浙江宁波市三锋联盟2025-2026学年高一下学期6月期末练习数学试题

2025学年第二学期宁波三锋教研联盟期末联考⋅高一年级数学学科试题 参考答案、提示及评分细则 1．A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．ACD 10．AD 11．AC 12．0.18 13． 14．3（2分）（3分） 15．解：（1）令，，则， 所以，则可得 4分 所以，则． 6分 （2）由， 故对应点在第三象限，则 10分 所以即． 13分 16．解：（1）由题意可知，， 2分 ， 5分 所以． 7分 （2）因为，，所以， 9分 因为，，， 11分 所以 ． 15分 17．解：（1）因为，所以， 2分 又为锐角三角形，故，则． 因为，所以． 4分 又，故． 5分 （2）由正弦定理得， 则，． 7分 由（1）知，则， 所以 9分 ， 11分 因为为锐角三角形，所以所以， 所以， 13分 所以当时，即时，取得最大值． 15分 18．解：（1）第一至第五组对应的频率分别为；； ；；， 2分 所以，解得， 3分 所以参赛歌手的平均成绩为分． 5分 （2）由，， 6分 得参赛歌手成绩的40%分位数为分． 9分 （3）由，得这6人中参赛成绩在的人数为人，分别记为，，，；在的人数为人，分别记为，． 11分 在这6个人中抽取2个人，共，，，，，，，，，，，，，，，15个基本事件， 14分 这2名歌手比赛成绩在和内各1人，共，，，，，，，，8个基本事件， 16分 故这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率为． 17分 19．（1）证明：因为，，，所以，， 由余弦定理得，所以，所以． 2分 因为平面，平面，所以， 3分 又，，平面，因此平面， 4分 而平面，所以平面平面． 5分 （2）解：取的中点，过点作，垂足为，连接，，如图 所示． 因为，所以，，， 由（1）知平面，而，平面，所以，， 因为，，平面，所以平面，又平面，所以， 因为，，，平面，所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角． 8分 因为，所以，，所以， 所以，所以， 所以二面角的正切值为3． 11分 （3）解：在平面内，过点作，垂足为，连接，如图所示． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角． 13分 所以，解得， 14分 所以，所以，， 所以， 又在中，由正弦定理得，所以． 17分 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学学科期末练习 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，则点的坐标是 A． B． C． D． 2．复数的共轭复数为 A． B． C． D． 3．如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则 A． B． C． D． 4．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球 A．8个 B．10个 C．12个 D．14个 5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．已知甲箱内放有形状、大小、质地都相同的6张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，从甲箱内有放回地依次抽出两张卡片，记录卡片上的数字，记“两张卡片上数字都是奇数”为事件，“两张卡片上数字都是偶数”为事件，“两张卡片上数字之积为偶数”为事件，“两张卡片上数字之和为奇数”为事件，则 A．事件与是对立事件 B．事件与互斥 C．事件与是对立事件 D．事件与互斥但不对立 7．如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽在同一垂直平面内的两个观测点，，利用无人机在点处测得河岸点的俯角为，河岸点的俯角为，无人机沿方向飞行千米到达点，测得河岸点的俯角为，则 A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 8．某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．当时，在上的投影向量为 10．已知一组数据，，，…，，则下列说法正确的是 A．该组数据的极差为 B．该组数据的70%分位数为 C．剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D．剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差 11．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是 A． B．过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为 C．点到平面的距离为定值 D．当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机事件与对立，与相互独立，若，，则_________． 13．已知三棱锥的所有棱长均相等，为的中点，点在上（不同于点），则异面直线与所成角的大小为_________． 14．已知的内角，，的对边分别为，，，且，则_________，的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足． （1）求的值； （2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围． 16．（本小题满分15分） 如图，在梯形中，，，为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点． （1）用向量，表示； （2）若，求． 17．（本小题满分15分） 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，． （1）求； （2）求的最大值． 18．（本小题满分17分） 某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩（满分100分）分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （2）根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的40%分位数； （3）从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，点是棱上的一点（不同于，两点）． （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的正切值； （3）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $