6.1.3离差平方和、方差与标准差-课件-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“离差平方和、方差与标准差”，系统讲解其概念、公式及刻画数据波动的统计意义。通过复习集中趋势统计量，以射击成绩实例设问，搭建从集中到离散的知识支架。 特色在于结合数学眼光观察数据波动，通过射击成绩比较等实例引导探究；以数学思维推导公式，强化运算与推理；用数学语言规范表达统计量意义。含分层练习、易错点总结，助学生理解应用，教师可高效开展教学。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 6.1.3离差平方和、方差与标准差 第六章 数据的分析 北师大版八年级上册6.1.3 离差平方和、方差与标准差 练习题 本节核心考点：掌握离差、离差平方和、方差、标准差的概念与计算公式，理解其统计意义——用来刻画一组数据的波动大小、稳定程度，数据越稳定，方差、标准差越小，是本章数据分析重难点、期末必考题型。 核心知识点（必背） 设一组数据 $$x_1,x_2,\dots,x_n$$，平均数为 $$\bar{x}$$ 1. 离差：每个数据与平均数的差 $$x_i-\bar{x}$$，反映单个数据偏离平均水平的大小。 2. 离差平方和：所有数据离差平方的总和 $$Q=(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2$$ 3. 方差：离差平方和的平均值 $$s^2=\dfrac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2\right]$$ 4. 标准差：方差的算术平方根 $$s=\sqrt{\dfrac{1}{n}\left[(x_1-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2\right]}$$ 5. 波动规律：方差、标准差越小，数据波动越小、越稳定；越大则波动越大、数据越杂乱。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 数据与平均数的差叫做________，所有离差平方的总和叫做________。 2. 方差是离差平方和的________，标准差是________的算术平方根。 3. 一组数据方差越小，说明数据波动越________，整体越________。 4. 数据2、4、6的平均数是________，各数据的离差分别为________。 5. 若一组数据方差为0，则说明这组数据________。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 用来判断一组数据稳定程度的统计量是（） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 2. 关于方差和标准差，下列说法正确的是（） A. 方差越大，数据越稳定 B. 标准差越小，波动越小 C. 方差一定为负数 D. 标准差可以为负数 3. 两组数据：甲组方差0.2，乙组方差1.5，则（） A. 甲组更稳定 B. 乙组更稳定 C. 两组一样 D. 无法判断 4. 离差的和一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 不一定 5. 标准差的作用是（） A. 表示平均水平 B. 表示集中趋势 C. 表示数据波动大小 D. 表示数据多少 三、解答应用题（共60分） 1.（20分）求数据：1、3、5、7、9 的离差平方和、方差、标准差。 2.（20分）已知一组数据：4、6、6、8，求这组数据的方差与标准差。 3.（20分）甲乙两名同学5次测试成绩如下： 甲：85、87、86、88、84 乙：82、90、84、90、84 分别求出两人方差，判断谁的成绩更稳定。 四、参考答案与详细解析 填空题答案 1. 离差、离差平方和 2. 平均值、方差 3. 小、稳定 4. 4、$$-2,0,2$$ 5. 全部相同 选择题答案 1.C 2.B 3.A 4.C 5.C 解答题详细解析 1. 解： 平均数 $$\bar{x}=\dfrac{1+3+5+7+9}{5}=5$$ 离差分别为：$$-4,-2,0,2,4$$ 离差平方和：$$(-4)^2+(-2)^2+0^2+2^2+4^2=16+4+0+4+16=40$$ 方差：$$s^2=\dfrac{40}{5}=8$$ 标准差：$$s=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$ 答：离差平方和为40，方差为8，标准差为$$2\sqrt{2}$$。 2. 解： 平均数 $$\bar{x}=\dfrac{4+6+6+8}{4}=6$$ 离差平方和：$$(4-6)^2+(6-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2=4+0+0+4=8$$ 方差：$$s^2=\dfrac{8}{4}=2$$ 标准差：$$s=\sqrt{2}$$ 答：方差为2，标准差为$$\sqrt{2}$$。 3. 解： 甲平均数：$$\bar{x}_甲=\dfrac{85+87+86+88+84}{5}=86$$ 甲方差： $$s^2_甲=\dfrac{1}{5}[(85-86)^2+(87-86)^2+(86-86)^2+(88-86)^2+(84-86)^2]$$ $$=\dfrac{1}{5}(1+1+0+4+4)=\dfrac{10}{5}=2$$ 乙平均数：$$\bar{x}_乙=\dfrac{82+90+84+90+84}{5}=86$$ 乙方差： $$s^2_乙=\dfrac{1}{5}[(82-86)^2+(90-86)^2+(84-86)^2+(90-86)^2+(84-86)^2]$$ $$=\dfrac{1}{5}(16+16+4+16+4)=\dfrac{56}{5}=11.2$$ 因为 $$2<11.2$$，所以甲成绩更稳定。 答：甲方差为2，乙方差为11.2，甲成绩更稳定。 五、易错点总结 1. 概念混淆：平均数、众数看集中趋势，方差、标准差看波动稳定性，用途完全不同； 2. 公式错误：方差是平方和除以数据个数，忘记除以n是最常见扣分； 3. 正负误区：离差有正有负，但离差平方和、方差、标准差永远非负； 4. 规律记反：方差越小越稳定，很多学生记成“方差大更稳定”； 5. 审题失误：题目问标准差，很多同学只算出方差忘记开根号。 复习导入 一般地，若n个数x1, x2, …, xn的权分别是f1,f2,…,fn ，则 就是这n个数的加权平均数. 一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 我们学习了上面三个量是用来刻画数据的集中趋势的，那数据的离散程度如何表示呢？ 一级标题：黑体， 2 新知探索 在本节一开始的射击问题中，甲与丁每次的射击成绩如图所示，他们的平均成绩都是 8 环，两个人的射击表现一样吗？你对甲、丁的射击表现有什么评价？ （1）你觉得谁发挥得更稳定？你的理由是什么？ （2）你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗？与同伴进行交流. 甲，因为数据更为集中. 在实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况. 小 结 在统计学里，数据的离散程度可以用离差平方和、方差或标准差等统计量来刻画. 离差平方和： 方差： 其中，是x1，x2，…，xn的平均数. 一般而言，一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定. 标准差： 各个数据与它们平均数之差的平方和. 各个数据与它们平均数之差的平方的平均数. 方差的算术平方根. 典例精析 例2 计算图中甲射击成绩的标准差（结果精确到 0.01环）. 所以，甲射击成绩的标准差约为 1.04 环. 用计算器求数据的标准差 使用科学计算器可以很方便地计算一组数据的标准差，大致步骤是：进入统计计算状态，输入数据，按键得出标准差. （1）依次按键 即可进入统计计算状态； （2）按键 就可开始输入数据； （3）按键得出标准差. 思考·交流 （1）计算图中丙射击成绩的方差，并对甲、丙的射击成绩进行比较. （2）丁又进行了几次射击，这时他所有射击成绩的平均数没变，但方差变小了. 你认为丁后面几次射击的成绩有什么特点？与同伴进行交流. （甲） （丙） 1. 某跳远队准备从甲、乙、丙、丁4名运动员中选取1名成绩 优异且发挥稳定的运动员参加比赛，他们成绩的平均数和方 差如下：， ， ， ，则应选择的运动员是 ( ) C A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 返回 中考考法 10 2. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名 选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则 和 的大小关系是( ) A A. B. C. D. 无法确定 返回 中考考法 11 3. 已知一组数据33，47，47， ，52，56，其中一个两位 数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的 计算结果与被涂污数字无关的是( ) C A. 平均数 B. 离差平方和 C. 众数 D. 方差 返回 中考考法 12 4. 某小组五位同学参加某次考试（满分20分）的平均成绩是 16分，其中三位男生成绩的方差为6，两位女生的成绩分别 为17分、15分，则这五位同学成绩的标准差为( ) B A. 分 B. 2分 C. 分 D. 6分 中考考法 13 5.已知一个样本，0，2， ，3，平均数为2，则这个样本 的离差平方和是____，方差是___，标准差是____. 30 6 【点拨】根据题意得 ，所以 .所以离差平方和是 ， 所以方差是，所以标准差是 . 返回 中考考法 14 6.甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下： 甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178， 179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180. 中考考法 15 （1）将下表填完整： 身高/厘米 176 177 178 179 180 甲队人数 0 3 4 0 乙队人数 2 1 1 （2）甲队队员身高的平均数为_____厘米，乙队队员身高的 平均数为_____厘米. 178 178 3 4 2 中考考法 16 （3）你认为哪支仪仗队身高更为整齐？请从方差的角度说 明理由. 【解】 , . 因为 ， 所以甲仪仗队身高更为整齐. 返回 中考考法 17 7. ［2025邢台期中］在田径运动会“100米短跑”比赛后，嘉嘉 帮助老师将20个运动员的成绩录入电脑，得到平均成绩为13.8 秒，方差为3.64.后来老师核查时发现其中有2个成绩录入有误， 一个错录为9秒，实际成绩是12秒；另一个错录为17秒，实际 成绩是14秒，并且还漏掉了一个运动员的成绩（即嘉嘉实际按 19个运动员的成绩计算），且漏掉的运动员的成绩和算错的平 均成绩一样，老师将错录的2个成绩进行了更正，并加上了漏 掉的运动员的成绩，更正后实际成绩的方差是 ，则( ) B A. B. C. D. 无法判断 中考考法 18 课堂小结 数据的离散程度 离差平方和 方 差 标准差 $