第1章 特殊平行四边形（举一反三讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学特殊平行四边形单元复习讲义通过题型分类框架系统梳理知识体系，涵盖性质应用（求角度、长度等）、判定证明及综合问题，以夯实基础、进阶拔高、创新思辨的递进结构呈现知识脉络，突出性质与判定的内在联系及动态问题等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，每个题型配例题与变式，如折叠问题（题型10）、新定义问题（题型13），培养几何直观与推理能力。通过“举一反三”模式帮助基础学生掌握方法，优秀学生深化思维，助力教师实施精准分层教学。

第1章 特殊平行四边形（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 利用特殊平行四边形的性质求角度】 1 【题型2 利用特殊平行四边形的性质求长度】 5 【题型3 利用特殊平行四边形的性质求面积】 8 【题型4 利用特殊平行四边形的性质求坐标】 11 【题型5 添加条件构成特殊平行四边形】 15 【题型6 证明特殊平行四边形】 18 【题型7 直角三角形斜边中线的应用】 22 【题型8 利用特殊平行四边形的判定与性质求值】 26 【题型9 利用特殊平行四边形的判定与性质证明】 30 【进阶拔高】 37 【题型10 特殊平行四边形中的折叠问题】 37 【题型11 特殊平行四边形中的动点问题】 43 【题型12 特殊平行四边形中的中点四边形】 48 【题型13 特殊平行四边形中的新定义问题】 53 【题型14 特殊平行四边形中的旋转问题】 61 【题型15 特殊平行四边形中的规律探究】 69 【创新思辨】 74 【题型16 特殊平行四边形中的最值问题】 74 【题型17 特殊平行四边形中的多解问题】 80 【题型18 特殊平行四边形中的定值问题】 89 【题型19 特殊平行四边形中的综合证明与求值】 97 【题型20 与特殊平行四边形有关的无刻度直尺格点作图】 108 【夯实基础】 【题型1 利用特殊平行四边形的性质求角度】 【例1】（2026·重庆·模拟预测）如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，利用邻补角定义和等腰三角形的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级下·重庆长寿·期中）如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于___________． 【答案】 【分析】先连接，再根据菱形的性质和线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，得出，最后根据全等三角形的判定和性质，得出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， ，． 垂直平分， ， ， ． ，，， ， ， ． 【变式1-2】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，在中利用两锐角互余求出的度数，进而得到的度数，最后利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】（2026·江苏宿迁·一模）如图，四边形为正方形，在平面内找一点E，使为等边三角形，则的度数为________. 【答案】135 或 45 【分析】根据题意，分在四边形内部、在四边形外部两种情况，再由等边三角形的性质及等腰三角形的性质求角即可． 【详解】解：如图，当在四边形内部时， 为等边三角形，则， ， ∴， ； 如图，当在四边形外部时， 为等边三角形，则， ， ∴， ； 综上，或． 【题型2 利用特殊平行四边形的性质求长度】 【例2】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，四边形是菱形，，，于H，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出直角三角形和相等的边，利用勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边中线定理求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得， ∵，且， ∴． 【变式2-1】（2026·天津南开·二模）如图，正方形绕点C逆时针旋转得到正方形，点B，A，D的对应点分别为G，F，E，连接．若，则边的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】连接，易得为等边三角形，再利用勾股定理求． 【详解】解：连接， 由旋转可知，， 为等边三角形， ， 在正方形中，， 则，解得． 【变式2-2】（2026·云南丽江·二模）如图，矩形的对角线相交于点O，点E为上一点，，，则的周长为________． 【答案】8 【分析】由矩形的性质得出，再结合周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴的周长． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边上一点（不与B，C重合），过点E作于点F，于点G，若，设的长为x，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】连接，由菱形对角线互相垂直平分可得，则可由勾股定理求出，证明四边形是矩形，则，进一步求出即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ∵于点F，于点G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵E是边上一点（不与B，C重合）， ∴当时，取得最小值，， 此时， ∴， 则， ∴设的长为x，则x的取值范围是． 【题型3 利用特殊平行四边形的性质求面积】 【例3】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，一副七巧板是由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成：如图，整个七巧板拼图是个大正方形，若七巧板中平行四边形的面积为16，则图中小正方形的面积为___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质证明，而，则有平行线间的距离相等得到平行四边形的边上的高等于，即可得到． 【详解】解：如图 ∵正方形，等腰 ∴， ∴， ∵四边形是正方形，为等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴平行四边形的边上的高等于， ∴． 【变式3-1】（25-26九年级下·云南昭通·期中）如图，已知菱形的对角线与相交于点O，的长为，与长度的比为，则菱形的面积是______． 【答案】/24平方厘米 【分析】先根据菱形的性质求出，再根据与长度的比为求出，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵菱形，的长为， ∴， ∵与长度的比为， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 【变式3-2】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，矩形的对角线，交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，首先结合矩形的性质可得，证明，进而可得与的面积相等；接下来即可将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． B故选：b故选：B． 【变式3-3】如图，三个边长均为3的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形． 根据题意作图，连接、，可得≌，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接、，如图： ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴、两个正方形重叠的阴影部分的面积是， 同理另外两个正方形重叠的阴影部分的面积也是， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： ． 【题型4 利用特殊平行四边形的性质求坐标】 【例4】将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是_____． 【答案】（8，10） 【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G，根据矩形的性质得到HG=BE，∠EBG=90°，AB=CD，∠ABC=90°，求得∠ABG=∠EBC，根据全等三角形的性质得到AG=DF，BG=CF，于是得到结论． 【详解】解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G， 则四边形BEHG是矩形， ∴HG=BE，∠EBG=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠ABC=90°， ∴∠ABG=∠EBC， ∵∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠DCF=90°， ∴∠ABG=∠DCF， ∵在△ABG与△DCF中， ， ∴△ABG≌△DCF（AAS）， ∴AG=DF，BG=CF， ∵点B的坐标是（-4，6），点C的坐标是（-2，0），点D的坐标是（10，4）， ∴BE=6，OC=2，OF=10，DF=4， ∴CF=12， ∴AH=AG+GH=6+4=10，OH=10-2=8， ∴A（8，10）， 故答案为：（8，10）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式4-1】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】延长交轴于，根据菱形的性质求解即可 【详解】解：延长交轴于， 四边形是菱形， 轴， ， ，， 点的纵坐标为， 在中，， ， ， 点的横坐标为， ． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，，若，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由直角三角形的性质可求的长，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 点， 故选：C． 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知菱形在平面直角坐标系中位置如图所示，，点在轴正半轴上，点的坐标为，点是对角线的中点，，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，由菱形的性质得到，利用勾股定理求出的长；连接，由菱形对角线互相垂直且平分可得点M是与的交点，且，据此证明四边形是矩形，得到，由此可得答案． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得， 如图所示，连接， ∵四边形是菱形，点是对角线的中点， ∴点M是与的交点，且， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 【题型5 添加条件构成特殊平行四边形】 【例5】（2026·黑龙江·一模）如图，将绕着点旋转得到，连接、，请添加一个条件______，使四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，进而可得． 【详解】解：绕着点旋转得到， 、， 四边形是平行四边形， 当时，， ， 即， 平行四边形是矩形， 因此，添加的条件可以是． 【变式5-1】（25-26八年级下·广东惠州·期中）下列关于的叙述，正确的是（    ） A．若，则是菱形 B．若，则是菱形 C．若，则是矩形 D．若，则是矩形 【答案】D 【分析】由矩形和菱形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， A：若，无法推出平行四边形邻边相等，不满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，故A错误； B：若，可得，由有一个内角是直角的平行四边形是矩形，判定是矩形，但不一定是菱形，故B错误； C：若，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定是菱形，但不一定是矩形，故C错误； D：若，由对角线相等的平行四边形是矩形，判定是矩形，故D正确． 【变式5-2】如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是________．    【答案】且 【分析】依据条件先判定四边形为平行四边形，再根据又，，得出四边形为菱形，再根据，即可得到菱形是正方形． 【详解】应满足的条件是：且， 理由：、、、分别是、、、的中点， 在中，是的中位线， ，， 同理，， 同理，， 则且， 四边形为平行四边形， 又， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 菱形为正方形， 故答案为：且． 【点睛】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定，注意三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【变式5-3】如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当______时，四边形ACBD为矩形． 【答案】O是AB的中点 【分析】先证∠OCB=∠OBC，则OC=OB，同理OD=OB，再由OA=OB，证出四边形ACBD是平行四边形，然后证AB=CD，即可得出结论． 【详解】解：添加条件为：O是AB的中点， 理由如下： ∵CDMN， ∴∠OCB=∠CBM， ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC=∠CBM， ∴∠OCB=∠OBC， ∴OC=OB， 同理可证：OB=OD， ∴OB=OC=OD， ∵O是AB的中点， ∴OA=OB， ∴四边形ACBD是平行四边形， ∵CD=OC+OD，AB=OA+OB， ∴AB=CD， ∴平行四边形ACBD是矩形， 故答案为：O是AB的中点． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【题型6 证明特殊平行四边形】 【例6】（24-25八年级下·上海浦东新·期中）如图，菱形中，与相交于点O，点F是的中点，，，连接． (1)求的长． (2)延长到点E，使得，连接，．求证：四边形是矩形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知的长； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）解：菱形中，，， ∴，， ∴， ∵点F是的中点， ∴ （2）证明：∵F是中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【变式6-1】（24-25八年级下·云南文山·期中）已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，由矩形的性质得出，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明： ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形，对角线与相交于点E， ， 四边形为菱形． 【变式6-2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，平行四边形的性质与判定，先根据菱形的性质得，，，则，证明四边形是平行四边形，结合，，即可作答． 【详解】解：∵菱形的对角线和交于点O， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【变式6-3】（2026·河南洛阳·二模）如图，矩形中，，为对角线． (1)求作的垂直平分线，使得点，分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)根据（1）中作图条件，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线可得线段的垂直平分线，由此即可得； （2）先根据矩形的性质、平行线的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据菱形的判定即可得证； 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）证明：如图，连接，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【题型7 直角三角形斜边中线的应用】 【例7】（2026·天津·一模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】求出，证明是等边三角形，得出，在中，利用勾股定理求出，最后证明是等边三角形，从而求出的长度． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ，点恰好落在中点， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中，， ， ， 是等边三角形， ． 【变式7-1】（2026·江苏扬州·二模）如图，在中，，，，点是的中点，则长为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形， 点是的中点， ， ． 【变式7-2】（25-26八年级下·云南楚雄·期中）如图，在菱形中，，垂足为点，点、分别为边、的中点，连接，若，，求菱形的面积． 【答案】120 【分析】连接，交于点，易得是的中位线，则，，由斜边的中线为得到，在中利用勾股定理求出，则，由此可求得菱形的面积为120． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点、分别为边、的中点， ∴是的中位线， ∴，则， ∵，点为边的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积为． 【变式7-3】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求证：． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质，可得，，可得，由等边对等角，结合已知可得，可得，即可证得结论； （2）由平行四边形的性质，结合已知可得，证明，可得，可得点为的中点，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴点为的中点， ∵， ∴， ∴． 【题型8 利用特殊平行四边形的判定与性质求值】 【例8】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，进而得到，可知四边形是矩形，根据勾股定理求出的值，可知的面积 （2）连接，根据矩形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，证明是等边三角形，可知． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ． ， ， ∴四边形是矩形． ， ， ； （2）解：连接， ∵矩形， ∴， ∵点F是的中点， ， 是等边三角形，点E是的中点， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ． 【变式8-1】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，结合，即可证明； （2）由（1）得，推出四边形是菱形，，得到，求出、，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又 ， ． （2）解：由（1）得， 四边形是菱形，， 在中，， ， ， ， ∴ ， ，， ． 【变式8-2】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则． 【详解】解：由旋转得， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， 故选：A． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，，且的中点是坐标原点O．固定点，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为___________． 【答案】 【分析】题考查了正方形的性质、菱形的判定与性质及勾股定理等知识点，结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据正方形的性质及题意可得，可得四边形为菱形，故点的横坐标等于的长度，其纵坐标等于点的纵坐标，由勾股定理求得的长，则可知点的纵坐标． 【详解】解：四边形为正方形，， ， 由题意可知，，，， ∴， 四边形为菱形， ∴， 点的横坐标为2， 的中点是坐标原点， ， 在中，由勾股定理得：， 点的对应点的坐标为． 故答案为：． 【题型9 利用特殊平行四边形的判定与性质证明】 【例9】（25-26八年级下·新疆伊犁·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，是中点，连接．过点作交的延长线于点，连接．求证： (1)； (2)四边形是矩形； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（）由，则，又是的中点，所以，然后通过“”证明即可； （）由≌，得，则可证四边形是平行四边形，然后通过菱形的性质可得，则有四边形是矩形； （）由四边形是菱形，则，，根据勾股定理得，然后通过面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵≌， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （3）解：∵四边形是菱形， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理， ∵四边形是矩形， ∴四边形的面积为． 【变式9-1】如图，在梯形中，，F为上一点，且，E为上一点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）根据四边形是矩形，，从而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式9-2】如图1，四边形为正方形，点是对角线上的一点（），连接，过点作交于点．    (1)求证：． (2)如图2，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：； ②若正方形的边长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）过点分别作于点，于点，得四边形是矩形，然后证明，即可解决问题； （2）①先证明四边形是正方形，再证明，即可解决问题；②连接，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1，过点分别作于点，于点， 则，    四边形是正方形， ，平分， ，四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）①证明：四边形是正方形， ，， 四边形是矩形，且， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ； ②如图2，连接，    正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到． 【变式9-3】在正方形中，对角线与交于点，是对角线上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）： (1)当点在线段上时，如图②； ①连接，求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，如图③，求证：． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题为正方形综合题，考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． （1）利用正方形的性质去判定出即可得到①；过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，利用等腰三角形的判定方法可得到和为等腰直角三角形，从而得到四边形为正方形，同理可证四边形为正方形，然后利用全等三角形的判定方法即可判定出，再利用边的比例关系即可求证②； （2）过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，根据（1）中的解法同理可得：，，，再利用推导即可． 【详解】（1）解：过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，如图所示： ①解：∵是正方形， ∴，， ∴在和中： ， ∴（SAS）， ∴； ②解：∵是正方形，是对角线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴四边形为正方形， ∴， 同理可证四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中： ， ∴（AAS）， ∴， 由①得：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：解：过点作的平行线交于，交于点，过点作的平行线交于，交于点，连接，如图所示： ∴根据（1）中的解法同理可得：，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【进阶拔高】 【题型10 特殊平行四边形中的折叠问题】 【例10】（25-26八年级下·江苏常州·期中）在矩形纸片中，，点为边的中点，沿过点的直线翻折，使点的对应点落在边上，折痕交矩形的一边于点，则折痕的长为_____． 【答案】或 【分析】根据矩形的性质得出，，，根据中点定义得出；分两种情况分别画出图形，作出辅助线，利用勾股定理求出折痕的长即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵点为边的中点， ∴； ①过点E作于点G，F在上，点落在上，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据折叠可知，，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 在中根据勾股定理得：； ②过点作于点G，F在上，点落在上，点A的对应点为，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知，，， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即，解得：， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得：； 综上，折痕的长为或． 【变式10-1】将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（　　　　） A．1 B．2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形AECF是菱形，AB=3， ∴假设BE=x，则AE=3﹣x，CE=3﹣x， ∵四边形AECF是菱形， ∴∠FCO=∠ECO， ∵∠ECO=∠ECB， ∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°， 2BE=CE， ∴CE=2x， ∴2x=3﹣x， 解得：x=1， ∴CE=2，利用勾股定理得出： BC2+BE2=EC2， BC===， 又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2， 则菱形的面积=2． 故选C． 【点睛】本题考查折叠问题以及勾股定理．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 【变式10-2】（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，______． 【答案】3或6 【分析】先求出，，，再分三种情况：①，②，③，利用勾股定理和正方形的性质求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，，． ①如图1，当时，为直角三角形， ∴， ∴点三点共线， ∵在中，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即； ②如图2，当时，为直角三角形， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴； ③如图3，当时，为直角三角形， ∵， ∴在中，斜边，不符合题意，舍去； 综上，或． 【变式10-3】（2026·浙江金华·二模）如图，四边形是以为对称轴的轴对称图形，．点在上，，将沿折叠得到，则点到的距离为___________． 【答案】 【分析】由轴对称的性质、折叠的性质可得、、、；如图：过点A作于P，过点F作于H，过点D作的延长线于N，过点F作于M，四边形是矩形；进而得到是等腰直角三角形，即；同理可得：；再利用含30度直角三角形的性质、勾股定理、线段的和差可得，进而得到，最后利用矩形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是以为对称轴的轴对称图形，，， ∴，， 又∵将沿折叠得到， ∴，， 如图：过点A作于P，过点F作于H，过点D作的延长线于N，过点F作于M， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴在四边形中，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即点到的距离为． 【题型11 特殊平行四边形中的动点问题】 【例11】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过___________秒时，四边形是矩形． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题关键．设经过秒时，四边形是矩形，先根据平行四边形的性质可得，，再分两种情况：①和②，证出四边形是平行四边形，根据矩形的判定可得要使平行四边形是矩形，则需，即，由此即可得． 【详解】解：设经过秒时，四边形是矩形， 由题意得：， ∵， ∴点从点运动到点所需时间为秒；当点相遇时，， 解得，此时，点在点相遇， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ①如图1，在点相遇前，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； ②如图2，在点相遇后，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； 综上，经过或秒时，四边形是矩形， 故答案为：或． 【变式11-1】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动．规定：其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，若在点P，Q的运动过程中，四边形可以构成菱形，则的长为_____． 【答案】 【分析】结合题意得：，，当时，而，可得四边形为平行四边形，求解，当时，四边形为菱形，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 当时，而， ∴四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴， 当时，四边形为菱形， 如图， 过作于，而，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴． 【变式11-2】如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为__________． 【答案】4或14 【分析】分两种情况进行讨论，根据运动规律得出BP＝3-0.5t＝1和CP＝0.5t-6＝1即可求得． 【详解】如图，当≌时，BP1＝CE=1 即3-0.5t＝1，解得t=4, 如图，当≌时，CP2＝CE=1 即0.5t-6＝1，解得t=14, 故答案为：4或14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型． 【变式11-3】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=120cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（     ） A．20秒 B．18秒 C．12    秒 D．6秒 【答案】A 【分析】用菱形的性质进行计算或证明时,一般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求解问题,转化到边上,再利用相等等条件求解,从而解决问题.本题中易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值． 【详解】∵直角△ABC中，∠C=90°−∠A=30° ∵CD=4t，AE=2t， 又∵在直角△CDF中，∠C=30°， ∴DF=CD=2t， ∵DF⊥BC ∴∠CFD=90° ∵∠B=90° ∴∠B=∠CFD ∴DF∥AB， 由(1)得：DF=AE=2t， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当AD=AE时，四边形AEFD是菱形， 即120−4t=2t， 解得：t=20， 即当t=20时，四边形AEFD是菱形； 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握判定是解题的关键． 【题型12 特殊平行四边形中的中点四边形】 【例12】如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形时，则四边形ABCD也是菱形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】连接AC，BD，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可． 【详解】解：连接AC，BD， ∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点， ∴EF//AC，HG//AC，EH//BD，GF//BD， ∴EF//GH，EH//FG， ∴四边形EFGH是平行四边形；（①正确） ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∵EF＝AC，EH＝BD， ∴EF＝EH， ∴四边形EFGH是菱形；（②错误） ∵四边形EFGH是菱形， ∴EF＝EH， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD不一定是菱形；（③错误） ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝BD，AC⊥BD， ∵EF＝AC，EH＝BD， ∴EF＝EH， ∴四边形EFGH是菱形； ∵EF//AC， EH//BD，AC⊥BD， ∴EF⊥EH， ∴∠FEH=90°， ∴四边形EFGH是正方形．（④正确） ∴正确的是①④． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．解题时注意中点四边形的判定：一般中点四边形是平行四边形；如果对角线相等，则得到的中点四边形是菱形，如果对角线互相垂直，则得到的中点四边形是矩形，如果对角线相等且互相垂直，则得到的中点四边形是正方形． 【变式12-1】（25-26八年级下·河南信阳·期中）如图，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户（四边形），工人师傅准备连接窗户各边中点、、、来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为1.5米，边的长为2米，那么四边形的周长为_____米． 【答案】5 【分析】连接，相交于点，利用中位线的性质和菱形的判定可得四边形是菱形，直角中利用勾股定理即可求得的长，则周长可以求得． 【详解】解： 如图，连接，相交于点， 四边形是矩形， 点，，，分别是各边的中点， ， ， ， 四边形是菱形， 在直角中，米，米， 则 ， 四边形的周长为： ． 【变式12-2】（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，在菱形中，，．点是边的中点，点是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，． ①四边形是___________；②当的值为___________时，四边形是矩形；③当的值为___________时，四边形AMDN是菱形． 【答案】 平行四边形 【分析】①利用菱形的性质和已知条件可证明四边形的对边平行且相等即可； ②由①可知四边形是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即，所以时即可； ③当平行四边形的邻边时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形是等边三角形即可． 【详解】解：①∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②当的值为时，四边形是矩形．理由如下： ∵四边形是平行四边形； ∴，而，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； ③当的值为时，四边形是菱形．理由如下： ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【变式12-3】（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）如图，是四边形的对角线，点分别是的中点，点分别是的中点．下列说法中不正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的性质以及三角形中位线定理；根据中位线的性质得出，，即可判断A，C，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质得出，即可判断D选项，B选项条件不能得出四边形是矩形，即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点，点分别是的中点 ∴， ∴四边形一定是平行四边形，故A正确； 若，不能得出四边形是矩形，故B不正确； 若，则，则四边形是菱形，故C正确； ∵ ∴， ∵， ∴， 又∵ 若， ∴， 即，则四边形是矩形，故D正确； 故选：B． 【题型13 特殊平行四边形中的新定义问题】 【例13】（25-26九年级上·河南郑州·期末）定义：若有一组邻边相等，且另一组邻边也相等的凸四边形，我们把这类四边形叫做筝形．如图，矩形中，，，点为的中点，点在上，且，点，，分别为，上一个动点，连接，，，，，若四边形为筝形，则的长为____________． 【答案】9或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，掌握以上知识是关键，根据筝形的定义，分类讨论，结合矩形，勾股定理列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形为筝形， ∴①当时，，则， 设，则， ∴，即， 整理得，， 解得，， ∴， ∴， ∴此时，符合题意， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴； ②当时，，如图所示， ∴， 设，则， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴； 综上所述，四边形为筝形，的长为或， 故答案为：或 ． 【变式13-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读理解菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． 如图所示，设菱形相邻两个内角的度数分别为，． (1)若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形．若菱形的一个内角为，则“接近度”是多少？ (2)若我们将菱形的“接近度”定义为，那么菱形的“接近度”为多少时，菱形就是正方形？ 【答案】(1) (2)1 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及新定义，利用“接近度”定义求出是解题关键． （1）利用菱形的“接近度”定义为，进而代入求出即可； （2）根据当菱形的“接近度”等于1时，菱形的相邻的内角相等，进而得出答案． 【详解】（1）解：若菱形的一个内角为， ∴该菱形的相邻的另一内角的度数为， ∴“接近度”等于． 故答案为：． （2）解：当菱形的“接近度”等于1时，菱形的相邻的内角相等，因而都是90度，则菱形是正方形． 故答案为：1． 【变式13-2】（24-25九年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是小敏同学的一则数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． 年月日 对于几何图形，通常是从它的定义与表示、分类与性质、判定与应用等方面进行研究，且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系展开．以三角形为例，其定义、分类、性质、判定都通过它的边、角、中线、角平分线、高线等的特征来体现．类似地，这样的方法可以用于研究其他几何图形，如邻等对补四边形． 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 目前．我们所认识的四边形，如梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是邻等对补四边形的是____________； 性质探究：在研究四边形的时候，我们知道四边形的问题往往转化为三角形的问题来研究．如图，在四边形中，，，连接，发现． 证明：…． 结论：邻等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角， 任务： (1)上述材料中，序号“”处所对应的内容为：____________； (2)补全材料中命题的证明过程； (3)如图，四边形中，，，，请直接写出的值． 【答案】(1)正方形； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）根据“邻等对补四边形”即可判断； （）过作于点，，交延长线于点，证明，然后根据全等三角形的性质即可求解； （）过作于点，，交延长线于点，则，四边形是矩形，由（）得平分，从而证明四边形是正方形，然后再证明，故有，得，最后由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形， ∴梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是邻等对补四边形的是正方形， 故答案为：正方形； （2）证明：过作于点，，交延长线于点，如图， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在平分线上， ∴平分； （3）解：如图，过作于点，，交延长线于点，如图， ∴， ∴四边形是矩形， 由（）得平分， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定，正方形的判定与性质，勾股定理，角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式13-3】（24-25八年级下·江西宜春·期末）定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 【答案】（1）菱形或正方形；（2）①B；②证明见解析；（3）会，面积为： 【分析】（1）由“对垂”四边形定义，结合菱形、正方形性质即可得到答案； （2）①由“对垂”四边形定义，根据勾股定理、三角形面积公式求解即可得到答案；②由“对垂”四边形定义，即可证明； （3）连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而由三角形面积公式即可得到的面积和的面积相等，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）菱形的对角线相互垂直， 菱形是“对垂”四边形； 正方形的对角线相互垂直， 正方形是“对垂”四边形； 故答案为：菱形或正方形； （2）①A、 ， 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 当时，； 而题中并未明确与是否相等，该选项不一定正确，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、由题中四边形的任意性，无法保证，选项错误，不符合题意； 故选：B； ②证明如下：， ； （3）的面积和的面积相等， 证明如下： ∵正方形和正方形的边长分别是和， ， 连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示： ， ，即， 又， ， ， 又，， 的面积和的面积相等； ， 即， 又， ， ， 又， ， ， ∴四边形AECG是“对垂”四边形， ， 又， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查几何综合，涉及新定义几何图形问题、菱形性质、正方形性质、勾股定理、三角形面积公式、三角形全等的判定与性质等知识．理解题中“对垂”四边形定义，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 【题型14 特殊平行四边形中的旋转问题】 【例14】（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示． (1)如图2，求证：； (2)请在下列①、②中任选一问进行证明． ①在旋转过程中，的度数不变； ②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 【答案】(1)证明见解析 (2)选①证明见解析；选②证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质得，进而可证，然后根据可证； （2）选①由对顶角相等得，由全等三角形的性质得，然后利用三角形内角和定理可证； 选②由得，，然后根据三角形面积公式可证结论成立． 【详解】（1）证明：∵在正方形和正方形中，， ，即， ； （2）解：选①证明：设与交于点 ， ， 在和中， ∵， ， 在旋转过程中，的度数不变 选②证明：如图， ， ，， ， ， 在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 【变式14-1】（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，可证，由此即可求解； （2）根据菱形的性质得到，，为等腰直角三角形，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵由绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质是解题的关键． 【变式14-2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将长方形绕O按顺时针方向旋转度得到，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．当，且时，线段的长是 ___________________． 【答案】 【分析】先确定点P的位置，根据题意求出，，，再作，可知，然后根据面积相等得，可设，并表示，，，最后根据勾股定理，得，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴点P在点B的右侧． ∵四边形是矩形，点A的坐标是，点C的坐标是， ∴，，． 过点Q作于点H，连接，如图，则． ∵，， ∴． 设， ∵， ∴， 则，． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的面积等，合理地作出辅助线是解题的关键． 【变式14-3】将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF． （1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系； （2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系； （3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长． 【答案】（1）EF=DF+BE；（2）EF=DF-BE；（3）线段EF的长为或． 【分析】（1）延长FD至G，使DG=BE，连接AG，先证△ABE≌△ADG，再证△GAF≌△EAF即可； （2）在DC上截取DH=BE，连接AH，先证△ADH≌△ABE，再证△HAF≌EAF即可； （3）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】解：（1）结论：EF=BE+DF． 理由：延长FD至G，使DG=BE，连接AG，如图①， ∵ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°， ∴△ABE≌△ADG（AAS）， ∴AE=AG，∠DAG=∠EAB， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠EAB=45°， ∴∠DAF+∠DAG=45°， ∴∠GAF=∠EAF=45°， ∵AF=AF， ∴△GAF≌△EAF（AAS）， ∴EF=GF， ∴GF=DF+DG=DF+BE， 即：EF=DF+BE； （2）结论：EF=DF-BE． 理由：在DC上截取DH=BE，连接AH，如图②， ∵AD=AB，∠ADH=∠ABE=90°， ∴△ADH≌△ABE（SAS）， ∴AH=AE，∠DAH=∠EAB， ∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°， ∴∠DAH+∠BAF=45°， ∴∠HAF=45°=∠EAF， ∵AF=AF， ∴△HAF≌EAF（SAS）， ∴HF=EF， ∵DF=DH+HF， ∴EF=DF-BE； （3）①当MA经过BC的中点E时，同（1）作辅助线，如图： 设FD=x，由（1）的结论得FG=EF=2+x，FC=4-x． 在Rt△EFC中，（x+2）2=（4-x）2+22， ∴x=， ∴EF=x+2=． ②当NA经过BC的中点G时，同（2）作辅助线， 设BE=x，由（2）的结论得EC=4+x，EF=FH， ∵K为BC边的中点， ∴CK=BC=2， 同理可证△ABK≌FCK（SAS）， ∴CF=AB=4，EF=FH=CF+CD-DH=8-x， 在Rt△EFC中，由勾股定理得到：（4+x）2+42=（8-x）2， ∴x=， ∴EF=8-=． 综上，线段EF的长为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 【题型15 特殊平行四边形中的规律探究】 【例15】如图，正方形的边长为，在边上分别取点，，在边上分别取点，使．．．．．依次规律继续下去，则正方形的面积为__________． 【答案】 【分析】利用勾股定理可得A1B12=a2，即正方形A1B1C1D1的面积，同理可求出正方形A2B2C2D2的面积，得出规律即可得答案． 【详解】∵正方形ABCD的边长为a，， ∴A1B12=A1B2+BB12==a2，A1B1=a， ∴正方形A1B1C1D1的面积为a2， ∵， ∴A2B22==()2a2， ∴正方形A2B2C2D2的面积为()2a2， …… ∴正方形的面积为()na2， 故答案为：()na2 【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理，正确计算各正方形的面积并得出规律是解题关键． 【变式15-1】如图，矩形中，,连接,以对角线为边按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接,以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形, ..按照此规律作下去，若矩形的面积记作,矩形的面积记作,矩形的面积记作, ... 则的值为__________． 【答案】 【分析】首先根据矩形的性质，求出AC，根据边长比求出面积比，依次类推，得出规律，即可得解. 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD⊥DC， ∴AC=， ∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C， ∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2 ∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4， ∵矩形ABCD的面积=2×1=2， ∴矩形AB1C1C的面积=， 依此类推，矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5：4 ∴矩形AB2C2C1的面积= ∴矩形AB3C3C2的面积=， 按此规律第n个矩形的面积为： 则 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律． 【变式15-2】如图所示，菱形边长为1，，连接，以为边作第二个菱形，，连接，以为边作第三个菱形，，…，按这个规律所作的第个菱形的边长是___________． 【答案】 【分析】连接，根据菱形的性质，推出是等边三角形，得到，，利用勾股定理得到，从而得到，同理可得，，，以此类推，第n个菱形的边长为，据此即可得到答案． 【详解】解：连接， 四边形是菱形，边长为1， ，，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 同理可得，，， 以此类推，第n个菱形的边长为， 第2024个菱形的边长是， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了图形类规律探索，菱形的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用菱形的性质归纳出正确的规律是解题关键． 【变式15-3】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为的正方形，边，分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形 照此规律作下去，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，坐标与图形的性质，解答本题的关键是由点坐标的规律变化发现．首先根据各点的坐标求出，，，，，，，，的长度，找出这些长度之间的规律，然后根据规律即可求解． 【详解】解：正方形边长为， ， 正方形是正方形的对角线为边， ，， 点坐标为， 同理可知； 点坐标为， 同理可知； 点坐标为， 可知； 点坐标为， 可知， 点坐标为， 可知， ， 可知， ， 可知， ∴， …… 由规律可以发现，， 由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同， ， 的横纵坐标符号与点相同，横坐标为，且都在轴上， 的坐标为， 故答案为：． 【创新思辨】 【题型16 特殊平行四边形中的最值问题】 【例16】如图，正方形中，，点E，F分别在边，上，点P在对角线上，，，则： （1）m的最小值为_______________ ； （2）若m的最小值为10，则______________． 【答案】 8 1或7/7或1 【分析】本题主要考查了轴对称最短路线问题．熟练掌握正方形的性质，轴对称性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． （1）在上取点E关于的对称点G，，利用轴对称的性质和正方形的性质得，即，点E，P，在一条直线上且时，垂直于时，取得最小值． （2）根据，,利用勾股定理表示出，，根据，得， ，把，代入解二元一次方程即可得出答案． 【详解】解：根据正方形的对称性，在上取点E关于的对称点G，连接交于点P，如图， ， 则， ，为m的最小值． 四边形为正方形， ， 当时，距离最短，即四边形为矩形， ， ， m的最小值为8， （2），, ∵， ，， ， ，． ， ， ， 当m的最小值值为10，即， ， ， 解得：或7． 【变式16-1】如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（    ）    A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】先证明，四边形是菱形，如图，连接，，而点G是的中点，可得为菱形对角线的交点，，当时，最小，再利用等面积法求解最小值即可． 【详解】解：∵，， ∴是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是菱形， 如图，连接，，而点G是的中点，    ∴为菱形对角线的交点，， ∴当时，最小， ∵即矩形的面积为12，， ∴，， ∴， ∴， 由菱形的性质可得：， ∴， ∴，即的最小值为1． 故选A 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 【变式16-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点是正方形的边上一动点，连结，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连结，若，则面积的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，旋转的性质等知识，过F作于G，并反向延长交于H，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，设，则，根据三角形的面积公式求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过F作于G，并反向延长交于H， ∵正方形中，， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵旋转， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，有最大值为， 故选：D． 【变式16-3】（2025·陕西渭南·二模）【问题提出】 （1）如图1，在中，点是的中点，点是边的中点，连接，若，则的度数为_______________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，，点是上方一动点，连接、、，若，求的最大值； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某公园的一片油菜花海，对角线是中间的一条通道，为方便游客观赏花海全景，现要在花海外（右侧）修建一座观景塔（看作点），再沿和分别铺设两条小路（宽度忽略不计），要求，点是的中点，连接，沿开设美食一条街，为了使游客有更多美食进行选择，要求美食一条街尽可能的长．已知菱形的边长为，，求美食一条街长度的最大值． 【答案】（1）90；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形中位线定理即可求解； （2）取的中点，连接、，利用直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出，再利用即可求出的最大值； （3）连接交于点，取的中点，连接、、，利用菱形的性质得到，，利用勾股定理求出，进而得到的长，利用直角三角形的性质和三角形中位线定理求出的长，最后利用即可求出的最大值． 【详解】解：（1）点是的中点，点是边的中点， ， ． 故答案为：90． （2）如图2，取的中点，连接、， ，点是的中点，， ，， ， ， ， ， 的最大值为． （3）如图3，连接交于点，取的中点，连接、、， 菱形， ，， ， ， ， ，， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ， ， 美食一条街长度的最大值为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理与最短路径问题、菱形的性质，熟练掌握相关知识点，利用两点之间线段最短求出线段最值是解题的关键． 【题型17 特殊平行四边形中的多解问题】 【例17】如图，在边长为4的菱形中，，点、分别为、边上的动点，连接、、．若，则以下结论正确的是（    ） ①；②是等边三角形；③四边形的面积是；④面积有最大值为． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①连接，根据菱形的性质及，可以得到为等边三角形，结合，可得，可利用判定，从而得到；②根据，，即可得到为等边三角形；③根据及，可以得到，再求等边三角形面积即可；④当时，最短， 等边的面积最小，由，可以得到的面积最大值为； 【详解】解：①连接，    ∵四边形为菱形， ， ∴，， ∴、均为等边三角形，， 又∵， 即：， ∴， 在和中， ∴ ∴，故①正确； ②∵，， ∴为等边三角形，故②正确； ③如图，过作于， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ，故③正确； ④∵为等边三角形， 当时，最短，的面积最小， 此时， ∴， 同理可得：此时， ∵， ∴ ， 当的面积最小，的面积最大，最大值为，故④错误； ∴正确的结论为：①②③． 故选B 【点睛】本题考查菱形性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，面积最值问题，作出正确的辅助线及熟练掌握图形判定性质是解决本题的关键． 【变式17-1】如图，正方形的边长为定值，E是边上的动点（不与点C，D重合）， 交对角线于点F，交于点G，于点H．现给出下列结论：①； ②的周长为定值； ③的长度为定值， 则正确的是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．① 【答案】A 【分析】连接，先证明得到，，再证明得到．①的结论正确；延长至点，使，连接，先证明得到，，再证明得到，即可得到的周长为定值；②的结论正确；连接，与交于点，证明得到为定值，③的结论正确 【详解】解：连接，如图， ∵是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴①的结论正确； 延长至点，使，则，连接，如图， ∵，， ∴． ∴，． ∵， ∵．即． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴的周长为定值； ∴②的结论正确； 连接，与交于点，如图， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵正方形的边长为定值， ∴的长为定值． ∴③的结论正确； ∴正确的结论为①②③， 故选：A． 【点睛】本题是正方形的综合题，主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式17-2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度直角三角形的性质等一系列知识，灵活运用是解题的关键．判定是等边三角形，得，；由得， 进而可得垂直平分，求得；再证明，可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得是等边三角形，从而可判断①；由平行的性质得是等边三角形，从而有，则可判断②；利用含30度直角三角形的性质得，即可判断③；设的面积为a，则得的面积为，从而，则得矩形面积为，从而，则可判断④；最后得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， O是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，； ∵， ∴，垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴；故①是正确的； ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，故③正确， 设的面积为a， ∵， 则， 而M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 【变式17-3】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，点为正方形的中心，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接．则以下四个结论中：①；②；③；④．正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①先证得，求得，再证得，进而证得，进而证得为的中点，即可判断该说法是否正确．②根据，，，即可判断该说法是否正确．③根据，即可判断该说法是否正确．④由题意可求得，结合三角形的外角的性质，判断该说法是否正确． 【详解】解：①在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为正方形的中心， ∴， ∴， 说法①正确． ②如图，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 说法②错误． ③∵， ∴， ∵为正方形的中心， ∴， ∴， 说法③正确． ④∵为正方形的中心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 说法④正确． 综上所述，说法正确的为①③④，共3个． 【题型18 特殊平行四边形中的定值问题】 【例18】如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．    (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）如图，作于，于，根据正方形的性质可得，进而说明，再证明可得，再结合四边形是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出得到，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图，作于，于，则，    点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）解：的值是定值，定值为6，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 【变式18-1】如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标a，b满足 ． (1)求证：四边形为正方形． (2)若E点为正方形边上的动点，连接，过点作，且，连接，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是坐标与图形，非负数的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握基础知识是解本题的关键． （1）根据非负数的性质先求解，可得，从而可得结论； （2）如图，在上截取等于，连接，证明，再证明，结合，可得，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， 点， ， 又四边形是矩形， 四边形是正方形． （2）恒为，理由如下： 如图，在上截取等于，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 又在正方形中， ． 【变式18-2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在正方形中，以为边作菱形，使得点在正方形内，射线与交于点，与射线交于点． (1)当时，求的度数； (2)当点为中点时，证明：； (3)试探究：与的度数之和是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)与的度数之和是定值 【分析】（1）由正方形的性质可得，由菱形的性质可得，继而可得，由等边对等角可得，进而可得，，再根据角的和差可解； （2）连接，由正方形的性质和菱形的性质易得，进而可得四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，进一步可得，，，即可判定，进而可得，即，即可得证； （3）由题意得，由正方形的性质得，再由菱形的性质可得，进而可得，由等边对等角可得，进而求得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， ∵四边形是菱形， ， ， ∴， ∵， ， ， ． （2）解：连接， ∵四边形是正方形， ， ∵四边形是菱形， ， ， 四边形为平行四边形， ， 点为中点， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， ， ． （3）解：由题意得：， 在正方形中，， ， 在菱形中，， ， ， ， ， 即， ∴与的度数之和是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练应用以上性质是解题的关键． 【变式18-3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）【探究活动】如图，在正方形中，E为对角线上一动点．某数学兴趣小组进行了如下探究： (1)如图1，过点E分别作垂线，，交，边于F，G两点．求证：四边形是正方形； (2)如图2，连接，过点E作，交于点M，以，为邻边作矩形，连接．在点E移动过程中． ①求证：； ②四边形的面积是定值吗？ 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②四边形的面积是定值．证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由正方形的性质得到，，进而证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得到，即可证明四边形是正方形； （2）①过E作于F点，过E作于G点，证明，得出，证明，得出，则可得出结论； ②由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形； （2）①证明：过E作于F点，过E作于G点，如图： 由（1）知四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②解：四边形的面积是定值． 理由：∵， ∴， ∴四边形的面积 ． 【题型19 特殊平行四边形中的综合证明与求值】 【例19】（2026·甘肃武威·二模）如图1，在Rt中，，将绕点逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点的延长线交于点． (1)试判断与的数量关系，并证明； (2)如图2，当时，连接，射线交于点． ①请判断与的数量关系，并证明； ②若在中，，请直接写出的值． 【答案】(1)，见解析； (2)①，见解析；②． 【分析】（1）连接，证出即可； （2）①延长，交于点，先证出，再证出即可； ②设的两直角边长分别为，则，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图1，连接， ∵在中，，将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①，证明如下： 如图2，延长，交于点， 由（1）已证：， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②如图3，过点C作于点D， 由题意，设，则， 由旋转的性质得：， ， ， ， ∴四边形是矩形， ，， ∴， ， ∴在中，， 由① 已证：， ， ． 【变式19-1】（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以直角三角形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在中，，点D是的中点，连接，分别过点A，B作，的平行线交于点E． 初步探究： (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； 猜想证明： (2)“善思”小组在图1的基础上连接，交于点O，然后将绕A点逆时针旋转得到（点D，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，他们提出如下问题：请您解答：如图2，当点恰好与点D重合时，与交于点H，求证：． 实践探究： (3)在（2）的条件下，，求梯形的面积． 【答案】(1)菱形，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用两组对边平行证明四边形为平行四边形，再结合直角三角形斜边中线的性质证明邻边相等，从而判定为菱形； （2）利用旋转前后图形全等、菱形的边与角的性质，结合角度关系证明为等腰三角形，四边形是平行四边形，从而得到； （3）结合已知角度、菱形性质和（2）的结论，求出梯形的上底、下底和高，再利用梯形面积公式求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ，点D是的中点， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）证明：由旋转的性质可知：，，， 四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （3）四边形是菱形， ，，， ， ， ， ，， ，， ，， ， 设，， 解得，（舍去） ， ． 【点睛】本题是菱形、旋转、直角三角形性质的综合题，解题的核心是利用菱形的判定与性质、旋转的全等性、直角三角形斜边中线定理等基础知识点，通过 “判定图形形状 — 推导边角关系 — 计算线段长度 — 求解面积” 的逻辑链条逐步推进；题目体现了转化与数形结合的数学思想，解题时需熟练掌握各图形的核心性质，通过角度、线段的等量代换建立联系． 【变式19-2】（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知，如图点M为的边中点，点D为直线上一个动点（不与点A重合），，连接． (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，求证：四边形是矩形； (3)如图3，延长交边于点H，过点D作于点F，若，且，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点M作交延长线于点G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可得出四边形是平行四边形，结合，即可证明四边形是矩形； （3）取线段的中点I，连接，过点M作交延长线于点G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可证明四边形是平行四边形；再证明四边形是矩形；判断出，，则是等腰直角三角形，进而得出，推出是等腰直角三角形，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点M为中点，且D与M重合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图2，过点M作交延长线于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3）解：如图3，取线段的中点I，连接，过点M作交于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵，且， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形． 【变式19-3】（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，． ①判定四边形是否为“神奇四边形”； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 【答案】(1)④； (2)①是；②是 (3) 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；②由三角形中位线定理得出，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）在取折叠时点的对应点，连接，可以证明，，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等 正方形是“神奇四边形” 故答案为：④ （2）①是 证明：四边形是正方形 在和中 又 四边形是“神奇四边形” ②解：四边形是“神奇四边形”， 理由如下： 为的中点， 为的中位线， 同理：，， ，， ，， ， 四边形为平行四边形 ， ， 平行四边形为菱形 ， ， ， ， ， 四边形为正方形 四边形是“神奇四边形” （3）解：如图，在上取折叠时点的对应点，连接， ∴， 又∵， ∴、在同一直线上，是与的交点， 由翻折的性质可知，，，，， 四边形是正方形，边长为， ，， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， 即线段的长为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【题型20 与特殊平行四边形有关的无刻度直尺格点作图】 【例20】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，点在四边形内，满足，，则称点为四边形的一个等分角点．如图2，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，两个四边形的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺在图中画图． (1)画出正方形的一个等分角点，使得点为格点，且满足； (2)画出四边形的一个等分角点，保留画图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质． （1）连接交于点，由正方形的性质知，在上取点下方的一个格点，则，，此时，则点即为所作； （2）构造正方形，连接并延长交于点，由（1）知，，则点即为所作． 【详解】（1）解：如图，点即为所作； ； （2）解：如图，点即为所作． 【变式20-1】在的方格纸中，点都在格点上，按要求画图：（保留画图痕迹） (1)在图1中为内一格点（仅用无刻度的直尺），，为边上的点，使四边形是平行四边形． (2)在图2中仅用无刻度的直尺，过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，找到格点 点，连接与交于点，连接与交于点，四边形即为所求； 根据可得到，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据格点性质可知， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，找到两点，连接与交于点，即为所求； 利用格点图的性质易知四边形为矩形， ∴， 又通过格点图特点易知为中点， ∴为三角形的中位线， ∴． 【变式20-2】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成如下三个画图任务，每个任务的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，画； (2)在图（1）中，点P在上，在上画点Q，使；在上画点E，连接，，使； (3)在图（2）中，点G在四边形的对角线上，在上画点H，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）把向右平移5格得到点，即可得到； （2）取中点，连接延长交于，此时由可得；由可得是菱形，根据菱形的对称性可得，连接与交于点，由对顶角相等可得，即可得到； （3）如图3，连接与交于点，则由矩形性质可得，连接与左边2格的格线交于点，连接延长交右边2格的格线于，延长交于点，根据与到点左右距离都是1格可得，即可证明，得到，则． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图（1），点Q、点E即为所求； （3）解：如图，． 【变式20-3】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，在边上找一点D，连接，使； (2)在图②中，画出的角平分线； (3)在图③中，在边上找一点F，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是利用网格特点作图，同时考查了平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，熟记基本几何图形的判定与性质是解本题的关键． （1）取格点M，N，再利用平行四边形的对角线互相平分可得线段的中点D； （2）取格点Q，K，连接，连接交于，再利用正方形的性质可得是的角平分线； （3）取格点，G，可得直线是的垂直平分线，交于，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 特殊平行四边形（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 利用特殊平行四边形的性质求角度】 1 【题型2 利用特殊平行四边形的性质求长度】 2 【题型3 利用特殊平行四边形的性质求面积】 3 【题型4 利用特殊平行四边形的性质求坐标】 4 【题型5 添加条件构成特殊平行四边形】 5 【题型6 证明特殊平行四边形】 6 【题型7 直角三角形斜边中线的应用】 7 【题型8 利用特殊平行四边形的判定与性质求值】 8 【题型9 利用特殊平行四边形的判定与性质证明】 9 【进阶拔高】 11 【题型10 特殊平行四边形中的折叠问题】 11 【题型11 特殊平行四边形中的动点问题】 12 【题型12 特殊平行四边形中的中点四边形】 13 【题型13 特殊平行四边形中的新定义问题】 14 【题型14 特殊平行四边形中的旋转问题】 16 【题型15 特殊平行四边形中的规律探究】 18 【创新思辨】 19 【题型16 特殊平行四边形中的最值问题】 19 【题型17 特殊平行四边形中的多解问题】 21 【题型18 特殊平行四边形中的定值问题】 22 【题型19 特殊平行四边形中的综合证明与求值】 24 【题型20 与特殊平行四边形有关的无刻度直尺格点作图】 26 【夯实基础】 【题型1 利用特殊平行四边形的性质求角度】 【例1】（2026·重庆·模拟预测）如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是________． 【变式1-1】（25-26八年级下·重庆长寿·期中）如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于___________． 【变式1-2】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·江苏宿迁·一模）如图，四边形为正方形，在平面内找一点E，使为等边三角形，则的度数为________. 【题型2 利用特殊平行四边形的性质求长度】 【例2】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，四边形是菱形，，，于H，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·天津南开·二模）如图，正方形绕点C逆时针旋转得到正方形，点B，A，D的对应点分别为G，F，E，连接．若，则边的长为（   ） A． B．2 C． D． 【变式2-2】（2026·云南丽江·二模）如图，矩形的对角线相交于点O，点E为上一点，，，则的周长为________． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，E是边上一点（不与B，C重合），过点E作于点F，于点G，若，设的长为x，则x的取值范围是______． 【题型3 利用特殊平行四边形的性质求面积】 【例3】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，一副七巧板是由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成：如图，整个七巧板拼图是个大正方形，若七巧板中平行四边形的面积为16，则图中小正方形的面积为___________． 【变式3-1】（25-26九年级下·云南昭通·期中）如图，已知菱形的对角线与相交于点O，的长为，与长度的比为，则菱形的面积是______． 【变式3-2】（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，矩形的对角线，交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-3】如图，三个边长均为3的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是___________． 【题型4 利用特殊平行四边形的性质求坐标】 【例4】将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是_____． 【变式4-1】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，，若，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知菱形在平面直角坐标系中位置如图所示，，点在轴正半轴上，点的坐标为，点是对角线的中点，，则点的坐标为_____． 【题型5 添加条件构成特殊平行四边形】 【例5】（2026·黑龙江·一模）如图，将绕着点旋转得到，连接、，请添加一个条件______，使四边形是矩形． 【变式5-1】（25-26八年级下·广东惠州·期中）下列关于的叙述，正确的是（    ） A．若，则是菱形 B．若，则是菱形 C．若，则是矩形 D．若，则是矩形 【变式5-2】如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是________．    【变式5-3】如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当______时，四边形ACBD为矩形． 【题型6 证明特殊平行四边形】 【例6】（24-25八年级下·上海浦东新·期中）如图，菱形中，与相交于点O，点F是的中点，，，连接． (1)求的长． (2)延长到点E，使得，连接，．求证：四边形是矩形． 【变式6-1】（24-25八年级下·云南文山·期中）已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 【变式6-2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，，求证：四边形是正方形． 【变式6-3】（2026·河南洛阳·二模）如图，矩形中，，为对角线． (1)求作的垂直平分线，使得点，分别落在边，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)根据（1）中作图条件，连接，，求证：四边形是菱形． 【题型7 直角三角形斜边中线的应用】 【例7】（2026·天津·一模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 【变式7-1】（2026·江苏扬州·二模）如图，在中，，，，点是的中点，则长为________． 【变式7-2】（25-26八年级下·云南楚雄·期中）如图，在菱形中，，垂足为点，点、分别为边、的中点，连接，若，，求菱形的面积． 【变式7-3】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求证：． 【题型8 利用特殊平行四边形的判定与性质求值】 【例8】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 【变式8-1】（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【变式8-2】（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，，且的中点是坐标原点O．固定点，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为___________． 【题型9 利用特殊平行四边形的判定与性质证明】 【例9】（25-26八年级下·新疆伊犁·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，是中点，连接．过点作交的延长线于点，连接．求证： (1)； (2)四边形是矩形； (3)若，，求四边形的面积． 【变式9-1】如图，在梯形中，，F为上一点，且，E为上一点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：． 【变式9-2】如图1，四边形为正方形，点是对角线上的一点（），连接，过点作交于点．    (1)求证：． (2)如图2，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：； ②若正方形的边长为，，求的长． 【变式9-3】在正方形中，对角线与交于点，是对角线上一动点，过点作，交射线于点．如图①，当点与点重合时，易证（不需证明）： (1)当点在线段上时，如图②； ①连接，求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，如图③，求证：． 【进阶拔高】 【题型10 特殊平行四边形中的折叠问题】 【例10】（25-26八年级下·江苏常州·期中）在矩形纸片中，，点为边的中点，沿过点的直线翻折，使点的对应点落在边上，折痕交矩形的一边于点，则折痕的长为_____． 【变式10-1】将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（　　　　） A．1 B．2 C．2 D．4 【变式10-2】（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，______． 【变式10-3】（2026·浙江金华·二模）如图，四边形是以为对称轴的轴对称图形，．点在上，，将沿折叠得到，则点到的距离为___________． 【题型11 特殊平行四边形中的动点问题】 【例11】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过___________秒时，四边形是矩形． 【变式11-1】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动．规定：其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，若在点P，Q的运动过程中，四边形可以构成菱形，则的长为_____． 【变式11-2】如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为__________． 【变式11-3】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=120cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（     ） A．20秒 B．18秒 C．12    秒 D．6秒 【题型12 特殊平行四边形中的中点四边形】 【例12】如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形时，则四边形ABCD也是菱形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式12-1】（25-26八年级下·河南信阳·期中）如图，在一座木建筑中，有一扇矩形窗户（四边形），工人师傅准备连接窗户各边中点、、、来制作精美的装饰边框，如果他们测得边的长为1.5米，边的长为2米，那么四边形的周长为_____米． 【变式12-2】（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，在菱形中，，．点是边的中点，点是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，． ①四边形是___________；②当的值为___________时，四边形是矩形；③当的值为___________时，四边形AMDN是菱形． 【变式12-3】（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）如图，是四边形的对角线，点分别是的中点，点分别是的中点．下列说法中不正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 【题型13 特殊平行四边形中的新定义问题】 【例13】（25-26九年级上·河南郑州·期末）定义：若有一组邻边相等，且另一组邻边也相等的凸四边形，我们把这类四边形叫做筝形．如图，矩形中，，，点为的中点，点在上，且，点，，分别为，上一个动点，连接，，，，，若四边形为筝形，则的长为____________． 【变式13-1】（24-25八年级下·全国·单元测试）阅读理解菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． 如图所示，设菱形相邻两个内角的度数分别为，． (1)若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形．若菱形的一个内角为，则“接近度”是多少？ (2)若我们将菱形的“接近度”定义为，那么菱形的“接近度”为多少时，菱形就是正方形？ 【变式13-2】（24-25九年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是小敏同学的一则数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． 年月日 对于几何图形，通常是从它的定义与表示、分类与性质、判定与应用等方面进行研究，且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系展开．以三角形为例，其定义、分类、性质、判定都通过它的边、角、中线、角平分线、高线等的特征来体现．类似地，这样的方法可以用于研究其他几何图形，如邻等对补四边形． 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 目前．我们所认识的四边形，如梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是邻等对补四边形的是____________； 性质探究：在研究四边形的时候，我们知道四边形的问题往往转化为三角形的问题来研究．如图，在四边形中，，，连接，发现． 证明：…． 结论：邻等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角， 任务： (1)上述材料中，序号“”处所对应的内容为：____________； (2)补全材料中命题的证明过程； (3)如图，四边形中，，，，请直接写出的值． 【变式13-3】（24-25八年级下·江西宜春·期末）定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 【题型14 特殊平行四边形中的旋转问题】 【例14】（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）如图1，已知正方形和正方形，点在边上，点在线段的延长线上．将正方形绕点按逆时针方向旋转，连接与直线交于点，如图2所示． (1)如图2，求证：； (2)请在下列①、②中任选一问进行证明． ①在旋转过程中，的度数不变； ②过点作于点于点，在旋转过程中，与之间的数量关系不变． 【变式14-1】（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 【变式14-2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将长方形绕O按顺时针方向旋转度得到，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．当，且时，线段的长是 ___________________． 【变式14-3】将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F，连接EF． （1）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图1所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系； （2）在三角板旋转过程中，当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图2所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系； （3）若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长． 【题型15 特殊平行四边形中的规律探究】 【例15】如图，正方形的边长为，在边上分别取点，，在边上分别取点，使．．．．．依次规律继续下去，则正方形的面积为__________． 【变式15-1】如图，矩形中，,连接,以对角线为边按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接,以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形, ..按照此规律作下去，若矩形的面积记作,矩形的面积记作,矩形的面积记作, ... 则的值为__________． 【变式15-2】如图所示，菱形边长为1，，连接，以为边作第二个菱形，，连接，以为边作第三个菱形，，…，按这个规律所作的第个菱形的边长是___________． 【变式15-3】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中有一边长为的正方形，边，分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形 照此规律作下去，则点的坐标为______． 【创新思辨】 【题型16 特殊平行四边形中的最值问题】 【例16】如图，正方形中，，点E，F分别在边，上，点P在对角线上，，，则： （1）m的最小值为_______________ ； （2）若m的最小值为10，则______________． 【变式16-1】如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（    ）    A．1 B． C． D．3 【变式16-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点是正方形的边上一动点，连结，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连结，若，则面积的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式16-3】（2025·陕西渭南·二模）【问题提出】 （1）如图1，在中，点是的中点，点是边的中点，连接，若，则的度数为_______________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，，点是上方一动点，连接、、，若，求的最大值； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某公园的一片油菜花海，对角线是中间的一条通道，为方便游客观赏花海全景，现要在花海外（右侧）修建一座观景塔（看作点），再沿和分别铺设两条小路（宽度忽略不计），要求，点是的中点，连接，沿开设美食一条街，为了使游客有更多美食进行选择，要求美食一条街尽可能的长．已知菱形的边长为，，求美食一条街长度的最大值． 【题型17 特殊平行四边形中的多解问题】 【例17】如图，在边长为4的菱形中，，点、分别为、边上的动点，连接、、．若，则以下结论正确的是（    ） ①；②是等边三角形；③四边形的面积是；④面积有最大值为． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式17-1】如图，正方形的边长为定值，E是边上的动点（不与点C，D重合）， 交对角线于点F，交于点G，于点H．现给出下列结论：①； ②的周长为定值； ③的长度为定值， 则正确的是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．① 【变式17-2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的是（   ） ①；②四边形是菱形；③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式17-3】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，点为正方形的中心，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接．则以下四个结论中：①；②；③；④．正确结论的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型18 特殊平行四边形中的定值问题】 【例18】如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．    (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式18-1】如图，将矩形放置在平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，顶点的坐标a，b满足 ． (1)求证：四边形为正方形． (2)若E点为正方形边上的动点，连接，过点作，且，连接，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【变式18-2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在正方形中，以为边作菱形，使得点在正方形内，射线与交于点，与射线交于点． (1)当时，求的度数； (2)当点为中点时，证明：； (3)试探究：与的度数之和是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式18-3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）【探究活动】如图，在正方形中，E为对角线上一动点．某数学兴趣小组进行了如下探究： (1)如图1，过点E分别作垂线，，交，边于F，G两点．求证：四边形是正方形； (2)如图2，连接，过点E作，交于点M，以，为邻边作矩形，连接．在点E移动过程中． ①求证：； ②四边形的面积是定值吗？ 【题型19 特殊平行四边形中的综合证明与求值】 【例19】（2026·甘肃武威·二模）如图1，在Rt中，，将绕点逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点的延长线交于点． (1)试判断与的数量关系，并证明； (2)如图2，当时，连接，射线交于点． ①请判断与的数量关系，并证明； ②若在中，，请直接写出的值． 【变式19-1】（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以直角三角形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在中，，点D是的中点，连接，分别过点A，B作，的平行线交于点E． 初步探究： (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； 猜想证明： (2)“善思”小组在图1的基础上连接，交于点O，然后将绕A点逆时针旋转得到（点D，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，他们提出如下问题：请您解答：如图2，当点恰好与点D重合时，与交于点H，求证：． 实践探究： (3)在（2）的条件下，，求梯形的面积． 【变式19-2】（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知，如图点M为的边中点，点D为直线上一个动点（不与点A重合），，连接． (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，求证：四边形是矩形； (3)如图3，延长交边于点H，过点D作于点F，若，且，求证：四边形是正方形． 【变式19-3】（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)我们学过下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中是“神奇四边形”的是________；（填序号） (2)如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连接，． ①判定四边形是否为“神奇四边形”； ②如图2，点M，N，P，Q分别是，，，的中点，则四边形________“神奇四边形”；（填“是”或“不是”） (3)如图3，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O．若，正方形的边长为9，求线段的长． 【题型20 与特殊平行四边形有关的无刻度直尺格点作图】 【例20】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，点在四边形内，满足，，则称点为四边形的一个等分角点．如图2，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，两个四边形的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺在图中画图． (1)画出正方形的一个等分角点，使得点为格点，且满足； (2)画出四边形的一个等分角点，保留画图痕迹． 【变式20-1】在的方格纸中，点都在格点上，按要求画图：（保留画图痕迹） (1)在图1中为内一格点（仅用无刻度的直尺），，为边上的点，使四边形是平行四边形． (2)在图2中仅用无刻度的直尺，过点作的平行线． 【变式20-2】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成如下三个画图任务，每个任务的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，画； (2)在图（1）中，点P在上，在上画点Q，使；在上画点E，连接，，使； (3)在图（2）中，点G在四边形的对角线上，在上画点H，使． 【变式20-3】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． (1)在图①中，在边上找一点D，连接，使； (2)在图②中，画出的角平分线； (3)在图③中，在边上找一点F，连接，使． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $