4.3一次函数的图象 同步练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦一次函数图象与性质，分层梯度清晰，从基础概念辨析到综合应用拓展，适配课时巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念与性质|单选1-3直接考查正比例函数定义、一次函数增减性，夯实抽象能力| |中档|性质综合与简单应用|填空14结合性质与待定系数法，解答17-18训练图象变换与点共线判断，发展推理意识| |提升|综合应用与拓展|解答24融合图象、面积计算与动态问题，培养模型意识与几何直观，体现数学思维进阶|

4.3一次函数的图象 同步练习 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如果正比例函数y＝（a﹣1）x（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a＜1 C．a＜0 D．a＞0 2．对于函数 （k是常数， ），下列说法错误的是（　　） A．该函数是正比例函数 B．该函数图象过 C．该函数图象经过二、四象限 D．y随着x的增大而增大 3．对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（　　） A．它的图象必经过点(1，3) B．y的值随x值的增大而增大 C．当x＞0时，y＜0 D．它的图象与x轴的交点坐标为(，0) 4．已知实数m＜1，则一次函数y＝（m﹣1）x+3﹣m图象经过的象限是（　　） A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四 5．给出下列函数：①y＝﹣3x+2；②y＝；③y＝2x2；④y＝﹣5(x﹣1)2，上述函数中满足“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 6．在平面直角坐标系中，若点(x1，－1)，(x2，－2)，(x3，1)都在直线y=－2x+b上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1>x2>x3 B．x3>x2>x1 C．x2>x1>x3 D．x2>x3>x1 7．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法： ①对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限； ③不等式ax+b＞cx+d的解集是x＞3； ④d﹣b＝3（a﹣c）.其中正确的有（　　） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．②③ 8．若式子 有意义，则一次函数 的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．把直线y＝3x向下平移2个单位，得到的直线是（　　） A．y＝3x﹣2 B．y＝3（x﹣2） C．y＝3x+2 D．y＝3（x+2） 10．已知直线 交x轴于点 ，交 轴于点 ，直线 与直线 关于x轴对称，将直线 向下平移8个单位得到直线 ，则直线 与直线 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知正比例函数的图象上有两点、，若，则与的大小关系是　 　. 12．已知 M（1， a ）和 N（2， b ）是一次函数 y＝－x＋1 图象上的两点，则 a　 　b （填“＞”、“＜”或“＝”）. 13．一次函数，则函数在y轴上的截距为　 　． 14．请写出符合以下两个条件的一个函数解析式　 　.①过点（－2，1），②在第二象限内，y随x增大而增大. 15．若y＝（m-2）x|m-2|﹣5是关于x的一次函数，且y随x增大而减小，则常数m的值为　 　. 16．在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x＋m－1的图象向右平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为　 　． 三、解答题（共8题，共52分） 17．直线l的解析式为y=-2x+2，分别交x轴、y轴于点A，B． ⑴写出A，B两点的坐标，并画出直线l的图象； ⑵将直线l向上平移4个单位得到l1，l2交x轴于点C．作出l1的图象，并求l1的解析式． 18．在平面直角坐标系中，判断A（1，3），B（－2，0），C（－4，－2）三点是否在同一直线上，并说明理由. 19．已知直线 与直线 的交点 的横坐标为3，与直线 的交点 的纵坐标为 ，求直线 的函数关系式. 20．已知y＝y1+y2，其中y1与x﹣3成正比例，y2与x2+1成正比例，且当x＝0时，y＝﹣4，当x＝﹣1时，y＝﹣6． （1）求y与x的函数关系式； （2）判断点A（1，﹣4）是否在此函数图象上，并说明理由． 21．设函数y1＝ax+b，y2＝bx+a（a，b为常数，ab≠0且a≠b），函数y1和y2的图象的交点为点P. （1）求点P的横坐标. （2）已知点P在第一象限，函数y2的值随x的增大而增大. ①当x＝2时，y2﹣y1＝2，求a的取值范围. ②若点P的坐标是（1，1），且a＞b，求证：当x＝2时，y1﹣y2＜ 22．已知一次函数的图象经过点 . （1）求一次函数的表达式； （2）若点 、 在一次函数的图象上， ，求a的取值范围； （3）过原点O的直线恰好把 的面积分成相等的两部分，直接写出这条直线对应的函数表达式. 23．已知一次函数 ． （1）k为何值时，图象经过原点？ （2）将该一次函数向上平移5个单位长度后得到的函数图象经过点(2，9)，求平移后的函数的解析式． 24．如图，直线EF与x轴、y轴分别交于点E（-8，0），F（0，6）． （1）求直线EF的函数表达式； （2）若点A的坐标为（-6，0），点P（m，n ）在线段EF上（不与点E重合） ①求△OPA的面积S与m的函数表达式； ②求当△OPA的面积为9时，点P的坐标； ③求当△OPA的面积与△OPF的面积相等时，点P的坐标． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】正比例函数的图象和性质 【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝（a﹣1）x（a是常数）的图象在第一、三象限 ∴a﹣1＞0 ∴a＞1 故答案为：A. 【分析】根据正比例函数y=kx的图象，当k＞0时，图象经过一、三象限；当k＜0时，图象经过二、四象限，由此可以得到a的取值范围. 2．【答案】D 【知识点】正比例函数的图象和性质 【解析】【解答】A.该函数符合正比例函数定义，不符合题意； B.当 ，不符合题意； C. 由 （k是常数， ），是负数，则该函数图象经过二、四象限，不符合题意； D. y随着x的增大而减小，符合题意； 故答案为：D 【分析】根据正比例函数的性质和图象逐项判断即可。 3．【答案】D 【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质 【解析】【解答】解：A.当x=1时，y=-3×1+1=-2， ∴一次函数y=-3x+1的图象不经过点（1，3），该选项不符合题意； B.∵k=-3＜0， ∴y的值随x的增大而减小，该选项不符合题意； C.∵当x=0时，y=-3×0+1=1，即经过点（0，1），且k=-3＜0， ∴当x＞0时，y＜1，该选项不符合题意； D.当y=0时，-3x+1=0，解得：x=， ∴一次函数y=-3x+1的图象与x轴的交点坐标为（，0）. 故答案为：D. 【分析】令x=1，求出y的值，据此判断A；根据一次函数的性质可判断B；令x=0，求出y的值，然后结合一次函数的性质可判断C；令y=0，求出x的值，据此可得一次函数图象与x轴的交点坐标. 4．【答案】D 【知识点】一次函数的图象 【解析】【解答】解：∵m＜1， ∴m-1＜0，3-m＞0， ∴一次函数y＝（m﹣1）x+3﹣m图象经过第一、二、四象限. 故答案为：D. 【分析】根据题意得出m-1＜0，3-m＞0，再根据一次函数的图象和性质即可得出答案. 5．【答案】C 【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax^2的性质；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质 【解析】【解答】解：①y＝﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意； ②y＝，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意； ③y＝2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意； ④y＝﹣5(x﹣1)2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】y=kx+b（k≠0），当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小；y=（k≠0），当k>0时，图象位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大； y=ax2（a≠0），当a>0、x>0时，y随x的增大而增大；当a>0、x<0时，y随x的增大而减小；当a<0、x<0时，y随x的增大而增大；当a<0、x>0时，y随x的增大而减小；y=a(x-h)2+k（a≠0），当a>0、x>h时，y随x的增大而增大；当a>0、x<h时，y随x的增大而减小；当a<0、x<h时，y随x的增大而增大；当a<0、x>h时，y随x的增大而减小. 6．【答案】C 【知识点】一次函数的性质 【解析】【解答】解：∵y=－2x+b中k=-2＜0 ∴y随x的增大而减小 ∵-2＜-1＜1 ∴x2>x1>x3. 故答案为：C. 【分析】利用一次函数的增减性，可知y随x的增大而减小，由此可得到x1，x2，x3的大小关系 . 7．【答案】C 【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系 【解析】【解答】解：由图象可得：对于函数y1=ax+b来说，y随x的增大而减小，故①说法正确； 由于a＜0，d＜0，所以函数y2=ax+d的图象经过第二，三，四象限，即不经过第一象限，故②说法正确， 由图象可得当x＜3时，一次函数y1=ax+b图象在y2=cx+d的图象上方， ∴ax+b＞cx+d的解集是x＜3，故③说法不正确； ∵一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象的交点的横坐标为3， ∴3a+b=3c+d ∴3a-3c=d-b， ∴d-b=3（a-c），故④说法正确. 故答案为：C. 【分析】由图象可得：对于函数y1=ax+b来说，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，据此判断①；对于函数y1=ax+b来说，图象经过第二、四象限，得a＜0，对于y2＝cx+d图象交y轴的负半轴，得 d＜0，则函数y=ax+d的图象经过第二，三，四象限，据此判断②；找出函数y1在y2上方部分所对应的x的范围，据此判断③；根据交点的横坐标可得3a+b=3c+d，变形可判断④. 8．【答案】A 【知识点】零指数幂；二次根式有意义的条件；一次函数图象、性质与系数的关系 【解析】【解答】解：∵式子 有意义， ∴ 解得：k＞2， ∴ ＞0， ＜0， ∴一次函数 的图象过一、三、四象限． 故答案为：A． 【分析】根据二次根式和0指数幂有意义的条件列出不等式组求出k的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系逐项判断即可。 9．【答案】A 【知识点】一次函数图象与几何变换 【解析】【解答】解： 把直线y＝3x向下平移2个单位， 可得y＝3x﹣2. 故答案为：A. 【分析】将一次函数y=kx+b向下平移m个单位，可得y=kx+b-m，据此解答. 10．【答案】A 【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题 【解析】【解答】解：设直线 的解析式为 ， 把点 ，点 代入，得： ，解得： ， ∴直线 的解析式为 ， ∵将直线 向下平移8个单位得到直线 ， ∴直线 的解析式为 ， ∵点 关于x轴对称的点为 ， 设直线 的解析式为 ， 把点 ，点 代入，得： ，解得： ， ∴直线 的解析式为 ， 将直线 与直线 的解析式联立，得： ，解得： ， ∴直线 与直线 的交点坐标为 . 故答案为：A. 【分析】利用待定系数法求出直线l1的解析式，求出直线l2的解析式，根据一次函数的几何变换可得直线l3的解析式为y=2x-2，将直线l2与直线l3联立求出x、y的值，进而可得交点坐标. 11．【答案】 【知识点】正比例函数的图象和性质 【解析】【解答】解：∵在正比例函数 中， ， ∴随着 的增大而增大， ∵， ∴. 故答案为： . 【分析】正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＞0时，y随着x的增大而增大，据此进行比较. 12．【答案】＞ 【知识点】有理数大小比较；一次函数的图象 【解析】【解答】解：当x=1时，a=-1+1=0； 当x=2时，b=-2+1=-1. ∵0＞-1， ∴a＞b. 故答案为：＞. 【分析】将x=1、x=2代入可得a=0、b=-1，然后进行比较即可. 13．【答案】-5 【知识点】一次函数的图象 【解析】【解答】解：在y=3x-5中，令x=0，可得y=-5， ∴一次函数y=3x-5的图象与y轴的交点坐标为（0，-5）， ∴一次函数y=3x-5的图象在y轴上的截距为-5， 故答案为：-5 【分析】根据一次函数截距的定义求解即可。 14．【答案】y=x+3（答案不唯一） 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质 【解析】【解答】解：根据题意得：符合条件的函数是一次函数，且自变量的系数大于0，过点（-2，1） 如y=x+3 等. 故答案为： y=x+3（答案不唯一）. 【分析】设符合条件的函数解析式为y=kx+b，根据已知条件可得k>0，且过点（-2，1），取k=1，求出b的值，进而可得函数解析式. 15．【答案】1 【知识点】一次函数的定义；一次函数的性质 【解析】【解答】解：由题可知： ，且 ， ， 1或 3， . 故答案为：1. 【分析】形如“y=kx+b(k、b是常数，且k≠0）”的函数就是一次函数，当k＞0的时候，y随x的增大而增大，当k＜0的时候，y随x的增大而较小，据此可得：m-2<0且|m-2|=1，求解可得m的值. 16．【答案】7 【知识点】一次函数图象与几何变换；正比例函数的定义 【解析】【解答】解：将一次函数y＝2x＋m－1的图象向右平移3个单位，得： 去括号、移项、合并同类项： ∵ 是正比例函数 ∴ ∴ 故答案为：7． 【分析】根据一次函数图象的几何变换规律：自变量左移加，右移减，可得平移后的解析式为y=2(x-3)+m-1，整理可得y=2x+m-7，然后根据正比例函数的概念可知m-7=0，求解可得m的值. 17．【答案】解：(1)当x=0时y=2， ∴点B（0，2）； 当y=0时-2x+2=0 解之：x=1 ∴点A（1，0） 先描点，再连线，然后画出直线l. (2)∵ 将直线l向上平移4个单位得到l1， ∴直线l1的解析式为y=-2x+2+4=-2x+6； 当y=0时-2x+6=0 解之：x=3 ∴点C（3，0） 过点A，C作直线h. 【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与几何变换 【解析】【分析】（1）由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标；由y=0求出对应的x的值，可得到点A的坐标；再画出直线l. （2）利用一次函数图象平移规律：上加下减，可得到直线直线l1的解析式；由y=0求出x的值，可得到点C的坐标；然后过点A，C作直线h. 18．【答案】解：设过A，B两点的直线解析式为y＝kx＋b. 根据题意得， 解得 ∴直线AB的解析式为y＝ . 当x＝－4时，y＝ ＝－4＋2＝－2. ∴点C在直线AB上，即A，B，C在同一直线上 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质 【解析】【分析】由题意设过A，B两点的直线解析式为y＝kx＋b，用待定系数法可求得直线AB的解析式，再把点C的坐标代入解析式计算，即可验证求解. 19．【答案】解：在直线 中， 令 ，解得 则P点的坐标为(3,10) 在直线 中， 令 ，解得 则Q点的坐标为(-3,-8) 则直线 经过点P(3,10)，Q(-3,-8) 设直线 的解析式为： 根据题意得： 解得 故直线 的解析式为： . 【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式 【解析】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，求出P(3,10)，Q(-3,-8)，利用待定系数法求出直线的解析式即可. 20．【答案】（1）解：设y1＝k1（x﹣3），y2＝k（x2+1）， ∵y＝y1+y2， ∴y＝k1（x﹣3）+k（x2+1）， 把x＝0，y＝﹣4；x＝﹣1，y＝﹣6分别代入y＝k1（x﹣3）+k（x2+1）， 得： ， 解得： ， 则y＝x﹣3﹣（x2+1）＝﹣x2+x﹣4； （2）解：点A（1，﹣4）在此函数图象上，理由如下： 把x＝1代入y＝﹣x2+x﹣4， 得：y＝﹣1+1﹣4＝﹣4， ∴A（1，﹣4）在此函数图象上． 【知识点】正比例函数的图象和性质 【解析】【分析】（1）根据成正比例关系，列出解析式，结合两组x和y的值，求出y与x的解析式即可； （2）根据题意，将点A的横坐标代入函数，计算得到纵坐标，即可得到答案。 21．【答案】（1）证明：令ax+b=bx+a，解得x=1， ∴函数y1和y2的图象的交点P的横坐标为1； （2）解：①∵函数y2的值随x的增大而增大， ∴b＞0， 由（1）知P（1，a+b）， ∵点P在第一象限， ∴a+b＞0， 当x=2时，y1=2a+b，y2=2b+a， ∵y2-y1=2， ∴（2b+a）-（2a+b）=2， ∴b-a=2，即b=a+2， ∵b＞0， ∴a+2＞0， ∴a＞-2； 此时满足a+b＞0， ∴a的取值范围是a＞-2； ②证明：∵点P的坐标是（1，1）， ∴a+b=1， ∴b=1-a， ∵a＞b，b＞0， ∴a＞1-a且1-a＞0， ∴ ＜a＜1， 当x=2时，y1-y2=（2a+b）-（2b+a）=a-b=a-（1-a）=2a-1， ， ∵ ＜a＜1， ∴0＜a（1-a）＜1，2a-1＞0， ∴ ， ∴ ， ∴y1-y2＜ . 【知识点】分式的加减法；一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质；不等式的性质 【解析】【分析】（1） 令ax+b=bx+a，解得x=1， 即得点P的横坐标； （2）① 由函数y2的值随x的增大而增大可得b＞0，由（1）知P（1，a+b）及点P在第一象限，可得 a+b＞0，当x=2时，y1=2a+b，y2=2b+a，根据y2-y1=2， 可求出b=a+2＞0，求出a的范围即可； ②由点P的坐标是（1，1），可得b=1-a ， 根据a＞b，b＞0求出 ＜a＜1 ， 当x=2时，y1-y2=2a-1，由于 ， 结合 ＜a＜1 可求出 ，据此即得结论. 22．【答案】（1）解：设一次函数解析式为y=kx+b，把 ， 代入，得 ， ∴ ， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴y随x的增大而增大， ∵ ， ∴2a<1-a， ∴ ； （3）y= x 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质 【解析】【解答】解：（3）如图， ∵过原点O的直线恰好把△AOB 的面积分成相等的两部分， ∴E为线段AB中点， ∵ ， ， ∴Ex= ，Ey= ， ∴E(-4，3)， 设直线OE的解析式为y=ax， 把E(-4，3)代入得， -4a=3， ∴a= ， ∴y= x. 【分析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，将点A，B的坐标分别代入，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，即可得到此一次函数解析式； （2）利用一次函数的增减性及y1和y2的大小关系，可得到关于a的不等式，然后求出a的取值范围； （3）过原点O的直线恰好把△AOB的面积分成相等的两部分，可得到点E是AB的中点，利用点A，B的坐标求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线OE的函数解析式. 23．【答案】（1）解： 一次函数 的图象经过原点， ， 解得 ； （2）解：一次函数 向上平移5个单位长度后得到的函数解析式为 ， 该图象经过点 ， ， 解得 ， 平移后的函数的解析式为 ． 【知识点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象、性质与系数的关系 【解析】【分析】根据图象经过原点，可得-3k+12=0,再求k的值即可，最后根据一次函数图象的平移规律及经过的点的坐标求出一次函数的解析式即可作答。 24．【答案】（1）解：设直线EF的解析式为：y=kx+b 把E(-8，0)，F(0，6)代入可得 ； 解得 ， 所以y= x+6 ； （2）解：①过P点作PH垂直x轴与D点 ∵为P（m，n）在直线EF上 ∴n= m+6 ∴PH= m+6 ∴ 即： ； ②当△OPA的面积为S=9时， 即 m+18=9； 解得m=﹣4； ∵n= m+6； ∴n=3，P（﹣4，3）； ③如图，过点P作PQ⊥OF于Q，则PQ=－m ∵△OPA的面积与△OPF的面积相等 ∴ ； 解得m= ∵n= m+6； ∴n= 所以P（ ， ） 【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①过点P作PH垂直x轴于点H，则OA=6，PH= m+6，再根据三角形的面积计算公式计算即可；②把S=9代入①求得的解析式，即可求出点P的坐标；③过点P作PQ⊥OF于Q，则PQ=－m，根据三角形的面积公式得到，即可求出点P坐标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $