2026高二下期末专题复习——解析几何

《2026高二下期末专题复习—一 解析几何》参考答案 题号 1 23 32 4 5 6 71 82 答案 D A B C A A D C 题号 9 10 11 1 1 日 1 答案和 ABC AB AB 2 2 12. -8 13.V2+1 14.(1)x=-1或3x+4y-5=0 a++0-2-0 15.(0:2=±22+4 16.0+y2=1(2)m=-1 17.05a25+3g22+o 1.直线2x+3y+1=0的一个方向向量是() A.(2,3) B.(3,2) C.(-2,3) D.(-3,2) 盾线2x+3y+1=0的斜率为k=一 则直线2x+3y+1=0的一个方向向量Q=Q,-名 对于A,因2x(子-3x1≠0，即向量(2,3)与0子不共线，A不合题意， 对于B,因3x(子)-2x1≠0，即向量(3,2)与L子不共线，B不合题意； 对于C,因2x(引1x340,即向量(-2)与-号不共线，C不合题意：《 对于D,因-3×()-2x1=0,即向量(-3,2)与Q,共线，D符合题意.故选：D 2. 已知椭圆+上=10<m<16)的短轴的长为6，则该椭圆的离心率e=（) 16m A. B. 2-3 5 D 4 3 【详解】因为椭圆的短轴的长为6，所以2√m=6,解得m=9,← 所以c=6-m=万，所以离心率e=-7 a 4 3,已知双曲线广-x a2 =1（a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为Y3， 则双曲线的离心率 为() A. 2V5 B.2 C.25 D.3 3 【详解】的双用线— a =1（a>0,b>0)得双曲线的渐近线方程为y=±分x b 3 所以商心半e =V1+3=2. 4.抛物线y=2x2的准线方程为() 1 1 1 A.x=- B.x=- -2 C.y=- D.y= 8 8 2 【详解】依题意，将抛物线的方程y=2×变形为，所以2p?p=京 所以准线方程为少一二= 2 5.已知圆C,:x2+y2+4x-6y-3=0与圆C2:x2+y2-2x+2y-2=0相交，则公共弦所在直 线方程为() A.6x-8y-1=0B.3x+4y-1=0 C.6x-8y-5=0 D.3x+4y-5=0 5.【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： C1:x2+y2+4x-6y-3=0;C2:x2+y2-2x+2y-2=0 两式相减可得公共弦方程：(4x+2x)+(-6y-2y)+(-3+2)=0.即6x-8y-1=0 6.“a=1”是直线ax+(a+1)y+1=0与直线x+(a+1)y=0平行的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【详解】若直线x+(a+1)y+1=0与直线x+(a+1)y=0平行， 当a=-1时，两直线为x=1和直线x=0,平行，符合； 当a≠1时，两直线为y=-x-和直线y=- 1 a+1a+1 则 a+1 a+1 →a=1, 1 ≠0 a+1 综上，直线ax+(a+1)y+1=0与直线x+(a+1)y=0平行的充要条件是a=1. 所以“a=1”是直线x+(a+1)y+1=0与直线x+(a+1)y=0平行的充分不必要条件. 7.直线1经过点P(3,2),且点A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等，则1的方程为（)← A.4x+y+14=0 B.4x+y-14=0 C.x=3或4x+y+14=0 D.x=3或4x+y-14=0 【详解】若直线1斜率不存在，则1：x=3, 此时点A到1的距离为2-3=1，点B到1的距离为4-3引=1，符合要求： 若直线1斜率存在，设1：y=k(x-3)+2,即x-y-3k+2=0, 则有 2k-3-3k+2_4k+5-3k+2 化简得k+1=k+7, Vk2+1 Vk2+1 即k2+2k+1=k2+14k+49,解得k=-4,即1：4x+y-14=0; 故1的方程为x=3或4x+y-14=0. 故选：D. 8.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切 线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆C的方程为 七大圆C的蒙圆的方程为 3 A.x2+y2=15 B.x2+y2=14 C.x2+y2=7 D.x2+y2=17 M 0 【详解】设M(m,n为椭圆C上两条互相垂直的切线的交点，若两条切线斜率都存在， 设为k、k2,则kk2=-1,过M(m,n)的切线方程可设为y=r+t.: M y=kx+t 联立父+y-1则4+3列r+8+4护-12=0，《 4 △=64k22-4(42+3)(4-12)=0,化简得2=4k2+3, 由切线过点M,则n=m+t,故t=n-m, 即有(n-am)2=4k2+3,整理得（m2-4)k2-2mnk+n2-3=0, 则关于飞的方程有两根k、k,满足k,= n2-3 m2-4 =-1, 即有m2+n2=7,即点M的轨迹为x2+y2=7; 若两条切线中有一条斜率不存在，则另一条斜率为0， 则m=±2，n=±√5，此时满足m2+n2=7; 综上可得：椭圆C的蒙日圆的方程为x2+y2=7. 9.若方程 +少 =1所表示的曲线为C,则（) 5-tt-1 A.曲线C可能是圆 B.若1<t<5,则C不一定是椭圆~ C.若C为椭圆，且焦点在x轴上，则1<t<3 D.若C为双曲线，且焦点在y轴上，则t<1 【详解】对于AB,当t=3时，曲线C的方程为x2+y2=2,所以曲线C可能是圆，不一定 是椭圆故AB正确； 对于C,若C为椭圆，且焦点在x轴上，则5-t>t-1>0,解得1<t<3,故C正确； 对于D,若C为双曲线，且焦点在y轴上，则t-1>0>5-t,解得t>5,故D错误. 10.已知F,F分别为双曲线C:x2-2y2=6的左、右焦点，P为C上的一点，则()← A.C的虚轴长为2V5 B.PF-PF2=2V6e C.C的离心率为 D.C的渐近线方程为y=±√2x 【详解】由r2-2y2=6,得=1，可得C的虚轴长为25，故A正确， 63 由双曲线的定义得PF-PF=2V6,故B正确， 而c的离心率为6+3v6 故C错误，而渐近线方程为y=± x,故D错误. 6 2 2 11.已知直线1：y=a+2k+2(k∈R),圆C:x2+(y-1)2=9,则下列说法正确的是()← A.直线1过定点(-2,2) B.当直线1平分圆C的周长时，k=- 2 C.圆心C到直线1距离的最大值是22 D.若点P(m,n)在圆C上，则m2+n2的取值范围为[4,25] 11.已知圆C:x2+(y-1)2=9,得圆心C(0,1),半径r=3, 直线1：y=+2k+2整理得y-2=k(x+2), 选项A,由直线方程可知，无论k取何值，x=-2时恒有y=2,因此直线1恒过定点(-2,2)， A正确； 选项B,直线平分圆周长，说明直线过圆心C(0,1),将(0,1)代入直线方程得：1=2k+2, 1 解得k=-。,B正确； 11.已知直线1：y=a+2k+2(k∈R),圆C:x2+(y-1)2=9,则下列说法正确的是()← A.直线1过定点(-2,2) B.当直线I平分圆C的周长时，k=- 2 C.圆心C到直线1距离的最大值是2√互 D.若点P(m,n)在圆C上，则m2+n2的取值范围为[4,25] 选项C,直线1恒过定点A(-2,2),圆心C到直线1的距离d满足d≤CA, CA=V(-2-0)2+(2-1)2=V5,即d的最大值为V5≠22，C错误； 选项D,m2+n2是点P(m,n)到原点O(0,0)的距离平方，原点到圆心C的距离OC=1, 因此点P到原点的距离范围是[r-OC,r+OC=[2,4,故m2+n2OP2∈[4,16≠[4,25]， D错误. 故选：AB. 12.若P,9分别为两平行直线1：3x-4y-1=0,12:6x+my+3=0上任意一点，则m的 值为 PQ的最小值为 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于1：Ax+By+C1=0,12:Ax+B2y+C2=0, 平行满足A,B2=A,B,且不重合，代入得：3m=6(-4), 3x-4y-1=0 解得m=-8,验证 6r-8y+3=0’两直线不重合，故m=-8. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：1：6x-8y-2=0,12:6x-8y+3=0 |-2-3 51 根据平行线距离公式可得：d= V62+(-8)2102' 即PQ的最小值为5 1B.卫知双通线若茶-1(0>0>0)右焦点F也是花物线广-8如的供点，两由线在 第一象限的公共点为M,且MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为 【详解】由题意可得右焦点F为(2,0)，又因为MF垂直于x轴，把x=2代入抛物线y2=8x, 可得y=±4，又因为公共点M在第一象限，所以y=4,即M(2,4),把M(2,4)代入 风量线后若1可得，合后-1，又四为08=4：架得=12-，。 2 4 所以e2= C a2 12-82 =3+25,即e=3+2万=0+V2列=1+5. 14.已知圆x2+y2=9内有一点P(-1,2),AB为过点P的弦. (1)当|AB=4V2时，求直线AB的方程； (2)求弦AB中点M的轨迹方程. 14.(1)当直线AB的斜率不存在时，AB的方程为x=-1,代入x2+y2=9,y=士2√2 此时1AB=4V互，符合题意； 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y-2=k(x+1),即c-y+k+2=0 型原点0到碳8的随离为d则（可，解料=-子 :4B的方程为y-2=-3x+,即3x+4y-5=0 4 综上，直线AB的方程为x=-1或3x+4y-5=0 14.已知圆x2+y2=9内有一点P(-1,2),AB为过点P的弦. (1)当|AB=4V2时，求直线AB的方程； (2)求弦AB中点M的轨迹方程. (2)方法一：.M是AB的中点，由垂径定理得OM⊥AB D M的轨迹是以oP为直径的圆.OP的中点为()，)， M 即圆心为号，半径ro1-0+0-0= B 2 M的轨迹方程为c+2+心-)2=e 方法三：设M(x,),由垂径定理得OM⊥AB,.OM·PM=0 即x+)+心-2)=0，即M的轨迹方程为+分”+--子 14.已知圆x2+y2=9内有一点P(-1,2),AB为过点P的弦. (1)当|AB=4V2时，求直线AB的方程： (2)求弦AB中点M的轨迹方程. 方法二：设Mx),由垂径定理得OM1AB,kow=上，k。- (x≠0且x≠-1)， x+1 大。号，得e+封+0-旷-cx0且r-e 当x=0时，y=2,x=-1时，y=0,也满足上式， M的轨迹方程为+之2+0-P=子 M B 15.已知抛物线C:x2=2y,其焦点为F,M(2,y)是C上的一点. (1)求MF； (2)直线1交C于A,B两点，ko4koa=-2且△OAB的面积为16，求直线1的方程.← B M x 15.(1)将M(2,%)代入C:x2=2y,得=2，其中p=1,所以MF=,+=2+ 5 2 2 (2)直线1的斜率显然存在，设直线1：y=a+m,A(x,)、B(x2,2), y=+m得：-2a-2m=0,出+8=2k,=-2m,△=4+8m>0, 由x2=2y 由于= 为所以达3上22p 2 解得m=4,即直线1方程为：y=a+4,所以直线1恒过定点(0,4)， 4 原点O到直线1的距离d= V1+k2, 5a调ei*-城=2w+2=16, .4k2+32=64,解得k=±2V2,所以直线1方程为：y=+2v2x+4. 6已知椭圆付 若=0>8>0的离心率为5.且过点〔5时引。 (1)求椭圆的方程； 2)直线1：y=- 5 x+m与椭圆交于B,C两点，若△ABC面积为5，求m., 3 1 a =1 463 c3 16.(1)解：根据题意可知： ,解得a2=4,b2=1,c2=3, a 2 a2=b2+c2 以椭圆的方程为+少1：品 4+2=1 (2)解：设B(x,),C(x2,2),联立 3 ,消y整理得x2-V5mr+m2-1=0, x+m 2 则△=3m2-4(m2-1>0，解得-2<m<2,:+2=V3m,xx2=m2-1, 则sc-y+手V3m-4m-可=万.4-m ← 2 31 点4到直线1：y=-5x 2x+m的距离d= 2+2m 22-m,e cg号7gm2, 解得m=-1, 7 所以若△ABC面积为。5，m=-1. 17.已知双曲线T:二父-1，过点Mm.0)作不垂直于x轴的直线I交双曲线r于4、B两 22 点.(1)求双曲线离心率； (2)若点A5,1),点B在双曲线的右支上，且B是AM的中点，求直线1的斜率； (3)若m>0,F,F分别是双曲线Γ的左右焦点，4是A关于y轴的对称点，若存在直线1使 得FA.F,B=0,求m的取值范围. 17.1)对于双曲线r:广=1，a=V2,b=2,c=Va+6=2, 22 2 所以双曲线离心率e=二= =V2. a M 17.已知双曲线r:亡-广-1，过点Mm.0)作不垂直于x轴的直线1交双曲线r于4、B两 2 点.(1)求双曲线离心率； (2)若点AV5,1,点B在双曲线的右支上，且B是AM的中点，求直线1的斜率； (3)若m>0,F,F分别是双曲线厂的左右焦点，A'是A关于y轴的对称点，若存在直线1使 得FA·FB=0,求m的取值范围. m+V31 (2)因为点B是AM的中点，所以点B 2 代入双线方程号-1，行+3】1解得m=35, 22 8 8 又点B在双曲线的右支上，所以m+√5>0，即m>-5,所以m=3-√5， 0-1 所以直线1的斜率为 1_25+3 3-5-V525-3 3 (3)当直线斜率为0时，易知FA与F,B共线，不符合题意； 当直线斜率不为0时，设直线1方程为x=四+m,设A(:,),B(x2,y2),则A(-x,), 联定片若1.要理8仁-小r+哪+r2-20 x=ny+m △=(2mm)°-4(n2-10(m2-2）=4(m2+2n2-2)>0(*)且n2-1≠0， F -2nm 乃+= ,m2-2 '4=-i 又因为F(-2,0),F(2,0),° 所以FA=（-x+2,)=(-y-m+2,)，FB=(x2-2,2)=(y2+m-2,y2), 所以FA.FB=(--m+2)(y,+m-2)+y=0, 即(-n+1yy2-n(m-2)(y+y2)-(m-2)}2=0, 即n+(m-2n(m-2(-2mm -(m-2}=0, n2-1 n2-1 整理得m2-n2-2m+1=0,即n2=m2-2m+1, 代入(*)中得3m2-4m>0,又m>0,所以m>3 4 又因为n2-1≠0，即m2-2m+1-1≠0，所以m≠0且m≠2，日 综上，m的取值范围为专2小(2+) 2026高二下期末专题复习——解析几何 班级：___________姓名：___________学号：___________ 一、单选题 1．直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 3．已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 4．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．“”是直线与直线平行的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 8．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若方程所表示的曲线为C，则（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C不一定是椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为双曲线，且焦点在y轴上，则 10．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为C上的一点，则（   ） A．C的虚轴长为 B． C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 11．已知直线，圆，则下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．当直线平分圆的周长时， C．圆心到直线距离的最大值是 D．若点在圆上，则的取值范围为 三、填空题 12．若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 13．已知双曲线（）右焦点F也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为M，且MF垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 四、解答题 14．已知圆内有一点，为过点P的弦． (1)当时，求直线的方程； (2)求弦中点M的轨迹方程． 15．已知抛物线，其焦点为，是上的一点. (1)求； (2)直线交于两点，且的面积为16，求直线的方程. 16.已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于B，C两点，若面积为，求m． 17．已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. (1)求双曲线离心率； (2)若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； (3)若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2026高二下期末专题复习——解析几何》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C A A D C ABC AB 题号 11 答案 AB 1．D 【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量，再求与共线的向量即可. 【详解】直线的斜率为，则直线的一个方向向量， 对于A，因，即向量与不共线，A不合题意； 对于B，因，即向量与不共线，B不合题意； 对于C，因，即向量与不共线，C不合题意； 对于D，因，即向量与共线，D符合题意. 故选：D 2．A 【分析】由题意求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的短轴的长为6， 所以，解得， 所以， 所以离心率. 3．B 【详解】由双曲线（，）得双曲线的渐近线方程为. ，所以离心率. 4．C 【详解】依题意，将抛物线的方程变形为，所以，， 所以准线方程为. 5．A 【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 6．A 【分析】先由两直线平行求出参数a，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若直线与直线平行， 当时，两直线为和直线，平行，符合； 当时，两直线为和直线， 则， 综上，直线与直线平行的充要条件是. 所以“”是直线与直线平行的充分不必要条件. 故选：A 7．D 【分析】借助点到直线的距离公式，分直线斜率存在于不存在进行讨论即可得. 【详解】若直线斜率不存在，则， 此时点到的距离为，点到的距离为，符合要求； 若直线斜率存在，设，即， 则有，化简得， 即，解得，即； 故的方程为或. 故选：D. 8．C 【分析】结合“蒙日圆”定义，设为椭圆上两条互相垂直的切线的交点，分两切线斜率都存在与两条切线中有一条斜率不存在，另一条斜率为进行讨论即可得. 【详解】设为椭圆上两条互相垂直的切线的交点， 若两条切线斜率都存在，设为、，则， 过的切线方程可设为， 联立，则， ，化简得， 由切线过点，则，故， 即有，整理得， 则关于的方程有两根、，满足， 即有，即点的轨迹为； 若两条切线中有一条斜率不存在，则另一条斜率为， 则，，此时满足； 综上可得：椭圆的蒙日圆的方程为. 9．ABC 【分析】令即可判断AB；由方程表示椭圆、双曲线的条件即可判断CD. 【详解】对于AB，当时，曲线C的方程为，所以曲线C可能是圆，不一定是椭圆故AB正确； 对于C，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故C正确； 对于D，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故D错误. 故选：ABC. 10．AB 【分析】利用双曲线的性质逐个选项分析求解即可. 【详解】由，得，可得的虚轴长为，故A正确， 由双曲线的定义得，故B正确， 而的离心率为，故C错误， 而渐近线方程为，故D错误. 故选：AB 11．AB 【分析】选项A，将直线方程变形为，可判断直线是否过定点；选项B，先求出圆的圆心坐标，代入直线方程即可求解；选项C，利用两点间距离公式计算该距离；选项D，先求出原点到圆心的距离，再结合圆的半径，确定圆上的点到原点距离的最值，进而得到的取值范围. 【详解】已知圆，得圆心，半径， 直线整理得， 选项A，由直线方程可知，无论取何值，时恒有，因此直线恒过定点，A正确； 选项B，直线平分圆周长，说明直线过圆心，将代入直线方程得：，解得，B正确； 选项C，直线恒过定点，圆心到直线的距离满足， ，即的最大值为，C错误； 选项D，是点到原点的距离平方，原点到圆心的距离， 因此点到原点的距离范围是，故，D错误. 故选：AB. 12． 【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解； 题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值. 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 13．/ 【详解】由题意可得右焦点为，又因为MF垂直于轴，把代入抛物线， 可得，又因为公共点M在第一象限，所以，即，把代入 双曲线可得，，又因为，解得， 所以，即. 14．(1)或 (2) 【分析】（1）分直线斜率存在与不存在两种情况考虑，在斜率不存在时结合图形求出弦长检验可得；在斜率存在时，利用弦长公式求出直线斜率即得直线方程； （2）方法一：由垂径定理得，从而可得点的轨迹是以为直径的圆，求出圆的方程即可；方法二：利用，代入点的坐标推导即得；方法三：利用，代入点的坐标推导即得. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，的方程为，代入， 此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 设原点O到直线的距离为d，则，解得 的方程为，即 综上，直线的方程为或 （2）方法一：是的中点，由垂径定理得 的轨迹是以为直径的圆．的中点为， 即圆心为，半径 的轨迹方程为 方法二：设，由垂径定理得，，（且）， ，得（且 当时，，时，，也满足上式， 的轨迹方程为 方法三：设，由垂径定理得， 即，即M的轨迹方程为. 15．(1)； (2) 【分析】（1）利用抛物线定义来求焦半径即可； （2）利用直线与抛物线联立方程组，结合韦达定理和面积公式即可求解. 【详解】（1）将代入，得，其中， 所以； （2）直线的斜率显然存在，设直线，、， 由得：， ，，， 由于 所以， 解得， 即直线方程为：，所以直线恒过定点， 原点到直线的距离， ， ， ，解得， 所以直线方程为：. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，求出即可得解； （2）设，联立，消，利用韦达定理求得，再利用弦长公式求得，求出点到直线的距离，再根据，即可得出答案. 【详解】（1）解：根据题意可知： ，解得， 所以椭圆的方程为； （2）解：设， 联立，消整理得， 则，解得， ， 则， 点到直线的距离， 则，解得， 所以若面积为，. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解； （2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案； （3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案. 【详解】（1）对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. （2）因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. （3）当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 答案第10页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $