江苏扬州市2025-2026学年高一第二学期期末调研数学试卷

**基本信息** 立足高一核心知识，以海域救援、绿色出行等现实情境及分层设计，考查数学眼光、思维与语言，实现基础巩固与能力提升的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|向量投影、立体几何命题、圆锥与球|第6题以海域救援为情境，考查解三角形应用| |多项选择|3/18|统计量性质、不等式性质|第9题辨析众数、百分位数唯一性，强化概念理解| |填空|3/15|独立事件概率、向量线性运算|第13题结合平行四边形动态点，考查向量表示| |解答题|5/77|三角求值、立体几何面面垂直、统计综合、解三角形面积最值、折叠问题|第17题以绿色出行为背景，融合频率分布、分层抽样概率及方差计算；第19题折叠问题探究线线角存在性，体现空间想象与逻辑推理|

高一数学参考答案 1.D2.D 3.B4.A5.C6.C7.B 8.D 9.BC 10.ABD 11.AB12.0.16 3. 14.2027W2 15.解：(1)a=(cosa,sina+V3sinB),b=(sina,-cos a+√3cosβ)，且a/b, .cosa(-cosa+V3cosf)=sinc(sina+V3sinp）,即V3(cosacosB-sinasinB)=sin2a+cos2au,整理 得5cos(a+P)=1,所以cos(a+P)=5 ； 6分 (2)ma-子a=0的：解得sma- 5.cosa=4 因为0<a受0B至0a+A,a-=-cma+-- 2 3 V645346-35 .sin B=sin[(a+B)-a]=sin(a+B)cosa-cos(a+B)sin a= ...13分 3535-15 16.解：(1)连接EO,CO,EC. D C 正方体ABCD-AB,CD四边形ABCD为正方形，AA⊥平面ABCD ·AC⊥BD且AA⊥BDAC,AAC平面ACC1A,AC∩AA=A .BD⊥平面ACCA 3分 EO,C1OC平面ACCA∴BD⊥EO,BD⊥CO 设正方体的棱长为2，则AE=1,A0=√2，AC1=2√2，所以E0=√3，C0=V6,CE=3 .E02+CO2=CE2 EOLCO (方法一)CO,BDC平面BDC1,CO∩BD=O ·.EO⊥平面BDC ·EOC平面EBD平面EBD⊥平面BDC .8分 (方法二)即二面角E-BD-C的大小为90°，所以平面EBD⊥平面BDC (2)过点F作FMI/BD交AD于M,则FM为平面BDF与正方体ABCD-AB,CD上表面的交 线 ....11分 正方体ABCD-ABC1D∴平面ABCD/I平面ABC1A,BB //DD且BB=DD 高一数学参考答案第1页 四边形BDDB为平行四边形∴BD/B,D 平面BDF∩平面ABCD=BD,平面BDF∩平面AB,CD=FM∴BD/mM .BD //FM 15分 D C M 8 D B 17.解：(1)由题意，总人数为50， 0次频数：m=50×01=5 2次频数：50×0.3=15；3次频数：17：4次及以上频数：3： 所以1次频数：n=50-m-15-17-3=50-5-15-17-3=10: 4分 (2)用分层抽样法抽取5人中，使用自行车1次的居民2人，记为A,A,使用2次的居民3人，记为 B,B,B·记2人使用次数不同”为事件A,样本点(4，A)表示“抽取的两人为A,A”,余类推，则 样本空间：2={(4，A),(4,B),(4,B2), (4,B3),(A,B),(A2,B2),(4,B),(B,B2),(B,B),(B2,B3)}, A={(4,B),(A,B2),(A,B),(A,B),(A,B2),(A,B)} 8分 所以，P0=8号： .9分 (3)记30名男性样本为，x2,,x0,平均数为x=3,方差为s2=20:记20名女性样本为 片，，，如，平均数为y=1,方差为2=30；所有样本的总平均数为，方差为s2,样本容量为 50. 8+ 2×1=业（次）， 50 5 11分 产24-写+4，-可1六宫-可+-f+y1心5 动[30r2+30-+20+20-1-动30×20+308-2+20x30+200-391 高一数学参考答案第2页 =24.96(次2) .15分 18.解：(1)由正弦定理得3 cos C'sin A=2sinC-3 cos Asin C,可得3 sin AcosC+3 cos Asin C=2sinC, 则 3simA+C9=2sinC,即3sinB=2snC,由正弦定理得，48-s血C_3 AC sin B 5分 AB BG AE EG (2)由(1)得2c=3b, sin∠BGA sin∠BAG'sin∠AGE sin∠EAG ，可得ABBG AE GE 可得 BG=3√7，GB=√7，不妨设b=2kc=3h,在△ABG中，由余弦定理可得， AB2=GB2+GA2-2GB.GAcos.∠BGA,即9k2=63+27-18V21coS∠BGA,在△AGE中，同理 k=7+27-62Ic0sL-∠AGB),求得k=4,在△MBB中，cosA=4B+4C2-8E 2AB.AC 14+16-112_,则 96 4-骨 .11分 (3)在△ABC中，不妨设A=2a,b=2k,c=3k,SAsD+SAc=SBc,得到 号4 B.ADsina+54CA0sma-号4B-4Csn2a,可得6k+2)0-ma=×2×2,即 4D=12kcos0。同理在△4B距中AG=co2,所以g=子，则See 5 2 AD 8 ⑧askx3×9mA:3 2si4,而112=9K+k2-6k2cosA,2= 56 5-3cosA A 2tan 2 84sinA 1+ta?4 84 tan 84 S△ABE= =84 2 = 5-3cosA 1-tan24 4tan?4 n】≤21，当且仅当tan}取得等 22 +14tan5+ 5-3 1+tan24 2 tan 2 A 2 号，则S4©C最大值为3 .17分 19.解：(1)延长PG交BC于D,连接AD. PC=PB=3,∠APC=∠APB=60°，AP=2 △APB=△APC，AC=AB=VAP2+PC2-2 4Px PCxcos=V万 点G为等边△PBC的重心∴.PD⊥BC,D为BC的中点 ∴AD⊥BCAD,PDC平面APD,AD∩PD=D ∴BC⊥平面APD,即BC⊥平面APG .5分 (2)正△PBC中，PC=PB=3PD=3W5 高一数学参考答案第3页 AB=AC=√7“AD= +35-2 5 AP=2∴CoS∠ADP= 2x19x33 5'∠ADPE(,0 22 ∴.sin∠ADP 高- 933sn☑ADp-iox3W 8 V572 13223V2 ∴V=VB-ADP+Vc-ADP=5X ×3= 32 2 .11分 (3)作AH⊥PD与H,连接CH. BC⊥平面APD,AHC平面APD∴.BC⊥AH DP,BCC平面PBC,DP∩BC=DAH⊥平面PBC A “AD=9 sim∠ADP=4W2 AH=22 G 2, 7 D 2W2 B sim∠AcH=4H-3_2V42 AC 7 21 “C以与4C所成角的正弦值为2y厘，且DM-©x5-55 21 2V576 DG=1x33 ，.HG2 H 322GD3 G 过点G作GM/1CH交BC于M,所以GM与AC所成角的正弦值为2 21 B D M 瑞兴青即 .17分 高一数学参考答案第4页 高一数学试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”. 2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求) 1． （ ） A． B． C． D． 2．若一组数据的平均数为2，方差为3，对于数据，，，下列说法正确的是 （ ） A．平均数为3，方差为5 B．平均数为4，方差为11 C．平均数为4，方差为12 D．平均数为3，方差为12 3．已知，则的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 4．已知向量 ，，则在方向上的投影向量为 （ ） A． B． C． D． 5．已知是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 （ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为 （ ） A． B． C． D． 7．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的半径等于 （ ） A． B． C． D． 8．已知正五边形内接于半径为2的圆，则 （ ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列关于统计量的说法正确的有 （ ） A．一组数据的众数唯一 B．一组数据的平均数唯一 C．一组数据的60百分位数唯一 D．一组数据的方差越大，数据波动越小 10．已知，，，则下列说法正确的有 （ ） A．若，则 B． C．，，使得 D．的最大值为 11．如图，正四棱台的上、下底面中心分别为､，且，．分别为的中点，下列说法中正确的有 （ ） A． B．平面 C．二面角的大小为 D．若为线段上的一动点，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知事件A、B独立，且，则 ． 13．在平行四边形中，已知点满足，若，则的值为 ． 14．在中，，依次为边上的点，且，设，，，，，则的值为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知，，，，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 16．（本小题满分15分） 如图，正方体中，． （1）若点为棱的中点，求证：平面平面； （2）若点为线段上的动点（不包括端点），画出平面与上表面的交线，并说明作图的理由（在答题卡(2)作图）． (1) (2) 17．（本小题满分15分） 某社区为了解居民的绿色出行情况，随机抽取50名居民，统计一周内使用自行车的次数，整理得到如下频率分布表和条形图（以下图表中）： 使用次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上 频率 0.1 a 0.3 b c 使用次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上 17 m 频数 n 3 0 （1）求条形图中的频数m，n； （2）从一周内使用自行车次数为1次和2次的居民中，按分层抽样的方法抽取5人．现从这5人中任意抽取2人，求这2人使用自行车次数不同的概率； （3）若此样本中的30名男性居民在一周内使用自行车次数的平均数为3，方差为20；20名女性居民在一周内使用自行车次数的平均数为1，方差为30．求这50名居民一周内使用自行车次数的方差． 18．（本小题满分17分） 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． （1）求的值； （2）已知角的平分线交于，为的中点，与交于点，且． ①若，求角的大小； ②求面积的最大值． 19．（本小题满分17分） 如图，在等腰梯形中，，，．为线段的中点，点G为等边的中心．将图形沿，折起，使得与重合，形成三棱锥． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）已知为平面内过点的一条直线，交为，设．是否存在直线，使得与所成角的正弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 高一数学试卷 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $