专题2　特殊三角形 2026-2027学年数学浙教版八年级上册

**基本信息** 以“轴对称-特殊三角形性质与判定-全等”为逻辑主线，通过典例点悟+变式拓展，系统构建特殊三角形解题方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |轴对称及图形|1典例+1变式|定义法（折叠重合性）|从轴对称概念引入，为特殊三角形对称性奠基| |等腰三角形|1典例+1变式|等边对等角/等角对等边，方程思想|性质（角度/边长）→判定→综合应用| |等边三角形|1典例+1变式|60°角性质，全等判定（SAS）|特殊等腰三角形的性质延伸与全等应用| |直角三角形与勾股定理|1典例+2变式|勾股定理，斜边中线性质，面积法|直角性质→勾股计算→实际应用（格点/四边形）| |直角三角形全等|1典例+1变式|HL判定，折叠性质转化|全等判定在直角背景下的具体应用|

专题2　特殊三角形 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 题型一　轴对称及轴对称图形 【典例1】 下列表示天气的标志中，属于轴对称图形的是( ) A B C D 【点悟】 判断一个图形是否属于轴对称图形的主要依据是轴对称图形的定义，即将图形沿着某条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够完全重合，能够完全重合的就是轴对称图形，否则就不是。 【变式1】 将一张正方形纸片按如图所示的步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是( ) 变式1图 　 A　　 　　B　　　　 C　　 　 　D 题型二　等腰三角形的性质与判定 【典例2】 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上(不与点A，C重合)，连结BD，BD=AB。 (1)设∠C=α，∠ABD=β。 ①当α=50°时，求β。 ②请求出β与α的之间数量关系。 (2)若AB=5，BC=6，求AD的长。 典例2图 【变式2】 如图，在锐角三角形ABC中，E是AB边上一点，BE=CE，AD⊥BC于点D，AD与EC相交于点G。 (1)求证：EA=EG。 (2)若BE=10，CD=3，G为CE的中点，求AG的长。 变式2图 题型三　等边三角形的性质与判定 【典例3】 如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，其中点E在BC边上，连结AE，CD，求证：AE=CD。 　典例3图 【变式3】 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，P，Q分别为边BD，BC上一点，且BP=CQ，若AP＋AQ的最小值为5，则AB的长为　　。  变式3图 题型四　直角三角形与勾股定理 【典例4】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E。若AC=3，BC=4，则BE的长为 　。  典例4图 【变式4－1】 如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=3，CD=6，则AB的长为  　。  变式4－1图 【变式4－2】 如图，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C，D分别在格点上。[提示：=a(a＞0)] (1)求四边形ABCD的周长及面积。 (2)求∠ABC的度数。 (3)画出点C到线段AD的垂线段CE，并求出CE的长。 变式4－2图 题型五　直角三角形全等的判定 【典例5】 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕分别与AB，DC相交于点E，F。 (1)求证：△ADF≌△AB'E。 (2)若AD=12，DC=18，求△AEF的面积。 　典例5图 【变式5】 如图，在△ABC中，AD是高线，在线段DC上取一点E，使AE=AB。已知AB＋BD=DC。求证： (1)△ABD≌△AED。 (2)点E在线段AC的垂直平分线上。 变式5图 1.将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，点C的对应点为C'。若∠1=20°，∠2=60°，则∠C的度数为( ) 第1题图 A.60° B.50° C.45° D.40° 2.如图，在△ABC中，∠B=50°，CD⊥AB于点D，F为边AC的中点，CD=CF，则∠ACB的度数为( ) 第2题图 A.90° B.100° C.110° D.120° 3.如图，在△ABE中，BA=BE，F为AE的中点。若∠ABC=34°，∠C=50°，则∠ADB的度数为　　°。  第3题图 4.为了比较＋1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，点D在边BC上，且BD=AC=1。通过计算可得，＋1　＞ (填“＞”“＜”或“=”)。  第4题图 5.如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是线段AD和AB上的两个动点，连结CE，EF，则CE＋EF的最小值为  　。  第5题图 6.如图1，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在小方格的顶点上，这样的三角形叫作格点三角形。图1中画出了一个格点三角形(阴影部分)，它与原△ABC关于某条直线成轴对称。请再在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的格点三角形，并将所画的格点三角形涂上阴影(不能重复)。 　　　 第6题图 7.如图，∠ACB=90°，AC=AD，过点D作DE⊥AB，垂足为D，交BC于点E。求证：△CDE是等腰三角形。 第7题图 8.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD=AE。 (1)求证：CG=EG。 (2)已知BC=13，CD=5，求△CDG的面积。 第8题图 9.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”。在此图形中，连结四条线段得到如图2所示的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n。若S1=S2，则的值为 　。  第9题图 10.如图，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠CDE=90°，点A在CE上，BA的延长线恰好经过点D，AE=DE。 (1)若∠B=30°，判断△ADE的形状并说明理由。 (2)已知AC=5，设DE=x，BC2=y。 ①求y关于x的函数关系式。 ②若AB－AD=6，求线段AE的长。 第10题图 11.我们规定：在任意△ABC中，在线段BC上取P，Q两点(BP＜BQ)，使得∠BAP=∠CAQ，则称线段AP，AQ为△ABC的等角线，如图1。 (1)如图2，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点P，Q分别在线段BD，CD上(不与端点重合)，连结AP，AQ，则点D到线段AP，AQ的距离相等，判断线段AP，AQ是否为△ABC的等角线，并说明理由。 (2)如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，线段AP，AQ是△ABC的等角线，且∠PAQ=45°，若PB=，求PQ的长。 第11题图 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2　特殊三角形 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 题型一　轴对称及轴对称图形 【典例1】 下列表示天气的标志中，属于轴对称图形的是(　A　) A B C D 【点悟】 判断一个图形是否属于轴对称图形的主要依据是轴对称图形的定义，即将图形沿着某条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够完全重合，能够完全重合的就是轴对称图形，否则就不是。 【变式1】 将一张正方形纸片按如图所示的步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是(　A　) 变式1图 　 A　　 　　B　　　　 C　　 　 　D 题型二　等腰三角形的性质与判定 【典例2】 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上(不与点A，C重合)，连结BD，BD=AB。 (1)设∠C=α，∠ABD=β。 ①当α=50°时，求β。 ②请求出β与α的之间数量关系。 (2)若AB=5，BC=6，求AD的长。 典例2图 解：(1)①∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=50°， ∴∠A=180°－∠ABC－∠C=80°。 ∵BD=AB， ∴∠BDA=∠A=80°， ∴β=180°－∠A－∠BDA=20°。 ②∵AB=BD， ∴∠A=∠ADB， ∴β=180°－2∠A。 ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=α， ∴∠A=180°－2∠C=180°－2α， ∴β=180°－2(180°－2α)=4α－180°， 即β=4α－180°。 (2)如答图，过点B作BN⊥AC于点N，则AD=2AN。 典例2答图 设AN=x，则CN=5－x。 ∵BN2=AB2－AN2=BC2－CN2， ∴25－x2=36－(5－x)2， ∴x=， ∴AD=2AN=。 【点悟】 在求等腰三角形中角的度数或边的长度时，要熟练掌握等腰三角形的底角相等与三线合一的性质。在求一条线段长度的时候，如果暂时没有办法直接求出，那么先求出它的一半是常用的方法。比如在等腰三角形中求底边，可以通过作垂线，将底边分为相等的两部分，再通过勾股定理求出其一。 【变式2】 如图，在锐角三角形ABC中，E是AB边上一点，BE=CE，AD⊥BC于点D，AD与EC相交于点G。 (1)求证：EA=EG。 (2)若BE=10，CD=3，G为CE的中点，求AG的长。 变式2图 解：(1)∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∴∠B＋∠BAD=90°，∠DCG＋∠DGC=90°。 ∵EB=EC，∴∠B=∠DCG， ∴∠BAD=∠DGC。 又∵∠AGE=∠DGC， ∴∠BAD=∠AGE，∴EA=EG。 (2)如答图，过点E作EF⊥AG，垂足为F，则∠EFG=90°。 变式2答图 ∵EA=EG，EF⊥AG， ∴AG=2FG。 ∵G为CE的中点， ∴EG=GC=EC。 又∵EB=EC=10， ∴GC=EG=5。 ∵∠EFG=∠CDG=90°，∠EGF=∠CGD， ∴△EFG≌△CDG(AAS)， ∴FG=DG。 在Rt△CDG中，CD=3， ∴DG==4， ∴FG=DG=4， ∴AG=2FG=8。 题型三　等边三角形的性质与判定 【典例3】 如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，其中点E在BC边上，连结AE，CD，求证：AE=CD。 　典例3图 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=CB，∠ABE=60°。 ∵△BDE是等边三角形， ∴BE=BD，∠CBD=60°， ∴∠ABE=∠CBD。 在△ABE和△CBD中， ∵ ∴△ABE≌△CBD(SAS)， ∴AE=CD。 【点悟】 等边三角形不仅有“三条边都相等”和“三个内角都为60°”的性质，还拥有等腰三角形的所有性质。 【变式3】 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，P，Q分别为边BD，BC上一点，且BP=CQ，若AP＋AQ的最小值为5，则AB的长为　5　。  变式3图 【解析】 如答图，作CE∥BD，使得CE=AB，连结EQ， 变式3答图 则∠CBD=∠ECQ。 ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABP=∠ECQ。 在△ABP和△ECQ中， ∵ ∴△ABP≌△ECQ(SAS)， ∴AP=EQ， ∴AP＋AQ=EQ＋AQ， ∴当A，Q，E三点共线时，AP＋AQ的最小值等于AE的长。 又∵AP＋AQ的最小值为5， ∴AE的长为5。 ∵∠BAC=100°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=40°， ∴∠ECQ=∠CBD=∠ABC=20°。 ∵CE=AB=AC，∠ACE=40°＋20°=60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴AC=AE=5， ∴AB=5。 题型四　直角三角形与勾股定理 【典例4】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E。若AC=3，BC=4，则BE的长为 　。  典例4图 【解析】 ∵∠ACB=90°， ∴AB==5。 又∵D是AB的中点， ∴CD=AB=，S△ABC=2S△BCD， 即BC·AC=2×CD·BE， ∴BE=。 【点悟】 勾股定理的作用是已知直角三角形的任意两边长，求第三边的长，我们要会灵活运用勾股定理的不同形式求解。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，勾股定理的不同形式有：　 (1)c2=a2＋b2，a2=c2－b2，b2=c2－a2。 (2)c=，a=，b=。 【变式4－1】 如图，在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=3，CD=6，则AB的长为 　。  变式4－1图 【解析】 如答图，延长AD，BC，两者相交于点E。 变式4－1答图 ∵∠A=60°，∠B=90°， ∴∠E=180°－∠A－∠B=30°， ∴AE=2AB。 易知∠CDE=90°，∴CE=2CD=12， ∴BE=BC＋CE=15。 易知AB2＋BE2=AE2， ∴AB2＋225=(2AB)2， ∴AB=。 【变式4－2】 如图，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C，D分别在格点上。[提示：=a(a＞0)] (1)求四边形ABCD的周长及面积。 (2)求∠ABC的度数。 (3)画出点C到线段AD的垂线段CE，并求出CE的长。 变式4－2图 解：(1)由勾股定理可得，AB=，BC==2，CD==5，AD==2， ∴四边形ABCD的周长=AB＋BC＋CD＋AD=5＋5， 四边形ABCD的面积=×5×2＋×5×4=15。 (2)∵AB2=12＋22=5，BC2=42＋22=20，AC=5， ∴AB2＋BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°。 (3)如答图，CE即为所求。 变式4－2答图 ∵CD=AC=5，ED=AD=， ∴CE⊥AD， ∴CE==2。 题型五　直角三角形全等的判定 【典例5】 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕分别与AB，DC相交于点E，F。 (1)求证：△ADF≌△AB'E。 (2)若AD=12，DC=18，求△AEF的面积。 　典例5图 解：(1)∵四边形ABCD是长方形， ∴∠D=∠C=90°，AD=CB，AB∥CD， ∴∠CFE=∠AEF。 由折叠的性质，得∠B'=∠B=90°，AB'=CB，∠CFE=∠AFE， ∴AD=AB'，∠AFE=∠AEF， ∴AF=AE。 在Rt△ADF和Rt△AB'E中， ∵ ∴△ADF≌△AB'E(HL)。 (2)由折叠的性质，得AF=CF。 设AF=CF=x，则DF=DC－CF=18－x。 在Rt△ADF中，∵AD2＋DF2=AF2， ∴122＋(18－x)2=x2， 解得x=13，即AF=13。 ∵△ADF≌△AB'E， ∴AE=AF=13， ∴S△AEF=AE·AD=78。 【变式5】 如图，在△ABC中，AD是高线，在线段DC上取一点E，使AE=AB。已知AB＋BD=DC。求证： (1)△ABD≌△AED。 (2)点E在线段AC的垂直平分线上。 变式5图 证明：(1)∵AD是高线， ∴AD⊥BC。 又∵AB=AE，AD=AD， ∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL)。 (2)由(1)易得BD=ED， ∴AB＋BD=AE＋ED。 又∵AB＋BD=DC，∴DC=AE＋ED， 即ED＋EC=AE＋ED，∴EC=AE， ∴点E在线段AC的垂直平分线上。 1.将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，点C的对应点为C'。若∠1=20°，∠2=60°，则∠C的度数为(　D　) 第1题图 A.60° B.50° C.45° D.40° 【解析】 由折叠得∠CED=∠2，∠C=∠C'。 在▱ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADE=∠CED=∠2， ∴∠C'DE=∠1＋∠2=80°， ∴∠C=∠C'=180°－∠C'DE－∠2=180°－80°－60°=40°。 2.如图，在△ABC中，∠B=50°，CD⊥AB于点D，F为边AC的中点，CD=CF，则∠ACB的度数为(　B　) 第2题图 A.90° B.100° C.110° D.120° 【解析】 ∵CD⊥AB，F为边AC的中点， ∴AC=2CF。 又∵CD=CF，∴AC=2CD， ∴∠A=30°， ∴∠ACD=90°－∠A=60°。 易知∠DCB=90°－∠B=40°， ∴∠ACB=∠ACD＋∠DCB=100°。 3.如图，在△ABE中，BA=BE，F为AE的中点。若∠ABC=34°，∠C=50°，则∠ADB的度数为　67　°。  第3题图 4.为了比较＋1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，点D在边BC上，且BD=AC=1。通过计算可得，＋1　＞ (填“＞”“＜”或“=”)。  第4题图 【解析】 ∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1， ∴CD=BC－BD=2， AB=， ∴AD=， ∴BD＋AD=＋1。 又∵在△ABD中，AD＋BD＞AB， ∴＋1＞。 5.如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为D，E，F分别是线段AD和AB上的两个动点，连结CE，EF，则CE＋EF的最小值为 　。  第5题图 【解析】 如答图1，连结CF。根据两点之间线段最短，可得CE＋EF≥CF。又根据垂线段最短可得，当CF⊥AB时，CF有最小值，此时CF与AD的交点即为点E，如答图2。 第5题答图 在Rt△AFC中， ∵AC=6，∠AFC=90°，∠FAC=60°， ∴∠ACF=30°， ∴AF=AC=3， ∴FC=， ∴CE＋EF的最小值为。 6.如图1，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在小方格的顶点上，这样的三角形叫作格点三角形。图1中画出了一个格点三角形(阴影部分)，它与原△ABC关于某条直线成轴对称。请再在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的格点三角形，并将所画的格点三角形涂上阴影(不能重复)。 　　　 第6题图 解：如答图(答案不唯一)。 图1 图2 图3 第6题答图 7.如图，∠ACB=90°，AC=AD，过点D作DE⊥AB，垂足为D，交BC于点E。求证：△CDE是等腰三角形。 第7题图 证明：∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°。 又∵∠ACB=90°， ∴∠ADE=∠ACB。 ∵AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC， ∴∠ACB－∠ACD=∠ADE－∠ADC，即∠ECD=∠EDC， ∴△CDE是等腰三角形。 8.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD=AE。 (1)求证：CG=EG。 (2)已知BC=13，CD=5，求△CDG的面积。 第8题图 第8题答图 解：(1)如答图，连结DE。 在Rt△ADB中，E是AB的中点， ∴DE=AB=AE。 又∵CD=AE，∴DE=DC。 又∵DG⊥CE，∴CG=EG。 (2)如答图，过点E作EF⊥BC于点F。 ∵BC=13，CD=5， ∴BD=BC－CD=8，DE=CD=5。 ∵DE=BE，EF⊥BC， ∴DF=BF=BD=4， ∴EF==3， ∴S△DEC=CD·EF=， ∴S△CDG=S△CDE=。 9.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”。在此图形中，连结四条线段得到如图2所示的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n。若S1=S2，则的值为 　。  第9题图 【解析】 设图1中三角形较短的直角边长为x，则较长的直角边长为x＋n。 由题意，得S1=2nx＋n2，S2=2x2， ∴ ∴m2=2x2＋2x2=4x2， ∴m=2x(负值舍去)， 4x2=2nx＋n2＋2x2=x2＋(x＋n)2， ∴(x＋n)2=3x2， ∴x＋n=x(负值舍去)， ∴n=(1)x， ∴。 10.如图，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠CDE=90°，点A在CE上，BA的延长线恰好经过点D，AE=DE。 (1)若∠B=30°，判断△ADE的形状并说明理由。 (2)已知AC=5，设DE=x，BC2=y。 ①求y关于x的函数关系式。 ②若AB－AD=6，求线段AE的长。 第10题图 第10题答图 解：(1)△ADE是等边三角形。理由如下： ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠BAC=60°， ∴∠DAE=∠BAC=60°。 又∵AE=DE， ∴△ADE是等边三角形。 (2)①在Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠CDE=90°， ∴∠EDA＋∠CDA=90°，∠BAC＋∠B=90°。 ∵AE=DE， ∴∠EDA=∠EAD。 又∵∠EAD=∠BAC， ∴∠EDA=∠EAD=∠BAC， ∴∠CDA=∠B， ∴△BCD是等腰三角形， ∴y=BC2=CD2=CE2－DE2=(x＋5)2－x2=10x＋25。 ②如答图，过点C作CH⊥BD于点H。 ∵BC=CD， ∴BH=DH， ∴AB－AD=BH＋AH－(DH－AH)=2AH=6， ∴AH=3。 又∵AC=5， ∴CH==4。 设BH=a， 在Rt△BCH中，由勾股定理得，BC2=BH2＋CH2=a2＋42， 在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC2=AB2－AC2=(a＋3)2－52， ∴a2＋42=(a＋3)2－52， 解得a=， ∴BC2=10x＋25=＋42， 解得x=， ∴AE=DE=。 11.我们规定：在任意△ABC中，在线段BC上取P，Q两点(BP＜BQ)，使得∠BAP=∠CAQ，则称线段AP，AQ为△ABC的等角线，如图1。 (1)如图2，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点P，Q分别在线段BD，CD上(不与端点重合)，连结AP，AQ，则点D到线段AP，AQ的距离相等，判断线段AP，AQ是否为△ABC的等角线，并说明理由。 (2)如图3，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，线段AP，AQ是△ABC的等角线，且∠PAQ=45°，若PB=，求PQ的长。 第11题图 解：(1)线段AP，AQ是△ABC的等角线。理由如下： ∵点D到线段AP，AQ的距离相等， ∴∠DAP=∠DAQ。 ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAB=∠DAC， ∴∠PAB=∠QAC， 即线段AP，AQ是△ABC的等角线。 (2)如答图，将△APB围绕点A旋转到△AP'C的位置，则BP=CP'，AP=AP'，∠ACP'=∠B，∠PAB=∠P'AC，设∠PAB=∠QAC=α。 第11题答图 ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACP'=∠B=∠ACQ=45°，AP=AP'， ∴∠QCP'=45°＋45°=90°。 ∵∠ACP'=∠ACQ，∠QAC=∠PAB=∠P'AC=α，AC=AC， ∴△CAQ≌△CAP'(ASA)， ∴CQ=CP'，即△CP'Q为等腰直角三角形， ∴P'Q=CP'=PB=2。 ∵∠PAQ=90°－2α=45°， ∴2α=45°， ∴∠PAQ=2α=45°， ∴∠PAQ=∠P'AQ。 又∵AP=AP'，AQ=AQ， ∴△AQP≌△AQP'(SAS)， 则PQ=P'Q=2。 学科网（北京）股份有限公司 $