级上册 第二十五章 一元二次方程 学习目标 1 能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解 2 根据几何图形的周长或面积公式，建立一元二次方程来解决几何问题 旧识回顾 列方程解应用题的基本步骤有哪些？ 审、设、列、解、验、答 同一元一次方程、二元一次方程 (组) 一样，一元二次方程也是刻画某些问题中等量关系的数学模型，运用一元二次方程可以解决很多问题. 典型例题 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 x，x＋1，x＋2，其中 x 为正整数. 由勾股定理，得 x2＋(x＋1)2＝(x＋2)2. 解方程，得 x1＝3， x2＝－1 (不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5. 例 1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 探索新知 列一元二次方程解应用题的一般步骤： (1) 审题：了解问题的实际意义，分清已知量和未知量之间的关系； (2) 设未知数：一般情况下求什么设什么为未知数； (3) 列方程：用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程 (方程两边单位要统一)； (4) 解方程：灵活运用一元二次方程的解法； (5) 验根：检验一元二次方程的根是否满足题意； (6) 答：写出实际问题的答案. 典型例题 例 2 用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域？ 如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 分析：假设细绳能围成面积为 96 m2 的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度，设矩形一边长为 x m，由周长为 40 m，可用含 x 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 典型例题 例 2 用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域？ 如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为 (20－x) m；再由矩形的面积为 96 m2 ，得 x(20－x)＝96. 解方程，得 x1＝12， x2＝8. 因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m2 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m. 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 方程有两个正根，但几何上是同一个矩形，这体现了数学解与实际问题解的区别. 探索新知 思考 对于例 2 中的问题，我们还有别的设矩形两邻边长的方法吗？ 例 2 用一根长为 40 m 的细绳，能否围成一个面积为 96 m2 的矩形区域？ 如果能围成，这样的矩形是否唯一？ (1) 从面积角度考虑： 可设一边长为 x m，那么其邻边长为 m (2) 从边长角度考虑： 可设一边长为 (10＋x) m，那么其邻边长为 (10－x) m 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例 2 吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. 探索新知 思考 (1) 从面积角度考虑： (2) 从边长角度考虑： (10＋x)(10－x)＝96 100－x2＝96 故两邻边长分别为 8 m，12 m x1＝x2＝2 故两邻边长分别为 8 m，12 m 探索新知 思考 能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例 2 吗？比较这些设法，说说它们各自的特点. 最终结果一致，矩形邻边长分别为 8 m，12 m. 原设法最适合初学者，逻辑清晰； 方法 (1) 更侧重从面积出发的逆向思维，但需要注意分式方程的增根检验； 方法 (2) 计算最简便，体现了代数对称性的巧妙应用. 当堂检测 当堂检测 A 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 本节课学习了哪些知识点呢？ 几何图形问题 几何图形 类型 运用常见几何图形的面积公式构建等量关系 小路宽度问题、动点面积问题等 25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时） 人教版(2024)九年级上册 第二十五章 一元二次方程 学习目标 1 根据实际传播问题中的等量关系列出方程，提高学生的模型意识 2 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题 新知引入 日常刷社交软件时，一条热点趣事由一人发布，看到内容的网友纷纷转发，短时间内消息迅速传遍圈子. 大家思考，单人转发带来大范围扩散背后藏着怎样的数量规律？本节课一起用数学探究. 探索新知 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 探究 思考： (1) 本题中有哪些数量关系? (2) 如何理解“两轮传染”? (3) 如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程? (4) 根据等量关系列方程并求解. 探索新知 特值分析法： 1. 如果每轮每人传染 2 人. 第 1 轮传染后患病人数_________人； 第 2 轮传染后患病人数____________人. 注意：不要忽视初始人数的二次传染. (1＋2)＝3 (1＋2＋2×3) 第 1 轮传染 第 2 轮传染 探索新知 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. 第一轮传染后共有 人被传染. 第二轮传染中的传染源为 人，第二轮传染后共有 人被传染. 根据等量关系 “ ”列出方程 . x＋1 x＋1 x＋1＋x(x＋1) 两轮传染后，有 121 人被传染 x＋1＋x(x＋1)＝121 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 探索新知 某种传染病的传染速度很快. 如果开始有 1 个人被传染，经过两轮传染后共有 121 个人被传染，那么每轮传染中平均 1 个人传染了多少个人？ 解：列方程 1＋x＋x(1＋x)＝121. 解方程，得 x1​＝10，x2​＝－12 (不合题意，舍去). 因此，每轮传染中平均 1 个人传染了 10 个人. 探索新知 思考 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？n 轮后呢？由此体会阻断病毒传播的必要性. 每轮传染中平均一个人传染了 10 个人. 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 1 1·10＝10 (1＋10)1 第二轮 1＋10 (1＋10)·10 第三轮 第 n 轮 (1＋10)n (1＋10)2＋(1＋10)2·10＝(1＋10)3 1＋10＋(1＋10)·10＝(1＋10)2 (1＋10)2 (1＋10)2·10 (1＋10)n－1 (1＋10)n－1·10 可以看到传播速度会随着轮数急剧加快，体现了这类问题的爆发性增长特点. 探索新知 传播问题的解题策略 类型 等量关系 病毒传播、植物分支生长、转发、分裂等 a(1＋x)n＝b， 其中，a 是感染源数量，x 是每轮平均传播人数，n 是传播轮数，b 是最终感染者总数. 探索新知 两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 探究 下降率是什么意思？它与前一年成本、本年成本之间有何数量关系？ 下降率是下降的成本与前一年成本的比值； 下降率＝ ×100% 前一年成本－本年成本 前一年成本 探索新知 两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 探究 分析：下降后的量＝ 下降前的量· (1－下降率) 设甲种药品成本平均每年的下降率为 x. 第一次下降前的量 10 000 第二次下降前的量 10 000(1－x) 下降率 x 第二次下降后的量 10 000(1－x)2 下降率 x 探索新知 两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 探究 10 000(1－x)2＝6 000. 解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为 22.5%. 为什么选择 22.5%作为答案？ 根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1 的正数. 探索新知 两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 探究 设乙种食品成本的年平均下降率为 y. 根据题意，得 12 000(1－y)2＝7 200. 解得 y1≈0.225，y2≈1.775 (舍去). 所以乙种食品成本的年平均下降率约为 22.5%. 探索新知 思考 经过计算，你能得出什么结论? 成本下降额大的药品，它的成本下降率一定大吗? 应怎样全面比较几个对象的变化情况? 甲乙两种药的平均下降率相同； 成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况. 探索新知 增长率问题的解题策略 类型 等量关系 正增长、负增长 a(1＋x)n＝b， 其中，a 是起始量，x 是增长率，n 是增长的次数，b 是终止量. 当出现负增长时，x 小于 0. 当堂检测 当堂检测 C 当堂检测 A 当堂检测 C 当堂检测 C 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 本节课学习了哪些知识点呢？ 实际问题与一元二次方程 传播问题 增长率问题 a(1＋x)n＝b， 其中，a 是感染源数量，x 是每轮平均传播人数，n 是传播轮数，b 是最终感染者总数. a(1＋x)n＝b， 其中，a 是起始量，x 是增长率，n 是增长的次数，b 是终止量. 当出现负增长时，x 小于 0. 25.3 实际问题与一元二次方程（第3课时） 人教版(2024)九年级上册 第二十五章 一元二次方程 学习目标 1 能从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，解决循环问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理 旧识回顾 回到本章第一节中的排球邀请赛问题， 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式 (每两支球队之间比赛 1 场)．根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 设应邀请 x 支队参赛，每支球队要与其他 (x－1) 支球队各赛 1 场， 则此次邀请赛共需进行 场， 所以可列得方程 ， 整理并化简，得 x2－x－56＝0． 解方程，得 x1​＝8，x2​＝－7 (不合题意，舍去). 因此，比赛组织者应邀请 8 支球队参赛. 下面再来看一种有关比赛球队数量与场数的问题. 探索新知 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是 300. 他算得对吗？为什么？ 探究 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 如果有 n 支球队参赛，那么比赛的总场数为 n(n－1). 假设这个人算得对，即 n 支球队进行主客场双循环比赛的总场数为 300， 那么 n(n－1)＝300. 探索新知 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是 300. 他算得对吗？为什么？ 探究 解方程，得 由于 1 201 不是完全平方数，所以 n 不可能为整数. 因此，总场数不可能为 300，这个人算得不对. 由总场数为 n(n－1) 可知，其必为两个连续正整数的乘积，如 2，6，12，20，···，240，272，306，···. 探索新知 单循环与双循环问题 类型 特点 常见实际问题 n 个元素情况下的循环总次数 单循环 双循环问题 多边形对角线 每两个元素之间算一次 握手问题、签合同问题、照相问题 每两个元素之间算两次 互赠贺卡 n(n－1) 每两个元素之间算一次 凸 n 边形对角线条数问题 当堂检测 当堂检测 C 当堂检测 B 当堂检测 A 当堂检测 (x－1)x＝2256 当堂检测 当堂检测 本节课学习了哪些知识点呢？ 循环问题 单循环问题 双循环问题 m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量 m＝n(n－1)， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量 THANKS 1.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等.停车位的占地面积为350平方米.设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 解析：由题意，停车位组合成的矩形的长为米， 宽为米，其面积为350平方米， 因此方程为.故选A. 2.学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为558平方米，求小道的宽？ 解析：设小道的宽为x米，则把阴影部分分别移到矩形的 上边和左边可得矩形的长为米，宽为米， 依题意得：， 整理，得， 解得：或（不合题意舍去). 故小道的宽为2米. 3.如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动.当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动. (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ 解析：(1)设第x秒时，的面积为，此时，，，∵， ∴， 整理得：，解得：或（舍去）， 第1秒时的面积等于； 3.如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动.当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动. (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 解析：(2)设第t秒时，的长度等于， ∵，∴， 解得：，， 第0秒或2秒时，的长度等于. 4.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积 为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案； 如果不能，请说明理由. 4.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； 解析：(1)搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为， 左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ， 故答案为：； 4.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形.（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； 解析：(2)由(1)可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：，自行车车棚的长为：； 4.(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 解析：(3)不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由(1)可得：， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚. 5.如图，在矩形中，，，点M从A点出发沿以1cm/s速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以2cm/s的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设点M、N的运动时间为t秒. (1)当t为何值时，？ 解析：(1)∵在矩形中，，， 且，，∴， ∴， ∵，∴， 解得，，故当t值为1或时，； 5.(2)当t为何值时，的面积是面积的一半？ 解析：(2)∵，∴， ∵， ∴，， ∵，∴， 化简得，解得，， ∵，∴， ∴当t值为3时，的面积是面积的一半. 1.有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动，小智被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小智开始算起，转发两轮后共有111人被邀请参与该活动.设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为( ) A. B. C. D. 解析：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为：， 故选：C. 2.某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多，据统计，2023年“五一”假期期间，该县接待游客25万人次，2025年增长至53万人次.设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程( ) A. B. C. D. 解析：2023年接待游客25万人次，年平均增长率为x， 2024年接待游客万人次， 2025年接待游客万人次， 2025年接待游客增长至53万人次，可列方程为. 3.流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感，若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，则下列结论错误的是( ) A.1轮后有人患了流感 B.依题意可得方程 C.2轮后有个人患了流感 D.经过三轮一共会有1000人感染 解析：设每轮传染中平均每人传染了x人. 则第一轮后共有人患了流感，故A正确，不符合题意； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人， 第2轮又增加个人患流感， 2轮后共有个人患流感，故C错误，符合题意； 3.流行性感冒是一种由流感病毒引起的传染病，人群普遍易感，若有一人患了流感，经过两轮传染后，假设共有100人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，则下列结论错误的是( ) A.1轮后有人患了流感 B.依题意可得方程 C.2轮后有个人患了流感 D.经过三轮一共会有1000人感染 解析：依题意，得，即，故B正确，不符合题意； 解方程，得，（舍去）. ∴每轮传染中平均每人传染了9人. ∴经过三轮一共会有人感染，故D正确，不符合题意； 故选：C. 4.2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注.某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元. (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 解析：(1)设年平均增长率为x，根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； 4.2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注.某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元. (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 解析：(2)按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元， 答：不能实现目标. 5.根据以下素材，完成任务． 素材1 随着社区团购的普及，某生鲜配送站的订单处理效率持续提升．该配送站8月份完成订单250单，10月份完成订单640单． 素材2 该配送站每单的配送成本为8元，当每单配送费定为12元时，日订单量为300单；若配送费每提高1元，日订单量将减少20单． 问题解决：任务1：求该配送站8月份到10月份订单量的月平均增长率； 解析：设该配送站8月份到10月份订单量的月平均增长率为x． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． 5.任务2：为使该配送站日利润达到1760元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 解析：设配送费用上涨y元，则实际配送费为元，日订单量为单，根据题意， 得， 解得，． 要降低用户的配送成本， 每单实际配送费为（元）． 答：每单实际配送费应定为16元． 1.中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八(1)班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八(1)班共有n名学生，则所列方程是( ) A. B. C. D. 解析：八(1)班共有n名学生，同学之间互赠书签，即每名同学需要向除自己以外的其他同学各赠送1张书签， 每名同学送出张书签，n名同学送出书签的总张数为， 又已知共赠主题书签2450张， 可列方程. 2.北京与上海之间往返的某趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、上海站），针对此动车有20种不同行程的火车票，设共有x个火车停靠站，下列所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 解析：设共有x个火车停靠站，由题意可得：， 故选：B. 3.某县今年举行了“村超”（即乡村足球联赛）活动，参加“村超”的每两队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，如果设有x个队参加比赛，根据题意，列出方程为( ) A. B. C. D. 解析：设有x个队参赛，每个队与其他个队各进行两场比赛，则每个队参加场比赛， ∵每场比赛有两个队参加，∴总比赛场数为：， ∵给定总场数为90场，∴.故选：A. 4.九年级学生在毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了2256段毕业感言，如果该班有x名同学，根据题意列出方程为_______________. 解析：根据题意得：每人要写条毕业感言，有x个人， 全班共写：，故答案为. 5.某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x人. (1)填空：根据题意，可列方程：__________________； 解析：(1)设参加聚会的同学共有x人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手， 因此总次数为，根据共握手45次， 列出方程为：. 5.(2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由. 解析：(2)设多边形的边数为n，对角线数量为27， 依题意可以得到方程，化简为， 解得或， 因为n为正整数，所以， 答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9. $