2.2.4估算 同步练习 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦“估算”核心技能，以“基础巩固-综合应用-拓展提升”三级分层设计，通过多样化题型构建从概念理解到推理应用的完整巩固路径，培养数学抽象与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|无理数整数/小数部分、简单估值|单选题1-10、填空11-14，直接考查平方/立方估算，如“与√10最接近的整数”，夯实概念理解| |综合层|数轴结合、代数式求值|填空15-16、解答17-20，如“已知√a整数部分求a+b”，融合几何直观与代数运算，发展推理意识| |提升层|复杂估值与实际应用|解答21-24，含阅读理解题（如华罗庚估算立方根），需迁移估算方法解决新问题，培养创新意识与应用能力|

2.2.4估算 同步练习 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列整数中，与 －1最接近的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．无理数的整数部分是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．估计的值在（　　） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 4．若的整数部分为a，小数部分为b，则等于（　　） A． B． C． D． 5．如图1，在中，，，M是的中点，设，则表示实数a的点落在数轴上（如图2）所标四段中的（　　） A．①段 B．②段 C．③段 D．④段 6．数轴上A，B，C，D四点中，两点之间的距离最接近于 的是（　　） A．点C和点D B．点B和点C C．点A和点C D．点A和点B 7．若a＜ ＜b，且a与b为连续整数，则a与b的值分别为（　　） A．1；2 B．2；3 C．3；4 D．4；5 8．估计 的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 9．已知442＝1936，452＝2025，462＝2116，472＝2209，若n为整数且n＜ ＜n＋1，则n的值为（　　） A．44 B．45 C．46 D．47 10．已知 ，若 ，则x的值约为（　　） A．326000 B．32600 C．3.26 D．0.326 二、填空题（每空2分，共20分） 11．若，且a，b是两个连续的整数，则的值为　 　． 12．与 最接近的整数为　 　. 13．3+的整数部分是a，3－ 的小数部分是b，则a+b等于　 　. 14．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116，若n为整数且n＜＜n＋1，则n的值是　 　． 15．已知 是 的立方根， 是 的算术平方根， 是 的整数部分， 与 互为相反数． （1）　 　， 　 　， 　 　， 　 　； （2）将 、 、 、 用“＜”按从小到大的顺序排列起来　 　． 16．设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则 =　 　 三、解答题（共8题，共50分） 17．已知 的算术平方根是3， 的算术平方根是4，c是 的整数部分，求 的立方根. 18．阅读理解： ，即 ， . 的整数部分为1. 的小数部分为 解决问题：已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求 的平方根. 19． 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，求： （1）a+b的值． （2）a-b的值． （3） 的值． 20．已知x是 的整数部分,y是 的小数部分,求 的平方根. 21．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小燕用来表示的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为的整数部分为1，所以的小数部分为． 参考小燕同学的做法，解答下列问题： （1）写出的小数部分为　 　； （2）已知与的小数部分分别为a和b，求a2＋2ab＋b2的值； （3）如果，其中x是整数，0＜y＜1，那么＝　 　 （4）设无理数（m为正整数）的整数部分为n，那么的小数部分为　 　（用含m，n的式子表示）． 22．阅读下列信息材料： 信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、 等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确. 信息2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，可以看成2.5﹣2得来的； 信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如2＜ ＜3，是因为 ＜ ＜ ：根据上述信息，回答下列问题： （1） 的整数部分是　 　，小数部分是　 　. （2）10+ 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜10+ ＜b则a+b＝　 　. （3）若 ﹣3＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请求x﹣y的相反数. 23．已知2a+3的立方根是3，a+b﹣1的算术平方根是4，c是 的整数部分. （1）求a，b，c的值. （2）求a﹣4b+3c的平方根. 24．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙.你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试. 第一步：， ， 它的立方根是一个两位数. 第二步：的个位数是9，. 能确定的个位数是9. 第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59 而，可得. 由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39. [解答问题] 根据上面的材料解答下面的问题： （1）求110592的立方根，写出步骤. （2）填空：　 　. 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】估算无理数的大小 【解析】【解答】解：由题意， ∵ ，且 接近3， ∴ 最接近的是整数2； 故答案为：A. 【分析】被开方数大，算术平方根就大，据此可得，即得，根据不等式的性质得，据此判断即可. 2．【答案】C 【知识点】估算无理数的大小 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴无理数的整数部分是2， 故答案为：C． 【分析】利用估算计算无理数的大小。 3．【答案】D 【知识点】估算无理数的大小 【解析】【解答】解：∵ ∴ 故答案为：D. 【分析】由有理数大小的比较可得16＜18＜25，根据被开方数越大，其算术平方根就越大得4＜ ＜5，则​​​​​​​的范围可求解. 4．【答案】C 【知识点】估算无理数的大小；代数式求值 【解析】【解答】解：因为，即， 所以的整数部分是2，小数部分是， 即，， 所以， 故答案为：C． 【分析】根据求出，，再将a、b的值代入2a+b计算即可。 5．【答案】A 【知识点】估算无理数的大小；勾股定理 【解析】【解答】解：在中，，， ∵M是BC的中点， ∴BM=1， 过点A作A、HA⊥BC交CB延长线于点H， ∴∠ABH=60°， ∴AH=，HB=1， ∴HM=2， 在Rt△AHM中，AM=， ∵2.6＜＜2.7． 故答案为：A． 【分析】过点A作A、HA⊥BC交CB延长线于点H，可求出AH=，HB=1，HM=2，在Rt△AHM中，求得AM的值，再估算出2.6＜＜2.7，即可得出答案。 6．【答案】A 【知识点】估算无理数的大小 【解析】【解答】解：∵4＜6＜9， ∴2＜ ＜3， ∴两点之间的距离最接近于 的是点C和点D． 故答案为：A． 【分析】根据被开方数大，算术平方根就大，可得2＜＜3，据此判断即可. 7．【答案】B 【知识点】估算无理数的大小 【解析】【解答】解：∵ ＜ ＜ ， ∴2＜ ＜3， ∴a与b的值分别为2，3． 故答案为：B． 【分析】根据 ＜ ＜ ，可得2＜ ＜3，即可得到a、b的值。 8．【答案】B 【知识点】估算无理数的大小 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 故答案为：B． 【分析】根据可得，即可得到。 9．【答案】C 【知识点】估算无理数的大小 【解析】【解答】 462＝2116，472＝2209， 若n为整数且n＜ ＜n＋1， 故答案为：C 【分析】先写出2021所在的范围，再写出的范围，即可得出n的值。 10．【答案】A 【知识点】估算无理数的大小 【解析】【解答】解：∵68.82＝6.882×10， ∴x＝326×103＝326000， 故答案为：A． 【分析】根据68.82＝6.882×10，可得x＝326×103＝326000，即可得到答案。 11．【答案】7 【知识点】估算无理数的大小 【解析】【解答】解：∵， ∴a=3，b=4， ∴a+b=7． 故答案为：7． 【分析】由可得a=3，b=4，再将a、b的值代入计算即可。 12．【答案】5 【知识点】估算无理数的大小 【解析】【解答】解： 而 更接近的整数是 故答案为：5. 【分析】利用估算无理数的大小的方法，可知，由此可得答案. 13．【答案】6- 【知识点】估算无理数的大小 【解析】【解答】∵1＜＜2， ∴4＜3+＜5， ∴3+的整数部分a=4； ∵1＜＜2， ∴-2＜-＜-1， ∴1＜3-＜2， 设3-的整数部分为m，则m=1， ∴3-的小数部分b=3--m=2-， ∴a+b=4+2-=6-． 故答案为6-． 【分析】根据1＜＜2，可得3+的整数部分a=4；3-的小数部分b=3--m=2-，再将a、b的值代入计算即可。 14．【答案】44 【知识点】估算无理数的大小 【解析】【解答】解：∵442＝1936，452＝2025， ∴， ∴， ∴； 故答案为44． 【分析】先求出，再求出，最后作答即可。 15．【答案】（1）－2；；3； （2） 【知识点】算术平方根；立方根及开立方；估算无理数的大小 【解析】【解答】解：（1）∵ 是-8的立方根， 是 的算术平方根， 是 的整数部分， 与 互为相反数， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 的整数部分是3， ∴ ， 故答案为：-2， ，3， ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 【分析】利用立方根、算术平方根可求出a、b的值，再估算，即可得到c的值，再利用相反数的定义求解即可。 16．【答案】60 【知识点】估算无理数的大小；定义新运算 【解析】【解答】解：1.52＝2.25，可得出有2个1； 2.52＝6.25，可得出有4个2； 3.52＝12.25，可得出有6个3； 4.52＝20.25，可得出有8个4； ∴. 故答案为：60. 【分析】分别求出1.52，2.52，3.52，4.52，可得到中分别有2个1，4个2，6个3，8个4，由此可求出的值. 17．【答案】解：∵ 的算术平方根是3， ∴ ，解得 ； ∵ 的算术平方根是4， ∴ ，解得： ； ∵ ， ∴ ， ∵c是 的整数部分，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ 的立方根为4. 【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；估算无理数的大小 【解析】【分析】根据算术平方根的意义可得，据此求出a、b的值，由算出平方根根的性质根据 ，可得 ，从而求出c=5，然后代入求出a+3b-c的值，再求其立方根即可. 18．【答案】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则25的平方根是 . 【知识点】平方根；估算无理数的大小 【解析】【分析】估算确定出a与b的值，代入原式计算即可求出平方根. 19．【答案】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ∴ ， ∴ ， ； 故 （2）解： （3）解： 【知识点】估算无理数的大小 【解析】【分析】根据题意及算术平方根的性质易得 ，进而可求 、 的值，然后分别代入（1）（2）（3）进行求解即可． 20．【答案】由题意得：x=3,y= −3， ∴y− =−3，x−1=2， ∴ =9， ∴ 的平方根是±3. 【知识点】平方根；估算无理数的大小 【解析】【分析】先估算出的取值范围，再作答即可。 21．【答案】（1） （2）解：∵， ∴，， ∵与的小数部分分别为a和b， ∴， ∴； （3） （4） 【知识点】估算无理数的大小；代数式求值 【解析】【解答】解：（1）∵， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为； （3）由可知， ∵， ∴的小数部分为， ∵x是整数，0＜y＜1， ∴， ∴； 故答案为； （4）∵无理数（m为正整数）的整数部分为n， ∴的小数部分为， ∴的小数部分即为的小数部分加1，为； 故答案为． 【分析】（1）先求出的整数部分为3，再求解即可； （2）先求出 ，， 再求出a和b的值，最后代入求解即可； （3）先求出的小数部分为，再求出，最后计算求解即可； （4）根据题意先求出的小数部分为，再计算求解即可。 22．【答案】（1）3； -3 （2）23 （3）解：∵25＜30＜36， ∴5＜ ＜6， ∴5-3＜ -3＜6-3， 即2＜ -3＜3， ∴ -3的整数部分为2，小数部分为 -3-2= -5， ∴x=2，y= -5， ∴x-y=2-( -5)=7- ， ∴x-y的相反数为 -7. 【知识点】估算无理数的大小 【解析】【解答】解：（1）∵9＜13＜16， ∴3＜ ＜4， ∴ 的整数部分为3，小数部分为 -3. 故答案为：3， -3； （2）∵1＜3＜4， ∴1＜ ＜2， ∴10+1＜ ＜10+2， 即11＜10+ ＜12， ∴a=11，b=12， ∴a+b=23. 故答案为：23； 【分析】（1）由9＜13＜16可得3＜＜4，据此可得的整数部分以及小数部分； （2）由1＜3＜4可得的范围，进而根据不等式的性质可得的范围，得到a、b，据此计算a+b； （3）同理求出 -3的范围，得到其整数部分以及小数部分，即x、y，然后求出x-y，接下来根据相反数的概念进行求解. 23．【答案】（1）解：∵2a+3的立方根是3， ∴2a+3＝27， 解得a＝12， ∵a+b﹣1的算术平方根是4， ∴a+b﹣1＝16， 解得b＝5， ∵3＜ ＜4， ∴ 的整数部分是3， ∴c＝3， 综上所述：a＝12，b＝5，c＝3 （2）解：∵a＝12，b＝5，c＝3. ∴a﹣4b+3c＝12﹣20+9＝1， ∵1的平方根是±1 ∴a﹣4b+3c的平方根是±1. 【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；估算无理数的大小 【解析】【分析】（1）由题意可得2a+3＝27，a+b-1＝16，求出a、b的值，然后根据估算无理数大小的方法可得c的值； （2）首先根据a、b、c的值求出a-4b+3c的值，然后根据平方根的概念进行求解. 24．【答案】（1）解：第一步：，，， ∴， ∴能确定110592的立方根是个两位数. 第二步：∵的个位数是2，， ∴能确定110592的立方根的个位数是8. 第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110， 而，则，可得， 由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48； （2）44 【知识点】立方根及开立方；估算无理数的大小 【解析】【解答】解：（2）第一步：∵，，， ∴， ∴能确定85184的立方根是个两位数. 第二步：∵的个位数是4，， ∴能确定85184的立方根的个位数是4. 第三步：如果划去85184后面的三位184得到数85， 而，则，可得， 由此能确定85184的立方根的十位数是4，因此85184的立方根是44， 即. 故答案为：44. 【分析】（1）根据材料中的步骤，可知第一步：根据1000<110592<1000000可得10<<100；第二步：由83=512可知110592的立方根的个位数是8；第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，可得4<<5，则40<<50，由此能确定110592的立方根的十位数字，据此解答； （2）同理可得10<<100，由43=64可知85184的立方根的个位数是4，如果划去85184后面的三位184得到数85，则4<<5，据此可得85184的立方根的十位数，据此解答. 1 学科网（北京）股份有限公司 $