2.2 有理数的乘法与除法-【教材笔记】2026-2027学年七年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

2.2 有理数的乖法与除法 新知解读 与加法、减法一样，乘法、除法也是有理数的基本运算.小学时学习的乘 法、除法运算也可以推广到有理数范围内. 2.2.1有理数的乘法 我们已经熟悉正数及0的乘法.与加法类似，数的 在有理数范围内， 范围扩大到了有理数后，我们希望在有理数范围内，所 除了已有的正数与正数 相乘、正数与0相乘以 有数都能像正数及0一样进行乘法运算，并使乘法运算 及0与0相乘，乘法还 具有一致性，那么该怎样进行有理数的乘法运算呢？ 有哪几种情况？ ?思考 负裁与负裁相乘、负裁与0相乘、正裁与负裁相乘 分别观察下面的两列乘法算式，你能发现什么规律？ (1)3×3=9, (2)3×3=9, 3×2=6, 2×3=6, 3×1=3, 1×3=3, 3×0=0; 0×3=0. 可以发现，对于（1)中的算式，随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3. 要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有： 3×(-1)=-3, 3×(-2)= 3×(-3)= 对于(2)中的算式，随着前一乘数逐次递减1，积逐次递减3.要使这个规 律在引入负数后仍然成立，那么应有： (-1)×3= (-2)×3= (-3)x3= 从符号和绝对值两个角度分别观察上述所有算式，可以归纳如下： 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积也为负 数.积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 38教材笔记数学七年级上册 思考 利用上面归纳的结论计算下面的算式，你能发现什么规律？ （-3)×3= (-3)×2= (-3)×1= (-3)×0= 。 可以发现，上述算式有如下规律：随着后一乘数逐次递减1，积逐次增加 3.按照上述规律，下面的空格应各填什么数？从中可以归纳出什么结论？ (-3)×(-1)= (-3)×(-2)= (-3)×(-3)= 先确定积的符号，再确 可以归纳出如下结论： 定积的绝对值人 负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 与有理数加法类似，有理数相乘，也既要确定积的符号，又要确定积的绝对 值.一般地，我们有如下的有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积 任何数与0相乘，都得0. 入>针对两个非零有理数相乘 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a,b为正有理数，c为任意有理数，则 (+a)x(+b)=+(axb),(-ax(-b)=+(a×b); (-a)x(+b)=-(axb),(+a)x(-b)=-(axb); c×0=0,0×c=0. 显然，两个有理数相乘，积是一个有理数 例计算： (1)8x(-1); 2(2)x-2》;3(-3)) 解：(1)8×(-1)=-(8×1)=-8； (2)(-2)x(-2)=+(2x2)=1: (3)(号()=+(3×)” 第二章 有理数的运算 39 在例1(2)中，()×(-2》=1，我们说2和-2互为倒数。一般地，在 有理数中仍然有： )正数的倒数是正裁，负数的倒数是负数， 乘积是1的两个数互为倒数. 0没有倒裁 例2用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座 山峰，每登高1km气温的变化量为-6℃.登高3km后，气温有什么变化？ 解：（-6)×3=-18. 答：登高3km后，气温下降18℃. 练习 -(9)[-(9)0(b)9(￡)b乙（乙)S-(T)T. 1.计算： (1)6×(-9); (2)(-4)×6; (3)(-6)×(-1); (4)(-6)×0: (5)(-4×寻 (6)) 2.商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件，与按原价销售同样数 量的商品相比，销售额有什么变化？ 3.写出下列各数的倒数： 335,-5,2,2 1,-1,1,-1 3’3 2.略. 31,-1,3.-3.-133 5522 有了有理数的乘法法则后，就要研究乘法的运算律.在小学我们学过乘法的 交换律、结合律，乘法对加法的分配律，对于有理数的乘法，它们还成立吗？ Q探究 计算 5×(-6),(-6)×5, 所得的积相同吗？换几组乘数再试一试· 从上述计算中，你能得出什么结论？ 般地，在有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数 ◎ a×b也可以写为 的位置，积不变 a·b或ab.当用字母 乘法交换律：ab=ba. 表示乘数时，“×”可 以写为“.”或省略 类似地，可以发现有理数的乘法结合律仍然成立， 40 教材笔记数学七年级上册 即在有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘， 积不变 乘法结合律：(ab)c=a(bc. 根据乘法交换律和结合律，多个有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也 可以先把其中的几个数相乘.→利用乘法交换律交换因裁的位置时， Q探究 要连同性质符号一起交换 计算 5×[3+(-7)],5×3+5×(-7), 所得的结果相同吗？换几组数再试一试 从上述计算中，你能得出什么结论？ 0 一般地，在有理数中，一个数与两个数的和相乘， 交换律、结合律、 等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加. 分配律等运算律在运 分配律：a(b+c)=ab+ac. 算中有重要作用，它 们是解决许多数学问 例3(1)计算2×3×0.5×(-7)； 题的基础， (2)用两种方法计算 1,11 4+ ×12 62 解：（1)2×3×0.5×(-7) =(2×0.5)×[3×(-7] =1×(-21) 之积为整裁，可以先结合在一起 =-21 (2)解法1： +名2 比较解法1与解法 2,它们在运算顺序上有 什么区别？解法2用了 什么运算律？哪种解法 —×12=1 更简便？ 解法1是先算括号里面的，再算乘法，解 解法2： (+名2 法2是先去括号，再相加减.解法2用了 分配律.解法2更简便 1x12+1x12-1 ×12 4 6 利用分配律时，士须把括号外的裁 和括号内的每一个裁都相乘，切不 =3+2-6=-1. 可漏乘 第二章 有理数的运算 41 Q探究 改变例3(1)的乘积式子中某些乘数的符号，得到下列一些式子.观察 这些式子，它们的积是正的还是负的？ 2×3×(-0.5)×(-7),3正的 2×(-3)×(-0.5)×(-7),负的 (-2)×(-3)×(-0.5)×(-7).3正的 几个不为0的数相乘，积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系？如 果有乘数为0，那么积有什么特点？ 可以得到：几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负 的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积 为0.一》多个非零有理数相乘，乘积的特号只与负因数的个数有关 这样，遇到多个不为0的数相乘，可以先用上面的结论确定积的符号，再把 乘数的绝对值相乘作为积的绝对值.例如： (-xx-号)x(-4) =3x×*4)-8 (-列x6×(-号)日 41 =5x6×5×4 =6. 练习 1.计算： →1.(1)-8500：(2）15：(3)25：（4)-6. (1)(-85)×(-25)×(-4); (2)(-日)k15x(-1号) (3)(0-5)k30: (4(-)x个-子+)×(+好) 42 教材笔记数学七年级上册 2.计算： 1ω(3)8×号月 (2)(-×个8×-3x0x-n 2(107(2)0 2.2.2有理数的除法 在小学，我们学习除法时，知道除法是乘法的逆运算.在把除法推广到有理 数范围内时，为使除法运算具有一致性，规定有理数的除法与乘法之间仍然具有 上述关系. 會思考 怎样计算8÷（-4)？ 根据除法是乘法的逆运算，计算8÷(-4)，就是要求一个数，使它与-4相 乘得8. 因为 (-2)×(-4)=8, >根据有理悬乘除法的 所以 8÷(-4)=-2. 互逆关系，转化除法 ① 为乘法得到商 另一方面，我们有 8x4)=-2, ② 于是有 8+(-4到=8×-4)）月 ③ ③式表明，一个数除以-4可以转化为乘-来 换其他数的除法进行 4 类似讨论，是否仍有除以 进行，即一个数除以-4，等于乘-4的倒数-】 aa0)可以转化为乘上？ 第二章有理数的运算 43 一般地，对于有理数的除法，有如下法则： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数 这个法则也可以表示成 除数一定不能为0 a÷b=a。 (b≠0) 两个有理数相除（除数不为0），商是一个有理数， 从有理数除法法则，容易得出： 0 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等 这是有理数除法 于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何 法则的另一种说法 一个不等于0的数，都得0. 先确定商的特号，再确定商的绝对值 例4计算： (1)(-36)÷9; (2)()() 解：（1)(-36)÷9=-(36÷9)=-4； (2)()()(2×()= 例5化简： (2)-45 -121 解：(1)2=(-2)+3=-2÷3》= 3 3 (2)-8-(45(-12)=45=12= 4 在例5中，我们得到子=弓这表明子是负分数， 31 因而是有理数；反过 3 0 来系，号子，又表明子可以写成子这样两个整数 有理数表示为分 3 2 数形式非常重要，在 相除的形式 分费可以理解为分子除以分母 以后的学习中，你将 逐渐体会到它在数学 一般地，根据有理数的除法，形如卫(p,q是整 中的价值， 数，9≠0)的数都是有理数；有理数又都可以写成上述形式（整数可以看成分母 44 教材笔记数学七年级上册 为1的分数).这样，有理数就是形如卫（p,9是整数，q≠0)的数。 q 71.（1)-3.(2)9.(3)- (4)0.(5)-50.(6)3. 练习 1.计算： 2.(1)-8(2)号(3)0.(4)-2 (1)(-18)÷6; (2)(-63)÷(-7); (3)1÷(-9); (4)0÷(-8); (5)(-6.5)÷0.13; (6)()(3) 2.化简： (1)-72 (2) -30 9 45 (4)2 6 因为有理数的除法可以转化为乘法，所以可以利用与乘法有关的运算律简化 运算.乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后确定积的符号，最后求出 结果.)计算时，可先见察算式，看是否能运用乘法运算律来简化计算 例6计算： (10(-1257）(-): (2)25*4) 解：(1)(-125)+(-) (2)25*84) =(25+》写 581 2×5×4 X 1 =1. =125× +5x 575 1 =25+ 1 =25 7 有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学 所学的混合运算一样，按照“先乘除，后加减”的顺序进行。 第二章 有理数的运算 45 例7计算： (1)-8+4÷(-2); (2)(-7)×(-5)-90÷(-15). 解：(1)-8+4÷(-2) （2)(-7)×(-5)-90÷(-15) =-8+(-2) =35-（-6) =-10; =35+6 =41. 例81某公司去年1月一3月平均每月亏损1.5万元，4月一6月平均每月盈 利32万元，7月一10月平均每月盈利21.7万元，11月一12月平均每月亏损2.3 万元.这个公司去年总的盈亏情况如何？ )用正、负最表示相反意义的量 解：记盈利额为正数，亏损额为负数.由 (-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2 =-4.5+96+86.8-4.6 =173.7 可知，这个公司去年全年盈利173.7万元. 计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，比 笔算要快捷得多.例如，可以用计算器计算例8中的 (-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2 如果计算器带符号键⊙，只需按键 0 Θ①○⑤83④③②8③④②①©⑦8④④ 有的计算器用©代 O②0③82⊙， 替©；有时候计算器显 注意数的符号不要漏按 显示结果为 示的结果是分数±P的 173.7, 9 就可以得到答案173.7. 形式，可以再通过相关 不同品牌计算器的操作方法可能有所不同，具体 操作转换为小数形式. 参见计算器的使用说明 练习… 1.计年：11)-02)3)4) 1)号÷-60： (2)(36号)= (3)(-12(-40*(-15)月 (4)(38(-025. 46 教材笔记数学七年级上册 2.计算： (1)6-(-12)÷(-3); (2)3×(-4)+(-28)÷7; (3)(-48)÷8-(-25)×(-6); (4)42×(-子)-)）(-0.5) 3.用计算器计算： (1)357+(-154)+26+(-212); （2)-5.13+4.62+(-8.47）-(-2.3)； (3)26×(-41)+(-35)×(-17); (4)1.252÷（-44)-（-356)÷（-0.196)(结果保留小数点后三位). 92.(1)2(2)-16.(3)-156.(4)-53 3.(1)17.(2)-6.68.（3)-471.(4)-1816.355. 习题2.20 复习巩固 1.计算： (1)(-8)×(-7); (2)12×(-5); 1.(1)(-8)×(-7)=56. (3)2.9×(-0.4); （4)(-30.5)×0.2; (2)12×(-5)=-60. (3)2.9×(-0.4)=-1.16. (5)100×(-0.001); （6)(-4.8)×(-1.25). (4)(-30.5)×0.2=-6.1 2.计算： (5)100×(-0.001)=-0.1. (6)(-4.8)×(-1.25=6. 1)4-8)月 (2)()(0)月 2.(1)- 9 (2) (3)(沿)25： 4 (4)(-03)×(9) (3)-170 3 (4) 3-7 3.写出下列各数的倒数： (1)-15; (2) 9 (3)-0.25; 3.(1)- 9 15 (2)- 5 (4)0.17; (5)41 (6)-5 (3)-4. (4)100 17 )号 (6) 5 4.计算： 27 1)(8)）×125x-8别： 4.(1)16 (2)(-10)×(-8.24)×(-0.1); (2)-8.24 第二章有理数的运算 47 (3)11. (4)-4.97 a(日吾836 5.(1)24. (2)-210 (3)3 (4)0. (4)-×(8-1写04 8 5.计算： 61)- 16 (2)-7 （1)(-2)×3×(-4); (2)(-6)×(-5)×(-7); (3)4 (4)- 4 (3)(-6)×(-0.25)× 5 4(4)(-17)x(-49x0x8 ()号 (6)- 2 6.计算： 3 （1)16÷(-3); (2)(-91)÷13; 7.-5-1 -46 (3)(-56)÷(-14); 5 （4)号+~1： $164 (5)(-16)÷(-48); (6)(-025)÷3 8(1)-2 =-3 7.填空题. 1×(-5)= 1÷(-5)= (2)36=-D 1+(-5)= 1-(-5)=; (3)-5427 (-1)×(-5)=- (-1)÷(-5)= 8=4 (-1)+(-5)=: (-1)-(-5)= (4)品 =20. 8.化简： 9.（1)0.1÷(-0.001)片 (1)21 26(3):(4 1 -×1000×1= 9.计算： 100. (1)0.1÷(-0.001)÷(-1); (2)( 2)()(-12)-24)月 (2)(24 (3)(-7)×(-56)×0÷(-13); 3.341 (4)(-9)×(-11)÷3÷(-3). 4292 综合运用 (3)(-7)×(-56)×0÷ (-13)=0. 10.计算： (4)(-9)×(-11)÷3÷ （1)23x(-5-(-3 (-3)=-9×11× 128 33 (2)(-7)×(-3)×(-0.5)+(-12)×(-2.6); -11. 48教材笔记数学七年级上册 10.(1)13. 87)片(+()g7)月 (2)20.7. 3)-号 (4)十×g4-3 (4)41 2 11.用计算器计算（结果保留小数点后两位)： (1)（-36)×128÷(-74); 11.(1)62.27 （2)2342.48. (2)（-6.23)÷(-0.25)×94; (3)0.49. (3)(-4.325)×(-0.012)-2.31÷(-5.315); （4)81.97. (4)180.65-(-32)×47.8÷（-15.5). 12.记盈利额为正数，用正数或负数填空： 12.(1)7500 (2)200. (1)小商店平均每天盈利250元，一个月（按30天计 (3)-120. 算)的利润是 元； (2)小商店一星期的利润是1400元，平均每天的利润 13.450+4×60-5×120 是 元； =450+240-600 (3)小商店一星期共亏损840元，平均每天的利润 =90(m). 是 元 13.一架直升机从高度为450m的位置开始，先以4m/s的 14.2×1=2.2×1-1 速度竖直上升60s,后以5m/s的速度竖直下降120s, 2 2×(-1)=-2 这时直升机所在高度是多少？ 拓广探索 2(》-1 不一定.如果这个 14计算2x1,2x分2x(-1.2x×(-2)月 裁是负裁，那么这 个负数一定大于它 联系这类具体的数的乘法，你认为一个非零有理数一定 的2倍 小于它的2倍吗？为什么？ 15.a. 15.利用分配律可以得到 -2×6+3×6=（-2+3)×6, -2×(-5)+3×(-5)=（-2+3)×(-5) 16.(-4)÷2=-2 4:(-2)=-2 如果用a表示任意一个数，那么利用分配律可以得 (4)÷(-2)=2 到-2a+3a等于什么？ (1)(2)中的 式子都成立从 16.计算(-4)÷2,4÷（-2)，（-4)÷（-2). 中可以总结出 联系这类具体的数的除法，你认为下列式子是否成立 分子、分母与 分裁这三者的 (a,b是有理数，且b≠0)？从中可以总结出什么规律？ 符号，任意改 变其中两个， (1)-==- b-bbi (2)-a=a 分裁的值不变 第二章 有理数的运算 ★探究与发现大 从数系扩充看有理数乘法法则 我们知道，引入负数后，数的范围从非负有理数 。 扩大到有理数，在有理数范围内，除了小学已学的正 正有理数、0统 数与正数相乘、正数与0相乘、0与0相乘，还有正 称非负有理数， 数与负数相乘、0与负数相乘、负数与负数相乘，其 中最典型、最简单的情况分别为1×(-1)，0×(-1)，(-1)×(-1).应当怎样规定 这些运算呢？下面我们从数系扩充的角度来探究一下. 在把非负有理数的加法、乘法运算推广到有理数范围内时，我们希望在 有理数中新规定的加法、乘法运算与非负有理数中相应的运算具有一致性， 并且加法、乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律， 在研究了有理数的加法运算之后，依照上述设想，研究1×(-1)，0×(-1)， (-1)×(-1)的结果. 对于1×(-1)，如果分配律成立，那么 0 1×(-1)+1×1=1×[(-1)+1]=1×0=0, 如果a+b=0,那 么a=-b. 从而 1×(-1)=-(1×1)=-1. 对于0×(-1)，如果分配律成立，那么 0×(-1)+0×1=0×[(-1)+1]=0×0=0, 从而 0×(-1)=-(0×1)=0. 对于(-1)×(-1)，如果分配律成立，那么 (-1)×(-1)+1×(-1)=[(-1)+1]×(-1)=0×(-1)=0, 从而 (-1)×(-1)=-[1×(-1)]=-(-1)=1. 综合上述分析，从数系扩充的角度来看，为了保证有理数的加法、乘法 运算与已有的非负有理数的加法、乘法运算保持一致，规定1×(-1)=-1， 0×(-1)=0,（-1)×(-1)=1是合理的. 一般地，你能从数系扩充的角度说明有理数乘法法则的合理性吗？ 50 教材笔记数学七年级上册