专题06 数列与平面解析几何（期末真题汇编，浙江专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦数列与平面解析几何专题，汇编浙江多校期末试题，涵盖基础到创新梯度，融入斐波那契数列应用、投篮概率等真实情境。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|多题|数列概念（斐波那契数列）、圆锥曲线方程（抛物线准线）|基础巩固，结合文化传承（兔子数列）| |解答题|多题|等差等比数列证明、椭圆离心率、直线与双曲线位置关系|分层设计，从通项求接到性质P证明，对接高考综合题型|

专题06 数列与平面解析几何 高频考点概览 考点01数列的概念与表示 考点02等差数列与等比数列 考点03数列通项与前n项和 考点04 圆锥曲线的方程与基本性质 考点05 直线与圆锥曲线的位置关系 ( 考点01 数列的概念与表示 ) 1．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)2，4，6，8，10，，第项为________. 2．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)找规律：1，4，9，16，________，36． 3．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义：，则的个位数字是_________． ( 考点0 2 等差数列与等比数列 ) 1．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 2．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)已知是各项均为正数的等比数列，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 3．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)数列的前n项和为，已知，数列满足递推关系：． (1)求数列和的通项公式； (2)求的前n项和． 4．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知数列是公比为的等比数列，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求证：． 5．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)数列满足． (1)证明数列是单调递增数列； (2)若是中连续的三项，证明：不可能成等比数列； (3)证明：不存在正的常数M，使对所有的成立． ( 考点0 3 数列通项与前n项和 ) 1．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)数列的前n项和，则（ ） A．140 B．120 C．40 D．50 2．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)设数列的前项和为．若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)已知数列的前n项和为，则最小时，（   ） A．47 B．48 C．49 D．50 4．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)（多选）已知数列满足，，令，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．为整数 D．数列的前2025项和为2025 5．已知数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 6．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)若无穷正项数列同时满足以下两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质． (1)若； （ⅰ）判断数列是否具有性质，并说明理由； （ⅱ）记为数列的前项和，判断数列是否具有性质，并说明理由； (2)某同学投篮命中率为，每次投篮相互独立，设随机变量为投篮次命中的次数，记，证明：数列具有性质． 7．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)对于给定的正整数，如果正整数能整除，则称是的因子；如果正整数，共同的因子只有1，则称正整数和互素.已知函数表示正整数的因子个数，数列满足以下条件： ①对于任意素数和正整数，都有； ②对于任意的正整数和，若和互素，则. (1)求，的值，并写出和的关系（无需证明）； (2)当是偶数时，证明：； (3)设数列的前项和为，证明：. ( 考点0 4 圆锥曲线的方程与基本性质 ) 1．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)准线方程为的抛物线的标准方程是_______． 2．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)（多选）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 3．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)如图所示，已知双曲线的左右焦点分别为和，过和分别作两条互相平行的直线和，与双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方），与双曲线的右支交于C、D两点（C在x轴上方），若，，则（e是双曲线的离心率）等于________． 5．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，射线是的角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)（多选）如图，已知笛卡尔“鸡蛋”曲线过点，且曲线上任意一点到和的距离满足，则（   ） A． B．曲线与单位圆有3个交点 C．的最小值为 D．的最大值为 7．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)（多选）已知曲线，下列说法正确的是（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线与的图象有且仅有一个交点 C．当时，曲线上任意一点到原点的距离均不超过 D．曲线与直线，围成图形的面积小于 9．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)已知双曲线的两条渐近线为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作双曲线的切线（的方程为）交轴于点； （ⅰ）证明：四点共圆； （ⅱ）当时，过点作的垂线与的角平分线交于点，求点的轨迹方程． ( 考点 05 直线与圆锥曲线的位置关系 ) 1．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)已知椭圆． (1)若M是椭圆C的焦点，求b的值； (2)若P为椭圆在第一象限上的点，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA，PB分别与x轴和y轴交于点S和T．记，面积分别为，若为定值，求椭圆C的标准方程． 2．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知椭圆的方程为，椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）. (1)若椭圆的离心率为，求的值； (2)若，左顶点为，求的面积的最大值． 3．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点. (1)求C的标准方程； (2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 4．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列与平面解析几何 高频考点概览 考点01数列的概念与表示 考点02等差数列与等比数列 考点03数列通项与前n项和 考点04 圆锥曲线的方程与基本性质 考点05 直线与圆锥曲线的位置关系 ( 考点01 数列的概念与表示 ) 1．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)2，4，6，8，10，，第项为________. 【答案】 【详解】由数列2，4，6，8，10，，得，所以.故答案为：. 2．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)找规律：1，4，9，16，________，36． 【答案】25 【详解】通过观察可得每个数是它的项数的平方，即，，，，，， 故答案为：25． 3．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列可以用如下方法定义：，则的个位数字是_________． 【答案】0 【详解】由题意，∴数列为， 此数列各项除以 10 的余数依次构成的数列为：1 1 2 3 5；8 3 1 4 5；9 4 3 7 0；7 7 4 1 5；6 1 7 8 5 3 8 1 9 0；9 9 8 7 5；2 7 9 6 5；1 6 7 3 0；3 3 6 9 5；4 9 3 2 5；7 2 9 1 0；1 1 2 3 5... 它是以 60 为周期的周期数列，∴的个位数字与的个位数相同，故所求为0. 故答案为：0. ( 考点0 2 等差数列与等比数列 ) 1．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)已知是等比数列的前n项和，若，则（   ） A．1022 B．1023 C．1024 D．1025 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则.故选：B. 2．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)已知是各项均为正数的等比数列，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【详解】（1） 又，故，故， 因此 （2），由于， 故为等差数列，且公差为2，故 3．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)数列的前n项和为，已知，数列满足递推关系：． (1)求数列和的通项公式； (2)求的前n项和． 【详解】（1）已知 ，当 时，； 当 时，；验证时，，符合上式， 故数列通项公式为. 因为，所以，等式两边同时加 可得， 即，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 数列通项公式为，所以. 故数列的通项公式为. （2）由（1）可知，则，所以， 记数列的前项和为 ，，① 上式乘以公比2可得；，② 由① ②可得：， 即，， 化简可得，即. 4．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知数列是公比为的等比数列，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求证：． 【详解】（1）因为成等差数列，所以， 又因为数列是公比为的等比数列，所以， 解得，所以， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知，则 可得，则， 两式相减，可得，所以， 因为，所以数列是递增数列，则， 又因为，可得， 综上可得：. 5．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)数列满足． (1)证明数列是单调递增数列； (2)若是中连续的三项，证明：不可能成等比数列； (3)证明：不存在正的常数M，使对所有的成立． 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，，∴， 即，∴， ∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴，∴，即（）， ∴，， ∴数列是单调递增数列. （2）由题意及（1）证明如下，，在数列中，， ∴，，， ∴， ∴∴不可能成等比数列. （3）由题意（1）及（2）证明如下，，在数列中，，单调递增， 且当时，，∴不存在正的常数M，使对所有的成立. ( 考点0 3 数列通项与前n项和 ) 1．(24-25高二下·浙江温州平阳县万全综合高级中学·期末)数列的前n项和，则（ ） A．140 B．120 C．40 D．50 【答案】C 【详解】由可得，故选：C 2．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)设数列的前项和为．若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】当时，，当时，. 故选：D 3．(24-25高二下·浙江杭州西湖区浙附玉泉丁兰·期末)已知数列的前n项和为，则最小时，（   ） A．47 B．48 C．49 D．50 【答案】D 【详解】因为，所以当时，最小.故选：D. 4．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)（多选）已知数列满足，，令，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．为整数 D．数列的前2025项和为2025 【答案】ABD 【详解】因为①，所以当时，②，①-②得：.化简得.所以，所以数列为首项是1，公比为1的等比数列.所以，所以.所以.对于选项A：，所以A正确；对于选项B：因为，所以数列是首项为0，公差为的等差数列，所以B正确；对于选项C：，不是整数，所以C错误； 对于选项D：因为数列是首项为0，公差为的等差数列，所以，所以D正确.故选：ABD. 5．已知数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【详解】(1)由题可知，① 当时，，得， 当时，，② ①-②，得，所以 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，故. (2)由(1)知，则， ， 所以. 6．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)若无穷正项数列同时满足以下两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质． (1)若； （ⅰ）判断数列是否具有性质，并说明理由； （ⅱ）记为数列的前项和，判断数列是否具有性质，并说明理由； (2)某同学投篮命中率为，每次投篮相互独立，设随机变量为投篮次命中的次数，记，证明：数列具有性质． 【详解】（1）解：（ⅰ）假设存在，使得， 则有，因为，所以数列不具有性质； 因为，且为单调递减数列，所以数列具有性质； （ⅱ）数列具有性质， 两式作差得： ， 所以数列满足条件①； 因为， 所以为单调递增数列，满足条件②，所以数列具有性质； （2）解：因为， 记是奇数时的概率和为，是偶数时的概率和为， ， ， 可得，故随着的增大而增大，所以数列具有性质． 7．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)对于给定的正整数，如果正整数能整除，则称是的因子；如果正整数，共同的因子只有1，则称正整数和互素.已知函数表示正整数的因子个数，数列满足以下条件： ①对于任意素数和正整数，都有； ②对于任意的正整数和，若和互素，则. (1)求，的值，并写出和的关系（无需证明）； (2)当是偶数时，证明：； (3)设数列的前项和为，证明：. 【详解】（1）注意到，对于任意的正整数，1和总是互素的， 因此恒成立，即. 又， 故. 令，则；令，则； 令，则；令，则； 令，则；令，所以， 所以的前6项分别为1，2，2，3，2，4． 通过计算特殊的和的值，可以发现：. （2）证明：设，若是的因子，则且 故，即， 因此，偶数的因子除了外，至多有个 故 （3）考虑奇数，设，若是的因子，则且 故，即，又，故 即 结合（2）问结论，有： 故 且，故原命题得证. ( 考点0 4 圆锥曲线的方程与基本性质 ) 1．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)准线方程为的抛物线的标准方程是_______． 【答案】 【详解】抛物线的准线方程为，说明抛物线开口向左，且， 所以抛物线的标准方程是． 2．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)（多选）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD. 3．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线交于另一点，的内切圆与相切于点．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，， 设的内切圆与，相切于点，如图所示，则，， 所以，所以的周长为，由椭圆定义可得，，所以，则，故选：B．  . 4．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)如图所示，已知双曲线的左右焦点分别为和，过和分别作两条互相平行的直线和，与双曲线的左支交于A、B两点（A在x轴上方），与双曲线的右支交于C、D两点（C在x轴上方），若，，则（e是双曲线的离心率）等于________． 【答案】 【详解】设的角平分线交与，，，设，则，又，，所以，， 又为的角平分线，所以，，，在中，， 在中，，所以，整理得，，解得（舍去），所以，在中，， 又，所以， 所以.故答案为：. 5．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，射线是的角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接.因为三角形的三条角平分线交于一点，所以射线是的角平分线. 因为，所以.由角平分线定理得，.设，则，所以，， 所以椭圆的离心率.故选：B. 6．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)（多选）如图，已知笛卡尔“鸡蛋”曲线过点，且曲线上任意一点到和的距离满足，则（   ） A． B．曲线与单位圆有3个交点 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，曲线过点，此时，故A正确； 对于B，曲线的方程为，联立单位圆，即，平方得，即，解得或，由图可知时，曲线的点为，当时，曲线上有2个点，所以曲线与单位圆有3个交点，故B正确；设，则，， 在中，， ，即时，取得最小值，又，所以，即， 是的中点，， ，，所以的最小值为，最大值为，即的最小值为，最大值为，故C错误，D正确；故选：ABD. 7．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)（多选）已知曲线，下列说法正确的是（   ） A．曲线关于轴对称 B．曲线与的图象有且仅有一个交点 C．当时，曲线上任意一点到原点的距离均不超过 D．曲线与直线，围成图形的面积小于 【答案】ACD 【详解】对于A：由曲线，用代替方程中的，得，方程不变，所以曲线关于轴对称，所以A正确；对于B：联立，得，即，那么函数在上的零点个数即为曲线与图象的交点个数，由，得，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，，所以在上，由正数递减到正数，再递增，故在上，没有零点，即曲线与的图象没有交点，所以B错误；对于C：曲线上任意一点到原点的距离为，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为，即在上的最大值为，故当时，曲线上任意一点到原点的距离均不超过，所以C正确；对于D：当时，，，当时，，，令，，则在上为增函数，令，，则在为增函数，由此可知，的图象在上增长速度越来越快，可得曲线大致图象如图所示，因为梯形的面积为，所以曲线与直线，围成图形的面积小于，所以D正确.故答案为：ACD. 9．(24-25高二下·浙江杭州上城区等5地·期末)已知双曲线的两条渐近线为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)分别是双曲线的左右焦点，过双曲线上一点作双曲线的切线（的方程为）交轴于点； （ⅰ）证明：四点共圆； （ⅱ）当时，过点作的垂线与的角平分线交于点，求点的轨迹方程． 【详解】（1）解：由双曲线的两条渐近线为，可得，即， 又由双曲线经过点，可得，解得， 所以双曲线的方程为． （2）解：（ⅰ）由题意得，过点的切线方程为，即， 又由，则过三点的圆的圆心为， 因为，即， 所以， 又， 即，所以四点共圆． （ⅱ）方法一：切线的垂线方程为， 令切线交轴于点的角平分线交切线于点， 由角平分线定理得：， 所以，代入坐标得， 故的角平分线方程为， 设点，联立方程组 ，可得， 所以点的轨迹方程为． 方法二：由双曲线的光学性质得：切线的垂线即为的外角平分线，所以点为的旁心， 设圆与延长线、延长线的切点分别为，点， 则 ，即， 又由切线的垂线方程为，代入得，所以， 所以点的轨迹方程为． ( 考点 05 直线与圆锥曲线的位置关系 ) 1．(24-25高二下·浙江温州十校联合体·期末)已知椭圆． (1)若M是椭圆C的焦点，求b的值； (2)若P为椭圆在第一象限上的点，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA，PB分别与x轴和y轴交于点S和T．记，面积分别为，若为定值，求椭圆C的标准方程． 【详解】（1）由M是椭圆C的焦点，得半焦距，所以. （2）设点，由为椭圆在第一象限上的点，得， 依题意，，直线，直线 ， 于是， ，解得， 所以椭圆C的标准方程为. 2．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知椭圆的方程为，椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于P、Q两点（P、Q均不在x轴上）. (1)若椭圆的离心率为，求的值； (2)若，左顶点为，求的面积的最大值． 【详解】（1）∵椭圆的离心率为，∴，解得. （2）时，，故，所以，， 、均不在轴上，故直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立与得， 因， 由韦达定理，，， 所以， 又，故的面积， 而， 当且仅当，即时等号成立， 所以的面积的最大值为. 3．(24-25高二下·浙江杭州第四中学·期末)已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点. (1)求C的标准方程； (2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为，所以，可得， 又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即， 联立方程组，解得， 所以双曲线C的标准方程为. （2）解：假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在， 设直线的斜率为，且，则，两式相减得， 所以， 因为的中点为，所以，所以，解得， 直线的方程为，即， 把直线代入，整理得， 可得，该方程没有实根，所以假设不成立， 即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为. 4．(24-25高二下·浙江浙南名校联盟·期末)已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 【详解】（1）因为抛物线，所以焦点坐标为：， 过该焦点的直线方程为：，与抛物线的交点为：，， 与抛物线方程联立得：，则， 而由抛物线的定义可知， 因为，所以当时，有最小值，所以， 所以抛物线方程为. （2）由（1）得，直线方程为，且① 设直线方程为， 与抛物线方程联立得：，则② 设直线方程为，，同理可得③ 联立①②③可得 设直线方程为 与抛物线方程联立得：，则 因为，所以，所以直线经过定点 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $