北京市第二中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

参考答案 一、单选题（共10题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 > 8 答案 C B A C A C D 二、填空题（共5题，每小题5分，共25分） 11.3 12.120° J 13.100 150 14.③④ 1 15.2 16.①②③ 三、解答题（共70分） 17.(1)解：因为V2bc=b2+c2-a2,即 OSA=bite-abe 由余弦定理 2be 2bc2 Aπ 因为A∈(0，)，所以”4： 2解：因为14,0=2V2,8= A=- 3 由正弦定理sin A sin B. 2W2_b 即4sin 元 sin- ,所以b=2V5, 台 > 18.(1)20(2)平均数32.25；第80百分位数37.5(3)10 19.(1)解：取AB的中点G,连接SG, 因为SA=SB=SC=SD=4,AB=2V2, 则SG⊥AB, SG=SA2-AG2=42-2=14 所以，正四棱锥S-ABCD的表面积为 4SB+S4D=4x)×AB×SG+AB=2x2N2xW4+8=8+8V万 】 G (2)解：连接BD交AC于点O,连接SO、OP,如下图所示： 因为四边形ABCD是边长为2W2的正方形，则BD=V2×2W2=4=SB=SD, 故△SBD是边长为4的等边三角形， 因为AC∩BD=O,则O为BD、AC的中点，所以，SO⊥BD, 0=SBsin60°=4xy5 2V3 且 2 ∠0SD=1∠BSD=1x60°=30° 2 2 3 3 SP= SD=2×4=3 因为SP=3PD,则 4 4 由余弦定理可得 0p2=502+3p2-250.5Pc0s30°=12+9-2x2N3×3x5-3 2 所以，SP2+OP2=SO2,所以，SP⊥OP, 因为四边形ABCD为正方形，则AC上BD, 因为SA=SC,O为AC的中点，则AC⊥SO, 因为SO∩BD=O,SO、BDC平面SBD,所以，AC⊥平面SBD, 因为SPC平面SBD,所以，SP⊥AC, 因为OP∩AC=O,OP、ACC平面PAC,所以，SP⊥平面PAC, 因此，点S到平面PAC的距离为SP=3. S B SE =2 (3)解：在侧棱SD上存在一点E,使BE∥平面PAC,满足EC,理由如下： 取SD的中点为Q,因为SP=3PD,则PO=PD,过Q作PC的平行线交SC于E,连接BO、BE. 在△BDO中，因为O、P分别为BD、DO的中点，则BO/PO 因为POC平面PAC,BO￠平面PAC,所以BQ∥平面PAC, SESC=2 由ECQP2,则QEPC, 因为PCC平面PAC,QE￠平面PAC,所以QE∥平面PAC, 而B0O∩QE=O,BO、QEc平面BEO,故面BEO∥面PAC, SE=2 又BEc面BEQ,则BE∥平面PAC,此时EC. 20.(1)证明：翻折前，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD, 将直角梯形ABCD绕AB边旋转至ABEF,则AB⊥AF. 因为AD、AFc平面ADF,且AD∩AF=A,所以AB⊥平面ADF. (2)证明：翻折前，AB/CD, 将直角梯形ABCD绕AB边旋转至ABEF,则ABIEF,所以，CDIIEF, 又因为CD=EF,所以四边形CDFE为平行四边形，所以CE∥DF. 因为CE中平面ADF,DFC平面ADF,所以CE∥平面ADF. (3)证明：条件②：因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB, 且AD⊥AB,ADC平面ABCD,所以AD⊥平面ABEF. 因为BEC平面ABEF,所以AD⊥BE 在梯形ABEF中，AF=EF=1,AF⊥EF, 所以，AE=√AF2+EF2=V+1=V2,且△AEF为等腰直角三角形， 又因为EFI∥AB,则∠BAE=∠AEF=45° 因为AB=2,由余弦定理可得 BE-VAE+AB-24BAEC0S45-2+4-2x2xx2 所以，AB2=AE2+BE2,故AE⊥BE, 因为AE、ADC平面ADE,AD∩AE=A,所以，BE⊥平面ADE. 因为BEC平面BCE,所以平面ADE⊥平面BCE: 证明：条件③：因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB, 且AD⊥AB,ADC平面ABCD,所以AD⊥平面ABEF. 因为BEC平面ABEF,所以，AD⊥BE. 因为BE⊥DE,AE、ADc平面ADE,AD∩AE=A,所以，BE⊥平面ADE. 因为BEC平面BCE,所以平面ADE⊥平面BCE; 21.(1)解：因为i=(2,0,万=(-1,2). 且Sm,)=%-, 所以Sm,=2×2-1x(-1=5, 又m=(1,2),i=(2,4). 是S(m,)=1×4-2×2=0, (2)因为向量m=(,),元=(：，)， 且向量D=m+(8,M∈R,22+d≠0） 则D=(x+,y+4%) 所以Sim=（ax+4,)片-(y+4,)=xy-xy 同理S(万，列=k2一x, 所以SD,m）+S(万，)=(A+4S(m,, (3)(i)设c,d=a,因为a⊥b, 63 .- 所以c 2 所以 e,a+se0=sma+sn(经-a】 ana-cosa=ima-星】 a-π、π 3π 0= 当42，即4时， S(C,a)+S(C,b)取得最大值V2, 3V5 (i)S(a,b)+S(b,c)+S(G,d)的最大值为2. 2026北京二中高一6月月考 数学 一、单选题（共10题，每小题5分，共50分） 1．复数的虚部为（ ） A．1 B． C． D． 2．，，，，，这组数据的第50百分位数是（ ） A．3 B．3.5 C．4 D．5 3．在中，已知，，，则角（ ） A． B． C． D． 4．某班分成了、、、四个学习小组学习二十大报告，现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果展示，则组和组恰有一个组被抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，，若存在实数，使得，则和的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 6．在中，“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知直线，与平面，，，能使成立的条件是（ ） A．， B．， C．， D．，，， 8．钝角三角形的面积是，，，则（ ） A． B． C．7 D．7或1 9．如图，在直角梯形中，，，，若为的中点，则（ ） A．1 B． C．2 D．4 10．已知四边形为矩形，，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥（如图），设的中点为． 在翻折过程中，有如下四个命题： ①平面； ②的长度为定值； ③三棱锥体积的最大值为； ④在翻折过程中，存在某个位置，使得． 其中真命题的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共5题，每小题5分，共25分） 11．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为__________． 12．已知的三条边长分别为，，，则此三角形的最大角与最小角之和为__________． 13．某学校为了调查高一年级600名学生年平均阅读名著的情况，通过抽样，获得了100名学生年平均阅读名著的数量（单位：本），将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则图中的值为__________；估计高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本的人数为__________． 14．木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点画直线，则满足_____________（选出你认为正确的全部结论） ①；②；③与直线相交；④与直线相交． 15．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如下图所示的图形，若，则_________． 16．如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动，且．给出下列结论： ①； ②三棱锥的体积为定值； ③点在线段上（为的中点）； ④面积的最大值为2． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（共85分） 17．在中，． （1）求； （2）若，，求． 18．某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）． （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 19．如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且， （1）求正四棱锥的表面积； （2）求点到平面的距离； （3）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 20．如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕边旋转至． （1）求证：直线平面； （2）求证：直线平面； （3）当平面平面时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个，使平面与平面垂直．并证明你的结论． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（3）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求： ①，；②，； （2）若向量，求证：； （3）若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，． （i）当时，求的最大值； （ii）写出的最大值．（只需写出结果） 学科网（北京）股份有限公司 $