第12讲 奇偶性（3大知识点+9大题型）讲义-2026年新高一数学暑期衔接进阶讲义（人教A版）

第12讲 奇偶性 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 3 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 4 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 4 03 题型精讲举一反三 6 题型 1：函数奇偶性的判断与证明 6 题型 2：由奇偶性求函数解析式 7 题型 3：由奇偶性求函数值 8 题型 4：由奇偶性求参数 9 题型 5：奇函数 + 常数型问题 10 题型 6：抽象函数的奇偶性问题 10 题型 7：奇偶性与单调性综合应用 11 题型 8：利用奇偶性识别函数图象 12 题型 9：奇偶性与对称性综合应用 15 04 过关测试 17 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇． 题型 1：函数奇偶性的判断与证明 例1．（2026·高三·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)探究的奇偶性； (3)求不等式的解集． 例2．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，． 例3．（2026·高一·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 变式1．（2026·高一·上海宝山·阶段检测）已知函数的表达式为． (1)求的值； (2)作出该函数的图象，判断并证明其奇偶性． 变式2．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数； (1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性，并证明. 变式3．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 题型 2：由奇偶性求函数解析式 例4．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 例5．（2026·高一·广西贵港·开学考试）设函数，若是奇函数，则的表达式是___________． 例6．（2026·高一·江苏扬州·期中）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________. 变式4．已知是奇函数，是偶函数，且，则______，______． 变式5．已知定义域为R的奇函数满足，当时，求解析式． 变式6．（2026·高一·广东·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)把函数图象补充完整，并写出函数的单调区间.（直接写出结果）    题型 3：由奇偶性求函数值 例7．（2026·高一·广西贺州·期中）已知函数为奇函数，且当时，，则（   ） A．-9 B．-7 C．-10 D．10 例8．（2026·高三·江苏盐城·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 例9．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）若是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 变式7．（2026·高一·四川达州·期中）已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 变式8．（2026·高一·福建宁德·期中）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（     ） A．1 B．5 C．6 D．4 变式9．（2026·高一·湖南·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B．2 C． D． 题型 4：由奇偶性求参数 例10．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 例11．（2026·高一·河南·阶段检测）若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 例12．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 变式10．（2026·高一·河南郑州·期末）已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 变式11．（2026·高三·河北衡水·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 变式12．（2026·高一·广东河源·期末）若为偶函数，则a的值为（   ） A．0 B． C．1 D．2 题型 5：奇函数 + 常数型问题 例13．（2026·高一·上海·期末）函数，为常数，若，则的值为______． 例14．（2026·高一·河北沧州·开学考试）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 例15．（2026·高一·河北石家庄·期中）若函数在区间上的最小值为常数，则其最大值为___________． 变式13．（2026·高一·江西抚州·期中）已知函数的最大值为M，最小值为m，则_______. 变式14．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为_______． 变式15．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 题型 6：抽象函数的奇偶性问题 例16．（2026·高一·辽宁丹东·期末）已知定义在上的函数，对于，恒有. (1)求证：是奇函数； (2)若是增函数，解关于x的不等式. 例17．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知定义在上的函数满足，且当时，. (1)求的值； (2)证明为奇函数； (3)猜想函数的单调性并求的解集. 例18．若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 变式16．（2026·高一·福建南平·期末）已知定义域为的函数满足对任意都有． (1)求证：是奇函数； (2)设，且当x＞1时，，求不等式的解． 变式17．（多选题）（2026·高二·辽宁·阶段检测）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 变式18．（多选题）（2026·高一·重庆渝中·期中）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 题型 7：奇偶性与单调性综合应用 例19．（2026·高一·河北邢台·开学考试）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________. 例20．（2026·高一·江苏连云港·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____________. 例21．（2026·高一·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 变式19．（2026·高一·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，．若且，都有，则不等式的解集为______． 变式20．（2026·高二·辽宁·学业考试）已知定义在上的偶函数满足：对任意，且时，都有成立，则不等式的解集为___________. 变式21．（2026·高一·四川成都·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为__________. 变式22．（2026·高一·河南新乡·期中）已知函数是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数m的取值范围为________． 题型 8：利用奇偶性识别函数图象 例22．（2026·高一·广东深圳·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 例23．如图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 例24．（2026·高一·广东汕尾·期末）定义在区间上的函数的图象如下图所示，则的图象为（    ） A． B． C． D． 变式23．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 变式24．（2026·高一·四川南充·期中）已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象分别如图1、图2所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（　　） A． B． C． D． 变式25．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（   ）    A． B． C． D． 变式26．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 题型 9：奇偶性与对称性综合应用 例25．（2026·高一·湖北十堰·期中）已知函数为奇函数，，且与图象的交点分别为，，…，，则（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 例26．（2026·高一·四川南充·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. (1)若. ①求此函数图象的对称中心； ②求的值； (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）. 例27．函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数. (1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心； (2)请利用函数的对称性的值； (3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明） 变式27．（2026·高一·云南大理·期末）已知函数是偶函数，其图像与轴有四个交点，则四个交点横坐标之和是（　　）． A．0 B．1 C．2 D．4 变式28．（2026·高一·山东济南·期中）已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，，，，则横坐标之和（    ） A．0 B．m C． D． 变式29．（2026·高一·陕西西安·期中）已知函数图像关于点中心对称，若函数与图像的交点为,，…，，则（    ） A．0 B．m C．2m D．3m 变式30．（2026·河北雄安·三模）函数的图象的对称中心为________． 1．已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 2．（2026·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东泰安·模拟预测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高三·山东·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 6．（2026·江西赣州·二模）设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西咸阳·二模）已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 9．（多选题）（2026·高一·福建厦门·期中）已知函数，以下结论正确的有（   ） A．为奇函数 B．对任意的，，都有 C．的值域是 D．对任意的都有 10．（多选题）（2026·高一·广东深圳·期中）已知定义在上函数的图像是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，有；③．则下列选项成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．，，使得 11．（2026·高一·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则______． 12．（2026·高一·河南许昌·阶段检测）已知函数，若，则______. 13．（2026·高一·云南昆明·期中）已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 14．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知定义在R上的函数在区间上单调递减，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为______ 15．（2026·高一·四川内江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，． (1)求； (2)求出函数在上的解析式； 16．定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 17．（2026·高一·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 18．已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 19．（2026·高一·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 20．（2026·高一·四川成都·期末）设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 21．（2026·高一·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 22．（2026·高一·福建厦门·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称. (1)用定义证明是定义域上的增函数； (2)解不等式. 23．（2026·高一·福建三明·阶段检测）已知定义在上的函数满足：对，都有，当时，，且. (1)求和的值； (2)证明函数是奇函数； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 奇偶性 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 3 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 4 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 4 03 题型精讲举一反三 6 题型 1：函数奇偶性的判断与证明 6 题型 2：由奇偶性求函数解析式 9 题型 3：由奇偶性求函数值 11 题型 4：由奇偶性求参数 13 题型 5：奇函数 + 常数型问题 15 题型 6：抽象函数的奇偶性问题 17 题型 7：奇偶性与单调性综合应用 21 题型 8：利用奇偶性识别函数图象 23 题型 9：奇偶性与对称性综合应用 28 04 过关测试 32 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇． 题型 1：函数奇偶性的判断与证明 例1．（2026·高三·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)探究的奇偶性； (3)求不等式的解集． 【解析】（1）把点的坐标分别代入中， 得； （2）显然函数的定义域为R，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数； （3）当时，函数单调递增，且， 所以此时函数单调递减， 因为函数是偶函数， 所以由 或， 因此原不等式的解集为. 例2．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，． 【解析】（1）由，得，即． 函数的定义域是，关于原点对称，且， 既是奇函数又是偶函数． （2）函数的定义域为，关于原点对称． ， 是偶函数． 例3．（2026·高一·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）的定义域为. 因为，所以为奇函数. （2）的定义域为， 因为，所以为偶函数. （3）的定义域为， 因为，且， 所以为非奇非偶函数. 变式1．（2026·高一·上海宝山·阶段检测）已知函数的表达式为． (1)求的值； (2)作出该函数的图象，判断并证明其奇偶性． 【解析】（1）由题意； （2）的函数图象如图所示： 由图可知是上的奇函数，定义法证明如下： 显然，定义域是， 若，则，此时， 若，则，此时， 综上所述，是上的奇函数. 变式2．（2026·高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数； (1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性，并证明. 【解析】（1）因为函数，所以且不等于2， 所以且不等于0，所以函数的定义域为； （2）函数是偶函数. 函数的定义域为关于原点对称， 又因为, , 所以是偶函数. 变式3．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【解析】（1）函数的定义域为， ， 是奇函数. （2）函数的定义域是， ， 是偶函数. （3）函数的定义域是，不关于原点对称， 是非奇非偶函数. 题型 2：由奇偶性求函数解析式 例4．（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【解析】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 例5．（2026·高一·广西贵港·开学考试）设函数，若是奇函数，则的表达式是___________． 【答案】， 【解析】因为是奇函数，所以. 因为时，， 所以当时，，所以. 所以，. 又当时，，所以，. 例6．（2026·高一·江苏扬州·期中）已知函数，，的定义域都为，其中为奇函数，为偶函数，且，，则函数__________. 【答案】 【解析】因为偶函数，所以，又， 得，即①. 又为奇函数，所以，又， 得②. 将①代入②得，， ，解得. 故答案为：. 变式4．已知是奇函数，是偶函数，且，则______，______． 【答案】 ． 【解析】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 变式5．已知定义域为R的奇函数满足，当时，求解析式． 【解析】当时，，则， 因为是奇函数，所以 又当时，，所以. 变式6．（2026·高一·广东·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求函数的解析式； (2)把函数图象补充完整，并写出函数的单调区间.（直接写出结果）    【解析】（1）当时，， 则， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又， 则. （2）由（1）可得解析式，作出的图象，如图所示： 由图象可知，的单调递增区间为，； 单调递减区间为，. 题型 3：由奇偶性求函数值 例7．（2026·高一·广西贺州·期中）已知函数为奇函数，且当时，，则（   ） A．-9 B．-7 C．-10 D．10 【答案】C 【解析】因为当时，， 当时，，此时. 因为为奇函数，所以，所以. 即时. 所以. 故选：C. 例8．（2026·高三·江苏盐城·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】因函数是定义在上的奇函数，当时， 则，解得，则当时，， 故. 故选：C. 例9．（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）若是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】根据已知条件， 为奇函数， 为偶函数，可得： ， 联立解得： 计算得： 因此，. 故选：D. 变式7．（2026·高一·四川达州·期中）已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为为定义在R上的奇函数， 所以，得， 则当时,， 故， 所以. 故选：C. 变式8．（2026·高一·福建宁德·期中）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（     ） A．1 B．5 C．6 D．4 【答案】C 【解析】因为①，所以②， 又因为分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以②式可化为③， 联立①③得， 所以. 故选：C. 变式9．（2026·高一·湖南·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为是定义在上的奇函数，所以.因为当时，， 所以当时，，所以，故. 故选：C. 题型 4：由奇偶性求参数 例10．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 例11．（2026·高一·河南·阶段检测）若函数为奇函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2026 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为，且为奇函数， 则， 结合的任意性可得． 例12．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】根据题意得，解得，此时， 因为为偶函数，所以， 解得，经验证符合题意，故，所以. 变式10．（2026·高一·河南郑州·期末）已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】因为是分式，定义域为，又函数为奇函数， 所以定义域关于原点对称，， 所以，因为， 所以是奇函数，故. 变式11．（2026·高三·河北衡水·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【解析】由题意知，所以， 当时，由可得：此时等式恒成立， 即， 则， 故选：D 变式12．（2026·高一·广东河源·期末）若为偶函数，则a的值为（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】方法一：因为为偶函数，所以恒成立， 即恒成立， 则恒成立，所以恒成立， 故，解得． 方法二：，要使函数为偶函数， 只需多项式的奇次项系数为0，即，即． 故选：D. 题型 5：奇函数 + 常数型问题 例13．（2026·高一·上海·期末）函数，为常数，若，则的值为______． 【答案】 【解析】因为，所以， 则， 可得，而， 得到，解得. 例14．（2026·高一·河北沧州·开学考试）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 【答案】6 【解析】由于，可得关于点对称， 故. 例15．（2026·高一·河北石家庄·期中）若函数在区间上的最小值为常数，则其最大值为___________． 【答案】 【解析】因为， 令， 则，因为， 所以函数为奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称， 所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故． 故答案为：． 变式13．（2026·高一·江西抚州·期中）已知函数的最大值为M，最小值为m，则_______. 【答案】4 【解析】==2+， 令,则，所以为奇函数，的最大值与最小值的和为0， 故, 故. 故答案为：4. 变式14．（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为_______． 【答案】 【解析】因， 设，则，可得函数为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 于是，. 故答案为：. 变式15．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】令，函数定义域为R， ，所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 题型 6：抽象函数的奇偶性问题 例16．（2026·高一·辽宁丹东·期末）已知定义在上的函数，对于，恒有. (1)求证：是奇函数； (2)若是增函数，解关于x的不等式. 【解析】（1）取，则，解得， 取，则， 所以， 故为奇函数； （2）不等式，即， 又为上的单调递增函数， 则，即， 当时，不等式的解集为； 当时，解得，不等式的解集为． 当时，解得，不等式的解集为． 例17．（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知定义在上的函数满足，且当时，. (1)求的值； (2)证明为奇函数； (3)猜想函数的单调性并求的解集. 【解析】（1）令，则有，解得． （2）证明：令，则有， 所以，故函数为奇函数； （3）是R上的减函数．证明如下： 设，所以， 由， 因为当时，，所以， 即，所以是R上的减函数； ，则，故， 故不等式的解为 例18．若函数对任意，恒有成立，且． (1)求证：是奇函数； (2)求的值； (3)若时，，试求在上的最大值和最小值． 【解析】（1）定义域为，令，得，再令，得， 所以，故是奇函数； （2）因为，故令得，即， 又是奇函数，所以， 令得， 令得 故； （3）不妨设， 中，令得， ， 因为，又时，， 所以，即， 所以在R上单调递减， 故． 变式16．（2026·高一·福建南平·期末）已知定义域为的函数满足对任意都有． (1)求证：是奇函数； (2)设，且当x＞1时，，求不等式的解． 【解析】（1）令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 故是奇函数. （2）∵，则，即， 则，即， 令，则，， ∴，即， 故在上单调递减， 又∵，则是偶函数， ∴，即， 则，解得或， 故不等式的解集为. 变式17．（多选题）（2026·高二·辽宁·阶段检测）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】BCD 【解析】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误； 由，得，所以为奇函数，B项正确； 因为，所以为偶函数，C项正确； 因为，所以为偶函数，D项正确. 故选：BCD. 变式18．（多选题）（2026·高一·重庆渝中·期中）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数 D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数 【答案】ABD 【解析】设， 因为，是定义在上，所以的定义域为， ，所以为偶函数，故A正确； 设， 因为是定义在上，所以的定义域为， ， 所以为奇函数，故B正确； 设， 因为，都是定义在上，所以定义域为， 因为为奇函数，为偶函数， 所以， 所以为偶函数，故C错误； 设， 因为，都是定义在上，所以定义域为， ， 因为是不恒为0的函数， 所以不恒成立， 所以不是奇函数， ， 因为是不恒为0的函数， 所以不恒成立， 所以不是偶函数， 所以是非奇非偶函数，故D正确. 故选:ABD. 题型 7：奇偶性与单调性综合应用 例19．（2026·高一·河北邢台·开学考试）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】由函数为定义在上的奇函数，在上单调递增函数， 则函数在上也是单调递增函数，且， 当时，因为，不等式，即为，可得 当时，因为，满足； 当时，因为，可得， 则不等式，即为，可得， 综上可得，不等式的解集为. 例20．（2026·高一·江苏连云港·期末）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则关于的不等式的解集为_____________. 【答案】 【解析】关于的不等式，且， 所以，又因为是定义在上的偶函数， 所以，因为在单调递减， 所以，所以，即得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 例21．（2026·高一·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】由偶函数知，由单调性知，解得， 所以解集为． 故答案为：． 变式19．（2026·高一·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，．若且，都有，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】设， 由且，， 得，所以在上单调递增． 因为为奇函数，所以， 所以，即为偶函数． 因为，所以， 所以不等式，即， 所以． 又因为在上单调递增，所以，即，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为： 变式20．（2026·高二·辽宁·学业考试）已知定义在上的偶函数满足：对任意，且时，都有成立，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】对任意，且时，都有成立， 可得在上单调递减， 因为为偶函数，所以在上单调递增， 所以,解得或. 故答案为:. 变式21．（2026·高一·四川成都·期中）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】因为为定义在上的偶函数，且上单调递增，且， 则当或时，， 所以不等式等价于， 等价于或， 因此或 解得 所以不等式的解集为. 故答案为： 变式22．（2026·高一·河南新乡·期中）已知函数是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】由，得， 即， 令，则当且时，有， 故在上单调递增. 因为是定义在上的偶函数，则， 所以也是定义在上的偶函数， 因为，所以， 又因为， 则可化为， 化简得，即， 所以，即有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 题型 8：利用奇偶性识别函数图象 例22．（2026·高一·广东深圳·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，显然其图象关于点对称，排除A、B， 由在上单调递减，则在上单调递减，排除C. 故选：D 例23．如图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知，“心形”图形关于轴对称，则“心形”在轴上方部分对应的函数为偶函数， 则函数为奇函数，故B不正确； 函数的定义域为，关于原点不对称，故D不正确； 的图象过点， 且时，，当且仅当时，等号成立， 即函数的最大值为2，又“心形”在轴上方部分对应的函数的最大值为1，故A不正确； 由的图象过点， 且时，，当时，等号成立， 即函数的最大值为1，满足题意，故C正确． 故选：C. 例24．（2026·高一·广东汕尾·期末）定义在区间上的函数的图象如下图所示，则的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先把函数的图象关于原点对称，可得函数的图象， 再将其向右平移4个单位长度，即得函数的图象. 故选：B. 变式23．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，，其定义域为，排除A．当时，，B错误．当时，，若，则，C错误．只有选项D满足题意． 变式24．（2026·高一·四川南充·期中）已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象分别如图1、图2所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数为偶函数，函数为奇函数，补全这两个函数的图象如下图所示： 因为，则或， 由图可得，不等式组的解集为， 不等式组的解集为. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 变式25．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图乙知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数， 对于A，当时，，甲在y轴右侧图象与图乙的不相同，不合，故A错； 对于B：时，，图乙在x轴下方有图象，故B错． 对于D：当时，，其图象在y轴左侧与图乙的不相同，不合，故D错； 故选:C 变式26．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 所以是偶函数，图象关于y轴对称，故排除B选项； 当时，，得，故排除A选项； 又，排除D选项， 故选：C. 题型 9：奇偶性与对称性综合应用 例25．（2026·高一·湖北十堰·期中）已知函数为奇函数，，且与图象的交点分别为，，…，，则（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【解析】令，由题意可知为奇函数. 故，即， 则，所以函数的图象关于点对称， 又， 所以的图象也关于点对称， 故与图象的交点两两关于点对称， 则. 故选：C. 例26．（2026·高一·四川南充·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数. (1)若. ①求此函数图象的对称中心； ②求的值； (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论（写出结论即可，不需证明）. 【解析】（1）①，， 而满足， 即为奇函数，所以的图象关于点中心对称. ②，由①得，即， 所以 . （2）“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”， 类比已知条件可得，一个一个推广结论为： 函数的图象关于直线对称的充要条件是函数为偶函数. （答案不唯一） 例27．函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数. (1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心； (2)请利用函数的对称性的值； (3)类比上述推广结论，写出“函数的图像关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明） 【解析】（1）设的图象的对称中心为，则为奇函数， 所以，即， 所以， 即， 整理得，（对函数定义域内的任意都成立）， 所以，解得， 所以函数的图象的对称中心为； （2）由（1）知函数图象的对称中心为， 所以， 则， 又，所以； （3）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数，或函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是. 变式27．（2026·高一·云南大理·期末）已知函数是偶函数，其图像与轴有四个交点，则四个交点横坐标之和是（　　）． A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】因为偶函数的图象关于轴对称，因此它的图象与的轴的四个交点关于原点对称，四个交点横坐标和为0． 故选：A． 变式28．（2026·高一·山东济南·期中）已知函数满足：是偶函数，若函数与函数图象的交点为，，，，则横坐标之和（    ） A．0 B．m C． D． 【答案】B 【解析】由是偶函数，知函数的图象关于直线对称，函数，其图象也关于直线对称， 所以函数与函数图象的交点也关于直线对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为. 故选：B. 变式29．（2026·高一·陕西西安·期中）已知函数图像关于点中心对称，若函数与图像的交点为,，…，，则（    ） A．0 B．m C．2m D．3m 【答案】B 【解析】由，函数对称中心也为，故函数与图像的交点总是成对出现，设每一对对称点为，，，共有对点，则有， ， 故 故答案为B 变式30．（2026·河北雄安·三模）函数的图象的对称中心为________． 【答案】 【解析】设函数的图象的对称中心为， 则有， 即， 整理得， 则有，解得， 故函数的图象的对称中心为. 1．已知函数，，则（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【解析】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， A选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，A错误； B选项，对于函数，定义域为， ，不能判断与的关系，不能确定奇偶性，B错误； C选项，对于函数，定义域为， ，则是奇函数，C正确； D选项，对于函数，定义域为， ，则是偶函数，D错误． 2．（2026·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，且当时，， 可得. 3．（2026·山东泰安·模拟预测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，都有成立，则函数图象关于点对称， 为偶函数，的图象关于对称，即， 若，则， 可得，而， 化简得，周期， 而任取，， 在上单调递减， 为偶函数，在上单调递增， 函数图象关于点对称， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， ，， 因为，所以． 4．（2026·高三·山东·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的图象关于点对称， 则函数的图象关于原点对称，即， 从而等价于，即 由函数在定义域上单调递减， 则，解得. 5．（2026·高一·湖南长沙·阶段检测）若函数是偶函数，则实数（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】函数的定义域为. 由偶函数定义知恒成立，即，即对任意实数x成立， 因此，即． 方法二：函数的对称轴为. 因为偶函数的图象关于轴对称，所以，所以. 当时，，定义域为R，且满足，是偶函数. 因此，. 6．（2026·江西赣州·二模）设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由是偶函数可知，又满足， 则. 7．（2026·陕西咸阳·二模）已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 可知函数为上的偶函数，． 因为在上单调递增，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 不等式可化为， 所以，解得或． 8．（多选题）（2026·高一·浙江杭州·期末）已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【解析】对于A，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以，此时，，是奇函数，A正确； 对于B，，当时，， 因为函数为奇函数，所以当时，， 所以或，B错误； 对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确； 对于D，任取，则， 所以, 所以在区间上单调递减，故D正确. 9．（多选题）（2026·高一·福建厦门·期中）已知函数，以下结论正确的有（   ） A．为奇函数 B．对任意的，，都有 C．的值域是 D．对任意的都有 【答案】ABC 【解析】对于A，，所以函数为奇函数，故A正确； 对于B，当时，， 由反比例函数性质可知，函数在上为增函数，且， 又为上的奇函数，函数在上为增函数，在上单调递增， 对任意的，，都有，故B正确； 对于C，当时，， 函数在上为增函数，在上的值域为； 当 时，， 函数在上为增函数，在上的值域为， 综上所述，的值域是，故C正确； 对于D，令，则，， ，即，故D不正确. 10．（多选题）（2026·高一·广东深圳·期中）已知定义在上函数的图像是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，有；③．则下列选项成立的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．，，使得 【答案】ACD 【解析】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增， 所以，故A对， 若，则，得，故B错， 若，则或，因为， 所以或，故C正确， 因为定义在上函数的图像是连续不断的，且在上单调递增， 所以，所以对，只需即可，故D正确， 故选：ACD． 11．（2026·高一·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则______． 【答案】4 【解析】是定义在上的奇函数，则有， ， 设，函数定义域为， ，为奇函数， 则有，即，所以. 故答案为：4. 12．（2026·高一·河南许昌·阶段检测）已知函数，若，则______. 【答案】 【解析】当时，， 所以，解得：， 故答案为： 13．（2026·高一·云南昆明·期中）已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称. 又在上单调递增，则在区间上也单调递增. 当时，，对称轴为； 当时，的图象开口向下，且， 此时在区间上单调递减，不合题意，所以， 解得，所以的取值范围是. 14．（2026·高一·山东德州·阶段检测）已知定义在R上的函数在区间上单调递减，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为______ 【答案】 【解析】因为定义在R上的函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递减，且的定义域为R， 又函数为偶函数，则， 所以的图象关于直线对称，所以函数在区间上单调递增， 因为，则， 根据已知区间单调性和对称性：时，或时， 所以由得或，解得或， 则不等式的解集是. 15．（2026·高一·四川内江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，． (1)求； (2)求出函数在上的解析式； 【解析】（1）因函数是定义域为的奇函数， 则； （2）因为函数是定义域为的奇函数，所以； 当时，，， 又是奇函数，所以． 综上，. 16．定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【解析】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 17．（2026·高一·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【解析】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 因为时，函数的定义域为x≠,不关于对称，故舍去， 所以解得. 18．已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【解析】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 19．（2026·高一·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增； (2)解关于的不等式. 【解析】（1）对于任意的，且， 则， ∵，∴，，∴， ∴，即， ∴函数在上是增函数. （2）因为且定义域关于原点对称，所以是奇函数， 则，即， 所以，解得， 则不等式的解集为． 20．（2026·高一·四川成都·期末）设函数的定义域为，如果，都有，且满足，那么函数的图象称为关于点的中心对称图形，点就是其对称中心．如果，且，使得，那么函数的图象称为关于点的弱中心对称图形，点就是其弱对称中心． (1)若函数的图象是关于点的中心对称图形，求实数的值； (2)若函数，的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，解得． 当时，， 对于任意的，都有， 所以函数的图象是关于点的中心对称图形， 故． （2）由题意可知，存在，且，使得， 当时，，则， 所以， 又知对勾函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，，则不成立； 当时，，则， 所以， 令，易得在上单调递增，所以． 综上可知，实数的取值范围为． 21．（2026·高一·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 【解析】（1）由是定义在R上的奇函数，得，                         当时，，则                           所以函数在R上的解析式为，.   （2）函数在R上单调递增，理由如下：                                       任取，，且，                                                     则，   由，得， ，                                   则，即， 所以函数在R上单调递增. （3）由是奇函数，得，   又在R上单调递增，则，解得，                         所以原不等式的解集为． 22．（2026·高一·福建厦门·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称. (1)用定义证明是定义域上的增函数； (2)解不等式. 【解析】（1）由题意可知：，解得，则， 且，可知是定义在上的奇函数， 所以符合题意，即， 任取，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以在定义域上单调递增. （2）因为是定义在上的奇函数，且， 则， 又因为在定义域上单调递增，则，解得， 所以不等式解集为. 23．（2026·高一·福建三明·阶段检测）已知定义在上的函数满足：对，都有，当时，，且. (1)求和的值； (2)证明函数是奇函数； (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）取可知，，则； 取，则 （2）取，则， 又函数的定义域为，关于原点对称， 则是奇函数 （3）先证明函数是减函数，， ， 由题知时，，则，则， 故在上单调递减， ，结合， 则， 即，于是， 由，则， 不等式转化为， 而，当取得等号， 故 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $