15.3 等腰三角形-【教材笔记】2026-2027学年八年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

15.3 等腰三角形 新知解读 》如正方形、圆、等腰三角形、等边三角形等 有些几何图形是轴对称图形，利用它们的轴对称性，可以帮助我们研究图形 的性质.本节我们利用轴对称研究等腰三角形. 15.3.1等腰三角形 》等腰三角形的定义 我们知道，有两边相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形是一种特殊的三 角形，它除了具有一般三角形的性质，还有一些特殊的性质. Q探究 如图15.3-1，在纸上画一个等腰三 角形，把它剪下来，将这个等腰三角形对 折，使它的两腰重合，再展开，找出其中 重合的线段和角. 由这些重合的线段和角，你能发现等 图15.3-1 腰三角形的性质吗？说一说你的猜想 我们可以发现等腹角形的性质：恋终整精荟幸园 前提条件女须是等腰三 角形，且处须是底边上 的中线、高和顶角平分 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；我才相互重合。 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合二”）· 由上面的探究过程获得启发，可以利用三角形的全等证明这些性质. 如图15.3-2，在△ABC中，AB=AC,作底边BC的中线AD,则BD=CD 在△ABD和△ACD中， AB=AC, BD=CD. AD=AD,AD是公共边 .△ABD≌△ACD(SSS). ∴.∠B=∠C 图15.3-2 这样就证明了“等边对等角”. 78 教材笔记数学八年级上册BJ 由△ABD≌△ACD,还可得出∠BAD=∠CAD,∠BDA=∠CDA,从而AD⊥ BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底 边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直 于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边·这也就证明了等腰三角形“三线 合一”. 从以上证明也可以得出，沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合，等 腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在直线 就是它的对称轴. 》可利用“等边对等角”《 例11如图15.3-3，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，BD=BC=AD 求△ABC各角的度数. 解：.AB=AC,BD=BC=AD, ∴.∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD(等边对等角). 设∠A=x,则，利用方程思想求角的度数 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x, 从而 ∠ABC=∠C=∠BDC=2x. 图15.3-3 于是在△ABC中，有 )根据三角形的内角和定理列等量关系 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° 解得x=36° 所以，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°. 练习 ,)可利用“等边对等角” 1.如图，在△ABC中，AB=AD=DC, ∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数. 1.'AB=AD,∠BAD-26°，÷∠B=∠ADB=7（180°-∠BAD)=7×(180°-26)=77， AD=DC,.∠C=∠DAC=7∠ADB=)×77=38.5° D (第1题) (第2题) 2.如图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC,∠BAC=90°)，AD是 第十五章轴对称 79 >45°.，>45°.，>45°.，>45° 底边BC上的高.标出∠B,∠C,∠BAD,∠DAC的度数，并写出图中所 有相等的线段.AB=AC,BD=AD=CD. 3.求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形 是直角三角形.3.略.提示：利用“等边对等角”及“三角形的内角和等于 180°”即可证明. 管思考 》性质 …)互逆 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 相等.← 》判定 如图15.3-4，在△ABC中，∠B=∠C 作△ABC的角平分线AD. 在△ABD和△ACD中，“等角对等边”是我们以后 ∠1=∠2， 证明两条线段相等的常用方 法，在证明过程中，经常通 ∠B=∠C, 过计算三角形各角的度数 或利用角的关系得到角相 AD=AD, 等，从而得到对应边相等 图15.3-4 ∴.△ABD≌△ACD(AAS). .AB=AC. 由上面的推理过程，可以得到等腰三角形的判定方法：，首装整情衫中 前提条件是在同 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）. 例2求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个 三角形是等腰三角形. 已知：如图15.3-5，AD是△ABC的外角∠CAE的平分 线，AD∥BC.)利用“等角对等边，即证∠B=∠C D 求证：AB=AC V2 分析：要证明AB=AC,可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2， 所以可以设法找出∠B,∠C与∠1，∠2的关系. 证明：：AD∥BC, 》两直线平行，同位角相等 ∴.∠1=∠B,∠2=∠C 又AD平分∠CAE,)西直线平行.内借角相等 图15.3-5 80 教材笔记数学八年级上册BJ .∠1=∠2.→角平分线的性质 .∠B=∠C.>等量代换 .AB=AC.以“等角对等边 例31尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a,底边上高的长为h(图 15.3-6(1),求作这个等腰三角形 分析：根据等腰三角形“三线合一”的 M 性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底 边的垂直平分线上.由此，作出底边的垂直平 分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的 位置，即可作出这个等腰三角形. 作法：如图15.3-6(2). h D (1)作线段AB=a; (1) (2) (2)作线段AB的垂直平分线MN,与 图15.3-6 AB相交于点D; (3)在MN上取一点C,使DC=h; (4)连接AC,BC,则△ABC就是所求作的等腰三角形. 练习 1.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°.分别计算∠1，∠2的度数，并说 明图中有哪些等腰三角形 1.∠1=72°，∠2=36°.等腰三角形有△ABD,△BCD,△ABC B (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？ 为什么？2.是，根据“两直线平行，内错角相等“，可知三角形中有两个角相等 3.如图，AC和BD相交于点O,且AB∥CD,OA=OB.求证OC=OD 3.证明：O4-OB,.∠A=∠B..AB∥DC,∴.∠C∠A,∠D=∠B,∴.∠CD,∴.OC-OD 第十五章轴对称 81 15.3.2等边三角形 )等边三角形也叫作正三角形 我们知道，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰 三角形.对于等边三角形，我们同样从它的边、角关系出发，研究它的性质和 判定.拓展：(1)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴：(2)等边三角形任意 一边上的中线、高和对应角的平分线都互相重合，简称“三线合一” Q探究 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形满 足什么条件才是等边三角形？等边三角形具有等腰三角形的所有性质· 由等腰三角形的性质和判定方法，可以得到： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角 0 都等于60°：→区别于等腰三角形的特有性质 请你自己证明这些 结论 三个角都相等的三角形是等边三角形 )这个角可以是顶角也可以是底角 有一个角是60°的等腰兰角形是等边三角形. 例41如图15.3-7，△ABC是等边三角形， DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证： △ADE是等边三角形 证明：：△ABC是等边三角形，y .∠A=∠B=∠C等边三角形的性质 DE∥BC, 图15.3-7 .∠ADE=∠B,∠AED=∠C .∠A=∠ADE=∠AED. 等边三角形的判定 .△ADE是等边三角形.列 练习 1.画出等边三角形的三条对称轴.你能发现什么？ 1.图略.发现：等边三角形是轴对称图形，它有三条 对称轴，对称轴是三个角的平分线所在的直线或三条 边上的高、中线所在的直线，且三条对称轴交于一点」 2.如图，在等边三角形ABC中，AD是BC上的高， ∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的 线段？证明你的结论， 2.CD,CF,DF,AF,AE,BE,DE,证明路 (第2题) 82 教材笔记数学八年级上册RJ 利用等边三角形的性质和判定，可以发现并证明直角三角形的一个性质： Q探究 如图15.3-8，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 309 测量∠A所对的直角边BC与斜边AB,你能得到什么 结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还 C 成立吗？证明你的结论， 图15.3-8 通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A=30°，那么直角边BC等于斜边 AB的一半.下面证明这一结论. 要证明BC=7AB,只要证明2BC=AB,为此可以构造长为2BC的线段，证 明它和AB相等即可. )辅助线的作法 如图15.3-9，延长BC到D,使CD=BC, 连接AD,则AC是BD的垂直平分线，所以 309 AB=AD.又因为∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°， 所以△ABD是等边三角形，所以BD=AB.又 BD=2BC,所以BC=7AB.由此可以得到： 图15.3-9 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半 你还有其他证明方 法吗？ 例51图15.3-10是屋架设计图的一部分，点 D是斜梁AB的中点，立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°.求立 柱BC,DE的长. △AED,△ACB为含e 30°角的直角三角形 解：.DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°， B .BC-24B,DE-7 4D.3 拓展：本页性质的 逆定理也成立，即 在直角三角形中 8C=7x74=3.7 如果一条直角边等 E 于斜边的一半，那 又AD-=2AB, 么这条直角边所对 图15.3-10 的角等于30° DE=号AD=7×3.7=1.8 答：立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m. 第十五章轴对称 83 练习 -60°.->30° 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A,∠B和∠A各是多少度？边AB与 BC之间有什么关系？AB=2BC. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC,∠B和∠A各是多少度？ >60°.>30° 习题15.3/ 复习巩固 1.(1)等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是多少度？1.(1)都是35. (2)等腰三角形的一边长是8，周长是18，它的另外两边长是多少？ 2.如图，AD∥BC,BD平分∠ABC求证AB=AD】 (2)8,2或5,5 2.证明：AD∥BC,∴.∠ADB=∠DBC.又BD平分∠ABC,.∠DBC=∠ABD .∠ABD=∠ADB,·.AB=AD （第2题) (第3题) 3.如图，五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是36°.求∠AMB的 度数.3.108 1每个底角的度数均为号×(180°-36)=72 4.如图，在△ABC中，点D,E在边BC上，AB=AC,AD=AE.求证BD=CE. 4.略.提示：可以过点A作边BC的垂线，利用“三线合一”证明 B D E B (第4题) (第5题) 5.如图，∠A=∠B=60°，CE∥DA,CE交AB于点E.求证：△CEB是等边三 角形. 5.证明：·CE∥DA,∴.∠A=∠CEB..∠A=∠B=60°，.∠CEB=∠B=60°， .CE=CB,∴.△CEB是等边三角形. 84 教材笔记数学八年级上册BJ 6.如图，AB=AC,∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D.求∠DBC的 度数.6.∠A=40,AB=AC,∠ABC=∠C=)(180°-∠A)=70.MW垂直平分 AB,.BD=AD,.∠ABD=∠A=40°，.∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30° D (第6题) (第7题) 7.如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC,立柱AD⊥BC,且顶 -)∠B=∠C=30° 角∠BAC=120°.AD与AB有什么数量关系？7.AB=2AD 综合运用 8.某中学的同学们设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平： 在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块 三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确定房 梁是水平的.他们的方法对吗？为什么？ 8.对.理由如下：由等腰三角形”三线合一“可知，房梁与铅垂线垂直，所以房梁是 水平的 84° 429 (第8题) (第9题) (第10题) ->AB=-15×(10-8)=30(n mile) 9.上午8时，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h的速度向正北航行，10时到 达海岛B处.从A,B望灯塔C,测得∠NAC=42°，∠NBC=84°.求海岛B与灯 塔C的距离.9.30 n mile )∠C=∠NBC-∠NAC=42° 10.如图，△ABC是等边三角形，E是边AC上的点，且∠1=∠2，CD=BE.判断 △ADE的形状，并说明理由· 10.等边三角形，理由略.提示：证△ABE≌△ACD. 第十五章轴对称 85 11.如图，△ABD,△AEC都是等边三角形.求证BE=DC 11.略.提示：证△ABE≌△ADC D D (第11题) (第12题) (第13题) 12.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，AD⊥AB,交BC于点D.若 AD=2,求BC的长. 12.AB=AC,∴.∠C=∠B=30°.·AD⊥AB,.∠BAD=90°.在Rt△ABD中，AD=2 ∠ADB=90°-∠B=60°，.BD=2AD=4,∠DAC=∠ADB-∠C=30°，∴.∠C=∠DAC ∴.CD=AD=2,∴.BC=BD+CD=6. 13.如图，P,Q是△ABC的边BC上的两点，并且BP=PQ=QC=AP=Ag.求 ∠BAC的度数.13.120°. 拓广探索 14.等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明 其中的一个结论.你还能发现其他结论吗？ 14.相等，相等，相等.证明略.其他结论略. 15.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家 农户.如果∠C=90°，∠B=30°，要使这三家农户所得土 地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画 CD 出来. (第15题) 15.如图，作∠A的平分线AD,交BC于点D,过点D 作DE⊥AB,垂足为E,则△ADC≌△ADE≌△BDE. ★琛究与发现 三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等； 反过来，等角所对的边也相等.那么，不相等的边（或角）所对的角（或边） 之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 86教材笔记数学八年级上册RJ 如图1，在△ABC中，如果AB>AC,那么我们可以将△ABC折叠，使 边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折痕交BC于点E,则 D(C 图1 ∠C=∠ADE. ∠ADE>∠B(想一想为什么)，三角形内角和定理的推论 .∴.∠C>∠B. 这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等， 大边所对的角较大· 简记为“大边对大角” 从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以 把研究两个量之间的不等问题，转化为较大量的一部分 与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题时常用 的方法· B 类似地，应用这种方法，你能说明“在一个三角形 图2 中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角 所对的边较大”吗（图2）？简记为“大角对大边”4 利用上面两个结论，回答下面的问题： (1)在△ABC中，已知BC>AB>AC,那么∠A,∠B,∠C有怎样的大 小关系？(1)∠A>∠C>∠B (2)如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐 角三角形吗？为什么？ (2)一定是锐角三角形.理由如下：根据“大边对大角”可知，这个三角形中 最大的角为锐角，所以这个三角形一定是锐角三角形· (3)直角三角形的哪一条边最长？为什么？ (3)斜边最长，理由如下：易知直角三角形中直角最大，根据“大角对大边” 可知，直角三角形中斜边最长 第十五章轴对称 87