辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（六）

**基本信息** 辽宁葫芦岛市高一下学期数学期末复习卷，聚焦向量、立体几何等核心知识，通过陀螺滚动、海上救援等真实情境题，考查数学抽象、空间观念与模型意识，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量垂直、投影向量、空间线面关系|第6题以陀螺滚动为情境，考查圆锥侧面积，体现文化传承与空间观念| |多选题|3/18|命题否定、扇形圆心角、正方体动态问题|第10题结合正方体动点，考查异面直线成角与距离，培养逻辑推理| |填空题|3/15|向量模最值、三棱锥表面积与内切球、四棱锥体积|第14题菱形底面四棱锥体积最值，考查模型意识与运算能力| |解答题|5/77|解三角形、三棱锥线线垂直、三角函数性质、翻折问题|第19题梯形翻折探究面面垂直，融合几何直观与创新意识，契合高考命题趋势|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（六） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D．2 2．已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．在空间中，l，m是不重合的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知在中，斜边平面，，，分别与平面成和的角，已知，则到平面的距离为（     ） A．4 B． C． D． 5．已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 6．陀螺也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，将此正方形沿、折起，使点、重合于点．记三棱锥的体积为，其外接球的体积为．则（    ） A． B． C． D． 8．如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．1小时 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（     ） A．命题“，”的否定是“，” B．若角的终边过点（），则 C．已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 D．若是第二象限角，则在第三象限 10．如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ） A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 11．如图，在正方体中，M为中点，P为线段BD上一点，记平面MPC截正方体所得截面为．当A，P，C三点共线时，，则（    ）． A．当AB的中点在上时，截面图形的面积为 B．截面形状可能是五边形 C．记BD的中点为O，当P在线段OB上时，截面图形是四边形 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知且，则的最大值是______________． 13．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的表面积为______，三棱锥的内切球的体积为______． 14．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，侧面 为正三角形，，则四棱锥体积的最大值为_________． 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)设，，且为的平分线，求． 16．（15分）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分） (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 17．（15分）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调增区间；(2)若，且，求的值． (3)在锐角中，若，求的取值范围． 18．（17分）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，且平面． (1)求出的值并说明理由; (2)若二面角的正切值为 （ⅰ）求出的长度; （ⅱ）求二面角的正切值. 19．（17分）如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（六） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.88 【详解】因为，所以，解得，则，由模长公式得，故B 2．已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【详解】向量在向量上的投影向量为 3．在空间中，l，m是不重合的直线， ， 是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【难度】0.75 【详解】若，，，则或是异面直线，故A错误； 若，，则或，故B错误；若，，则或，故C错误； 若，，则，故D正确； 4．已知在中，斜边平面，，，分别与平面成和的角，已知，则到平面的距离为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】首先根据线面角的定义，作出线面角，再根据几何关系，求解点到平面的距离. 【详解】作于点，于点，则由，得， 且就是BC到平面α的距离，设， 连接、，则，，∴，， 在中，，， ∴，∴，即到平面的距离为. 5．已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.62 【分析】设正三棱台的上下底面的中心分别为，证得平面，得到为直线与底面所成的角，求得正三棱台的高，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】设正三棱台的上下底面等边三角形的中心分别为, 分别连接，过作的垂线，垂足为，则， 因为平面，所以平面， 所以为直线与底面所成的角，所以， 因为正三棱台的上下底面的面积分别为和， 即等边的边长为，等边的边长为， 可得，所以， 因为，可得，所以， 即正三棱台的高， 所以正三棱台的体积为. 6．陀螺也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【分析】根据题意求出圆锥侧面展开扇形的圆心角，进而可求得母线长，再根据圆锥的侧面积公式即可得解. 【详解】由题意可得圆锥侧面展开扇形的圆心角为， 设圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为． 7．如图，正方形的边长为4，点、分别在边、上，且，，将此正方形沿、折起，使点、重合于点．记三棱锥的体积为，其外接球的体积为．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.49 【分析】依题意可得、，确定三棱锥的高，三角形面积公式求出的面积，结合三棱锥体积公式计算；根据平面，可先求的外接圆半径，再求出外接球半径，最后用球的体积公式计算，进而求比值. 【详解】正方形折叠后，重合于，可得：， ， 由原正方形的直角得：，故， 又，且平面，因此平面， 对：， 故为直角三角形，面积， 三棱锥体积：； 平面，且为直角三角形，斜边为， 因此：外接圆半径，球心到平面的距离， 设外接球半径，则，外接球体积：， 因此. 8．如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．1小时 【答案】A 【难度】0.62 【分析】先在中用正弦定理得出，再在中用余弦定理得出，路程除以速度即可求得时间. 【详解】由题意，在中，，，， 所以，由正弦定理可得，， 则， 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（     ） A．命题“，”的否定是“，” B．若角的终边过点（），则 C．已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 D．若是第二象限角，则在第三象限 【答案】ACD 【难度】0.68 【详解】对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，若角的终边过点（），则， 当时，；当时，. 故B不正确. 对于C，设扇形的半径为，弧长为. 若扇形的面积为4，周长为10，则，解得或. 所以扇形的圆心角（正角）的弧度数为（舍去）或. 故C正确. 对于D，若是第二象限角，则，， 所以在第三象限，所以D正确. 10．如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ） A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.55 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，过作于，再过作于，利用线面垂直及勾股定理求的最小值. 【详解】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确；    因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 11．如图，在正方体中，M为中点，P为线段BD上一点，记平面MPC截正方体所得截面为．当A，P，C三点共线时，，则（    ）． A．当AB的中点在上时，截面图形的面积为 B．截面形状可能是五边形 C．记BD的中点为O，当P在线段OB上时，截面图形是四边形 D．的最小值为 【答案】BCD 【难度】0.32 【分析】根据当A，P，C三点共线时以及勾股定理得到，当AB的中点在上时分析得到截面图形为矩形，再求截面面积求解选项A.分析平面可能与正方体的几个侧面相交，进而分析截面图形，求解选项BC.利用展开图及余弦定理求解即求解选项D. 【详解】对于A，当A，P，C三点共线时，P为BD中点，取AB的中点E，连接ME，EP，MP， 则，解得， 记AB中点为E，连接CM，CE，ME， 显然有，， 故点在上，则截面图形为矩形， 又，所以， 则截面图形的面积为，故A错误； 对于B， 如图所示，当P在线段上，且靠近时， 平面与正方体五个面相交，得到五个交点，截面为五边形. 对于C，当P在线段OB上时，平面仅与平面，平面，平面， 以及平面相交，得到四个交点，截面为四边形，C正确. 对于D，将沿BD向下翻折与平面共面，连接， 则的最小值即为线段的长度，P为与BD的交点， 因为， 所以由余弦定理得， 则，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知且，则的最大值是______________． 【答案】 【难度】0.75 【分析】利用复数模的几何意义，将问题转化为圆上动点到定点的距离最大值问题，即圆心到定点的距离与半径之和. 【详解】由可知，复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆； 表示点到定点的距离； 因为； 所以的最大值为. 13．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的表面积为______，三棱锥的内切球的体积为______． 【答案】 27 【难度】0.55 【分析】根据已知条件可得，求得三棱锥各面的面积即可求得表面积；利用线面垂直的判定定理可证明平面，设内切球半径为，利用等体积法求解内切球的半径，利用球的体积公式计算即可. 【详解】因为，，，在中，， 所以，又平面，所以， 因为平面，，，平面，所以，，， 故，又，，所以平面， 又平面，所以，所以，，，均为直角三角形， 设三棱锥的内切球的球心为，半径为，则， 即， 解得，故三棱锥的内切球的体积为． 14．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，侧面 为正三角形，，则四棱锥体积的最大值为_________． 【答案】2 【难度】0.4 【分析】与交于点，连接，先证明平面，得，，将分别用的三角函数表示，接着表示出的面积，进而求出四棱锥体积的表示式，借助于余弦函数与二次函数的性质即可求得其最大值. 【详解】设菱形 的对角线与交于点，连接， 因为是菱形，所以， 因 ，平面， 则平面，因平面，则， 设，依题意，，因，则， ，在中，， 在中，因，则， ， 则的面积为， 于是四棱锥体积为 ， 因，则，， 故当时，. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知． (1)求； (2)设，，且为的平分线，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】（1）由条件化角为边可得，再由余弦定理求结论； （2）由条件结合角平分线性质可得，再结合余弦定理求， 方法一：根据关系结合三角形面积公式求结论. 方法二：证明为直角三角形，解可得结论. 【详解】（1）由和正弦定理得，即， 由余弦定理，可得． 又，所以． （2）因为，所以， 由角平分线性质得，所以， 由余弦定理得，解得，， 方法一：由可得， ， 解得． 方法二：因为， 所以，故为直角三角形， 所以为直角三角形，由可得， 所以. 16．（15分）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分） (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.52 【分析】（1）作于点，再利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，继而得到为中点即可证明； （2）利用体积求出，作于点，作于点，连，利用线面垂直的判定定理和性质定理得到为二面角的平面角，再求解即可. 【详解】（1）作于点， ∵平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，所以， ，为中点．，． ，，． （2），，为三棱锥的高，， 作于点，作于点，连． 平面，平面，． ，又，平面， 平面，平面，所以． ，平面，， 平面，又平面， 所以，故为二面角的平面角． ，，． 17．（15分）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调增区间； (2)若，且，求的值． (3)在锐角中，若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.52 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，写出函数解析式，根据三角恒等变换对函数解析式进行化简，进而求出结果； （2）根据函数解析式求出，进而根据同角三角函数关系，求出，再由两角和的正弦公式求出结果即可； （3）根据函数关系式求出，根据三角恒等变换，对进行化简，进而根据三角形形状求出角的范围，再构造函数，根据函数单调性，判定函数值域求出结果. 【详解】（1）可知 ， 所以函数的最小正周期为， 可知，解得， 即函数的单调增区间为. （2）， 因为，所以，所以， 可知. （3），因为为锐角三角形，所以， 则，所以，解得， 则 方法一：因为， 令，，则， 因为因为为锐角三角形，，所以，所以， 所以， 当时，即时， 取最大值，最大值为， 当趋近时，，当趋近时，， 所以的取值范围为. 方法二：因为为锐角三角形，所以，即，即， 所以 ， 因为，所以，即，解得，所以， 令，其中，设，则 ， 可知， 令，即，即， 得， 可知当时，，此时满足，即， 即当时，此时，即在上函数单调递增， 当时，此时，即在上函数单调递减， 当时，， 当时，， 可知，所以当时，， 所以，即，即的取值范围为. 18．（17分）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，且平面． (1)求出的值并说明理由; (2)若二面角的正切值为 （ⅰ）求出的长度; （ⅱ）求二面角的正切值. 【答案】(1)2 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.46 【分析】（1）连接交于点，利用线面平行判定定理以及三角形相似可求得的值； （2）（ⅰ）利用面面垂直性质定理可证明平面，利用二面角定义作出二面角的平面角，结合正切值可得； （ⅱ）同理根据（ⅰ）中已有分析得出二面角的平面角，即可求出其正切值. 【详解】（1）连接交于点，连接，如下图所示： 因为平面，又点在棱上，可知平面平面， 因此，所以， 因为，，所以，且， 所以. （2）（ⅰ）取的中点为，连接，如下图所示： 因为是边长为6的等边三角形，所以，且 又平面平面，且平面平面， 因此平面，平面， 所以， 又，分别为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 因此为二面角的平面角， 在直角中，，可得， 又因为，所以. （ⅱ）作，垂足为，作交于点，连接，如下图所示： 同理根据（ⅰ）中分析可知即为二面角的平面角， 由（1）中可得，， 因此， 可得二面角的正切值为. 19．（17分）如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），理由见解析；（ii） 【难度】0.42 【分析】（1）先利用梯形性质得出为等边三角形，翻折后仍为等边三角形，再通过勾股定理证明，结合，证明 平面，从而推出平面平面. （2）（i）利用面面平行的性质，结合中位线定理，通过线线平行推导线面平行，再由面面平行的判定定理得出； （ii）由（i）知为的中点，先证 ，算出、，再由得 ，得出 ，用等面积法得到棱的距离，通过三棱锥体积转换 ，算出到平面的距离，通过计算即可求得结果. 【详解】（1）证明：在梯形中，，，，为的中点， 所以，且， 则四边形为菱形，所以， 则，所以为等边三角形，翻折后为等边三角形，且， 因为为的中点，故. 同理，四边形为菱形，为等边三角形，. 在中，，，又，则，所以. 因为，，平面， 所以平面. 又平面，故平面平面. （2）（ⅰ）. 理由如下：如图，连接，与，分别交于点，，连接，. 因为，分别为，的中点，四边形为菱形， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以 平面. 因为为的中点，所以为的中位线， 所以为的中点. 因为平面 平面，平面平面， 平面平面， 所以，所以为的中点，即. （ⅱ）由（2）（ⅰ）可知，点的位置唯一确定，即为的中点. 由（1）可知，，，且，，平面， 所以平面. 又 ，所以平面. 又平面，则， 所以，则. 在中，，，则， 又，所以 . 如图，过作于点， 由等面积法可知，. 在中，，，则边上的高为. 设点到平面的距离为， 则. 所以，所以. 设二面角的大小为， 则. 故二面角的正弦值为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $