广东省深圳大学附属中学2025-2026学年八年级下学期期末数学模拟试卷

**基本信息** 2025-2026学年深圳大学附中八年级（下）期末数学模拟卷，以中国古代钱币文化、工厂生产等真实情境为载体，融合几何与代数知识，考查抽象能力、推理意识及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题|中心对称图形、不等式性质、多边形内角和、特殊四边形判定|第1题结合古代钱币图形考中心对称，第7题新定义“智慧数”深化因式分解应用| |填空题|5题|因式分解、一次函数与不等式、三角形中位线、平行四边形动态问题|第11题以池塘测量为情境，用中位线解决实际距离问题| |解答题|6题|分式方程、几何变换、菱形证明、新定义“双关联线段”|第19题“双关联线段”综合等边三角形、全等推理及动态探究，培养创新思维|

2025-2026学年广东省深圳大学附中八年级（下）期末数学模拟试卷 一．选择题（共8小题） 1．中国的货币不仅历史悠久而且种类繁多，形成了独具一格的货币文化．以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分货币图形，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．已知m＜n，下列式子一定成立的是（　　） A．m ﹣ 2＞n ﹣ 2 B．md＜nd C． D．4 ﹣ m＜4 ﹣ n 3．若一个多边形的外角和是它内角和的，则这个多边形是（　　）边形． A．三 B．四 C．五 D．六 4．如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 5．下列命题中，假命题的是（　　） A．菱形的对角线互相垂直 B．平行四边形的对边相等 C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 6．某工厂生产一批零件，共360个，开工后每天比原计划多生产15个，结果提前3天完成任务，若设原计划每天生产x个，那么下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为25 ＝ 62﹣12，所以25就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 8．如图，点C，E分别为等腰直角△ABC与等腰直角△DBE的直角顶点，且点C在边DE上．AF⊥DE，垂足为F．边AB的中点为M，线段MC，AC分别交BD于点N，H，连接AD，AN．若AD＝DC，则下列结论错误的是（　　） A．DF＝CE B．CMDN C．CH＝CN D．ANCD 二．填空题（共5小题） 9．因式分解：3ax2+12ax+12a ＝． 10．如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为　 　 ． 11．如图，要测算池塘两端A，B之间的距离，先在地面上取一点C，然后通过测量分别找到AC和BC的中点D，E，并测得DE的长，就可测算池塘两端A，B之间的距离．若DE的长为5米，则池塘两端A，B之间的距离是　 　 米． 12．如图，平行四边形ABCD，AB＝6，BC＝4，∠ABC＝120°，E为边AD的中点，F为边CD上一动点，M、N分别为线段BF、CE的中点，当MN取最小值时，CF为 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AC的垂直平分线交BC于D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于点F，则△BDF的周长是　 　 cm． 三．解答题（共6小题） 14．（1）解不等式组：．（2）解分式方程：． 15．化简：，并从 2，3，4 中选择一个合适的数代入求值． 16．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，4），B（3，1），C（5，1），请按如下要求作图，并完成填空： （1）如图1，画出△ABC关于原点O成中心对称的△A'B'C'； 直接写出A′的坐标：　 　 ． （2）如图2，画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△DBE，点A的对应点为点D． AC与DE所在直线的夹角为：　 　 °． 17．如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，点D、O分别是AC、BC的中点，连接DO并延长至点E，使得EO＝DO，连接BD、BE、CE． （1）求证：四边形DBEC是菱形； （2）若△ABC的周长为30，且AB+BC＝17，求四边形DBEC的面积． 18．某工厂计划生产 A，B 两种型号的机器，经调查，用 2000 元采购 A 型机器的台数是用 800 元采购 B 型机器的台数的 2 倍，一台 A 型机器的进价比一台 B 型机器的��价多 40 元．（1）求一台 A，B 型机器的进价分别为多少元？（2）若该工厂购进 A，B 型机器共 120 件进行试销，其中 A 型机器的件数不大于 B 型的件数，已知 A 型机器的售价为 300 元/台，B 型机器的售价为 260 元/台，且全部能售出，求该工厂能获得的利润最小是多少？ 19．【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°，且这两条线段长度相等，则称其一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 【问题解决】 （1）在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若AB＝2，且AC与AB互为双关联线段，则矩形ABCD的面积为　 　 ． （2）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、CA的延长线上，且AE＝CD，连接AD、BE交于点F，求证：线段AD与线段BE互为双关联线段． （3）如图2，在边长为6的等边△ABC中，点P是边BC上的动点（不与点B、C重合），连接AP，以AP为边作线段AP的双关联线段AQ（点Q与点C在直线AP的同侧），连接CQ、PQ． ①求线段AQ长度的最小值； ②当△CPQ为直角三角形时，直接写出所有满足条件的BP的长． （4）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可） 2025-2026学年广东省深圳大学附中八年级（下）期末数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．中国的货币不仅历史悠久而且种类繁多，形成了独具一格的货币文化．以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分货币图形，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义逐项分析即可得解． 【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 2．已知m＜n，下列式子一定成立的是（　　） A．m ﹣ 2＞n ﹣ 2 B．md＜nd C． D．4 ﹣ m＜4 ﹣ n 【分析】本题考查不等式的性质．需要根据不等式的性质对每个选项逐一进行分析判断．不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【解答】A选项：因为m＜n，根据不等式性质1，两边同时减2，应该是m﹣2＜n﹣2，所以A选项错误．B选项：当d ＝ 0时，md ＝ nd；当d＞0时，md＜nd；当d＜0时，md＞nd，所以B选项不一定成立．C选项：因为m＜n，根据不等式性质2，两边同时除以4，可得，C选项正确．D选项：因为m＜n，两边同时乘﹣1，根据不等式性质3，得﹣m＞﹣n，再两边同时加4，得4﹣m＞4﹣n，所以D选项错误． 【点评】本题主要考查对不等式性质的理解和运用，要注意在运用性质3时，乘或除以负数时不等号方向的改变，以及在涉及字母系数时要考虑多种情况． 3．若一个多边形的外角和是它内角和的，则这个多边形是（　　）边形． A．三 B．四 C．五 D．六 【分析】本题考查多边形内角和与外角和的知识．多边形的外角和是360°，设这个多边形的边数为n，其内角和公式为（n﹣2）×180°，根据题目条件列出方程求解边数n． 【解答】设这个多边形的边数为n．因为多边形外角和是360°，且外角和是内角和的，则内角和为360°×2 ＝ 720°．由多边形内角和公式（n﹣2）×180° ＝ 720°，n﹣2 ＝ 720°÷180° ＝ 4，n ＝ 4+2 ＝ 6．逐一分析选项：A选项三角形内角和为180°，不符合．B选项四边形内角和为360°，不符合．C选项五边形内角和为（5﹣2）×180° ＝ 540°，不符合．D选项六边形内角和为720°，符合． 【点评】本题关键是掌握多边形内角和与外角和的固定值及内角和公式，通过建立方程求解边数，注意计算的准确性． 4．如图，在锐角△ABC中，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，EG＝1，则△AEG的周长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，AG＝CG，据此即可求解． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵GF是AC的垂直平分线， ∴AG＝CG， ∴AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC+2EG＝9+2＝11， ∴△AEG的周长为11； 故选：A． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 5．下列命题中，假命题的是（　　） A．菱形的对角线互相垂直 B．平行四边形的对边相等 C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【分析】本题考查特殊四边形的性质和判定定理．需要对每个选项所涉及的特殊四边形的性质和判定有清晰的认识，逐一判断命题的真假． 【解答】A选项：菱形的性质就是对角线互相垂直，所以A选项是真命题．B选项：平行四边形的性质之一是对边相等，所以B选项是真命题．C选项：根据矩形的判定定理，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以C选项是真命题．D选项：对角线互���垂直、平分且相等的四边形才是正方形，仅说对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，所以D选项是假命题． 【点评】本题考查特殊四边形的性质和判定，关键是准确掌握这些定理，注意区分不同特殊四边形判定条件的细微差别． 6．某工厂生产一批零件，共360个，开工后每天比原计划多生产15个，结果提前3天完成任务，若设原计划每天生产x个，那么下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程．关键是找到题目中的等量关系，原计划完成任务的天数﹣实际完成任务的天数 ＝ 提前的天数．原计划每天生产x个，零件总数为360个，则原计划完成任务的天数为；实际每天生产（x+15）个，那么实际完成任务的天数为． 【解答】原计划完成任务的天数为，实际完成任务的天数为，因为提前3天完成任务，所以可列方程．逐一分析选项：A选项不符合等量关系，错误．B选项不符合等量关系，错误．C选项正确．D选项不符合等量关系，错误． 【点评】本题考查分式方程的实际应用，关键是准确找出等量关系，注意理解题目中各个量之间的关系，正确列出分式方程． 7．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为25 ＝ 62﹣12，所以25就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【分析】本题考查因式分解的应用．设两个正整数分别为m、n（m＞n），那么“智慧数”可以表示为m2﹣n2＝ （m+n）（m﹣n），然后对每个选项逐一分析是否能写成这种形式． 【解答】设m、n为正整数，且m＞n，“智慧数”＝ （m+n）（m﹣n）．A选项：因为2025 ＝ 452﹣02＝ （45+0）（45﹣0），所以2025是“智慧数”．B选项：假设2026 ＝ （m+n）（m﹣n），因为m+n与m﹣n的奇偶性相同，若m+n和m﹣n都是奇数，那么它们的乘积是奇数，而2026是偶数；若m+n和m﹣n都是偶数，设m+n ＝ 2a，m﹣n ＝ 2b，则2026 ＝ 4ab，2026不能被4整除，所以2026不能表示为两个正整数的平方差，不是“智慧数”．C选项：因为2027 ＝ 10142﹣10132＝ （1014+1013）（1014﹣1013），所以2027是“智慧数”．D选项：因为2028 ＝ 5082﹣5062＝ （508+506）（508﹣506），所以2028是“智慧数”． 【点评】本题考查对“智慧数”概念的理解和因式分解的应用，关键是分析每个数能否写成两个正整数平方差的形式，注意m+n与m﹣n的奇偶性对结果的影响． 8．如图，点C，E分别为等腰直角△ABC与等腰直角△DBE的直角顶点，且点C在边DE上．AF⊥DE，垂足为F．边AB的中点为M，线段MC，AC分别交BD于点N，H，连接AD，AN．若AD＝DC，则下列结论错误的是（　　） A．DF＝CE B．CMDN C．CH＝CN D．ANCD 【分析】对于选项A，连接MD交AC于点Q，作△ABC的外接圆，记为⊙M，证明点D在⊙M上得∠ADB＝90°，进而得∠FEA＝45°，由此得△FAD是等腰直角三角形，则DF＝AF，证明△AFC和△CBE全等得AF＝CE，据此得选项A正确； 对于选项B，由AD＝DC得弧AD＝弧DC，则∠1＝∠2＝22.5°，由垂径定理得MD⊥AC，证明△AMC是等腰直角三角形得∠MCA＝45°，由此得MQ＝AQ＝CQ，在Rt△MQC中，由勾股定理得CM＝MQAQ，明△ADN是等腰直角三角形得AD＝DN，在△AQD中，由∠AQD＝90°得AQ＜AD，则AQ＜DN，由此得CMDN，则选项B错误； 对于选项C，证明∠CNH＝∠CHN＝67.5°得CH＝CN，据此得选项C正确； 对于选项D，对于选项D，根据△ADN是等腰直角三角形且AD＝ND，由勾股定理得AN＝√2AD，然后根据AD＝CD得选项D正确，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， 连接MD交AC于点Q，作△ABC的外接圆，如图所示： ∵△ABC是等腰直角三角形，点C为直角顶点， ∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，AC＝BC， ∴AB是△ABC外接圆的直径， ∵点M是AB的中点， ∴点M是△ABC外接圆的圆心，记作△ABC的外接圆为⊙M， ∵△DBE是等腰直角三角形，点E为直角顶点， ∴∠E＝90°，∠EDB＝∠EBB＝45°， ∴∠CAB＝∠EDB＝45°， ∴点D在⊙M上， ∴∠ADB＝90°， ∴∠FEA＝180°﹣（∠EDB+∠ADB）＝180°﹣（45°+90°）＝45°， ∵AF⊥DE，垂足为F， ∴∠F＝90°， ∴△FAD是等腰直角三角形， ∴DF＝AF， 在△BCE中，∠E＝90°， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， 又∵∠FCA+∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°， ∴∠FCA＝∠EBC， 在△AFC和△CBE中， ， ∴△AFC≌△CBE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴DF＝CE， 故选项A正确，不符合题意； 对于选项B， ∵AD＝DC， ∴， ∴∠1＝∠2∠CBA＝22.5°， 由垂径定理得：MD⊥AC， ∴∠MQC＝∠AQD＝90°， 在△ABC中，AC＝BC，点M是AB的中点， ∴CM⊥AB，CM＝AM＝BMAB， ∴△AMC是等腰直角三角形， ∴∠MCA＝45°， 又∵MD⊥AC， ∴MQ＝AQ＝CQAC，∠CMB＝∠CMA＝90°， 在△MQC中，由勾股定理得：CMMQAQ， ∵CM⊥AB，AM＝BM， ∵CM是AB边的垂直平分线， ∴AN＝BN， ∴∠3＝∠2＝22.5°， ∴∠CAN＝∠CAB﹣∠2＝22.5°， 又∴∠CAD＝∠1＝22.5°， ∴∠DAN＝∠CAN+∠CAD＝45°， 在△ADN中，∠ADB＝90°，∠DAN＝45°， ∴△ADN是等腰直角三角形， ∴AD＝DN， 在△AQD中，∠AQD＝90°， ∴AQ＜AD， ∴CMAD， 故选项B错误，符合题意； 对于选项C， 在△BMN中，∠CMB＝90°，∠1＝22.5°， ∴∠MNB＝90°﹣∠1＝67.5°， ∴∠CNH＝∠MNB＝67.5°， 在△AHN中，∠CHN＝180°﹣（∠MCA+∠CNH）＝180°﹣（45°+67.5°）＝67.5°， ∴∠CNH＝∠CHN＝67.5°， ∴CH＝CN， 故选项C正确，不符题意； 对于选项D， ∵CM⊥AB，AM＝BM， ∵CM是AB边的垂直平分线， ∴AN＝BN， ∴∠3＝∠2＝22.5°， ∴∠CAN＝∠CAB﹣∠2＝22.5°， 又∴∠CAD＝∠1＝22.5°， ∴∠DAN＝∠CAN+∠CAD＝45°， 在△ADN中，∠ADB＝90°，∠DAN＝45°， ∴△ADN是等腰直角三角形， ∴AD＝ND， 由勾股定理得：ANAD， ∵AD＝CD， ∴ANCD， 故选项D正确，不符合题意， 综上所述：选项B错误，符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键． 二．填空题（共5小题） 9．因式分解：3ax2+12ax+12a ＝． 【分析】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【解答】首先提取公因式 3a，得到 3a（x2+4x+4）；然后根据完全平方公式（a+b）2＝ a2+2ab+b2，这里 a ＝ x，b ＝ 2，可得 x2+4x+4 ＝ （x+2）2；所以 3ax2+12ax+12a ＝ 3a（x+2）2． 【点评】本题关键是熟练掌握提公因式法和完全平方公式，分解因式要彻底． 10．如图为一次函数y＝kx+b的图象，关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集为x＜2　 ． 【分析】观察函数图象得到即可． 【解答】解：由图象可得：当x＜﹣1时，kx+b＜0， ∴关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣1， ∴关于x的不等式k（x﹣3）+b＜0的解集是x﹣3＜﹣1， ∴x＜2， 故答案为：x＜2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 11．如图，要测算池塘两端A，B之间的距离，先在地面上取一点C，然后通过测量分别找到AC和BC的中点D，E，并测得DE的长，就可测算池塘两端A，B之间的距离．若DE的长为5米，则池塘两端A，B之间的距离是　10　 米． 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：∵AC和BC的中点分别为点D，E， ∴DE是△ABC的中位线， ∵DE的长为5米， ∴AB＝2DE＝10（米）． 故答案为：10． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 12．如图，平行四边形ABCD，AB＝6，BC＝4，∠ABC＝120°，E为边AD的中点，F为边CD上一动点，M、N分别为线段BF、CE的中点，当MN取最小值时，CF为 　5　 ． 【分析】连接CM，并延长CM交AB于点P，连接PE，过点E作EQ⊥AB于点Q，先求出AE＝2，∠A＝60°，解Rt△EQA得AQ＝1，则BQ＝5，证明△MPB和△MCF全等得PM＝CM，再证明MN是△CPE的中位线得MNEP，由此得当EP为最小时，MN为最小，再根据“垂线段最短”得EP≥EE，据此得当点P于点Q重合时，MN为最小，此时BP＝BQ＝5，则CF＝BP＝5． 【解答】解：连接CM，并延长CM交AB于点P，连接PE，过点E作EQ⊥AB于点Q，如图所示： ∴∠EQA＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝6，BC＝4， ∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝4，BC∥AD，AB∥CD， ∵E为边AD的中点， ∴AEAD＝2， ∵BC∥AD， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠A＝60°， 在△EQA中，∠EQA＝90°， ∴cosA， ∴AQ＝AE•cosA＝2×coa60°＝1， ∴BQ＝AB﹣AQ＝5， ∵AB∥CD， ∴∠MPB＝∠MCF，∠MBP＝∠MFC， ∵点M是线段BF的中点， ∴BM＝FM， 在△MPB和△MCF中， ， ∴△MPB≌△MCF（AAS）， ∴PM＝CM， 即点M是线段CP的中点， 又∵点N是线段CE的中点， ∴MN是△CPE的中位线， ∴MNEP， ∴当EP为最小时，MN为最小， 根据“垂线段最短”得：EP≥EQ， ∴当点P于点Q重合时，MN为最小， 此时BP＝BQ＝5， ∴CF＝BP＝5． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形，理解平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键． 13．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AC的垂直平分线交BC于D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于点F，则△BDF的周长是　8　 cm． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，AF＝BF，进而求解即可． 【解答】解：由条件可知AD＝CD，AF＝BF， ∵BC＝8cm， ∴BD+DF+BF＝BD+DF+AF＝BD+AD＝BD+CD＝BC＝8cm， ∴△BDF的周长是8cm． 故答案为：8． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握该知识点是关键． 三．解答题（共6小题） 14．（1）解不等式组：．（2）解分式方程：． 【分析】（1）分别求解不等式①和②，然后取它们的交集得到不等式组的解集；（2）先将分式方程化为整式方程，再求解并检验． 【解答】（1）解不等式①：3x﹣2＞x移项可得 3x﹣x＞22x＞2x＞1解不等式②：两边同时乘以 3 得 x﹣2≤3移项得 x≤3+2x≤5所以不等式组的解集为 1＜x≤5．（2）解分式方程：变形为两边同时乘以 2x﹣7 得：x﹣7 ＝ 2x﹣7移项得 x﹣2x ＝﹣7+7﹣x ＝ 0x ＝ 0检验：当 x ＝ 0 时，2x﹣7 ＝﹣7≠0所以 x ＝ 0 是原分式方程的解． 【点评】本题考查解不等式组和解分式方程的基本方法，注意解分式方程要检验． 15．化简：，并从 2，3，4 中选择一个合适的数代入求值． 【分析】先对原式括号内的分式进行通分，再将除法转化为乘法，化简后根据分式有意义的条件选择合适的数代入求值． 【解答】先化简原式：对括号内通分：将除法转化为乘法：因为当 x ＝ 3 时，原分式无意义，所以当 x ＝ 2 时，原式；当 x ＝ 4 时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值，关键是正确化简并注意分式有意义的条件． 16．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，4），B（3，1），C（5，1），请按如下要求作图，并完成填空： （1）如图1，画出△ABC关于原点O成中心对称的△A'B'C'； 直接写出A′的坐标：　（﹣3，﹣4）　 ． （2）如图2，画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△DBE，点A的对应点为点D． AC与DE所在直线的夹角为：　90　 °． 【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点E，D即可． 【解答】解：（1）如图1中，△A'B'C'即为所求，A′（﹣3，﹣4）． 故答案为：（﹣3，﹣4）； （2）如图2中，△DBE即为所求，AC与DE所在直线的夹角为90°． 故答案为：90． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 17．如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，点D、O分别是AC、BC的中点，连接DO并延长至点E，使得EO＝DO，连接BD、BE、CE． （1）求证：四边形DBEC是菱形； （2）若△ABC的周长为30，且AB+BC＝17，求四边形DBEC的面积． 【分析】（1）先证明四边形DBEC是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得BD＝CD，即可得证； （2）设AB＝x，BC＝y．则x+y＝17，AC＝13，由勾股定理可得x2+y2＝169，求出xy＝60，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵点O是BC的中点， ∴OB＝OC． ∵EO＝DO， ∴四边形DBEC是平行四边形． ∵点D是AC的中点，△ABC是直角三角形， ∴BD＝CD． ∴四边形DBEC是菱形． （2）解：设AB＝x，BC＝y． ∵AB+BC＝17，△ABC的周长为30， ∴x+y＝17，AC＝13． 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2． ∵， ∴xy＝60． ∵点D、O分别是AC、BC的中点， ∴AB＝2OD， ∵DE＝2OD， ∴AB＝DE＝x． ∴． 答：四边形DBEC的面积为30． 【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 18．某工厂计划生产 A，B 两种型号的机器，经调查，用 2000 元采购 A 型机器的台数是用 800 元采购 B 型机器的台数的 2 倍，一台 A 型机器的进价比一台 B 型机器的��价多 40 元．（1）求一台 A，B 型机器的进价分别为多少元？（2）若该工厂购进 A，B 型机器共 120 件进行试销，其中 A 型机器的件数不大于 B 型的件数，已知 A 型机器的售价为 300 元/台，B 型机器的售价为 260 元/台，且全部能售出，求该工厂能获得的利润最小是多少？ 【分析】（1）设未知数，根据数量关系列分式方程求解进价；（2）根据条件列出利润关于 A 型机器件数的函数关系式，再根据条件求最小值． 【解答】（1）设一台 B 型机器的进价为 x 元，则一台 A 型机器的进价为（x+40）元．根据题意可得：化简得：2000x ＝ 2×800×（x+40）2000x ＝ 1600x+64000移项得 2000x﹣1600x ＝ 64000400x ＝ 64000x ＝ 160则 x+40 ＝ 200所以一台 A 型机器进价 200 元，一台 B 型机器进价 160 元．（2）设购进 A 型机器 m 件，则购进 B 型机器（120﹣m）件．利润 W ＝ （300﹣200）m+（260﹣160）（120﹣m）＝ 100m+100（120﹣m）＝ 100m+12000﹣100m＝ 12000因为 A 型机器的件数不大于 B 型的件数，所以 m≤120﹣m，2m≤120，m≤60．因为一次函数 W ＝ 12000 是常数函数，所以利润最小是 12000 元． 【点评】本题考查分式方程和一次函数的应用，关键是准确找出数量关系． 19．【概念理解】如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°，且这两条线段长度相等，则称其一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 【问题解决】 （1）在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若AB＝2，且AC与AB互为双关联线段，则矩形ABCD的面积为　　 ． （2）如图1，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、CA的延长线上，且AE＝CD，连接AD、BE交于点F，求证：线段AD与线段BE互为双关联线段． （3）如图2，在边长为6的等边△ABC中，点P是边BC上的动点（不与点B、C重合），连接AP，以AP为边作线段AP的双关联线段AQ（点Q与点C在直线AP的同侧），连接CQ、PQ． ①求线段AQ长度的最小值； ②当△CPQ为直角三角形时，直接写出所有满足条件的BP的长． （4）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可） 【分析】（1）根据矩形的性质可得AO＝BO，∠BAD＝90°，则∠BAO＝∠ABO＝60°，可得∠ADB＝30°，可得 BD＝2AB＝4，由勾股定理得AD的长，可求矩形ABCD的面积； （2）由△ABC是等边三角形，得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，证明△BAE≌△ACD（SAS），可得∠E＝∠D，由外角和对顶角可得∠BFD＝∠ACB＝60°，可证明线段AD与线段BE互为双关联线段； （3）①证明△ACQ≌△ABP（SAS），则AQ＝AP，由直线外一点到直线的距离垂线最短，可得线段AQ长度的最小值； ②分情况考虑△ACQ为直角三角形时，求BP的长； （4）以C为顶点，任意长为半径画弧，与AB交于一点，再分别以交点、点C为顶点，相同长为半径画弧，交于一点，连接点C与交点，并在所画直线上取CD＝AB，点C、D、与交点可构成等边三角形，则∠BCD＝60°或∠ACD＝60°，可得线段CD． 【解答】（1）解：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO，∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAO＝∠ABO＝60°， ∴∠ADB＝90°﹣∠ABO＝30°， ∴BD＝2AB＝4， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝6，∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵∠BAE＝180°﹣∠BAC，∠ACD＝180°﹣∠ACB， ∴∠BAE＝∠ACD． 在△BAE和△ACD中， ， ∴△BAE≌△ACD（SAS）， ∴∠E＝∠D， ∵∠BFD＝∠E+∠EAF，∠ACB＝∠D+∠CAD＝60°，∠EAF＝∠CAD， ∴∠BFD＝∠ACB＝60°， ∵AD、BE交于点F， ∴线段AD与线段BE互为双关联线段； （3）解：①∵AP为边作线段AP的双关联线段AQ， ∴∠PAQ＝60°，AP＝AQ． 当AP最短时，AQ也最短． ∵直线外一点到直线的距离垂线最短， ∴AP⊥BC时，AP最短． ∴， 此时线段AQ长度的最小值是； ②∵以AP为边作线段AP的双关联线段AQ， ∴∠PAQ＝60°，AP＝AQ． ∵△ACQ为直角三角形， 当∠ACQ＝90°时，AQ为△ACQ 的斜边． ∴AQ＞AC． ∵点P是边BC上的动点（不与点B、C重合）， ∴AP＜AC． 故∠ACQ≠90°， 同理∠ACQ≠90°， 当∠AQC＝90°时，由①可知，△ACQ≅△ABP（SAS）， ∴∠AQC＝∠APB＝90°， ∴； （4）解：以C为顶点，任意长为半径画弧，与AB交于一点，再分别以交点、点C为顶点，相同长为半径画弧，交于一点，连接点C与交点，并在所画直线上取CD＝AB． ∵都以相同长为半径画弧， ∴点C、D、与交点可构成等边三角形， ∴∠BCD＝60°或∠ACD＝60°， ∴如图，线段CD即为所求． 作法一：； 作法二：； 作法三：； 作法四：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质及判定，尺规作图等，掌握综合知识是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/25 10:50:14；用户：邢连强；邮箱：15269958113；学号：39535311 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $