2.1 有理数的加法与减法-【教材笔记】2026-2027学年七年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

第二章有理数的运算 在第一章中，我们把数的范围扩大到了有理数.根据小学阶段学习数的经 验，接下来就要研究有理数的运算 最高温度与最低温 在实际问题中，我们也会遇到有理数的运算问题. 度的差，这一天北 例如：京的温差是6℃ (1)北京冬季某一天的气温为-33℃，这一天北京的温差是多少？ (2)李明同学经常对家里的生活垃圾分类，并卖出积攒的可回收物.这样既 保护了环境，又增加了零花钱.下表是他某个月零花钱的部分收支情况 收支情况表 日期 收入（+)或支出(-)/元 结余/元 注释 2日 3.5 18.5 卖可回收物 8日 -6.5 12.0 买中性笔、记号笔 12月 15.2 -3.2 买科普书，同学代付 这里， “结余12.0”和“结余-3.2”是怎么得到的？>加、减、乘、除运算 要解决上面的问题， 就要计算3-(-3)，18.5+(-6.5)，12.0+(-15.2) 述章我将在上○章以及小学已学的数的运算的基础上，进一步学习有理数 的运算，将数的运算推广到有理数范围内，从而初步感悟数系扩充的完整过程 并认识运算在数学中的价值及其在解决实际问题中的作用. 加减乘，除5 乘方运算 厨余垃圾 其他垃圾 可回收物 有害垃圾 2.1有理数的加法与减法 新知解读 数的范围扩大到有理数后，就要研究有理数的运算.我们先把小学学习的加 法与减法运算推广到有理数范围内. 2.1.1有理数的加法 在小学，我们学过正数及0的加法运算，引入负数后，在有理数范围内怎样 进行加法运算呢？ 在实际问题中，有时也会遇到与负数有关的加法运算.例如，在本章引言 中，把收人记作正数，支出记作负数，在求“结余”时，需要计算18.5+（-6.5)， 12.0+(-15.2)等. ?思考 》可概括为同号两数相加、异号两数 相加、一个数与0相加三种情况 小学学过的加法运算涉及正数与正数相加、正数与0相加以及0与0相 加.引入负数后，在有理数范围内，加法有哪几种情况？ 引入负数后，在有理数范围内，除了小学学过的加法运算，还有负数与负数 相加、负数与正数相加、负数与0相加等.下面借助具体情境和数轴来讨论有理 数的加法 看下面的问题 一个物体沿着一条直线做左右方向的运动，我们规定向右为正，向左为负 例如，将向右运动5m记作5m,向左运动5m记作-5m. 思考 〉把向左运动的裁据记作负数 如果物体沿着一条直线先向右运动5m,再向右运动3m,那么两次运动 的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 〉以第一次运动的终点为第 二次运动的起点 两次运动后，物体从起点向右运动了8.写成算式就是 5+3=8.之正数与正裁相加，即同号两裁相加 ① 若将物体的运动起点放在原点O,则这个算式可以用数轴表示为图2.1-1. 5 0 8 图2.1-1 第二章 有理数的运算 思考 )向左运动的数据记作负裁 如果物体沿着一条直线先向左运动5m,再向左运动3m,那么两次运动 的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？ 两次运动后，物体从起点向左运动了8.写成算式就是 负裁与负裁相加，← (-5)+(-3)=-8 ② 为同号两裁相加 这个算式也可以用数轴表示，如图2.1-2所示，其中假设原点0为物体的 运动起点。 -5 -8 图2.1-2 从算式①②可以看出：符号相同的两个数相加，和的符号不变，且和的绝对 值等于加数的绝对值的和。 Q探究 (1)如果物体沿着一条直线先向左运动3m,再向右运动5m,那么两次 运动的最后结果是什么？如何用算式表示？ （2)如果物体沿着一条直线先向右运动3m,再向左运动5m,那么两次 运动的最后结果是什么？如何用算式表示？ (1)结果是物体从起，点向右运动了2m.写成算式就是 负最与正数相加，(-3)+5=2. 为异号两裁相加 ③ 你能用数轴表示算 (2)结果是物体从起，点向左运动了2m.写成算式就是 式③④吗？ 正戴与负数相加，←3+(-5)=-2。 为异号两数相加 ④ 从算式③④可以看出：绝对值不相等、符号相反的两个数相加，和的符号与 绝对值较大的加数的符号相同，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小 者的差 ®探究 如果物体沿着一条直线先向右运动5m,再向左运动5，那么两次运动 的最后结果是什么？ 结果是物体仍在起点处.写成算式就是 5+(-5)=0:>特号相反，互为相反裁 ⑤ 26 教材笔记数学七年级上册 算式⑤表明，互为相反数的两个数相加，结果为0. 如果物体第1s向右（或左)运动5，第2s原地不动，那么2s后物体从 起点向右（或左)运动了5m.写成算式就是 5+0=5（或(-5)+0=-5). ⑥ 算式⑥表明，一个数与0相加，结果仍是这个数 从算式①~⑥可知，在有理数的加法运算中，既要考虑符号，又要考虑绝 对值.你能从这些算式中归纳出有理数加法的运算法则吗？ 有理数加法法则： 1.同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 2.绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝 对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，互为相反数的两个数相加得0 3.一个数与0相加，仍得这个数 )若a,b互为相反裁，则 a+b=0,反过来也成立 显然，两个有理数相加，和是一个有理数. g思考 按照有理数加法法则进行正数及0的加法运算，它和小学学过的正数及 0的加法运算一致吗？ 例计算： (1)(-3)+(-9); (2)(-8)+0; (3)12+(-8); (4）(-4.7)+3.9; (5)(2)H+2) o 在运算过程中，“先 解：(1)(-3)+(-9)=-(3+9)=-12； 定和的符号，再算和的 (2)(-8)+0=-8; 绝对值”，是一种有效 的方法」 (3)12+(-8)=+(12-8)=4; (4)(-4.7)+3.9=-(4.7-3.9)=0.8; 谁的绝对值大 和就用谁的符号 (5)(2)+(+2)=0. 會思考 任何一个数加上一个正数，和与原来的数有怎样的大小关系？加上一个负 数呢？请你先借助数轴直观地得出结论，再利用有理数的加法法则进行说明. 第二章有理数的运算 27 练习 1.用算式表示下面的结果： (1)温度由-4℃上升7℃； (2)收入7元，又支出5元 2.口算： （1)(-4)+(-6); (2)4+(-6); (3)(-4)+6; (4)(-4)+4; (5)(-4)+14; (6)（-14)+4; (7)6+(-6); (8)0+(-6); (9)(-8)+0. 3.计算： (1)15+(-22); (2)(-13)+(-8); (3)(-0.9)+1.5; 4)2() 4.请你用生活实例解释(-3)+2=-1，(-3)+(-2)=-5的意义. ->1.(1)-4+7=3:(2)7+(5)=2. 2.略.3.略.4.略 有了有理数的加法法则后，还要研究加法的运算律.我们以前学过加法交换 律、结合律，对于有理数的加法，它们还成立吗？ Q探究 计算 30+(-20),(-20)+30, 所得的和相同吗？换几组加数再试一试 从上述计算中，你能得出什么结论？ 在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变， 加法交换律：a+b=b+a. )注意：用加法交换律时，一定要连同加 Q探究 数的符号一起交换 计算 [8+(-5)]+(-4),8+[(-5)+(-4], 所得的和相同吗？换几组加数再试一试 从上述计算中，你能得出什么结论？ 28 教材笔记数学七年级上册 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相 加，和不变 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 根据加法交换律和结合律，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也 可以先把其中的几个数相加， 利用加法交换律、结合律，可以使运算简化.认识运算律对于理解运算有很 重要的意义 例21计算： (1)8+(-6)+(-8); (2)16+(-25)+24+(-35). 解：(1)8+(-6)+(-8) =[8+(-8)]+(-6)=0+(-6) 把和为0或整“十“的两个数 先相加，从而使计算简化，它 =-6; 的依据是加法交换律和加法结 合律 77 (2)16+(-25)+24+(-35) 例2中是怎样使 =(16+24)+[(-25)+(-35] 计算简化的？依据是 什么？ =40+(-60) =-20 例310袋小麦称后记录（单位：kg）)如图2.1-3所示.10袋小麦一共多少 千克？如果每袋小麦以50kg为质量标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多 少千克？ 50.550.550.849.550.6 50.749.249.450.950.4 图2.1-3 解法1：先计算10袋小麦一共多少千克： 50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5. 再计算总计超过多少千克： 502.5-50×10=2.5. 第二章 有理数的运算 29 解法2：把每袋小麦超过50kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负 数.10袋小麦对应的数分别为+0.5，+0.5，+0.8，-0.5，+0.6，+0.7，-0.8， -0.6,+0.9,+0.4. 0.5+0.5+0.8+(-0.5)+0.6+0.7+(-0.8)+（-0.6)+0.9+0.4 =[0.5+(-0.5)]+[0.8+(-0.8)]+[0.6+(-0.6]+(0.5+0.7+0.9+0.4) =2.5. 解法2把互为相反裁的裁结合←- 比较两种解法.解法2 50×10+2.5=502.5. 起来相加，可以使计算简化 这种解法使用的是加法交换律 中使用了哪些运算律？ 和加法结合律 答：10袋小麦一共502.5kg,总计超过2.5kg 练习 1.计算： (1)23+(-17)+6+(-22); (2)(-2)+3+1+(-3)+2+(-4); (3)1+(2）+3+6)月 (4)34+(2)+5+(-8) 利用有理数的加法解下列各题（第2~3题）： 2.某银行储蓄卡中存有人民币450元，先取出80元，随后又存入150元， 储蓄卡中还存有人民币多少元？ 3.一架飞机从9000m的高度先下降300m,再上升500m,这时飞机的飞 行高度是多少米？ 、7 -02)-33)号(4)2 2.450+-80)+150=520(元) 3.9000+-300)+500=9200(m). 2.1.2有理数的减法 实际问题中还经常涉及有理数的减法.例如，在 如图2.1-4，你能 看出3℃比-3℃高多 本章引言中，北京某一天的气温是-33℃，计算这 少摄氏度吗？ 一天的温差（最高气温减最低气温)就要计算3-(-3). 这里遇到了正数与负数的减法， 在小学，我们学习减法时，知道减法是加法的逆运算.在把减法 推广到有理数范围内时，为使减法运算具有一致性，规定有理数的减 法与加法之间仍然具有上述关系.这样，计算3-(-3)，就是要求一个 6 数，使得它与一3相加得3.因为6与-3相加得3，所以这个数应该是 6,即 3 3-（-3)=6. 图2.1-4 教材笔记数学七年级上册 另一方面，我们知道 3+(+3)=6, ② 由①②，得 3-(-3)=3+(+3). ③ 探究 从③式能看出减-3相当于加哪个数吗？把3分别换成0，-1，-5，用 上面的方法考虑 0-（-3),(-1)-(-3),（-5)-（-3). 0 这些数减-3的结果与它们加+3的结果相同吗？ 换几个数再试一试： 计算 9-8,9+(-8),15-7,15+(-7), 从中又有什么新发现？ 可以发现，有理数的减法可以转化为加法来进行. 有理数减法法则： 》法则中的“两变”和“一 减去一个数，等于加这个数的相反数 不变” (1）“两变”是指把运 有理数减法法则也可以表示成 算特号“-”号变为“+ 号，把减数变为它的相 a-b=a+(-b) 反悬： (2)“一不变”是指被 显然，两个有理数相减，差是一个有理数. 减数和减数的位置固定 例4计算： 不变 (1)(-3)-(-5); (2)0-7; (3)2-5; (4)7.2-（-4.8); (5)(-3)-54 解：(1)(-3)-(-5)=(-3)+5=2； (2)0-7=0+(-7)=-7; (3)2-5=2+(-5)=-3; (4)7.2-(-4.8)=7.2+4.8=12; (5)(-32）54(-32)+-54)=-8 第二章 有理数的运算 31 思考 o 在小学，只有当a大于或等于b时（其中a,b是0 在数学发展史中， 或正数)，我们才能计算a-b（如2-1,1-1).现在， 使较小的正数减去较大 正数的运算能正常进 当a小于b时，你能计算a-b(如1-2，（-1)-1)吗？ 行，并与已有的运算不 一般地，在有理数范围内，较小的数减去较大的 矛盾，是引入负数的一 数，所得差的符号是什么？ 个重要原因 练习 1.计算： （1)6-9; (2)(+4)-(-7); (3)(-5)-(-8); (4)0-(-5); (5)0-0.2; (6)（-2.5)-5.9; (7)1.9-(-0.6); (8)(2)子 (9)(+1号)(32) 2.计算： (1)比2℃低8℃的温度； （2)比-3℃低6℃的温度 1.（1)-3.（2)11.(3)3.(4)5.(5)-0.2.(6)-8.4.(7)2.5. (8)3 (9)67 2.(1)2-8=-6(℃).(2)-3-6--9（℃）. 4 14 下面研究怎样进行有理数的加减混合运算， 例51计算(-20)+(+3)-(-5)-(+7). 分析：这个算式中既有加法，也有减法.可以先根据有理数减法法则，把减 法转化为加法，即把这个算式改写为 (-20)+(+3)+(+5)+(-7), 再进行有理数的加法运算 解：(-20)+(+3)-(-5)-(+7) 减法转化为加法后使用了加 =（-20)+(+3)+(+5)+(-7) 法交换律和加法结合律 =[(-20)+(-7)】+[(+3)+(+5] 这里使用了哪些运 =(-27)+(+8) 算律？ =-19. 象归纳 引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算，例如 a+b-c=a+b+(-c). 32 教材笔记数学七年级上册 算式(-20)+(+3)+(+5)+(-7)是-20，+3，+5，-7这四个数的和.为书 写简单，可以省略算式中的括号和加号，把它写为 -20+3+5-7. 这个算式可以读作“负20、正3、正5、负7的和”，或读作“负20加3加 5减7”.例5的运算过程也可以简单地写为 在省略括号和加号前，女须统（-20)+(+3)-(-5)-(+7) 一转化为加法运算 =-20+3+5-7 =-20-7+3+5 =-27+8 =-19. 例6计算14-25+12-17. 解：14-25+12-17 =14+12-25-17 =26-42 =-16. Q探究 在数轴上，点A,B分别表示数a,b.对于下列各组数a,b: a=2,b=6;a=0,b=6;a=2,b=-6;a=-2,b=-6. (1)观察点A,B在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？ (2)利用有理数的运算，你能用含有a,b的算式表示上述各组点A,B之 间的距离吗？ 一般地，你能发现点A,B之间的距离与数a,b之间的关系吗？ 练习 1.计算： (1)1-4+3-0.5; 1.(1)-0.5 (2)0. (2)-2.4+3.5-4.6+3.5; (3)-6. (3)(-7)-(+5)+(-4)-(-10); (4)-13 4)-3+(6)} 第二章有理数的运算 33 2.将下列式子先改写成省略括号和加号的形式，再计算： (1)(-52)-(+37)+(-19)-(-24); 2.（1）原式=-52-37-19+24=-84 22Hs》2x-2+-55号 习题2.10 复习巩固 1.(1)-4. (2)8. 1.计算： (3)-12 (4)-3.1. (5)-3.6. (6)1.8. (1)(-10)+(+6); (2)(+12)+(-4); (8) 1 (3)(-5)+(-7); (4)(+6.2)+(-9.3); (5)(-0.9)+(-2.7)； (6)(-2.1)+(+3.9); (9)- 13 3 ()号+（月 (8)()+: (9)(-34)-12)月 2.(1)3 (2)0. 2.计算： (3)1.9 (1)(-8)+10+2+(-1); (2)5+(-6)+3+9+(-4)+(-7): (3)(-0.8)+1.2+(-0.7)+(-2.1)+0.8+3.5; (4)3+(-)+号+()+(3) 3.(1)-16. (2)0. 、 3.计算： (3)16. (4)0. (5)-6. (6)6. (1)(-8)-8; (2)(-8)-(-8); (7)-31 (8)-10.8. (3)8-(-8); (4)8-8; (9)0.2 (5)0-6; (6)0-(-6); (7)16-47; (8)(-3.8)-(+7); (9)(-5.9)-(-6.1)】 4.计算： 4.(1)1 (2)5 (ω(+)() (2)()()月 34 教材笔记数学七年级上册 (4)(2)3 (3) 6 (4)-5 (5)-号(6)月 (6)0-(-子)片 (5)- 2 (6) 3 2号 (8)-8. (1)(-2-(+号)}月 (8)(-16)(-04）(+12) 5.计算： 5.(1)3.1 (1）-4.2+5.7-8.4+10; (2)3 4 (3)8 (4)0.1 (5)-62 (6)0 (3)12-(-18)+(-7)-15; (4)4.7-(-8.9)-7.5+(-6); (5)(48)52)+(44(+38)片 (6)(3)+0-56+-48+(93) 综合运用 6.如图，陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处 :6.8848.86-(-432) 位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差多少米？ =8848.86+432 =9280.86(m) 8848.86m 所以两处高度相差 9280.86m. -432m 海平面 海平面 7.-7+11-9=-16+11= -5(℃)，所以半夜的 气温是-5℃. (第6题) 7.某地一天早晨的气温是-7℃，中午上升了11℃， 8.432+(-12.5)+ 半夜又下降了9℃，半夜的气温是多少摄氏度？ (-10.5)+327+ (-87)+536.5+ 8.某食品店一星期中各天的盈亏情况如下（记盈余 698=1883.5(元) 为正)： 所以食品店这一星期 盈余1883.5元. 第二章 有理数的运算 9.25×8+(1.5-3+2-0.5+ 432元，-12.5元，-10.5元，327元，-87元， 1-2-2-2.5)=200+ (4.5-10)=194.5kg). 536.5元，698元. 所以这8筐白菜一 食品店这一星期总的盈亏情况如何？ 共194.5kg 9.有8筐白菜，以每筐25kg为质量标准，超过的千 10.星期一：10-2-8（℃）： 克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记 星期二：12-1=11（℃）： 星期三：110=11（℃） 录（单位：kg)如下： 星期四：9-(-1=10（℃） 1.5,-3,2,-0.5,1,-2,-2,-2.5 星期五：7-(-4=11（℃）： 这8筐白菜一共多少千克？ 星期六：5-(-5)=10（℃） 星期日：7-(-5)=12（℃） 10.某地一星期内每天的最高气温与最低气温如下表所 所以星期日的温差最大 示，哪天的温差最大？哪天的温差最小？ 星期一的温差最小 星期 三 四 五 日 最高气温/℃ 10 12 9 11.(1)16.(2)(-3) (3)18.(4)(-12) 最低气温/℃ 2 0 5 -5 (5)(-7).(6)7. 拓广探索 11.填空题 12.(-2)+(-2)=-4,(-2)+ (-2)+(-2=-6,(-2+ (1) +11=27; (2)7+ =4; （-2)+(-2)+(-2)=-8, (3)(-9)+ =9; (4)12+ =0; (-2)+(-2)+(-2)+(-2)+ (5)(-8)+ =-15;(6) +(-13)=-6. (-2)=-10. 猜想：(-2)×2=(-2)+ 12.计算下列各式的值： (-2)=-4,(-2)×3= (-2)+(-2) (-2)+(-2)+(-2)=-6 (-2)+(-2)+(-2), (-2)×4=(-2)+(-2)+ (-2+(-2)=-8 (-2)+(-2)+(-2)+(-2), (-2)×5=(-2)+(-2)+ (-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2) (-2+(-2+(-2)=-10. 猜想下列各式的值： 进一步猜想：负数乘 正裁得负，积的绝对 (-2)×2,(-2)×3,(-2)×4,(-2)×5. 值等于两个乘数的绝 你能进一步猜出负数乘正数的法则吗？ 对值的积， 13.某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护 某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地，约 定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：k) 13.(1)(+18)+(-9)+(+7H (-14)+(-6)+(+13+-6)+ 如下： (-8)=-5,所以B地在 +18,-9,+7,-14,-6,+13,-6,-8. A地的南面，它们相距 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶 5 km. (1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)18+9+7+14+6+ 13+6+8=81(km),81× (2)如果汽车行驶1km平均耗油aL,那么这天汽 a=81aL),所以这天汽 车共耗油81aL 车共耗油多少升？ 36 教材笔记数学七年级上册 ★阅读与思考大 我国古代的正负数加减运算法则一正负术 我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，给出了名为“正负术” 的算法：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同 名相益，正无入正之，负无入负之”你知道它的意思吗？ 我们按照加法、减法的顺序，先来看“正负术”中的后四句话，它们符 合有理数的加法法则，可以用现代算式解释如下： “异名相除”，即异号两数相加时，括号前为绝对值较大的加数的符号， 括号内为加数的绝对值中较大的减去较小的.例如： (+5)+(-3)=+(5-3),(-5)+(+3)=-(5-3). “同名相益”，即同号两数相加时，括号前为加数的符号，括号内为加数 的绝对值之和.例如： (+5)+(+3)=+(5+3),(-5)+(-3)=-(5+3). “正无入正之，负无入负之”，即0加正数得正数本身，0加负数得负数 本身。例如： 0+(+3)=+3,0+(-3)=-3. 对于“正负术”中的前四句话，其实它们符合有理数的减法法则，其中 的“异名相益，正无入负之，负无入正之”，可以用现代算式解释如下： “异名相益”，即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为被 减数的绝对值与减数的绝对值之和.例如： (+5)-(-3)=+(5+3),(-5)-(+3)=-(5+3). “正无入负之，负无入正之”，即0减正数得负数（该正数的相反数)，0 减负数得正数（该负数的相反数）.例如： 0-(+3)=-3,0-(-3)=+3. 对于“同名相除”，你能用现代算式加以解释吗？ 《九章算术》中给出的“正负术”实际上符合现代有理数的加减运算法则， 这是世界数学史上第一个有理数的加减运算法则，是我国古代数学的一个辉 煌成就 第二章 有理数的运算 37