3.2 平面直角坐标系 同步练习 2026-2027学年 北师大版八年级上册数学

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、能力发展、创新提升三层设计，覆盖平面直角坐标系核心知识点，从概念理解到综合应用，培养数学眼光、思维与语言能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|坐标系构成、点的坐标表示|结合象棋情境（如“炮”“士”位置），强化概念辨析| |发展层|象限关系、距离与平移计算|通过网格作图（如景点位置描述），提升空间观念| |提升层|规律探索、综合应用|引入“矩面积”新定义，培养推理能力与创新意识|

3.2 平面直角坐标系 同步练习 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点，均在格点上，以某一个格点为原点，适当方向为，轴的正方向，取相同单位长度建立平面直角坐标系，则下列是同一个坐标系中点，的坐标的是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用表示“炮”的位置，表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为（　　） A． B． C． D． 3．平面直角坐标系的画法正确的是(　　） A． B． 1 学科网（北京）股份有限公司 C． D． 4．在平面直角坐标系中，A，B，C，D，M，N的位置如图所示，若点M的坐标为，N的坐标为，则在第二象限内的点是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D 5．如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2019的横坐标为（　　） A．﹣1008 B．2 C．1 D．1011 7．在直角坐标系中，点到原点O的距离是（　　）. A．3 B．4 C．5 D． 8．若点A（m+1，-2）、点B（3，m-1），且AB∥x轴，则AB的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．已知点P坐标为 ，则点P所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．已知点P（2﹣m，m﹣5）在第三象限，则整数m的值是（　　） A．4 B．3，4 C．4，5 D．2，3，4 二、填空题（每题3分，共18分） 11．建立直角坐标系的原则：分析条件，选择适当的点作为坐标原点；过原点在两个互相　 　的方向上分别作出x轴和y轴；确定　 　、　 　等是否正确． 12．如图，在象棋棋盘上，“馬”位于点 ，“炮”位于点 ，写出“兵”所在的位置：　 　. 13．定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数共有　 　个． 14．已知平面直角坐标系中有，两点，且轴，则点的坐标为　 　. 15．已知点P（x＋2，2x－3）在y轴上，则x＝　 　． 16．在平面直角坐标系中，点A(-1， +1)一定在第　 　象限。 三、解答题（共8题，共52分） 17．如图是小明周末游玩动物园的几个景点在正方形网格中的示意图(每一个景点都在格点上)，请在网格中以“鸟语林”为原点，建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示出图中每一个景点的位置 18．在平面坐标系中描出下列各点且标该点字母： （ 1 ）点A ，B ，C ，D ； （ 2 ）点E在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度； （ 3 ）点F在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度. 19．画出以A（0，0） ，B（3，0） ， C（5，4）， D（2，4）为顶点的四边形ABCD，并求其面积. 20．已知点P（2x﹣3，3﹣x）到两个坐标轴的距离相等，试确定点P的坐标． 21．已知点P（a ， b）在第二象限，且|a|=3，|b|=8，求点P的坐标 22．已知点 在第三象限． （1）化简 ． （2）点 到 轴的距离是到 轴的 倍，请求出 点坐标． 23．已知点 ，试分别根据下列条件，求出点 的坐标． （1）点 在 轴上； （2）点 的横坐标比纵坐标大2； （3）点 在过 ，且与 轴平行的直线上． （4）点 在到两个坐标轴的距离相等． 24．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah.例如：三点坐标分别为A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），则“水平底”a=5，“铅锤高”h=4，“矩面积”S=ah=20. （1）求D（1，-4），E（3，0），F（-3，1），三点的“矩面积”； （2）已知点A（1，2），B（-3，1），P（0，t），其中t为整数。 ①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标； ②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值及此时t的值。 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成 【解析】【解答】解：A、将点M（-2，0）向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则点N（1，1），点M和点N在同一个坐标系中，故A符合题意； B、∵将M（-1，0）向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则N（2，1）， ∴点M（-1，0）和点N（0，2）不在同一坐标系中，故B不符合题意； C、∵将M（-4，-4）向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则N（-1，-3）， ∴点M（-4，-4）和点N（2，-2），不在同一坐标系中，故C不符合题意； D、∵将M（1，2）向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则点N（4，3）， ∴点M（1，2）和点N（4，3）不在同一坐标系中，故D不符合题意； 故答案为：A. 【分析】观察图形可知点M向上平移1个单位，再向右平移3个单位，可得到点N，再根据各选项中的点M的坐标通过此平移，可得到对应的点N的坐标，由此可得答案. 2．【答案】C 【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成 【解析】【解答】∵“士”向左移动1个单位，向上移动1个单位到达“将”的位置， ∴“将”的位置的坐标为（-2-1，-1+1），即（-3，1）． 故答案为：C． 【分析】利用已知点的坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案。 3．【答案】B 【知识点】平面直角坐标系的构成 【解析】【解答】A.x轴与y轴不垂直，故A不符合题意；B符合题意； C.x轴的正方向不符合题意，故C不符合题意； D.没有标注x轴、y轴和x轴、y轴的正方向，故D不符合题意 故答案为：B． 【分析】根据平面直角坐标系的构成对每个选项一一判断即可。 4．【答案】A 【知识点】平面直角坐标系的构成；点的坐标与象限的关系 【解析】【解答】MN所在的直线是x轴，MN的垂直平分线是y轴，A在x轴的上方，y轴的左边，A点在第二象限内． 故答案为：A． 【分析】根据点M、N的坐标可知：MN所在的直线是x轴，MN的垂直平分线是y轴，即可判定A点在第二象限内。 5．【答案】C 【知识点】点的坐标；勾股定理 【解析】【解答】解：∵， ∴OA=， ∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C， ∴， ∴， ∵点C为x轴负半轴上的点， ∴C， 故答案为：C． 【分析】先求出OA=，再求出OC的值，最后求出点C的坐标即可。 6．【答案】A 【知识点】点的坐标；探索图形规律 【解析】【解答】解：观察图形可以看出A1，A2， A3，A4为一个循环； A5，A6，A7 ，A8为一个循环， ∴每四个为一个循环， ∵， ∴A2019在x轴的负半轴上， A3，A7 ，A11的纵坐标为0，横坐标分别为0，-2，-4， 由此发现，x轴的负半轴的横坐标为脚标为， ∴A2019的横坐标为 . 故答案为：A. 【分析】观察图中各点的坐标，从中找出规律，再根据规律计算所求点的坐标即可. 7．【答案】C 【知识点】点的坐标；勾股定理 【解析】【解答】解：如图所示，过点P作PA⊥x轴于A， ∵ P (3，4) ， ∴ ∴， ∴点P到原点O的距离为5， 故答案为：C. 【分析】过点P作PA⊥x轴于A，则可得出OA和PA的长，再根据勾股定理求OP长，即可解答. 8．【答案】B 【知识点】点的坐标 【解析】【解答】解：∵点A（，）、点B（3，），且直线AB∥x轴， ∴m-1=-2， ∴m=-1 ∴点A（0，）、点B（3，-2） ∴ 故答案为：B 【分析】根据平行于x轴的点坐标的特征可得m-1=-2，求出m的值即可得到点A、B的坐标，再利用两点之间的距离公式可得AB的长。 9．【答案】B 【知识点】点的坐标与象限的关系 【解析】【解答】解：∵点的横坐标 ＜0，纵坐标 ＞0， ∴这个点在第二象限. 故答案为：B. 【分析】若A（m，n），当m>0，n>0时，点A在第一象限；当m<0，n>0时，点A在第二象限；当m<0，n<0时，点A在第三象限；当m>0，n<0时，点A在第四象限，据此即可判断得出答案. 10．【答案】B 【知识点】点的坐标与象限的关系 【解析】【解答】解：∵P（2﹣m，m﹣5）在第三象限 ∴ ， 解得：2＜m＜5 ∵m是整数 ∴m的值为3，4． 故答案为：B． 【分析】根据第三象限的点坐标的特征可得，求出m的取值范围即可。 11．【答案】垂直；正方向；单位长度 【知识点】平面直角坐标系的构成 【解析】【解答】解：垂直；正方向；单位长度。 【分析】根据建立直角坐标系的原则，补全即可。 12．【答案】(-2，3) 【知识点】平面直角坐标系的构成 【解析】【解答】解：∵“馬”位于点 ，“炮”位于点 ， ∴原点的位置为“帅”， ∴ “兵”所在的位置： . 故答案为： . 【分析】先根据两点的坐标确定原点的位置为“帅”，进而建立平面直角坐标系，即可写出兵”的坐标. 13．【答案】4 【知识点】平面直角坐标系的构成 【解析】【解答】距离坐标是（1,2）的点有（1,2），（-1,2），（-1，-2），（1，-2）共四个，所以答案填写4. 【分析】根据“距离坐标”和平面直角坐标系的定义分别写出各点即可. 14．【答案】(-3，-1) 【知识点】点的坐标；用坐标表示平移 【解析】【解答】解：∵，两点，且轴 ， ∴2m+3=-1 解之：m=-2， ∴m-1=-2-1=-3， ∴点M（-3，-1）. 故答案为：（-3，-1）. 【分析】利用平行于x轴直线上的点的坐标特点：横坐标不相等，纵坐标相等，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，然后求出m-1的值，可得到点M的坐标. 15．【答案】-2 【知识点】点的坐标 【解析】【解答】解：∵点P（x＋2，2x－3）在y轴上， ∴x+2=0， ∴x=-2． 故答案为：-2 【分析】根据y轴上的点坐标的特征可得x+2=0，再求出x的值即可。 16．【答案】二 【知识点】点的坐标与象限的关系 【解析】【解答】解：∵m2≥0， ∴m2+1≥1， ∴点A（-1，m2+1）一定在第二象限． 故答案为：二． 【分析】根据m2≥0，可得m2+1≥1>0，再根据第二象限的点坐标的特征可得答案。 17．【答案】解：平面直角坐标系如图所示 鸟语林的位置为（0，0），蝴蝶泉的位置为（2，1），蛇山的位置为（4，2），猴山的位置为（-1，-3），熊猫馆的位置为（3，-2）. 【知识点】平面直角坐标系的构成 【解析】【分析】根据题意，建立平面直角坐标系即可；根据建立的直角坐标系，分别写出每个顶点的坐标即可。 18．【答案】解：（1）如图 ， （2）∵点E在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度， ∴点 ； （3）点F在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度， ∴点 . 【知识点】点的坐标与象限的关系 【解析】【分析】（1）根据点A、B、C、D的坐标即可确定出对应的位置； （2）根据题意可得E（2，0），据此可得点E的位置； （3）根据题意可得F（-3，-3），据此可得点F的位置. 19．【答案】解：四边形ABCD如图所示，由题意可知，四边形ABCD为平行四边形，其面积为3×4=12. 【知识点】点的坐标 【解析】【分析】再平面直角坐标系中画出四边形ABCD，得出四边形ABCD为平行四边形， 再根据平行四边形的面积公式进行计算，即可得出答案. 20．【答案】解：由于点P(2x－3，3－x)到两个坐标轴的距离相等， 所以|2x－3|＝|3－x|， 所以2x－3＝3－x或2x－3＝－(3－x)， 解得 x＝2或x＝0， 所以P点的坐标为(1，1)或(－3，3)． 【知识点】点的坐标 【解析】【分析】由点P到两个坐标轴的距离相等，所以点P的横纵坐标相等或互为相反数，从二得出x的值，即可得出P的坐标。 21．【答案】解：∵点P(a，b)在第二象限，且|a|=3，|b|=8， ∴a=−3，b=8， ∴点P的坐标为(−3，8) 【知识点】点的坐标与象限的关系 【解析】【分析】根据|a|=3，|b|=8及点P在第二象限，可得出a、b的值，就可得出点P的坐标。 22．【答案】解：∵ 在第三象限， ∴ 即 ， 即 ， 综上， ， ∴ ． （ ）点 到 轴的距离是到 轴的 倍，请求出 点坐标． 解：∵ 到 轴的距离为 ， 到 轴的距离为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点的坐标为 ． （1）解：∵ 在第三象限， ∴ 即 ， 即 ， 综上， ， ∴ ． （2）解：∵ 到 轴的距离为 ， 到 轴的距离为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点的坐标为 ． 【知识点】点的坐标与象限的关系 【解析】【分析】（1）根据第三象限的点的横纵坐标都为负可得2x-9,3-2x，再根据绝对值的非负性即可化简代数式； （2）由点的坐标特征可知，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，于是可根据题意列方程求解。 23．【答案】（1）∵点 在 轴上， ∴点 的横坐标为0， 即 ，解得 ， 则 ． （2）∵点 的横坐标比纵坐标大2， ∴ ，解得 ， 则 ． （3）∵点 在过 ，且与 轴平行的直线上， ∴点 的纵坐标等于 ， 即 ，解得 ， 则 ． （4）∵点 到两个坐标轴的距离相等， ∴ 或 ， 解得 或 ， 则 或 ． 【知识点】点的坐标与象限的关系 【解析】【分析】（1）根据y轴上的点的横坐标等于零，可得方程，通过解方程，可得答案．（2）根据横坐标比纵坐标大2，可得方程，通过解方程，可得答案．（3）根据平行于 轴的直线上的所有点的纵坐标相等，可得方程，通过解方程，可得答案．（4）根据到两个坐标轴的距离相等，可得方程，通过解方程，可得答案． 24．【答案】（1）解：“水平底”a=5，“铅垂高”h=10，“矩面积”S=ah=50 （2）解：①由题意：“水平底”a=1-（-3）=4， 当t＞2时，h=t-1，则4（t-1）=12，解得t=4， 故点P的坐标为（0，4）；当t＜1时，h=2-t，则4（2-t）=12，解得t=-1， 故点P的坐标为（0，-1）， 所以，点P的坐标为（0，4）或（0，-1）； ②A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4，此时t=1或2 【知识点】平面直角坐标系的构成 【解析】【分析】（1）根据题意，由题目中计算得到a和h，求出答案即可； （2）①计算得到水平底，根据t取值范围的不同计算得到铅垂高，即可得到答案； ②根据t的取值范围，计算得到矩面积的最小值，得到此时的t的即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $