13.2 与三角形有关的线段-【教材笔记】2026-2027学年八年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

13.2 与三角形有天的线段 新知解读 三角形的边是构成三角形的元素，本节我们研究三角形三边之间的关系，并 认识与三角形有关的三种重要线段， 13.2.1三角形的边 Q探究 任意画一个△ABC(图13.2-1)，从点B出发，沿 三角形的边到点C,有几条线路可以选择？各条线路的 长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关系？能 证明你的结论吗？ 图13.2-1 在从点B到点C的线路中，由点B先到点A再到点C的线路，比由点B直 接到点C的线路长，即BA+AC>BC,这利用了在小学我们学过的“三角形两边 的和大于第三边”的结论.下面对这个结论进行证明. 对于任意一个△ABC,如果把其中任意两个顶点（例如B,C)看成定点， 由“两点之间，线段最短”，可得 AB+AC>BC. ① 同理有 AC+BC>AB, ② AB+BC>AC. ③ 这样，我们就证明了，三角形两边的和大于第三边， 进一步，由不等式②③，移项可得 、 BC>AB-AC, 指任意两边 BC>AC-AB. 这就是说，三角形两边的差小于第三边 曾思考 上面的结论表明了三角形三边之间的关系·反过来，对于三条线段，当 它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？ 第十三章 三角形 一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线 段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，那么 这三条线段不能组成三角形：可荆断三条线段能香组成三角形的方法 注意：(1)三条线段互不相等时，只需验证较短的两条线段的和是否大于最长的线段： (2)有两条线段相等时，只需验证相等的两条线段的和是否大于第三条线段： (3)三条相等的线段一定能组成一个三角形. )周长 例用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？ 解：（1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm,则 x+2x+2x=18. 解得x=3.6 腰长 所以，三角形三边的长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm (2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论， ①如果4cm长的边为底边，设腰长为xcm,则 4+2x=18. 解得x=7. ②如果4cm长的边为腰，设底边长为ycm,则 2×4+y=18. 解得y=10. 因为4+4<10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长 是4cm的等腰三角形. 由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形. 在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且工 程建筑中经常采用三角形的结构，如图13.2-2中的 屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？ 图13.2-2 Q探究 如图13.2-3，将三根木条用钉子钉成一个三角形木 架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 图13.2-3 6 教材笔记数学八年级上册BJ 可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性的 图形.型钙具有定性装筒率的方法就是连接对角复，在其内部物造三角形 判断一个图形是否具有稳定性，就看它的基本组成部分是不是三角形.为了使多 三角形的稳定性有着广泛的应用，图13.2-4表示其中一些例子.你能再举 一些例子吗？自行车的三角形车架、矩形门框的斜拉条等 起重机 钢架桥 图13.2-4 练习 验证较短的两条线段的和是否大于最长的线段即可 1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)不能.(2)不能. (3)能.理由略 (1)3,4,8; (2)5,6,11; (3)5,6,10. 2.一根4dm长的木条和两根1dm长的木条，能否组成一个等腰三角形？ >不能 两根4dm长的木条和一根1dm长的木条呢？ >能. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 与三角形有关的线段，除了三条边，还有三种重要的线段：三角形的中线、 角平分线、高. 如图13.2-5(1)，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得 线段D叫作△ABC的边C上的中线，季年及包务香流高来相名等（华麦司 高)的三角形 (1） (2) 图13.2-5 第十三章 三角形 7 一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（图13.2-5(2)).三角形 三条中线的交点叫作三角形的重心：)一定在三角形的内部 如图13.2-6(1)，画△ABC的∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于 点D,所得线段AD叫作△ABC的角平分线.三角形的三条角平分线相交于一 点（图13.2-6(2）) 三角形的角平分线是线段 而角的平分线是射线 ∠BAD=∠CAD=5∠BAC 这个点 叫内心 B D C B D (1) (2) 图13.2-6 如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC 所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫作△ABC的 注意：高线是线段，不是射线，也不是直线 边BC上的高线.三角形的高线简称三角形的高. 判断三角形的高的方法：①过顶点：②垂足在该顶点的对边或 B D 对边的延长线上. 图13.2-7 Q探究 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么 发现？ 锐角三角形的三条高都在三角形的内部（图13.2-8（1）)；直角三角形有两 条高恰好是它的两条直角边（图13.2-8(2）)；钝角三角形有两条高在三角形的 外部，两个垂足落在边的延长线上（图13.2-8(3). A D B (1) (2) (3) 图13.2-8 注意：三角形的三条高交于一点，在锐角三角形中，其交点在三角形的内部，在直角三 角形中，其交点在直角顶点处，在纯角三角形中，其交点在三角形的外部. 8 教材笔记数学八年级上册RJ 练习 1.如图，过△ABC的顶点C分别画出它的中线、角平分线和高.1.略 3 B (1) (2) (第1题) (第2题) 2.填空题 (（1)如图(1)，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则BD=CD AB=3AC,AB=2F(数BF); (2)如图(2)，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=∠2， ∠3=7∠4BC,∠ACB=2∠4(x∠4CF 习题13.20 复习巩固 1.三角形的三边长分别为2,7，a,则a的取值范围是5<a<9, 2.长为100cm,70cm,50cm,30cm的四根木条，选其中三根组成三角形，有 几种选法？为什么？ 2.有2种选法，可以选长为100cm,70cm,50cm或70cm,50cm,30cm的三根 木条.理由略， 3.对于下面每个三角形，分别过顶点A画出它的中线、角平分线和高.3略， (1) (2) (3) (第3题) 第十三章三角形 9 4.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高.填空： (1)BE=CE=1 BC (2)∠BAD=∠CAD= 2 ∠BAC; (3)∠AFB=∠AFC=90°； (4)若BC=8,AF=5, EDF 则S△ABC= 20 (第4题) S△ABE= 10 综合运用 5.一个等腰三角形的一边长为6，周长为20，求其他两边的长.5，其他两边的长分 )腰长为6或底边长为6 别为6,8或7,7 6.(1)已知等腰三角形的一边长为5，一边长为6，求它的周长； >腰长为5或6 6.（1)16或17. (2)已知等腰三角形的一边长为4，一边长为9， >腰长为9 A 求它的周长.(2)22 E 7.如图，在△ABC中，若AB=2,BC=4,则△ABC 的高AD与CE的比是多少？（提示：利用三角形 B D 的面积公式.)7.1：2. (第7题) 方法总结：在三角形中求与高相关的线段长度问题时，常运用等积法建立等量关系， 拓探索 8.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，DE∥ AC,DE交AB于点E,DF∥AB,DF交AC于 E 点F.图中∠1与∠2有什么关系？为什么？ D 8.∠1=∠2.理由如下：.AD是△ABC的角 (第8题) 平分线，.∠BAD=∠CAD.,DE∥AC, ∴.∠1=∠CAD..DF∥AB .∴.∠2=∠BAD,.∠1=∠2. 教材笔记数学八年级上册RJ