3.1 列代数式表示数量关系-【教材笔记】2026-2027学年七年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

第 三 章代数式 实质上就是用代数式表示数和数量灵系《 在小学，我们学过用字母表示数，知道可以用字母或含有字母的式子表示数 和数量关系，这样的式子在数学中有重要作用，并在解决实际问题中有着广泛的 应用.看下面的问题··。 智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人 平均每秒可以完成5范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它 的一个机械手平均8s可以采摘一个苹果，根据这些数据回答下列问题 )该机器人0s能识别多大范围内的苹果？60s呢？ts呢？5x1050m 5×60=300(m (2) 该机器人识别nm?范围内的苹果需要多少秒？号 5t m2 3) 若该机器人搭载了m个机械手(m>),它与采摘工人同时工作1h,已 知工人平均5§可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？ 回答上面的问题，要用到含有字母的式子，即本章将要研究的代数式.通过 对本章的学习，你将进一步体会到代数式可以简明地表示数量和数量关系，为后 续学习方程、不等式、函数等打下基础 1 ￥m×3600- 8 ×3600= 5 450m-720)个 3.1列代数式表示元数量天系 新知解读 实际问题中包含着一些数量和数量关系，可以用数学式子简明地表达 先来看本章引言中的问题，其中包含三个量：工作量、工作效率和工作时 间，它们之间的关系为 工作量=工作效率×工作时间 对于问题（1)，该机器人10s能识别的范围（单位：)是 最与数相乘，只能用"×”，5×10=50； 不可省略或写成“· 下 0 60s能识别的范围（单位：m)是 在含有字母的式 5×60=300; 子中如果出现乘号， ts能识别的范围（单位：m)是 通常将数放在字母前， 乘号写作“.”或省 5×t=5t. 略不写.例如，5×t可 观察上面的式子，可以看出5×10,5×60表示机 以写成5·t或5t: 器人在两个具体时间内完成的工作量，含有字母的式 子5t表示机器人在任意时间t内完成的工作量.用字母代替数使我们的表达从一 个具体问题推广到一类问题，更具有一般性， 对于问题(2)，该机器人识别nm范围内的苹果需要的时间是”§ 5 对于问题（3)， 宇母与裁或字母与字母相 机器人多采摘的苹果个数 除时，除号用分数线表示 =机器人采摘的苹果个数-工人采摘的苹果个数 =一个机械手的采摘效率×工作时间×机械手的个数一工人的采摘效率× 工作时间 8×360xm- ×3600 5 =450m-720 下面，再来看两个用含有字母的式子表示数量和数量关系的问题 (1)某工程队负责铺设一条长2km的地下管道，经过d天完成，用式子表 示这支工程队平均每天铺设的管道长度， (2)一个正方形的边长是a,这个正方形的周长1是多少？面积S呢？ 对于问题（1)，平均每天铺设的管道长度=铺设的管道总长度÷工作天数 第三章代数式 69 因此，这支工程队平均每天铺设的管道长度是2km 。 d 相同字母相乘， 对于问题（2)，由正方形的周长及面积公式，可得 可以写成幂的形式， 例如，a·a写成a2. 周长l=4a,面积S=a2. 代裁式中，除了这些运算 运算符号包括+，一，×，÷等 也可以有表示运算顺序的符← 不包括=，>，<等关系符号 号，如括号 0 上述间题中列出的武千5，行450m-720, 这里的运算包括加 d", 减、乘、除、乘方、开方 4a,a2,它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接 开方将在以后学习： 起来的式子，我们称这样的式子为代数式（algebraic expression). 单独的一个数或字母也是代数式，例如，5，t都是代数式。 例(1)苹果原价是p元kg,现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果 的售价； (2)一个长方形的长是0.9m,宽是pm,用代数式表示这个长方形的面积； (3)某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用 代数式表示去年的产量； 之前学过的面积、容积，体积等公式均为 习代数式表示的应用 :(4)一个长方体水池底面的长和宽都是am,高是hm,池内水的体积占水 池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积， 解：（1)苹果的售价是0.9p元kg; (2)这个长方形的面积是0.9pm; 若式子是和或差的形式，且后面有单位 (3)去年的产量是(2-10)件；，习则应把整个式子用括号括起来 (4)由长方体的体积=长×宽×高，得这个长方体水池的容积是a·a· hm3,即a2hm3,故池内水的体积为a2hm3. 用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关 系.例如，在例1第（1)(2)题中，0.9p既可以表示苹果的售价，也可以表示 长方形的面积.你能再举出一个例子吗？ 例2说出下列代数式的意义： )正确识别各种运算，并用严谨的语言叙 述代数式表示的数量关系 (1)2a+3;(2)2(a+3);(3) 6 (4)x2+2x+8. 0 解：（1)2a+3的意义是a的2倍与3的和； 举例说明2a+3, (2)2(a+3)的意义是a与3的和的2倍； 2(a+3)所表示的实际 例如，已知一个长方形的长为a,宽为3，则2a+3表 问题中的数量关系 示长的2倍与宽的和，2(a+3)表示长方形的周长< 70 教材笔记数学七年级上册 (3)C的意义是c除以a,b的积的商； ab (4)x2+2x+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和 练习 1.填空题 (1)每包书有10册，6包书有」 册，n包书有 册；6010n (2)王芳今年m岁，她去年」 岁，6年后 岁；(m-1）(m+6) (3)将pkg糖装入n个包装袋中，每袋糖的质量相同，每袋装入 糖 kg;卫 (4)棱长为的正方体的体积是 .a3 2.说出下列代数式的意义： a的2倍与c的3倍的和 a的平方与1的和 )a的3倍与b (1)2a+3c;（2)3(m-n); （3)a2+1;(4)3a的5倍的商 m与n的差的3倍 5b 3.代数式100-2x可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请举例说明. 例如，100-2x可以表示在周长为100，宽为x的长方形中，这个长方形的长的 2倍.也可以表示用100元买2秦单价为x元的大米后剩余的钱数 在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有 数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式 ?思考 如何用代数式表示a,b两数的和与差的积？ 列代裁式表示数量关系 可以按下面的步骤列代数式： 时，要认真审题，仔细 @ 两数的和 辨析关健词 在本书中，如无 b >a+b 它们的积，(a+ba-b) 特别说明，a,b两数 两数的差 的差，a与b的差， 6 a-b 都指“a-b” 所以a,b两数的和与差的积为(a+b(a-b). 例31用代数式表示： (1)购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数 (2)把a元钱存人银行，存期3年，年利率为2.75%，到期时的利息是多 少元？ (3)某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售， 第三章代数式 现在的售价是多少元？ )我到春老量之间的关系，根据数量关系解题 分析：(1)总钱数=2个面包的总价+3瓶饮料的总价；(2)利息=本金× 年利率×存期；(3)现在的售价=原来的标价一降价数. 解：（1)购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数 为(2a+3b)元 (2)根据题意，得a×2.75%×3=8.25%a,因此到期时的利息为8.25%a元. (3)现在的售价为(1.1x-80)元. 代数式的书写要求与用字母表示戴的书写上 要求一致，女须正确、规范地书写 例4甲、乙两地之间公路全长240km,汽车从甲地开往乙地，行驶速度 为vkm/h. (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2)如果汽车的行驶速度增加3k/h,那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少 小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 分析：本题包含路程、速度和时间三个量，它们之间具有关系：时间= 路程 速度 另外，早到的时间=原来需要行驶的时间一加快速度后需要行驶的时间. 解：（1)汽车从甲地到乙地需要行驶240h. 记住常见的裁量关系 并会进行适当变形 (2)如果汽车的行驶速度增加3km/h,那么汽车从甲地到乙地需要行驶 240 h.汽车加快速度后可以早到240-240 h v+3 y+3 从上面的例子可以看出，用字母表示数，字母可以和数一样参与运算，从而 可以用代数式把数量或数量关系简明地表示出来，更具有一般性， 练习 1.用代数式表示： (1)比a的2倍大1的数；2a+1. (2)a的相反数与b的-半的差；a- b (3)a的平方除以b的商， a 2.某种商品每袋4.8元，一个月内销售了m袋.用代数式表示这个月内销售 这种商品的收入.4.8m元 72 教材笔记数学七年级上册 3.有两块棉田，一块面积为mhm2（公顷，1hm=104m2),平均每公顷产 棉花akg；另一块面积为nhm,平均每公顷产棉花bkg.用代数式表示 两块棉田的棉花总产量.ma+nb)kg (a2-b2)mm2. 4.在一个大正方形铁皮中挖去一个小正方形铁皮，大正方形的边长是 amm,小正方形的边长是bmm.用代数式表示剩余铁皮的面积 再来看本章引言中的问题(1).机器人ts能识别的范围是5tm2,也就是说， 机器人能识别的范围与所用时间的比值总是一定的（等于5）.因此机器人能识 别的范围与所用时间是成正比例的量，它们成正比例关系 一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比 例的量，它们成正比例关系。下面我们来讨论，如果工作量保持不变，工作时间 与工作效率之间的关系。先看一个实际问题。>这两个量的商一定 问题北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.在 冬季奥运会前，某赛场计划造雪260000m3.解答下列问题： (1)根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表3.1-1. 表3.1-1 每天造雪量m3 5000 5200 6500 造雪天数 (2)每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？ 此问题包含三个量：造雪总量、每天造雪量和造雪天数，根据它们之间的 关系 造雪天数= 造雪总量 每天造雪量’ 每天造雪量为5000m时，造雪天数为26000-52：每天造雪量为5200m时， 5000 造雪天数为260000-50；每天造雪量为6500m时，造雪天数为26000 40 5200 6500 因此，表3.1-1中依次填52,50,40. 第三章代数式 3 可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每 天造雪量的乘积一定，总是260000.例如，5000×52=5200×50=6500×40= 260000. 像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量 的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定 的值，且k≠0)，反此例关系可以用y=k来表示 例5如图3.1-1，四个圆柱形容器内部的底面积分 别为10cm2,20cm2,30cm2,60cm2.分别往这四个容器 中注入300cm的水.注入的水的体积一定 (1)四个容器中水的高度分别是多少厘米？ (2)分别用x(单位：cm2)和y(（单位：cm)表示容 器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系， 图3.1-1 y与x成什么比例关系？ 相当于注入的水的体积《 分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：圆柱 的体积底面积×高，高二圆桂的体积 底面积 )乘积一定，底面积和高成反比例关系 解：(1)四个容器中水的高度分别为 300 =30(cm), 300 10 20 =15(cm, 300 30 =10(cm), 30 60 _=5(cm). (2)y=300.y与x成反比例关系. ?思考 生活中，成反比例关系的例子是很常见的，例如，在购买某种物品时， 总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系.你还能举出一些例子吗？ 答来不难，如从家到学校，小明步行的平均速《 度与时间成反比例关系 74 教材笔记数学七年级上册 练习 1.如果汽车行驶的路程一定，那么汽车行驶的平均速度与时间是否成反比例 关系？为什么？是.原因略 2.判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由： (1)一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分装，装箱数与每箱的 质量； (1)是.原因略. （2)是.原因略 (2)长方体的体积一定，长方体的底面积与高； (3)不是，原因略 (3)购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用与中性笔的费用」 3.某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系 如下表所示 每天运输的吨数 500 250 100 50 运输的天数 1 2 5 10 (1)这批货物共有多少吨？(1)500t (2)运输的天戴是随着每天运 的吨裁的减小而增大的 (2)运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？ (3)用t表示运输的天数，用a表示每天运输的吨数，用式子表示t与a 的关系.t与a成什么比例关系？(3)at=500.t与a成反比例关系. 习题3.1 复习巩固 1.用代数式表示： 1.(1)2m. (2】 3 (1)m的2倍； 2号 (3）2x-1. (4) b (3)比x的2倍少1的数；(4)a的立方除以b的商 2.说出下列代数式的意义： 2.(1)x的3倍与6的和 (2)m与2的差的5倍 (1)3x+6; (2)5(m-2); (3)a,b的平方和 (4)n与1的和除以n与 (3)a2+b2; (4)n+1 1的差的商 n-1 3.用代数式表示： 3.(1)6a2 (1)棱长为a的正方体的表面积. 第三章 代数式 (2)(a+bc)万人 (2)位于江苏省常州市金坛区的华罗庚纪念馆目前 (3)1.5%a元 (a+1.5%a元. 累计接待中外参观者α万人，预计今后每年平均接 (4)_s.km/h 待参观者b万人，c年后累计接待的总人数为多少 t-1 万人？ 4.(1)成反比例关系 因为每排的人裁与排 数的乘积是定值 华罗庚从初中毕业文凭起步， 自强不息，自学成才 所以每排人製与排戴 他一生致力于数学研究与发 成反比例关系 展，留下10多部专著和200多篇 学术论文，是我国解析数论、典 (2)是成反比例关系 型群、矩阵几何学等多方面研究 因为三角形的一条边 的创始人与开拓者，“华氏定理 和“华-王（元）方法”载入国 的长与这条边上的高 际数学史册 的乘积是定值，所以 三角形的一条边的长 (3)设某银行一年定期存款的利率是1.5%，存入a 与这条边上的高成反 元钱，一年后得到的利息是多少元？本息和（存入 比例关系 (3)不成反比例关系 的钱与利息的和)是多少元？ 因为张华制作的小红 (4)甲、乙两地相距skm.李明原计划骑车从甲地 花朵裁与制作时间的 乘积不是定值，所以 到乙地，需用时th;后因天气原因，改乘公交车前 这两个量不成反比例 往，结果提前1h到达乙地.公交车的速度是多少？ 关系 4.判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说 5.(1)10×360=3600(颗). (2)总袋裁随着每秦 明理由： 装的颗数的增多而减少 (1)200名同学参加队列操表演，按每排人数相等 (3）mn=3600,n与m 成反比例关系 的规定排列，每排的人数与排数； (2)三角形的面积是6cm2,它的一条边的长与这 6.(1)(5a+5b). 条边上的高； (2)(5a+5b)】 答案不唯一，例如，甲 (3)张华每小时可以制作120朵小红花，她制作的 车每小时行驶akm, 小红花朵数与制作时间 乙车每小时行驶bkm 则两车5h一共行驶 5.糖果厂生产一批水果糖.把这些水果糖平均分装在 (5a+5b)km. 若干袋子里，每袋装的颗数和总袋数如下表所示 7.(1)2m-1表示m的 每袋装的颗数 10 12 18 20 24 2倍与1的差，2(m-1) 总袋数 360 300 200 180 150 表示m与1的差的2倍 例如，已知甲一天可生 产m个零件，乙一天 (1)这批水果糖共有多少颗？ 生产的零件数比甲的2 倍少1，丙一天生产的 (2)总袋数是怎样随着每袋装的颗数的变化而变 零件数比甲的2倍少2 化的？ 则(2m-1)表示乙一天 生产的零件数，2(m-1)》 (3)用n表示总袋数，m表示每袋装的颗数，用式 表示丙一天生产的零 件数 子表示n与m的关系.n与m成什么比例关系？ 76 教材笔记数学七年级上册 综合运用 (2)】a表示1与a的 6.（1)如图，一个手工串珠作品由5颗红 2 2 色珠子与5颗黑色珠子串成，红色珠子 积， +a表示与a 每颗a元，黑色珠子每颗b元，购买这 的和.例如，长方形的 些珠子共花费 元 (第6(1)题) 长是a,宽是}，1a味 (2)甲、乙两车间生产同一种化工产品，甲车间每 22 天生产at,乙车间每天生产bt.两车间各生产5 示长方形的面积， +a 2 天，一共生产 t化工产品. 表示长方形周长的一半」 观察你所列的代数式，再举出一个用它表示数量或 数量关系的例子， 7.说出下列各组代数式的意义有什么不同，并举例说 8.(1)后面的裁北前一 明它们表示的实际问题中的数量关系： 个数大5 (2)5n. (1)2m-1与2(m-1); (2)2与 -+a 9.(1)乙每天读12页」 8.观察一组数：5,10,15,20,25，… 丙每天读252页.反 (1)你认为这组数有可能是按什么规律排列的？用 比例关系 文字描述这组数可能的排列规律， (2)甲读了18t页 (2)根据(1)中的规律，用代数式表示第n个数. 还剩下(252-18)页 9.甲、乙、丙3名同学阅读同一本书，丙的阅读时间 乙读了12t页，还剩 下(252-12t)页；丙 最长 (1)甲读完这本书用了14天，每天读18页.乙读 读7252 页， 还剩下 中 完这本书用了21天，每天读多少页？丙读完这本 2521 书用了x天，每天读多少页？他们读的天数和每天 252 页不成 读的页数之间有什么关系？ 反比例关系.原因略 (2)两星期内，照这样的速度阅读t天，他们各读 了多少页？还剩多少页？已读的页数和剩下的页数 10.（1)任意一个偶数 为2n,任意一个奇 成反比例关系吗？为什么？ 裁为2n+1. 拓广探索 (2)这个三位裁为 100c+10b+a. 10.(1)设n表示任意一个整数，用含n的代数式表示 任意一个偶数及任意一个奇数； 11.3支球队进行单循环 (2)一个三位数的个位上的数字为a,十位上的数 比赛，总的比赛场 裁是3.4支球队时 字为b,百位上的数字为c,用含a,b,c的代数式 总的比赛场裁是6 表示这个三位数， 5支球队时，总的比 11.3支球队进行单循环比赛（每两队之间都比赛 赛场数是10.n支球 队时，总的比赛场裁 场)，总的比赛场数是多少？4支球队呢？5支球 队呢？n支球队呢？ 是n(n-1) 2 第三章 代数式 阅读与思考 数字1与字母X的对话 1:数学的产生从数开始，数是数学世界的主人 X：我是字母，我虽然不是具体的数，但是我可以表示各种 各样的数，可以代表你1，也可以代表其他数.李县可以表示任何裁 1：由我们数组成的式子有确切的大小.例如，人们一见到 1+2就知道是1与2的和，即3.你们字母能做到吗？ X:含有我们字母的式子进行运算和推理时具有一般性，例如，x+y可以 表示任何两个数的和，包括1+2；x+y=y+x能表示任何两个数相加时都可 以交换顺序，即加法满足交换律， 1:人们解决实际问题时，需要根据已知的具体的数进行计算，进而求得 结果.字母能发挥什么作用呢？ X:在解决实际问题时，用字母表示未知数，把字母列入算式（方程）， 能更方便地表示数量关系.数和字母一起运算使问题的解法更简单· 1:人们经过长期实践创造出了数，并建立了专门研究数及其运算的数学 分支—算术。有专门研究字母的数学分支吗？ X:随着实践的发展，人们发现只有算术还不够，用字母表示数会起到 更大的作用，于是产生了代数这一数学分支，它首先研究的就是用字母表示 的式子的运算法则和方程的解法.从算术发展到代数是数学的一大进步. 1：算术几乎是伴随着人类社会活动的产生和发展而逐渐形成的，它有着 非常悠久的历史，代数有怎样的历史呢？ X:代数的历史可以追溯到约3800年前的古埃及和古巴比伦时期，那时 就有代数思想的萌芽，中国的《九章算术》中的“方程”是古典代数学研究 的核心内容，3世纪，代数在希腊获得显著的发展，其代表人 物是被誉为代数学鼻祖的丢番图（活动于250年前后）.之后， 印度的代数发展得很快.同时，阿拉伯地区的代数研究也取 得很大进展，其中著名的代表作是数学家花拉子米（约780一 约850)于820年左右发表的《代数学》，这本书第一次提出 了这门学科的名称 78 教材笔记数学七年级上册