第08讲 圆的相关概念5大题型（暑假预习讲义）新九年级数学新教材苏科版

第08讲 圆的相关概念 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 圆的基本概念辨析 题型2 圆中弦的相关概念 题型3 圆中弧的相关计算 题型4 圆心角的相关问题 题型5 圆的周长和面积 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆的基本概念 圆中弦、弧、圆心角 1.认识圆，准确掌握弦、弧、圆心角的定义； 2.能区分优弧劣弧，规范书写各类圆弧符号； 3.理解同圆中圆心角与其对应弧、弦的关系； 4.会利用三者等量关系完成简单几何证明； 5.提升识图能力，建立圆内等量转化思想。 学习重点：掌握弦、弧、圆心角概念，理解三者相等关系。 学习难点：灵活运用三者关系进行几何推理与等量证明。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 即时即练 1．下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 2．下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 3．在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形．这是应用了圆特征中（    ） A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同圆中的半径都相等 D．同圆中直径是半径的2倍 知识点02 弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 即时即练 4．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 5．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 题型1 圆的基本概念辨析 1．给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 2．下列说法正确的是（   ） A．直径是弦，弦是直径 B．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 C．相等的弦所对的弧相等 D．在同圆中直径的长度是半径的2倍 3．若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 5．在下列说法中，正确的有________．（填序号） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做弧． 【易错警示】 辨析圆相关概念需规避常见误区：弦不一定是直径，直径是最长弦；半圆是特殊弧，但弧不一定是半圆。优弧、劣弧需区分，不可混淆。圆心角、弦、弧相等关系仅适用于同圆或等圆，切勿通用，避免概念混用解题出错。 题型2 圆中弦的相关概念 6．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 8．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有________个． 10．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 题型3 圆中弧的相关计算 11．如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，则丁扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是_______ 14．如图，，是圆的两条相等的弦，弧，弧的度数分别为30度，120度，为劣弧上一点，则______°． 15．如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA=BC，∠C=24°.求∠A的度数. 题型4 圆心角的相关问题 16．如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（    ） A．30° B．40° C．50° D．60° 17．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 18．小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 19．如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是________． 20．如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为__________． 题型5 圆的周长和面积 21．若的半径为，，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．点P在内或上 22．如图，在中，，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（   ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 23．如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是___________． 24．如图，中，，，，于点D，以点C为圆心，5为半径作，则点D在 ___________．(填“外”“内”或“上”) 25．已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 1．圆片向右滚动一周后的位置如图所示，这个圆片的直径大约是（   ） A． B． C． D．以上都不对 2．已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 3．给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 4．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 6．如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 7．如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 8．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 9．在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点．如图，，都是整点．若以整点为圆心的经过，两点，的坐标可以是___．（写出一个符合题意的即可） 10．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E．连接，，则的度数为________． 11．从一个正方形的铁皮里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长是，那么正方形的面积比圆的面积多百分之几？（结果精确到0.1%，其中取3.14） 12．如图所示，大圆的周长为18.84厘米，在圆中有两个小圆，已知两个小圆的面积比为，求阴影部分的周长与面积． 13．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 14．已知的直径，是的弦，，垂足为M．若，求弦的长． 15．如图，是弦的中点，A是上一点，与交于点E，已知，． (1)求线段的长． (2)当时，求，的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 圆的相关概念 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 圆的基本概念辨析 题型2 圆中弦的相关概念 题型3 圆中弧的相关计算 题型4 圆心角的相关问题 题型5 圆的周长和面积 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 圆的基本概念 圆中弦、弧、圆心角 1.认识圆，准确掌握弦、弧、圆心角的定义； 2.能区分优弧劣弧，规范书写各类圆弧符号； 3.理解同圆中圆心角与其对应弧、弦的关系； 4.会利用三者等量关系完成简单几何证明； 5.提升识图能力，建立圆内等量转化思想。 学习重点：掌握弦、弧、圆心角概念，理解三者相等关系。 学习难点：灵活运用三者关系进行几何推理与等量证明。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 即时即练 1．下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． 2．下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 3．在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形．这是应用了圆特征中（    ） A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同圆中的半径都相等 D．同圆中直径是半径的2倍 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识，圆上各点到圆心的距离相等．人们围成圆形是为了使每个人到舞台（圆心）的距离相等，从而获得相同的观看体验，这利用了同圆中所有半径相等的性质． 【详解】解：∵ 在同圆中，所有半径都相等， ∴ 当人们围成圆形时，每个人到圆心的距离相等， ∴ 这是应用了同圆中半径都相等的特征． 故选：C． 知识点02 弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 即时即练 4．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 5．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 6．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 题型1 圆的基本概念辨析 1．给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】根据圆的基本概念逐一判断各说法的正确性． 本题考查了圆的基本概念，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ①半圆是圆上任意直径的两个端点之间的部分，是弧的一种，正确； ②直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，是弦的一种，正确； ③长度相等的两条弧必须在同圆或等圆中才能称为等弧，否则不一定重合，错误； ④圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，正确； ⑤　弦连接圆上两个不同点，，最大弦为直径， ∴，正确。 ∴ 正确的是①②④⑤， 故选：B． 2．下列说法正确的是（   ） A．直径是弦，弦是直径 B．无论过圆内哪一点，只能作一条直径 C．相等的弦所对的弧相等 D．在同圆中直径的长度是半径的2倍 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、直径、弧和半径的关系．根据圆的定义和性质逐一判断选项的正确性即可． 【详解】A．直径是经过圆心的弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故该选项错误，不符合题意； B．过圆内一点，若该点是圆心，可作无数条直径；若该点不是圆心，只能作一条直径（连接该点与圆心并延长），故该选项错误，不符合题意； C．相等的弦所对的弧不一定相等，因为弧有优弧和劣弧之分，只有在同圆或等圆中且对应同类型弧时才相等，故该选项错误，不符合题意； D．在同圆中，直径的长度是半径的2倍，故该选项正确，符合题意；． 故选：D． 3．若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的弦长范围，熟练掌握“圆上两点间的弦长最大值为直径”是解题的关键． 根据圆的直径明确圆上弦的长度范围，从而判断选项． 【详解】解：∵ 的直径长为4，点A，B在上 ∴ 弦的长满足，选项A、B、C都满足条件， ∵ 选项D中， ∴ 选项D不符合条件． 故选：D． 4．下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．等弧的长度一定相等 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键． 根据直径、弦、弧、等圆和等弧的定义和性质，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、过圆心的弦是圆的直径，这是直径的定义，则A正确； 选项B、在同一个圆中，当弦为直径时，所对的两条弧相等，且都为半圆，其他情况下一条弦所对的两条弧，是一条优弧和一条劣弧，两条弧不相等，因此同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，则B错误； 选项C、根据圆的周长公式半径，周长相等的圆，半径也相等，为等圆，则C正确； 选项D、等弧能完全重合，长度一定相等，则D正确； 故选：B． 5．在下列说法中，正确的有________．（填序号） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做弧． 【答案】② 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．根据圆的相关概念，半圆是扇形的一种，也是弧的一种；但弧不一定是半圆，圆上两点间的线段是弦而非弧。 【详解】解：半圆不是扇形，故①错误； 半圆是圆上一条特殊的弧，故②正确； 弧可以是优弧或劣弧，不一定是半圆，故③错误； 圆上任意两点间的曲线是弧，线段是弦，故④错误． 故答案为：②． 【易错警示】 辨析圆相关概念需规避常见误区：弦不一定是直径，直径是最长弦；半圆是特殊弧，但弧不一定是半圆。优弧、劣弧需区分，不可混淆。圆心角、弦、弧相等关系仅适用于同圆或等圆，切勿通用，避免概念混用解题出错。 题型2 圆中弦的相关概念 6．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 7．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 8．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 9．的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有________个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 10．如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 题型3 圆中弧的相关计算 11．如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，则丁扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据扇形面积与圆心角的关系来求解丁扇形的圆心角． 【详解】已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，那么整个圆的面积可看作份 丁扇形的面积占6份，所以丁扇形面积占整个圆面积的比例为 ∵整个圆的圆心角是 ∴丁扇形的圆心角为． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积与圆心角的关系，掌握在同一个圆中，扇形的面积比等于圆心角的比，利用这一关系结合圆的圆心角为，计算扇形的圆心角是解题的关键． 12．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B． 【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键． 13．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是_______ 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 14．如图，，是圆的两条相等的弦，弧，弧的度数分别为30度，120度，为劣弧上一点，则______°． 【答案】127.5 【分析】分别连接OA，OB，OC，OD，根据圆心角定理可求得∠AOD和∠BOC的度数；再根据弦AB=CD，可求得∠AOB和∠COD的度数；最后根据圆周角定理可求得∠APB的度数． 【详解】解：连接OA，OB，OC，OD，如图所示． ∵和的度数分别是30°和120°， ∴∠AOD=30°，∠BOC=120°． ∵AB=CD， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的定理，圆周角定理等知识点，熟知上述定理是解题的关键． 15．如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA=BC，∠C=24°.求∠A的度数. 【答案】48° 【分析】连接OB，利用等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系解答即可． 【详解】连接OB 则OA=OB ∵OA=BC ∴OB=BC ∴∠C=∠BOC=24° ∴∠A=∠OBA=∠C+∠BOC=24°+24°=48° 【点睛】此题考查圆心角、弧、弦的关系．关键是利用等腰三角形的性质和圆心角、弧、弦的关系解答． 题型4 圆心角的相关问题 16．如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则∠OCB的度数为（    ） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到BC∥AD，即可根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， ∵∠AOE＝40°，∠AOE＝∠DOC， ∴∠DOC＝40°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD， ∴∠OCB＝∠DOC＝40°， 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行是解题的关键． 17．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根据三角形内角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可． 【详解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°， ∴∠OBA＝∠OAB＝25°， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°， ∵OA＝OC，∠OCA＝40°， ∴∠OAC＝∠OCA＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°， 故选：A． 【点睛】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 18．小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了周角的定义，等分图形的角度计算方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题目中明确青铜太阳轮的正面图形是将圆五等分，因此要求的角就是把周角平均分成份后每份的角度，即可得出的度数为． 【详解】解：由题意得正面图形是将圆五等分， ． 故答案为：． 19．如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由，可得，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 即弦所对的圆心角的度数是， 故答案为：． 20．如图，是的直径，点C，D在上，，，若，则的长为__________． 【答案】1 【分析】根据，，可得四边形是菱形，则可得，进而可得是等边三角形，，由可得，进而可得是等边三角形，则可得． 本题考查了菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，以及圆的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵, ∴四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：1 题型5 圆的周长和面积 21．若的半径为，，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．点P在内或上 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据点到圆心的距离与圆半径的大小关系来判断点的位置． 【详解】解：∵， ∴点在外． 故选：A． 22．如图，在中，，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（   ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系以及直角三角形斜边上的中线，连接，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，则点C到圆心的距离等于半径，判断点C在上． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵的半径为5， ∴点C在上． 故选：B． 23．如图，在中，，，以点为圆心，为半径画圆，则点与的位置关系是___________． 【答案】点在内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由题意并结合即可得解，熟练掌握点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，以点为圆心，为半径画圆，且， ∴， ∴点与的位置关系是点在内， 故答案为：点在内． 24．如图，中，，，，于点D，以点C为圆心，5为半径作，则点D在 ___________．(填“外”“内”或“上”) 【答案】内 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系. 先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式求出的长，然后根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点D在圆C内． 故答案为：内． 25．已知如图，在 中，，的中点为点M． (1)以点C为圆心，3为半径作，则点 A、B、 M分别与有怎样的位置关系？ (2)若以C为圆心作，使A，B，M三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，则的半径r的取值范围是什么？ 【答案】(1)点A在圆上，点B在圆外，点M在圆内 (2) 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，，在圆外，，在圆上，，在圆内判断是解题关键． （1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较与半径的大小关系即可得出答案； （2）利用分界点当A、B、M三点中至少有一点在内时，以及当至少有一点在外时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵在中，，的中点为点M， ∴，， ∵以点C为圆心，3为半径作， ∴，则点A在圆上，，则点M在圆内，，则点B在圆外； （2）解：以点C为圆心作，使A、B、M三点中至少有一点在内时，， 当至少有一点在外时，， 故的半径r的取值范围为：． 1．圆片向右滚动一周后的位置如图所示，这个圆片的直径大约是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查圆的周长，有理数除法的应用．熟练掌握圆的周长公式是解题关键．由图可知这个圆片的周长大约是，再根据圆的周长公式求解即可． 【详解】解：由图可知这个圆片的周长大约是， ∴这个圆片的直径大约是． 故选：B． 2．已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，先计算出直径长度，再根据圆中最长的弦为直径，判断各选项弦长是否合理，即可． 【详解】解：∵圆的半径为， 故圆的直径为， 故圆中弦长的取值范围是弦长； 又∵， ∴弦长不可能是． 故选：D． 3．给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】根据圆的基本概念逐一判断各说法的正确性． 本题考查了圆的基本概念，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ①半圆是圆上任意直径的两个端点之间的部分，是弧的一种，正确； ②直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，是弦的一种，正确； ③长度相等的两条弧必须在同圆或等圆中才能称为等弧，否则不一定重合，错误； ④圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，正确； ⑤　弦连接圆上两个不同点，，最大弦为直径， ∴，正确。 ∴ 正确的是①②④⑤， 故选：B． 4．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 5．如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角得，由平行线的性质得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． 6．如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解． 【详解】解：连接， ，， ， ， 而， ， ， ， ． 7．如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 【答案】/50度 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得的度数，再根据平行线的性质即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 8．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条． 【答案】3 【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案． 【详解】解：过点M作交于点A、B，连接， 则， 在中，， ∴， 则过点M的所有弦， ，且 ， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条． 9．在平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点．如图，，都是整点．若以整点为圆心的经过，两点，的坐标可以是___．（写出一个符合题意的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了坐标与图形、圆的性质、勾股定理等知识，正确理解题意是解题关键． 通过计算点，的中点坐标，即可获得答案． 【详解】解：∵经过，两点， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵，， 又∵，， ∴线段的中点坐标为， 可取的坐标为， 此时，， ∴，符合题意，即的坐标可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 10．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作圆，交于点D，交于点E．连接，，则的度数为________． 【答案】/65度 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）及圆的半径相等的性质，解题的关键是利用圆的半径相等构造等腰三角形，结合直角三角形内角和逐步推导相关角度． 先计算出的度数；由圆的半径相等得，求出的度数；进而求出的度数；再结合求出的度数． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．从一个正方形的铁皮里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长是，那么正方形的面积比圆的面积多百分之几？（结果精确到0.1%，其中取3.14） 【答案】正方形的面积比圆的面积多约27.4% 【分析】先求出圆的半径，再求圆的面积，再根据正方形的边长即为圆的直径，求出正方形的边长，最后用正方形的面积与圆的面积之差比上圆面积，即可得出答案． 【详解】解：设圆的周长为c，半径为r，正方形边长为a， ， ， 最大的圆，直径与正方形的边长相等， ， ， ． 答案：正方形的面积比圆的面积多约27.4%． 12．如图所示，大圆的周长为18.84厘米，在圆中有两个小圆，已知两个小圆的面积比为，求阴影部分的周长与面积． 【答案】6.28厘米；3.14平方厘米 【分析】根据大圆周长和圆的周长公式求出大圆的直径，根据两个小圆的面积比为，结合圆的面积公式求出这两个圆的半径比为，则可求阴影部分圆的半径，最后根据圆的周长和面积公式求解即可． 【详解】解：（厘米）， 设两个小圆的半径依次是， 则， ， （厘米）， 周长：（厘米），面积：（平方厘米）， 答：阴影部分的周长是6.28厘米，面积是3.14平方厘米． 13．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 14．已知的直径，是的弦，，垂足为M．若，求弦的长． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当弦在靠近点C的一侧时；当弦在靠近点D的一侧时；连接、，由直径为10得出半径为5，根据线段比得出的长，由，由勾股定理得出长，再用勾股定理求长． 【详解】解：分以下两种情况： 当弦在靠近点C的一侧时，如图，连接、， ∵直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 当弦在靠近点D的一侧时，如图，连接、， ∵直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，弦的长为或． 15．如图，是弦的中点，A是上一点，与交于点E，已知，． (1)求线段的长． (2)当时，求，的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，，根据中点的定义得到，再根据三线合一的性质得到，在中利用勾股定理即可求解； （2）设，表示出、的长，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵是弦的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵A是上一点，， ∴的半径为8， ∴在中，； （2）解：设，则， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $