期末教学质量检测卷（试题）2025-2026学年六年级下册数学北师大版

**基本信息** 立足六年级下册核心知识，融合文化传承与生活实践，梯度设计考查数学眼光、思维与语言，如“立竿见影”成语比例应用、开封小笼包笼屉计算等情境，体现学科应用价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题12分|比例（题5）、图形旋转（题4）、可能性（题1）|基础概念辨析，考查抽象能力| |填空题|10题20分|比例尺（题7）、圆锥体积（题8）、正反比例（题10）|结合沙漏计时（题11），渗透量感与空间观念| |判断题|6题12分|圆柱表面积（题20）、图形放大（题21）|易错点辨析，培养推理意识| |计算题|3题26分|简算（题24）、解比例（题25）|基础运算与代数推理，提升运算能力| |解答题|6题30分|圆柱圆锥（题27、31）、比例尺应用（题28）、组合图形体积（题30）|结合开封小笼包（题31）、纸杯盛水（题29），考查模型意识与应用能力|

期末教学质量检测卷（试题）2025-2026学年六年级下册数学北师大版 考试时间：90分钟；满分：100分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题12分） 一、选择题（12分） 1．一个不透明的口袋里有大小和质地完全相同的红、黄两种颜色的球各10个。一次最少摸出（    ）个球，才能保证有2个颜色相同的球。 A．2 B．3 C．4 D．5 2．一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆锥的高增加12厘米，底面积不变，那么圆锥和圆柱的体积相等。圆柱的高是（    ）厘米。 A．4 B．6 C．9 D．12 3．篮球场长28米、宽15米，按比例尺1∶100画在图纸上，最接近（    ）的大小。 A．一块橡皮 B．一张乒乓球桌桌面 C．一张课桌桌面 D．一本数学书封面 4．下图中，（    ）不能通过图形①旋转得到。 A． B． C． D． 5．下面各选项中的两种相关联的量，成正比例关系的是（    ）。 A．妙妙看《数学故事》，已看的页数和未看的页数 B．比例尺一定，图上距离和实际距离 C．运送一批货物，平均每天运的吨数和需要的天数 D．圆的面积与这个圆的半径 6．下列说法中的两个量成正比例的是（    ）。 A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆柱的体积一定，它的底面积和高 C．一套运动服是178元，购买运动服的数量和总价 D．李明阅读完《红楼梦》，他平均每天看的页数和天数 第II卷（非选择题88分） 二、填空题（20分） 7．两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是( ) 8．一个圆锥体，底面直径为6厘米，从顶点沿着高竖直切开，切面形状是( )形，表面积共增加60平方厘米，那么，此圆锥的体积是( )立方厘米。 9．一块长6mm、宽4mm的长方形芯片，画在设计图纸上长18cm、宽12cm，该图纸的比例尺是( )。该图纸上画有一段长3cm的电路，这段电路实际长( )mm。 10．在下表中，如果x和y成正比例，那么“？”处填( )；如果x和y成反比例，那么“？”处填( )。 x 6 ？ y 36 24 11．沙漏是古人用的一种计时仪器（如下图），圆锥形沙漏装满沙子后漏入下面的空圆柱形玻璃瓶中，沙子漏完后在圆柱形瓶中平铺的高度为( )厘米。 12．联系生活看，成语“立竿见影”是应用了比例的相关知识，即同一时间，同一地点（或同一纬度），竿高和影长成( )比例关系。小明下午三点整测得一根竹竿高，影长约；小明的同桌测得学校的教学楼的影长是，教学楼的实际高度约是( )米。 13．红黄蓝三种颜色的小球各5个，放入一个布袋里，至少取出( )个球，可以保证取到两个颜色相同的球；至少取出( )个球，可以保证取出的一定有黄色的球。 14．如下图，三角形和圆的面积部分重合，重合部分的面积占三角形面积的，占圆面积的，三角形空白部分比圆空白部分的面积少22平方分米，则三角形面积为( )平方分米。 15．写出16的所有因数：( )，选择其中的四个数组成一个比例( )。 16．将线段比例尺改写成数值比例尺是( )，在这幅地图上量得郑州到北京的距离约是17.5厘米，郑州到北京的实际距离约是( )千米。 三、判断题（12分） 17．如果4×9＝12×3，那么4∶3＝9∶12。( ) 18．时针从2开始，按顺时针方向旋转90°应指向5。( ) 19．拉抽屉的运动是平移现象，用钥匙开锁的运动也是平移现象。( ) 20．圆柱的底面直径扩大到原来的2倍，高也扩大到原来的2倍，则表面积和体积都扩大到原来的4倍。( ) 21．把边长是5cm的正方形按2∶1放大后，放大后的正方形的面积是100cm2。( ) 22．一幅图的比例尺是1∶2000000表示图上1cm的距离相当于实际20km的距离。( ) 四、计算题（26分） 23．直接写得数。 1.7×9＋1.7＝            20÷2%＝                                     24．脱式计算。（能简算的要简算）     12.7＋12.5÷5     25．解方程或解比例。 （1）    （2）        （3） 五、解答题（30分） 26．馎（bó）是春秋时期的一种重要农具，制造馎所需铜和锡的比是5∶1，如果制造一件需要锡820克，需要铜多少克？（用比例解） 27．一个无盖的圆柱体水桶，底面半径5分米，高8分米，做这样一个水桶至少需要铁皮多少平方分米？最多可以装多少升水？（不计铁皮厚度） 28．在比例尺为1∶50000000的地图上，量得一条公路长2.1厘米，甲、乙两辆汽车分别从公路的两端同时出发，相向而行，甲车的速度是100千米/时，乙车的速度是110千米/时，经过几时两车相遇？ 29．超市里的圆锥形纸杯，底面积约为30平方厘米，高是9.3厘米。一桶纯净水有18.6升，用这种一次性水杯盛水，至少能倒出多少杯？ 你知道吗？ 在有些超市的一角，有免费喝水的地方。那里用的杯子是像甜筒一样的圆锥形。这种杯子容量较小，不会浪费。它没有杯底，大家喝完就会扔掉，不会乱放。既方便又环保！ 30．（如图）图中的组合图形以直线为轴快速旋转，请求出组合图形旋转后得到的立体图形的体积。（结果保留） 31．河南开封曾是北宋都城，开封美食小笼包又称灌汤小笼包，历史久远，外形美观，皮薄馅多，灌汤流油，味道鲜美，人称“提起像灯笼，放下似菊花”。 (1)灌汤包的笼屉形似圆柱，它的直径是30厘米，高是4厘米，这个笼屉的侧面积是多少平方厘米？ (2)这个笼屉的容积是多少立方厘米（厚度忽略不计）？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末教学质量检测卷（试题）2025-2026学年六年级下册数学北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B D B B C 1．B 【分析】先考虑最不利摸球情况，先每种颜色各摸1个，再多摸1个就能保证有2个同色球，相加得到最少摸球数量。 【详解】（个） 一次最少摸出3个球，才能保证有2个颜色相同的球。 2．B 【分析】已知圆柱和圆锥等底等高，根据体积公式可知，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。当底面积不变，圆锥和圆柱体积相等时，圆锥的高应该是圆柱高的3倍。原来圆锥的高与圆柱相等，现在圆锥的高增加了12厘米才达到圆柱高的3倍，说明增加的12厘米对应的是圆柱高的（3－1）倍，据此可求出圆柱的高。 【详解】因为圆柱和圆锥等底等高，所以原来圆锥的高等于圆柱的高； 当底面积不变，圆锥和圆柱的体积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍； 圆锥的高增加12厘米后，相当于圆柱高的3倍，则增加的厘米是圆柱高的（3－1）倍； 圆柱的高为： 因此，圆柱的高是6厘米。 3．D 【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出篮球场的长和宽的图上距离，再和选项比较，即可解答。 【详解】28米＝2800厘米；15米＝1500厘米 图上长：2800×＝28（厘米）；图上宽：1500×＝15（厘米） A．一块橡皮的长大约5厘米，宽大约2厘米，5厘米远小于28厘米；2厘米远小于15厘米，不符合题意。 B．一张乒乓球桌桌面长约为274厘米，宽约为152厘米；274厘米远大于28厘米；152厘米远大于15厘米，不符合题意。 C．一张课桌桌面长约60厘米，宽约40厘米；60厘米远大于28厘米；40厘米远大于15厘米，不符合题意。 D．一本数学书封面的长约为30厘米，宽约为18厘米，30厘米与28厘米接近；18厘米与15厘米接近，符合题意。 最接近一本数学书封面。 4．B 【分析】图形旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置和方向。根据图形旋转的性质，判断每个选项能否由图形①旋转得到。 【详解】A．将图形①绕中心顺时针旋转90°，可以得到选项A的图形，所以选项A能通过图形①旋转得到。 B．无论将图形①绕哪个点旋转多少度，都无法得到选项B的图形，所以选项B不能通过图形①旋转得到。 C．将图形①绕中心顺时针（或逆时针）旋转180°，可以得到选项C的图形，所以选项C能通过图形①旋转得到。 D．将图形①绕中心逆时针旋转90°，可以得到选项D的图形，所以选项D能通过图形①旋转得到。 因此，不能通过图形①旋转得到。 5．B 【分析】判断两种相关联的量是否成正比例，关键是看这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）是否一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果和或差一定，则不成比例。据此对各选项进行分析判断。 【详解】A．妙妙看《数学故事》，已看的页数和未看的页数；已看页数＋未看页数＝总页数（一定），和一定，已看页数与未看页数不成比例。 B．比例尺一定，图上距离和实际距离；图上距离∶实际距离＝比例尺（一定），图上距离和实际距离成正比例。 C．运送一批货物，平均每天运的吨数和需要的天数；平均每天运的吨数×需要的天数＝这批货物（一定），平均每天运的吨数和需要的天数成反比例。 D．圆的面积与这个圆的半径；圆的面积÷半径2＝π（一定），圆的面积与半径的平方成正比例，圆的面积和和这个圆的半径不成比例。 成正比例关系的是比例尺一定，图上距离和实际距离。 6．C 【分析】判断两个相关联的量是否成正比例，关键是看这两个量对应的比值是否一定。如果比值一定，则成正比例；如果乘积一定，则成反比例；如果和或差一定，则不成比例。据此对各选项进行分析。 【详解】A．（长＋宽）×2＝周长，长＋宽＝周长÷2（一定），和一定，长和宽不成比例。 B．圆柱的底面积×高＝圆柱的体积（一定），圆柱的底面积和高成反比例。 C．总价÷购买运动服的数量＝一套运动服178元（一定），购买运动服的数量和总价成正比例。 D．平均每天看的页数×天数＝《红楼梦》的总页数，他平均每天看的页数和天数成反比例。 两个量成正比例的是一套运动服是178元，购买运动服的数量和总价。 7．1∶100000/ 【分析】已知地图上两地的图上距离和实际距离，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1m＝100cm”，求出这幅地图的比例尺。 【详解】2cm∶2000m ＝2cm∶（2000×100）cm ＝2∶200000 ＝（2÷2）∶（200000÷2） ＝1∶100000 8． 等腰三角 94.2 【分析】根据圆锥的特性，从圆锥顶点沿着高竖直切开，切面是一个以底面直径为底的等腰三角形；如图： 切开后表面积一共增加了2个完全相同的三角形切面，因此1个切面的面积为：60÷2＝30平方厘米，三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，根据高＝三角形面积×2÷底，求出圆锥的高，代入公式：求出圆锥的体积即可。 【详解】根据分析：切面形状是等腰三角形； 截面积： 60÷2＝30（平方厘米） 高：30×2÷6 ＝60÷6 ＝10（厘米） 体积： ×3.14×（6÷2）2×10 ＝×3.14×32×10 ＝×3.14×9×10 ＝94.2（立方厘米） 9． 30∶1 1 【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，据此求出比例尺；再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，据此解答，注意单位换算。 【详解】6mm＝0.6cm 18∶0.6 ＝（18×10）∶（0.6×10） ＝180∶6 ＝（180÷6）∶（6÷6） ＝30∶1 3÷ ＝3÷30 ＝0.1（cm） 0.1cm＝1mm 10． 4 9 【分析】两种相关联的量，有相除的关系，且比值（也就是商）一定，这两种量就成正比例关系；两种相关联的量，有相乘的关系，且乘积一定，这两种量就成反比例关系。如果x和y成正比例，则x和y相对应的两个数有相除的关系，根据正比例的意义可列比例为，根据比例的基本性质，解此比例求出x的值。如果x和y成反比例，则x和y相对应的两个数有相乘的关系，根据反比例的意义可列比例为，利用等式的性质2求出x的值。 【详解】x和y成正比例，？处的值： 解： x和y成反比例，？处的值： 解： 11．4 【分析】从图中可知，圆锥形沙漏与圆柱形玻璃瓶的底面直径都是12cm，则底面半径都是6cm，根据圆的面积公式S＝πr2，可知它们的底面积相等；将圆锥形沙漏装满沙子后漏入空圆柱形玻璃瓶中，沙子的体积不变； 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，所以当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此解答。 【详解】12÷3＝4（厘米） 12． 正 12 【分析】在同一时间，同一地点，太阳光线与地面的夹角相同，因此竹竿高和影长成正比例，即竹竿高与影长的比值固定； 设教学楼的影长为x米，根据竹竿高∶影长＝教学楼高∶影长，列出关于x的比例式，求出x的值。 【详解】竿高和影长成正比例关系 解：设教学楼的实际高度约x米。 3∶4.2＝x∶16.8 4.2x＝3×16.8 4.2x＝50.4 x＝50.4÷4.2 x＝12 教学楼的实际高度约12米。 13． 4 11 【分析】要保证取到两个颜色相同的球，先考虑最不利的情况：前3次取出的球分别是红、黄、蓝三种颜色各1个，此时没有两个颜色相同的球，再取1个球时，无论这个球是哪种颜色，都会和之前取出的某一个球颜色相同； 要保证取出的球一定有黄色的球，先考虑最不利的情况：先把所有不是黄色的球全部取出，即5个红球、5个蓝球全部取出，此时取出的球里没有黄色的球，再取1个球时，只能是黄色的球。据此解答。 【详解】3＋1＝4（个） 因此，红黄蓝三种颜色的小球各5个，放入一个布袋里，至少取出4个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 5＋5＋1＝11（个） 因此，红黄蓝三种颜色的小球各5个，放入一个布袋里，至少取出11个球，可以保证取出的一定有黄色的球。 14．18 【分析】因为重合部分的面积是固定的，所以可以得出等量关系：三角形面积×＝圆面积×，进而根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），将上述等式变形，求出三角形面积与圆面积的面积比；再计算出三角形和圆面积的空白部分的份数，求出两者空白部分的份数差，对应22平方分米；再用除法求出一份量；最后用一份量乘三角形面积对应的份数，求出三角形面积。 【详解】根据题意可知：三角形面积×＝圆面积× 将三角形面积和看作比例的外项，圆面积和看作比例的内项，则可得到： 三角形面积∶圆面积＝∶＝（×90）∶（×90）＝9∶20 将三角形面积看作9份，三角形重合部分面积为9×＝2（份），三角形空白部分面积为9－2＝7（份） 圆的面积看作20份，圆的重合部分面积为20×＝2（份），圆的空白部分为20－2＝18（份） 一份量：22÷（18－7） ＝22÷11 ＝2（平方分米） 三角形面积：9×2＝18（平方分米） 15． 1，2，4，8，16 1∶2＝8∶16 【分析】根据列乘法算式的方法找出因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是16的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是16的因数； 根据比例的基本性质：两个内项之积等于两个外项之积，据此找出两组乘积是16（或8）的因数，并把它们分别作为比例的内项和外项即可。 【详解】16＝1×16＝2×8＝4×4 16的因数有：1，2，4，8，16； 1×16＝16，2×8＝16，把1和16当作外项，2和8当作内项，写出比例式是：1∶2＝8∶16；（答案不唯一） 16． 1∶4000000 700 【分析】线段比例尺1厘米代表实际40千米，先把千米换算成厘米写出数值比例尺，再用图上距离乘每厘米对应的实际距离算出总路程。 【详解】1千米＝100000厘米 40千米＝4000000厘米 比例尺是1∶4000000 17.5×40＝700（千米） 17．× 【分析】将比例4∶3＝9∶12，根据比例的基本性质，写成两内项积＝两外项积的形式，是4×9＝12×3即可，不是则不成立，据此分析。 【详解】4∶3＝9∶12，根据比例的基本性质，得不到4×9＝12×3，所以原题说法错误。 故答案为：× 18．√ 【分析】时钟面上有12个大格，时针转一周是360°，那么时针每旋转一大格的角度是360°÷12＝30°。 根据题意，时针从2开始，按顺时针方向旋转90°，那么时针旋转了90°÷30°＝3个大格，则时针指向5。 【详解】90°÷30°＝3 2＋3＝5 时针从2开始，按顺时针方向旋转90°应指向5。 原题说法正确。 故答案为：√ 19．× 【分析】根据平移与旋转的区别：平移和旋转都是物体或图形的位置发生变化而形状、大小不变。区别在于，平移时物体沿直线运动，本身方向不发生改变；旋转是物体绕着某一点或轴运动，本身方向发生了变化，据此判断。 【详解】拉抽屉的运动是平移现象，用钥匙开锁是旋转现象，原题干的说法是错误的。 故答案为：× 20．× 【分析】底面直径扩大到原来的2倍，底面半径也扩大到原来的2倍，S＝2πr2＋2πrh，V＝πr2h，根据圆柱的表面积及体积公式判断表面积及体积的变化进行解答。 【详解】设底面半径变化前后分别是1和2，高变化前后分别是1和2。 S原＝2π×12＋2π×1×1＝2π＋2π＝4π S后＝2π×22＋2π×2×2＝2π×4＋2π×4＝8π＋8π＝16π S后÷S原＝16π÷4π＝4 V原＝π×12×1＝π V后＝π×22×2＝π×4×2＝8π V后÷V原＝8π÷π＝8 所以，圆柱的表面积和体积分别扩大到原来的4倍和8倍，题目表述错误。 故答案为：× 21．√ 【分析】图形的放大或缩小是指围成图形的每条边按比例放大或缩小。已知一个边长是5cm的正方形按2∶1放大，那么放大后正方形的边长是cm；根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算，即可求出放大后正方形的面积。 【详解】5×2＝10（cm） 10×10＝100（cm2） 放大后的正方形的面积是100cm2。 故答案为：√ 22．√ 【分析】根据比例尺的意义可知，比例尺是1∶2000000表示图上1cm相当于实际2000000cm，根据进率1km＝100000cm换算单位即可。 【详解】2000000cm＝20km 一幅图的比例尺是1∶2000000，也就是图上1cm表示实际距离20km，原题说法正确。 故答案为：√ 23．17；1000；10； 0.87；； 【解析】略 24．；15.2；24 【分析】（1）从左往右依次计算即可； （2）先算除法，再算加法； （3）将写成，根据乘法分配律，先算101－1，再用乘这个差。 【详解】     ＝     ＝     12.7＋12.5÷5     ＝12.7＋2.5     ＝15.2     ＝ ＝ ＝ ＝24 25．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用等式的性质1，左右两边同时加上3.5，再利用等式的性质2，左右两边同时除以3.25求解。 （2）根据比例的基本性质，将原式转换为，再利用等式的性质2，左右两边同时除以1.2求解。 （3）根据比例的基本性质，将原式转换为，再利用等式的性质2，左右两边同时除以8求解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 26．4100克 【分析】根据题意可知，制造馎所需铜和锡的质量比是固定的，即铜的质量与锡的质量成正比例关系。已知锡的质量为820克，铜和锡的比是5∶1，设需要铜的质量为x克，根据“铜的质量∶锡的质量＝5∶1”列出比例式，再利用比例的基本性质（两个外项的积等于两个内项的积）进行求解。 【详解】解：设需要铜x克。 x∶820＝5∶1 x＝820×5 x＝4100 答：需要铜4100克。 27．329.7平方分米；628升 【分析】求制作水桶需要的铁皮面积，即求圆柱的表面积。因为水桶无盖，所以表面积等于侧面积加上一个底面的面积，即S＝2πrh＋πr2，π取3.14，代入数值求出水桶能装多少水，即求圆柱的容积。再根据圆柱体积公式V＝πr2h代入数值求出体积，注意体积单位立方分米与容积单位升的换算。 【详解】2×3.14×5×8＋3.14×52 ＝2×3.14×5×8＋3.14×25 ＝78.5＋251.2 ＝329.7（平方分米） 3.14×52×8 ＝3.14×25×8 ＝78.5×8 ＝628（立方分米） 628立方分米＝628升 答：做这样一个水桶至少需要铁皮329.7平方分米，最多可以装628升水。 28．5时 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，据此求出这条公路的实际长度；再根据时间＝路程÷速度，用这条公路的长度÷甲车与乙车的速度和，即可解答，注意单位换算。 【详解】2.1÷ ＝2.1×50000000 ＝105000000（厘米） 105000000厘米＝1050千米 1050÷（100＋110） ＝1050÷210 ＝5（时） 答：经过5时两车相遇。 29． 200杯 【分析】先根据“圆锥的体积＝×底面积×高”计算出圆锥形纸杯的体积；再根据“1升＝1000立方厘米”将体积单位换算成“升”；最后用水的总体积除以圆锥形纸杯的体积。 【详解】 （立方厘米） 93立方厘米＝0.093升 （杯） 答：至少能倒出200杯。 30．20π立方厘米 【分析】图中的组合图形以直线为轴快速旋转得到一个上面是圆锥，下面是圆柱的几何体。圆锥的底面半径是2厘米，高是（7－4）厘米，圆柱的底面半径是2厘米，高是4厘米。根据圆锥的体积V＝πr2h，圆柱的体积V＝πr2h计算出它们的体积之和即可。 【详解】7－4＝3（厘米） ×π×22×3＋π×22×4 ＝×π×4×3＋π×4×4 ＝4π＋16π ＝20π（立方厘米） 答：得到的立体图形的体积是20π立方厘米。 31．(1)376.8平方厘米 (2)2826立方厘米 【分析】（1）求笼屉的侧面积，利用圆柱侧面积公式：S＝πdh； （2）求笼屉的容积，利用圆柱容积公式：V＝πr2h。 【详解】（1）3.14×30×4 ＝94.2×4 ＝376.8（平方厘米） 答：这个笼屉的侧面积是376.8平方厘米。 （2）直径是30厘米，半径为30÷2＝15（厘米） 3.14×152×4 ＝3.14×15×15×4 ＝47.1×15×4 ＝706.5×4 ＝2826（立方厘米） 答：这个笼屉的容积是2826立方厘米。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $