2025-2026学年高二数学下学期期末专题复习——函数

**基本信息** 该练习通过基础巩固、能力提升、综合创新三层设计，覆盖函数概念、导数应用等核心知识点，从单一运算到综合建模，适配高二期末复习，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|函数概念、基本性质、简单运算|以选择1-8题为主，直接应用定义（如函数求值），强化抽象能力| |能力提升|导数应用、函数图像、多知识点结合|含多选（10-14题）及填空（16-17题），通过图像分析（第5题）、极值点判断（第9题）提升推理能力| |综合创新|含参问题、零点分析、实际应用|解答题（18-22题）聚焦单调性讨论（第20题）、切线定点证明（第21题），培养数学建模与创新意识|

1.已知函数f-oe,,>1,则/eg,2列=（) 3",x≤1 A.-1 B.0 C.10g,2 D.2 【答案】B 【解】因为0<log32<1,所以f1og32)=3e:2=2, 所以f(f(1og32)=f(2)=log(2-1)=log31=0. 2.若e“=2,e=50,则() A.a+b=100 B.b-a=25 C.ab=21n5 D 【答案】D 【解】因为e=2,e=50,所以a=ln2,b=n50,所以a+b=n2+ln50=lnl00,A选项 错误；b-a=ln50-ln2=n25,B选项错误；ab=ln2.ln50,C选项错误； b_h50=1oe,50=1og:2+1og:25=1+log:25>1+4=5,D选项正确. a In2 3.某云计算平台处理文件量N(单位：GB)的所需时间T=og3N(单位：min),其中k 为常数.已知处理文件量从9GB增加到729GB时，处理时间增加12mi;当处理文件量从 729GB增加到6561GB时，处理时间增加（) A.3min B.6min C.9min D.24min 【答案】B 【详解】由题意可得k1og729-klog,9=k(1og,3-1og32)=4k=12,解得k=3,所以当处 理文件量从729GB增加到6561GB时，处理时间增加 31og6561-31og3729=31og338-log33)=3×2=6min. 4.已知f(x)=e-ex,若f(x+1)+f(x-1)>0成立，则x的取值范围是（) A.(0,+0) B.(1,+9∞) C.（-1,+0） D.（-0,0)U(0,+0) 【详解】函数f(x)=e-ex的定义域为R,f(-x)=ex-e=-f(x),则函数f(x)是奇函数， 而函数y=e,y=-ex在R上都单调递增，则函数f(x)在R上单调递增， 不等式f(x+1)>-f(x-1)=f(-x+1),则x+1>-x+1,解得x>0, 所以×的取值范围是(0，+∞).故选：A 5.已知函数f(x)的部分图象如图，则f(x)的解析式可能是（) 【详解】由函数f(x)的图像，可得函数f(x)的定义域为R,且其图像关于原点对称， 320123x 即函数f(x)为奇函数，且当x→+o时，f(x)>0且f(x)→0， 对于A图数=的定义城为R,且. 所以函数f(x)为奇函数，且当x→+o时，f(x)>0且f(x)→0，所以A符合题意： 对F国数因的定义城为取，且小( 所以函数f(x)为偶函数，所以B不符合题意； 对于C,函数f(x)=six为最小周期为4的周期函数，所以c不符合题意： 对于D,函数f(x)=x血(x+I)的定义域为R,且满足 f(-x)=-x血(-x+1)=-x血(+1)=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数，当x→+o时，f(x)>0且f(x)→+o,所以D不符合题意. 6.曲线f(x)=e2r过坐标原点的切线方程为（) 1 A.y=-ex B.y=ex C.y=e2x D.y=2ex 【答案】D 【解】由f(x)=e2x,得f'(x)=2e2x设切点为t,e2“),则切线斜率k=f')=2e2. 切线方程为y-e2=2e2(x-t).将原点(0,0)代入得0-e2”=2e2(0-t),即-e2r=-2te2, 因为e2>0,所以-1=-21，解得1=)所以切线斜率k=2e2=2e,切线方程为y=2ex 故所求切线方程为y=2ex. 7.若经过点(0，-2)的直线1既与曲线y=lnx相切，也与曲线y=e-a(a∈R)相切，则a= A.1 B.1 C.2 D.e 【解】设曲线y=lnr的切点为(：，ns),则由y=, 可得切线方程为 1 x-+m字+m,因为切线过点0，-2，所以-1+2，解得 X 所以切线方程为y=ex-2;设曲线y=e-a的切点为(x2,e-a,由y'=e,所以切线的 斜率为k=e,因为直线1的方程为y=cx-2,可得e=e,解得x2=1,即切点(1，e-a)所 以切线方程为y-(e-a)=e(x-1),即y=ex-a,所以-a=-2,解得a=2. 8. 已知函数f)=+2 的最大值为1，则a为() e"+a 1 3 A. B.1 C. D.2 2 2 【答案】B 【解析】由选项知a>0,分母恒正.最大值为1，即x+2≤e+a对一切x成 立，且能取等.设h(x)=x+2-e,则h'(x)=1-e,当x=0时h(x)最 大，且h(0)=1,所以a=1,选 B. 9.函数f(x)=sinx-xcoSx在区间(-3π，3π)上的极值点个数为() A.4 B.5 c.6 D.7 |【答案】A 【详解】由函数f(x)=sinx-xcOSx,可得f'(x)=cosx-(cosx-xsinx)=xsinx, 令f'(x)=0,即xsinx=0,可得x=0或sinx=0,因为x∈（-3π，3π)， 可得x=-2π，-元，0，元，2元， 10.（多选)己知正数x,八，2满足x3=y4=z,则x,y,2的大小关系可能是（) A.x<Z<y B.x<y<Z C.y<x< D.<y<x 1 【解】设x3=y=z=k(k>0),则x=k3,y=k4,z=k5, 当k>1时，指数函数y=k单调递增，因为二> 号所以，，.即p: 当0<1时，指数画致y秋单调莲减因为好号所以<，即<： 故选：BD. 11.已知定义在R上的函数f(x)满足f2+x)=f(2-x),且f(x+1)=-f(x),则() A.f(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期是2 C.f(x)关于点(2,0)中心对称 D.f(x+3)是奇函数 【答案】A 【解】由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),周期为2， 但最小正周期不能判定，例函数∫(x)=0满足条件，但该函数没有最小正周期，故B错误： 由于周期为2，所以f(2+x)=f(x),f(2-x)=f(2+(-x)月=f(-x), 又f(2+x)=f(2-x),得f(x)=f(-x),所以f(x)是偶函数，A正确： 由f(2+x)=f(2-x)只能推出对称轴为x=2,无中心对称的推导依据，C错误： 令g(x)=f(x+3),由f(x)是偶函数且T=2, 得g(-x)=f(-x+3)=f(x-3)=f(x+1),又g(x)=f(x+3)=f(x+1), 所以g(x)=g(-x),所以f(x+3)为偶函数，D错误. 12.(多选)已知函数f(x)=x2+x+lnx存在两个极值点x、x2,则() 1 A.X1+x2>2 B.. 2 c.m的取值范围为(-∞，-2V2) D.m的取值范围为(-2V2,0) 【答案】BC 【解】函数f(x)=x2+mx+lnx的定义域为(0，+o),且f'(x)=2x+m+ +1_2r2++1 △=m2-8>0 由题意可知，关于x的方程2x2+mx+1=0有两个不等的正根x、,所以：+：，=- m>0, 1 562>0 解得m<-25,即实数m的取值范用为(2)，故+=究>5，A错D错，B对 c对. 13.(多选)已知函数f(x)=x-3x+m(m∈R),则() A.存在m,使得f(x)在R上是单调函数 B.若f(x)有三个不同的零点，则-2<m<2 【详解】函数f(x)=x3-3x+m,求导可得fx)=3x2-3, 令f'(x)=0,即3x2-3=0,解得x=±1，当x<-1时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 当-1<x<1时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x>1时，f'(x)>0,f(x)单调递增， f(x)极大值为f(-1)=m+2,f(x)极小值为f(1)=m-2, 选项A:函数f(x)在R上单调性发生了变化，所以f(x)不是单调函数； 选项B:函数f(x)要有三个不同的零点，则要求f(x)的极大值大于0且极小值小于0， 即(m+2>0 m20，解得-2<m<2; 13.(多选)已知函数f(x)=x3-3x+m(meR),则() A.存在m,使得f(x)在R上是单调函数 B.若f(x)有三个不同的零点，则-2<m<2 C.当m=2时，过原点且与曲线y=f(x)相切的直线恰有一条 D.若f(f(x)=0恰有9个不同的实数根，则m的取值范围关于原点对称 选项C:当m=2时，函数f(x)=x3-3x+2, 设切点坐标为(a,a3-3a+2),切线斜率为f'(a)=3a-3, 则切线方程为y-(a3-3a+2)=(3a2-3(xr-a),化简可得y=(3a2-3)x-2a3+2, 根据题目可知，切线经过原点，代入x=0,y=0可得-2a3+2=0,解得a=1, 因为a只有唯一解，所以当m=2时，过原点且与曲线y=f(x)相切的直线恰有一条； 13.(多选)已知函数f(x)=x3-3x+m(m∈R),则() A.存在m,使得f(x)在R上是单调函数 B.若f(x)有三个不同的零点，则-2<m<2 C.当m=2时，过原点且与曲线y=f(x)相切的直线恰有一条 D.若f(f(x)=0恰有9个不同的实数根，则m的取值范围关于原点对称 选项D:令t=f(x),要使f(f(x)=0有9个不同的实数根，则要求f(t)=0有3个不同的 实数根4，专，1，且每个f(x)=1,(i=1,2,3)有3个不同的实数根，设m满足题意，则方程 f(t)=1-3t+m=0的三个实数根1，均满足m-2<t<m+2,当参数为-m时，方程变为 P-3t-m=0,三个实数根为-t,此时要求根满足(-m)-2<-t<(-m)+2,该条件等价于 m-2<t<m+2,由于m和-m满足题意的条件完全相同，故m的取值范围关于原点对称. 14.(多选)已知函数f(x)=a心-x,g(x)=血2+x,则下列说法正确的是() A若)上0恒成立，则a[很+切 B.x=1是g(x)的极值点 C. 若函数=f()+g()恰有2个正零点，则a0 0.若关于x的不等式(+g)s0有解，则ae(m,U0日 【解】由题意可知：a≠0.对于选项A:若f(x)20恒成立，可得a≥￡恒成立， 令)。，则()-。号，令(0，解得x<1:令)<0，解得>1： 可知)在(，1)内单调递增，在L+切)内单调递减，则A()s), 可得a≥， 故A正确；对于选项B:若a<0,令>0，解得x<0, 此时g(x)的定义域为(-∞，0)，x=1不在定义域内，故B错误； 对于选项C:由题意可知：x>0,令2>0，解得a>0, 令y=f)+g()=(ae-+2+0,可得e++lna=e+ln, 构造h(x)=e+x,则h(x+lna)=h(nx), 因为h(x)在定义域(0，+oo)内单调递增，则x+lna=lnx,即-x+nx=lna, 构造(x)=-+血xx>0,则(y)=-1+1_1-x 令(x)<0,解得x>1;令(x)>0,解得0<x<1 可知k(x)在(0,1)内单调递增，在(1，+o)内单调递减，则k(x)≤k(1)=-1 即lna<-l,解得0<a<, 故C正确： e 所以aeo 对于选项D:令F(x)=yf(x)+g(x)=are-x2+ln+x, A提取文字一更多~ 若a<0,可知F(x)的定义域为(-0,0)，烂近-w时，F(x)趋近于-0，符合题意； 若a>0,可知F(x)的定义域为(0，+o), 令F(x)=aare-x2+ln+x≤0，可得e+l恤ra+x+lnx+lna≤er+lnx2, 由选项C可知：h(x)=e+x在定义域(0，+oo)内单调递增， 因为h(x+lnx+lna)≤h(nx2),则x+lnx+lna≤nx2=2lnx,即-x+lnx≥na, 1 可知-x+lnx≥lna有解，由选项c可得：-I≥lna,解得0<a≤-； e 综上所达：ae(-m,0U0 故D正确。 15.已知函数f(x)满足f(-x)=f(2+),当x∈(-o,]时，f(x)=e2x-e,则不等式 xf(x)>0的解集为 【答案】（-0,0)U(0,2) 【解】根据题意，因为函数f(x)满足f(-x)=f(2+x),所以函数f(x)的对称轴为直线x=1, 因为函数y=e2x在x∈(-o,上单调递增，函数y=e*在x∈(-∞，1上单调递减， 所以函数f(x)=e2x-e在x∈(-o,]上单调递增，则函数f(x)在x∈[1，+o)上单调递减， 由0-0得)-0.0等价于90成0 解得0<x<2或x<0,所以不等式xf(x)>0的解集为(-∞，0)U(0,2) 16.已知函数y=log(x-1)-2的图象恒过定点A,且函数f(x)=lnx-ax的图象在x=1处 的切线也经过点A,则a= 【详解】对函数y=log（x-1)-2,令x=2,则x-1=1,得y=-2.所以A(2,-2). 函数f(x)=nx-ax的定义域为(0，+∞），f()=-a.f'(x)=-a,所以f"()=1-a. 所以函数f(x)=lnx-ax的图象在x=1处的切线方程为y+a=(1-a)(x-1). 因为咳切线过点4，所以-2+a=1-Q2-,解得a= ,若函数1四)Enx+。 有两个极值，则实数a的取值范围为 【解】：函数f()r+。的定义域为0，+o),∫)！g+2=-+2 xx x3 :函数f()=lnr+日-是在0，+o)有两个极值， xx e)--+2-0在0回)有两个不相等的实数根， 即2-a心+2=0在(0，+o)有两个不相等的实数根，令g()=-心+2，对称轴为x=2: △=a2-8>0 0 要使x2-a+2=0在(0，+∞)有两个不相等的实数根，则需满足8>0 2 ,解得a>2√2， g(0)=2>0 综上， 实数a的取值范围为2V2,+∞） 18.已知f(x)=e+a-nr,其中a∈R,g(x)=cosx+-xsinx, (1)当a=-1时，求证：x=1是函数f(x)的极小值点： (2)求g(x)在[-π，π上的最小值； 【详解】K1)当a=1时，f()=e-mr,函数f(x)的定义域为(0，+o),则f"(w)=e_1 :y=e1在(0，+o)上单调递增，y=-二在(0，+o)上单调递增， :f'()=e1-在(0，+o）)上单调递增，：f)=e1-=0, ∴.当x∈(0,1)时，f(x)<f'(1)=0,则函数f(x)单调递减， 当x∈(1，+o)时，f'(x)>f'()=0,则函数f(x)单调递增， .x=1是函数f(x)的极小值点 18.已知f(x)=e+a-nx,其中a∈R,g(x)=cosx+sinr. (1)当a=-1时，求证：x=1是函数f(x)的极小值点； (2)求g(x)在[-元，上的最小值； (2)g(x)=cosx+xsinx,g(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx, 当x∈ -元2 时，g(x)≥0，函数g(x)单调递增， 当xe 0时，名四s0,÷函数g)单调递漫 当x∈( 时，g(x)≥0，∴函数g(x)单调递增， 当x 2π 时，g(x)≤0，函数g(x)单调递减， 又g(-)=-1,g(0)=1,g(π)=-1，∴.g(x)在[-π，π]上的最小值为-1. 己知函数f()-(a+x+-alnx.acR. 19.已知函数f(x)=)r2-(a+l)x+alnx.acR. (1)若a=-1,求函数f(x)的极值： (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)若函数y=f(x)+(a+1)x的最小值为0，求a的值. 【解】(1)当a=-1时，f()=)2-x,x>0,则/()=x-1--1--x+四 xx 当0<x<1时，f'(x)<0,当x>1时，f'(x)>0, 所以，(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单调递增， 所以，当x=1时，()有极小值∫)=】，无极大值 19.已知函数f()=2-(a+1)x+alx.acR. (1)若a=-1,求函数f(x)的极值： (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)若函数y=f(x)+(a+)x的最小值为0，求a的值. (2)fy)=x-a++9--(a+1x+a_-1x-o,>0) 1 若a≤0，则x∈(0,1)时f'(x)<0,f(x)单调递减，x∈(1，+o)时f'(x)>0,f(x)单调递增； 若0<a<1,则x∈(0，a)时f'(x)>0,f(x)单调递增， x∈(a,1)时f'(x)<0,f(x)单调递减，x∈(1，+o)时f'(x)>0,f(x)单调递增： 若a=1,则x∈(0，+o)时f'(x)≥0，f(x)单调递增； 若a>1,则x∈(0,1)时'(x)>0,f(x)单调递增， x∈(1，a)时f'(x)<0,f(x)单调递减，x∈(a,+oo)时f'(x)>0,f(x)单调递增 19.已知函数f()=-(a+x+alnx.acR. (1)若a=-1,求函数f(x)的极值： (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)若函数y=f(x)+(a+1)x的最小值为0，求a的值 (3)令h()=f()+(a+l)rr+or,方()=x+g-+a,x>0, 当a≥0时，H(x)≥0，函数h(x)在(0，+o)上单调递增，故无最小值 所以a<0,由h(x)=0得x=√a, 所以x∈(O,√a时H(x)<0,h(x)单调递减，x∈(Va,+∞时(x)>0,h(x)单调递增， 所以m=h(Na)=)a+aln a=0,所以n(-a)=la=-e. 20己知函数f(x)=xem. (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)判断f(x)的单调性； (3)若g(x)=f(x)-1在(0，+o)上有两个零点，求实数a的取值范围. 【解】(1)当a=0时，f(x)=x,f'(x)=5x4, 由题意知切点为(1,1)，.切线斜率k=(1)=5,切线方程为：y-1=5(x-1),即5x-y-4=0; 20已知函数f(x)=xem (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)判断f(x)的单调性： (2)f()的定义域为R,f'(y=(5- 当a=0时，f'(x)=5x≥0，f(x)在R上单调递增： 当a>0时，x∈m》时，了)≥0，/)单调递增，x∈(+切时，了()<0，f()单调 逆减：当a<0时，x(时，了(<0，)单调递减，x怎+切时.f(≥0，f() 单调递增； 综上：当a=0时，f(x)在R上单调递增， 当a>0时，f在m 上单调递增，在 上单调递减， 5 当a<0时，f(x)在 -00, 上单调递减，在 -,+00 上单调递增： (3)法一：g(x)=f(x)-1=xem-1,x∈(0，+0)， 5lnx 令g(x)=0,得xem=1,即x=e,.5nr=a,得a= 令-到-$0四，令=0，得=c x2 当x∈(0，e)时，H(x)>0,h(x)单调递增；当x∈(e,+oo)时，(x)<0,h(x)单调递减， m=he)-。.又h0)=0,当x>1时，h>0,当0<x<1时，M时<0。 x→+0时，h(x)→0，当x>0且x→0时，h(x)→-0， ∴.当0<a<时，g()有2个零点，.实数a的取值范围为0， e 21.设函数f()=ax++(a-1)lnr-2. (1)证明：曲线y=f(x)在点(1，(1)处的切线过定点，并求出该定点坐标； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 【解1a因为r)a+,e0),所以0=2a-2,又0=a-1, 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为：y-(a-1)=2(a-1)(x-1), 即y=2a-x-a+1,即y=2a-x》, 所以曲线y=f(x)在点(1f()处的切线过定点，0 2)f)=a-+a-a-x+l,x0,+o. 当a≤0时，f'(x)<0,则f(x)在(0，+o)上单调递减，此时f(x)最多有一个零点，不满足 题意；当a>0时，令f(x)>0,解得x>1，令f'(x)<0,解得0<x<, a 于是7)在0日》上单调道减，在合切 上单调递增， 所以r(-f日a。+a+a-h。2=(a-0-a）, 当x→0时，f(x)→+0，当x→+∞时，f(x)→+0，又因为f(x)有两个零点， 所以f日=(a-11-lo)<0,即(a-1a-刂>0，解得0<a<1或a>e, 因此，a的取值范围为(0,1)U(e,+oo): 22.已知函数f(x)=(1-2x)nx+ax-1. (1)若a=1,求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有且仅有1个零点，求a的值； 【详解】(1)当a=1时，f(x)=(1-2x)lnx+x-1,定义域为(0，+o), 求导得到f'(y)=-21nx+1-2x+1=-2nr+-1, 令h)=2nx+1,则当xe@+m)时()-子<0， 所以h(x)在(0，+o)内单调递减，且h(1)=0, 即f'(x)在(0，+∞)内单调递减，且f'(1)=0, 所以当x∈(0,1)时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增； 当x∈(1，+o)时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减； 综上所述，f(x)单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，+o). (2)因为f(x)有且仅有1个零点，所以方程(1-2x)lnx+ax-1=0有且仅有1个解， 即a=2lnx- 血x+上有且仅有1个解，令g()=2nx-血 +二，x>0, xx xx 则g')=2x-2+x,令m=2x-2+1n,则m)=2+>0, x2 所以m(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又因为m(1)=0, 所以当0<x<1时，m(x)<0,即g(x)<0,g(x)单调递减： 当x>1时，m(x)>0,即g(x)>0,g(x)单调递增； 所以函数g(x)在x=1处取得极小值也是最小值g(1)=1, 当x→0*时，g(x)→+0，x→+∞时，g(x)→+0， Inx 1 因为a=2lnx-+二有且仅有1个解，所以a=1. xx 2026年高二数学期末复习（函数） 1．已知函数，则（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】B 【详解】因为，所以，所以. 2．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以，，所以，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误； ，D选项正确. 3．某云计算平台处理文件量（单位：GB）的所需时间（单位：），其中为常数.已知处理文件量从9GB增加到729GB时，处理时间增加12min；当处理文件量从729GB增加到6561GB时，处理时间增加（    ） A．3min B．6min C．9min D．24min 【答案】B 【详解】由题意可得，解得，所以当处理文件量从729GB增加到6561GB时，处理时间增加. 4．已知，若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为R，，则函数是奇函数， 而函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 不等式，则，解得， 所以x的取值范围是.故选：A 5．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图像，可得函数的定义域为，且其图像关于原点对称， 即函数为奇函数，且当时，且， 对于A，函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，且当时，且，所以A符合题意； 对于B，函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，所以B不符合题意； 对于C，函数为最小周期为的周期函数，所以C不符合题意； 对于D，函数的定义域为，且满足， 所以函数为奇函数，当时，且，所以D不符合题意. 6．曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，得 .设切点为，则切线斜率.切线方程为 .将原点代入得，即，因为，所以，解得 .所以切线斜率，切线方程为.故所求切线方程为. 7．若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则 A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】设曲线的切点为，则由，可得切线方程为，因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为；设曲线的切点为，由，所以切线的斜率为，因为直线的方程为，可得，解得，即切点所以切线方程为，即，所以，解得. 8．已知函数的最大值为1，则为（ ） A． B．1 C． D．2 9. 函数在区间上的极值点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【详解】由函数，可得， 令，即，可得或， 因为，可得， 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 在上递增，在上递减，在上递增， 其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点， 所以在区间的极值点为，共有4个.故选：A. 10．（多选）已知正数满足，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设，则， 当时，指数函数单调递增，因为，所以，即； 当时，指数函数单调递减，因为，所以，即； 故选：BD. 11．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期是2 C．关于点中心对称 D．是奇函数 【答案】A 【详解】由，得，周期为2， 但最小正周期不能判定，例如函数满足题设条件，但该函数没有最小正周期，故B错误；由于周期为2，所以，， 又，得，所以是偶函数，A正确； 由只能推出对称轴为，无中心对称的推导依据，C错误； 令，由是偶函数且， 得，又， 所以，所以为偶函数，D错误. 12．（多选）已知函数存在两个极值点、，则（   ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BC 【详解】函数的定义域为，且， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根、，所以， 解得，即实数的取值范围为，故，A错D错，B对C对. 13．（多选）已知函数，则（   ） A．存在，使得在上是单调函数 B．若有三个不同的零点，则 C．当 时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D．若 恰有个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 【答案】BCD 【详解】函数，求导可得， 令，即，解得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 极大值为，极小值为， 选项A：函数在上单调性发生了变化，所以不是单调函数； 选项B：函数要有三个不同的零点，则要求的极大值大于且极小值小于， 即，解得； 选项C：当时，函数， 设切点坐标为，切线斜率为， 则切线方程为，化简可得， 根据题目可知，切线经过原点，代入，可得，解得， 因为只有唯一解，所以当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条； 选项D：令，要使有个不同的实数根，则要求有个不同的实数根，，，且每个有个不同的实数根，设满足题意，则方程的三个实数根均满足，当参数为时，方程变为，三个实数根为， 此时要求根满足，该条件等价于， 由于和满足题意的条件完全相同，故的取值范围关于原点对称. 14．（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．是的极值点 C．若函数恰有2个正零点，则 D．若关于x的不等式有解，则 【答案】ACD 【详解】由题意可知：.对于选项A：若恒成立，可得恒成立， 令，则，令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，即，故A正确；对于选项B：若，令，解得， 此时的定义域为，不在定义域内，故B错误； 对于选项C：由题意可知：，令，解得， 令，可得， 构造，则， 因为在定义域内单调递增，则，即， 构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则 即，解得，所以，故C正确； 对于选项D：令， 若，可知的定义域为，当趋近于时，趋近于，符合题意； 若，可知的定义域为， 令，可得， 由选项C可知：在定义域内单调递增， 因为，则，即， 可知有解，由选项C可得：，解得； 综上所述：，故D正确. 15．已知函数满足，当时，，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】根据题意，因为函数满足，所以函数的对称轴为直线，因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 由得，等价于或， 解得或，所以不等式的解集为. 16．已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 【答案】/ 【详解】对函数，令，则，得.所以. 函数的定义域为，.，所以. 所以函数的图象在处的切线方程为. 因为该切线过点，所以，解得. 17．若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】函数的定义域为，， 函数在有两个极值， 在有两个不相等的实数根， 即在有两个不相等的实数根，令，对称轴为， 要使在有两个不相等的实数根，则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 18. 已知，其中． (1)当时，求证：是函数的极小值点； (2)求在上的最小值； 【详解】（1）当时，，函数的定义域为，则， ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增，∵， ∴当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， ∴是函数的极小值点． （2），则， 当时，，∴函数单调递增， 当时，，∴函数单调递减， 当时，，∴函数单调递增， 当时，，∴函数单调递减， 又，，， ∴在上的最小值为． 19. 已知函数. (1)若，求函数的极值；(2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. （2） 若，则时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增， 时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增； 若，则时单调递增， 时单调递减，时单调递增 （3）令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以，所以. 20. 已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)判断的单调性； (3)若在上有两个零点，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，，， 由题意知切点为，切线斜率，切线方程为：，即； （2）的定义域为，， 当时，在上单调递增； 当时，时，单调递增，时，单调递减；当时，时，单调递减，时，单调递增； 综上：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （3）法一：， 令，得，即，得， 令，令，得， 当时，单调递增；当时，单调递减， ．又，当时，，当时，， 时，，当且时，， 当时，有2个零点，实数的取值范围为； 21．设函数. (1)证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，(2) 【详解】（1）因为，，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为：， 即，即， 所以曲线在点处的切线过定点； （2），， 当时，，则在上单调递减，此时最多有一个零点，不满足题意；当时，令，解得，令，解得， 于是在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，，又因为有两个零点， 所以，即，解得或， 因此，的取值范围为. 22．已知函数． (1)若，求的单调区间；(2)若有且仅有1个零点，求的值； (3)若存在，使得对任意恒成立，证明：． 【答案】(1)的单调递增区间为 ，单调递减区间为.(2)(3)证明见解析； 【详解】（1）当时，，定义域为， 求导得到， 令，则当时， 所以在内单调递减，且， 即在内单调递减，且， 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 综上所述，单调递增区间为 ，单调递减区间为. （2）因为有且仅有1个零点， 所以方程有且仅有1个解， 即有且仅有1个解， 令， ， 则， 令，则， 所以在区间 上单调递增， 又因为 ， 所以当 时，，即，单调递减； 当 时，，即，单调递增； 所以函数在处取得极小值也是最小值， 当时，，时，， 因为有且仅有1个解，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二数学期末专题复习（函数） 1．已知函数，则（   ） A． B．0 C． D．2 2．若，，则（    ） A． B． C． D． 3．某云计算平台处理文件量（单位：GB）的所需时间（单位：），其中为常数.已知处理文件量从9GB增加到729GB时，处理时间增加12min；当处理文件量从729GB增加到6561GB时，处理时间增加（    ） A．3min B．6min C．9min D．24min 4．已知，若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 6．曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 7．若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则 A． B．1 C．2 D． 8．已知函数的最大值为1，则为（ ） A． B．1 C． D．2 9. 函数在区间上的极值点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10．（多选）已知正数满足，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 11．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．是偶函数 B．的最小正周期是2 C．关于点中心对称 D．是奇函数 12．（多选）已知函数存在两个极值点、，则（   ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 13．（多选）已知函数，则（   ） A．存在，使得在上是单调函数 B．若有三个不同的零点，则 C．当 时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D．若 恰有个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 14．（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．是的极值点 C．若函数恰有2个正零点，则 D．若关于x的不等式有解，则 15．已知函数满足，当时，，则不等式的解集为______． 16． 已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 17．若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________. 18. 已知，其中． (1)当时，求证：是函数的极小值点； (2)求在上的最小值； 19. 已知函数. (1)若，求函数的极值；(2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值. 20. 已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)判断的单调性； (3)若在上有两个零点，求实数的取值范围． 21．设函数. (1)证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标； (2)若有两个零点，求的取值范围. 22．已知函数． (1)若，求的单调区间；(2)若有且仅有1个零点，求的值； (3)若存在，使得对任意恒成立，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $