15.1 图形的轴对称-【教材笔记】2026-2027学年八年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

第十五章 轴对称 我们生活在一个充满对称的世界中：自然界的许多动植物按对称形生长，许 多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，我国的方块字 中有些也具有对称性，…对称给我们带来很多美的感受！生活感知→裁学抽象 轴对称是一种重要的对称.本章我们将类比研究平移的方法，从生活中的对 称出发，学习几何图形的轴对称及其性质，并利用轴对称来研究等腰三角形，进 而通过推理论证得到等腰三角形、等边三角形的性质和判定方法，由此体会图形 变化在几何研究中的作用. 让我们一起探索轴对称的奥秘吧！ 故空博物院 15.1图形的轴对称 新知解读， ,>相同点：变换后图形的形状、大小都没有发生改变 与平移一样，轴对称也是一种基本的图形变化.本节我们类比研究平移的方 法，研究轴对称及其性质。 15.1.1轴对称及其性质 对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日 常生活用品中，都可以找到对称的例子（图15.1-1). 图15.1-1 。观察 图15.1-2是3种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个图 案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸得到的.观察这些窗花，你 能发现它们有什么共同的特点吗？ >沿着折痕折叠，两边能够完全重合」 图15.1-2 62教材笔记数学八年级上册RJ ,》轴对称图形是对于一个图形而言，反映的是其自身的对称性 像窗花一样，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相 重合，这个图形就叫作轴对称图形（axisymmetric figure),这条直线就是它的对 称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点.这时，也说这个图形关于这条直 线对称.你能再举出一些轴对称图形的例子吗？ 注意：（1)对称轴是一条直线，不是射线或线段：(2)轴对称图形的对 。观察 称轴可能是一条，也可能是多条，要注意选取不同类型的对称点，作出 它所有的对称轴， 下面的每对图形有什么共同特点？ 图15.1-3 把图15.1-3中的每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形 重合。至合驾登气林对梦堂经年①有为个自2》二个田形浴秀美一◆效新 像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果 0 它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于 请你标出图15.1-3 中点A,B,C的对称点 这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对 A',B',C'. 称.同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点 是对应点，叫作对称点.你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？ 注意：(1)成轴对称的两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称： (2)成轴对称的两个图形中，在对称轴上的点的对称点是它本身，不在对 思考 称轴上的点的对称点通常在对称轴的两侧，且到对称轴的距离相等， 轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系？ 轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后，这个图形的两部分能够重合； 两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后 能够重合.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对 称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 下面，我们研究轴对称的性质. >类比思想 显然，成轴对称的两个图形全等.接下来，类似于平移，我们研究图形变化 前后对应点之间的关系. 第十五章轴对称 63 Q探究 如图15.1-4，△ABC和△A'BC'关于直线MW 对称，点A',B,C分别是点A,B,C的对称点， 线段AA',BB,CC与直线MN有什么关系？其他 对称点呢？ 、>直线MN垂直平分 线段AA',BB',CC 〉略 图15.1-4 图15.1-4中，点A与A'是对称点，设A4交对称轴MN于点P,将△ABC 或△AB'C'沿MN折叠后，点A与A'重合.于是有 AP=A'P,∠MPA=∠MPA'=90°， 直线1是线段A! BB的垂直平分线 对于其他对称点，如点B与B,点C与C也有同样 的结论.因此，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且 垂直于这条线段.这样，就得到轴对称的性质： 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴 垂直平分. 轴对称图形也具有类似的性质.例如图15.1-5中，对 图15.1-5 称轴I垂直平分对称点所连线段AA',BB. 是直线，不是射线或线段<、 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线 (perpendicular bisector).由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还 是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 练习 1.（1)(2)(3)(5)中的图形是轴对称图形，对称轴如图所示 1.如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴. (1) (2) (3) (4) 5 (第1题) 2.如图所示的每幅图形中的两个图案是成轴对称的吗？如果是，指出它们 的对称轴，并找出一对对称点. 2.（1)(3)中的图案是成轴对称的， 一组关于对称轴对称的点《 对称轴和一对对称点如图所示， 教材笔记数学八年级上册RJ 囍FFF (1) (2) (3) (第2题) 3.如图，线段AB与A'B关于直线I对称，AA 交直线I于点O,连接BO,BO (1)图中相等的线段有：AB=AB,AO=AO BO=BO,线段AA!的垂直平分线是直线L; （2)△OAB和△OA'B'关于直线1对称， △OAB ≌ △OA'B',∠ABO= (第3题) ∠A'B'O,∠A'OB'=∠AOB 15.1.2线段的垂直平分线 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴， 需要研究线段的垂直平分线的性质，>美比思想 我们类此角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的 平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的 点与线段两个端点的距离的关系· Q探究 如图15.1-6，直线1垂直平分线段AB, 点P1,P2,P3,…在1上，分别比较点P1,P2, P3,…与点A的距离和这些点与点B的距离， 你有什么发现？ 图15.1-6 可以发现，P1A=PB,P2A=P2B,P3A=P3B,…,如果把线段AB沿直线I 对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B…都是重合的，因 此它们也分别相等.由此猜想线段的垂直平分线有以下性质： 第十五章轴对称 65 线段垂直平分线的性质可直接使用，不女再利用三角形全等来证明(、 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等， 通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质. 如图15.1-7，直线1⊥AB,垂足为C,AC=BC, 点P在I上.求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ·1⊥AB, 线段的垂直平分线的 性质与角的平分线的 图15.1-7 .∠PCA=∠PCB 性质的区别和联系： 又AC=BC,PC=PC, 区别：前者是点与点 。 之间的距离，后者是 .△PCA≌△PCB(SAS)·点到直线的距离. 当点P与点C重合 ∴.PA=PB 联系：两者都可以证 时，显然成立， 明线段相等. 思考 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成 立吗？即如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ >成立， >在 同样地，通过证明两个三角形全等，可以 o 得到： 请你自己证明这个 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂 结论 直平分线上 从上面两个结论可以看出，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点 的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线 上.所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的 集合，拓展：判定一条直线是线段的垂直平分线，只需证明该直线上有两个点到线段 两个端点的距离相等即可， 。思考 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么 关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 、是指第一个命题的题设是第二个命题的结论 而第一个命题的结论是第二个命题的题设 这两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互 逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题 般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.例如，上面 关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题“对顶角相等”成立，它的 逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立. 66教材笔记数学八年级上册RJ 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定 理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.在几何中，有许多互 逆的定理.例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平 行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理. 练习 ~→CA=CE L.如图，AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上.AB,AC,CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ 1.AB=AC=CE,AB+BD=DE. (第1题) (第2题) ~)点A,M在BC的垂直平分线上 2.如图，AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？为 什么？2.是，理由如下：AB=AC,MB=MC,点A,M都在线段BC的 垂直平分线上.又·两点确定一条直线，.直线AM就是线段BC的 垂直平分线 3.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立 (1)两直线平行，同位角相等；3.（1)同位角相等，两直线平行，成立， （2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (2)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不成立， (3)全等三角形的对应角相等. (3)对应角相等的两个三角形全等，不成立 。思考 如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？ 线段的垂直平分线的作图痕迹 如图15.1-8，已知线段AB,要作线段AB的垂直 平分线.由于“两点确定一条直线”，所以作线段AB的 垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个 点.根据与A,B距离相等的点在线段AB的垂直平分线 上，可以作出这样的两个点. 作法：如图15.1-8.满是这个条件才能我到两个交点 图15.1-8 (1)分别以点A和点B为圆心，大于】AB的长为半径作弧，两弧相交于C, 第十五章轴对称 67 D两点； 0 (2)作直线CD,则直线CD就是线段AB的垂 也可以用这种方法 确定线段的中点， 直平分线. 学习了线段的垂直平分线的作法，就可以作对称轴了 由于成轴对称的两个图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平分 线，所以只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得 到这两个图形的对称轴. 我对称点时，所我的对称点 最好是图形的页点或拐点 同样地，对于轴对称图形，只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的 垂直平分线，就得到此图形的对称轴. 例如，对于图15.1-9中的五角星，我们可以找出它 的一对对称点A和A!，连接AA，作出线段AA'的垂直平 分线1，则1就是这个五角星的一条对称轴 类似地，你能作出这个五角星的其他对称轴吗？ 利用作线段的垂直平分线，还可以完成其他尺规作图. 图15.1-9 例尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线 的垂线. 已知：直线AB和AB外一点C(图15.1-10). 求作：AB的垂线，使它经过点C. 分析：假设所求作直线已经作出，则它不仅过点 C与直线AB垂直，而且是连接AB上与垂足距离相等 图15.1-10 的两点的线段的垂直平分线，我们已经会作线段的垂直平分线，因此需要首先在 直线AB上确定这两点，根据前面关于线段的垂直平分线的定理，这两点只需满 足与点C的距离相等即可，者半径等于DE,则两孤的交点在直线AB上：若半径 作法：如图15.1-10.小千2DE,则两张没有交点 0 (1)以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直 由(1)可知，点C 在线段DE的垂直平分 线AB于点D和点E; 线上，因而再作出与D, (2)分别以点D和点E为圆心，大于)DE的 E距离相等的另一点F, 长为半径作弧，两弧相交于点F; 就能得到线段DE的垂 直平分线 (3)作直线CF,则直线CF就是所求作的垂线 68 教材笔记数学八年级上册RJ 练习 1.作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一 样吗？1.对称轴如图所示.（答案不唯一) (4) （第1题) （第2题) 2.如图，与图形(1)成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴. 2.图形（2).对称轴如图所示」 3.尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，3.略 习题15.1 复习巩固 1.下面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴 1.第3个图形不是轴对称图形，其余均是，对称轴如图所示 (第1题) )与三角形1、3成轴对称 2.图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？如果把4个三角形看成一个整 体，它是轴对称图形吗？共有几条对称轴？ 》是」 >2条 (第2题) 第十五章轴对称 69 3.如图，△ABC和△A'BC关于直线I对称，∠B=90°，A'B=6.求∠B的度数 和AB的长.3.∠B-90°，AB=6 〉△ABC≌△A'BC A E B B' D (第3题) (第4题) (第5题) >AD-CD.AE-CE 4.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3,△ABD的周长为13.求 △ABC的周长.19， >点A,D在线段BC的垂直平分线上 5.如图，AB兰AC,DB=DC,点E在AD上.求证EB=EC.5.略 6.下列各命题都成立，写出它们的逆命题.这些逆命题成立吗？ (1)同旁内角互补，两直线平行；6.(1)两直线平行，同旁内角互补，成立. (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等： (2)如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，不成立 (3)全等三角形的对应边相等.(3)三条边对应相等的两个三角形全等，成立， 综合运用 7.下面的图形是轴对称图形吗？如果是，作出它的一条对称轴.7，如图所示，（后三个 图形对称轴不难一 是 》不 是 是 (第7题) 8.如图，AD与BC相交于点O,OA=OC,∠A=∠C,BE=DE.求证：OE垂直平 8.证明：在△OAB和△OCD中，.：∠A=∠C,OA=OC,∠AOB=∠COD 分BD.8.0iB色△OCD (ASAOB-O0、点O在BD为手分线上. :BE=DE,∴.点E在BD的垂直平分线上，.OE垂直平分BD. E (第8题) (第9题) 70 教材笔记数学八年级上册RJ 9.如图，分别以线段α，c为一直角边和斜边，作直角三角形.9.作图路 10.如图，某地由于居民增多，要在公路1上增加一个公共汽车站，A,B是路边 两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程 一样长？在图上标出它的位置 10.如图所示，应建在线段AB的垂直平分线和公路1的交点处. 公共汽车站 (第10题) （第11题) 11.如图，△ABC与△A'BC'关于直线I对称，对应线段AB和A'B所在的直线 相交吗？另外两组对应线段所在的直线相交吗？如果相交，交点与对称轴1 有什么关系？如果不相交，这组对应线段所在直线与对称轴1有什么关系？ 再找几个成轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律？ 11.对应线段AB和A'B'所在的直线相交，对应线段BC和B'C'所在的直线相交，交 点都在对称轴1上：对应线段AC和A'C”所在的直线不相交，这组对应线段所在直线 与对称轴【平行.规律：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线或者平行、或者相 交于对称轴上某一点 拓广探索 12.如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔.按照设计要求，发射塔 与两个城镇A,B的距离相等，到两条高速公路m和n的距离也相等.发射塔 应修建在什么位置？在图上标出它的位置 12.如图所示，发射塔应修建在线段AB的垂直平分线与两公路组成的锐角的平分线 的交点P处」 m (第12题) （第13题) 13.如图，在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线相交于点P. (1)求证PA=PB=PC (2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？ 13.（1)证明：.·点P是AB的垂直平分线上的点，∴.PA=PB.同理PB=PC. .PA=PB=PC. (2)在.结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三角 形的三个顶点的距离相等， 第十五章轴对称 71