26.4 实际问题与二次函数 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦二次函数在实际问题中的应用，涵盖最大高度、面积、利润及抛物线形问题。通过小球运动、商品定价、拱桥等情境导入，衔接二次函数顶点性质，搭建从数学性质到实际应用的学习支架。 特色在于情境化问题链设计，如最大利润问题分类讨论涨价降价培养推理意识，抛物线形问题建立坐标系发展模型意识。含完整例题与训练题，助力教师高效教学，提升学生用数学语言表达现实的应用能力与创新意识。

26.4 实际问题与二次函数 第1课时 最大高度问题和最大面积问题 课题 最大高度问题和最大面积问题 课型 新授课 教学内容 教材第51-52页的内容 教学目标 1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系． 2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值． 3．能应用二次函数的性质解决最大高度问题和最大面积问题． 教学重难点 教学重点：会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。 教学难点：能分析实际问题中变量之间的二次函数关系。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 【师生活动】教师分析：可以看出，这个函数的图象是一条抛物看线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值. 解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度. 即小球运动的时间是3 s时，小球最高，且最大高度是45 m. 【归纳】一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最_低_(_高_)点，也就是说，当x＝_－_时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值__. 2.学以致用，应用新知 【例1】在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)之间的关系式是h=-4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点?运动员跳水过程中重心的最大高度是多少?(结果保留小数点后一位.) 解：对于二次函数h=-4.9t2+2.8t+11,当 当t==-≈0.3时， h有最大值==11.4. 因此，运动员起跳后大约0.3 s时，其重心达到最高点，最大高度为 11.4 m. 【例2】如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用 20 m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少? 解:设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的 边长为(20-2x)m，矩形菜园的面积S=x(20-2x), 即S=-2x2+20x（0＜x＜10）. 当x==-=5时， S有最大值==50. 因此，当垂直于墙的边长为5 m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50 m2. 4.随堂训练，巩固新知 （1）某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为x m，面积为S m2. ①写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； ②请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用． 解：①∵矩形的一边长为x m， ∴另一边长为(6－x)m， ∴S＝x(6－x)＝－x2＋6x，其中0＜x＜6； ②∵S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9， ∴当x＝3，即矩形的一边长为3 m时，矩形面积最大，为9 m2，这时设计费最多，为9×1000＝9000(元). （2）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB为x m，面积为y m2. ①求y与x的函数解析式； ②y是否有最大值？如果有，请求出y的最大值． 解：①y＝－3x2＋30x； ②当x＝时，y最大值＝. 5.课堂小结，自我完善 （1）如何求二次函数的最小（大）值，如何利用二次函数的最小（大）值解决实际问题？ （2）在解决问题的过程中应注意哪些问题？学到了哪些思考问题的方法。 6.布置作业 课本P52练习。 正如一次函数能解决实际问题一样，二次函数的实际应用也十分广泛，让我们一起去看看二次函数的实际应用吧。 教师总结，学生体会。 实际问题中，先求出函数解析式，再求出使函数值最大的自变量的值。 让学生得出求二次函数的最小（大）值的结论，体会由特殊到一般的思想方法。 引导学生独立完成并交流，教师适时指点。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 最大高度问题和最大面积问题 利用二次函数最大（小）值求面积最大问题。 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况。 第2课时 最大利润问题 课题 最大利润问题 课型 新授课 教学内容 教材第52页的探究1 教学目标 1．让学生能够用二次函数知识解决商品最大利润问题。 2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型。 教学重难点 教学重点：用二次函数知识解决商品最大利润问题。 教学难点：建立二次函数模型。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：若调整单价（单价为整数），每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？ 【师生活动】教师提出问题，学生回答： (1)若设每件涨价x元，获得的利润为y元，则每星期少卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？自变量x的取值范围如何确定？何时有最大利润，最大利润为多少元？ 模式一：涨价销售 ①每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，则每件商品的利润为(20+x)元，每星期卖出(300-10x)件，所得的利润为y=(20+x)(300-10x), 即y=-10x2+100x+6 000. ②营销规律是价格上涨，销量下降，销量不能为负，故300-10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30. ③当时，y=-10×52+100×5+6 000=6 250. 即定价为65 元时，最大利润是 6 250 元. (2)若设每件商品降价x元，获得的利润为y元，则每星期多卖多少件？实际卖出多少件？销售额为多少元？买进商品时需付多少元？由此你得到的函数解析式是什么？自变量x的取值范围如何确定？何时有最大利润，最大利润为多少元？ 模式二：降价销售 ①每件降价x元，每星期售出商品的利润 y 元，则每件商品的利润为(20-x)元，每星期卖出(300+20x)件，所得的利润为y=(20-x)(300+20x), 即y=-20x2+100x+6 000. ②营销规律是价格下降，销量上升，因此售价不能低于成本，故20-x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤20. ③当 时，即定价为 57.5 元时，y= - 20×(2.5) 2+100×2.5+6 000=6 125,最大利润是 6 125元. (3)由此可知应如何定价才能使利润最大？ 综合涨价和降价两种情况可知，定价为65元时，利润最大. 学生完成并交流展示． 2.探索新知，归纳知识 1.商品单件利润＝售价－进价； 总利润＝单件利润×销售总数量． 2.结合实际意义，确定自变量的取值范围. 3.在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的图象，利用图象的性质求出. 3.学以致用，应用新知 【例1】　春节期间，物价局规定花生油最低价格为4.1元/L，最高价格为4.5元/L，小王按4.1元/L购入，若原价卖出，则每天平均可卖出200L，若价格每上涨0.1元，则每天少卖20L油，问油价定为多少时，每天获利最大？最大获利为多少？ 解：设油价定为x元/L时获利y元，则y＝(x－4.1)＝－200(x－4.6)2＋50.∵4.1≤x≤4.5，∴当x＝4.5时，y最大值＝－200×(4.5－4.6)2＋50＝48，即油价定为4.5元/L时，每天获利最大，最大获利为48元． 【例2】某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示． (1)求y2的解析式； (2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)由题意可得，函数y2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴解得∴y2的解析式为y2＝x2－x＋(1≤x≤12)． (2)设y1＝kx＋b，∵函数y1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴解得∴y1的解析式为y1＝－x＋12(1≤x≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w元．则w＝y1－y2＝(－x＋12)－(x2－x＋)＝－x2＋x＋，∴w＝－(x－3)2＋(1≤x≤12)，∴当x＝3时，w取最大值，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是元/千克． 4.随堂训练，巩固新知 （1）将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个；若这种商品在一定范围内每降价1元，每日销量就增加1个．为了获得最大利润，则应该降价(　 　) A．5元　 B．10元　 C．15元　　 D．20元 答案：A （2）某商品单个利润y(元)与变化的单价x(元)之间的关系为y＝－5x2＋10x，当0.5≤x≤2时，最大利润是 元． 答案：5 5.课堂小结，自我完善 1．用二次函数解决商品利润问题的方法． 2．解决利润相关问题中需要注意的问题 6.布置作业 课本P53练习。 正如一次函数能解决经济问题一样，二次函数在商品利润问题中的应用也十分广泛。 某商品价格调整，销量会随之变化。调整价格包括涨价与降价两种情况。 教师总结，学生体会。 教师引导，学生自主解答。 本例中价格只有上涨一种情况。利用解析式求最大利润。 引导学生独立完成并交流，教师适时指点。 本例借助函数图象求中最大利润。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 最大利润问题 在利用二次函数求最大利润时，可以借助解析式、图象或性质。 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。 第3课时 抛物线形问题 课题 抛物线形问题 课型 新授课 教学内容 教材第53页的探究2 教学目标 1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策． 教学重难点 教学重点：建坐标系解决拱桥问题。 教学难点：建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥(如图)吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？ 2.探索新知，归纳知识 【探究】一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4 m时，水面宽10 m. 突降暴雨后水面上升1 m时，此时水面宽度为多少？ 【师生活动】教师分析： (1) 建立合适的平面直角坐标系； (2) 将实际建筑数学化，数字化； (3) 明确具体的数量关系，如函数解析式； (4) 分析所求问题，代入解析式求解。 教师提出问题： (1)水面下降1m的含义是什么？怎样把距离转化成坐标？如何求宽度增加多少？你能先在图中建立一个恰当的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中的抛物线吗？ (2)你还有其他的解决方法吗？ 学生完成并交流展示． 解：以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2. 将点(5，-4)代入解析式， 可得-4=a×52.解得a =−. 因此，这条抛物线对应的二次函数 为y=−x2. 当水面上升1 m时，水面的纵坐标为-3. 所以当y=−3时，x=±， 因此，此时水面宽度为5√3 m. 【归纳】1.将线段长度转化为点的坐标问题． 2.利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解． 3.利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度． 3.学以致用，应用新知 【例1】如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米． 解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y＝ax2，把点(2，－2)代入，得－2＝a×22，a＝－，∴y＝－x2，当y＝－3时，－x2＝－3，x＝±.故答案为2. 答案：2 【例2】如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方A，B距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子C处，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？ 解：建立如图所示的平面直角坐标系．可设它的函数解析式为y＝ax2＋k.把B(1，2.5)，C(－0.5，1)代入，可求得a＝2，k＝0.5，∴抛物线的解析式为y＝2x2＋0.5.∵a＝2＞0，∴y有最小值，∴当x＝0时，y最小＝0.5. 答：绳子的最低点距地面的距离为0.5m． 4.随堂训练，巩固新知 （1）欢欢在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度随时间的变化关系，则她起跳后到重心到达最高时所用的时间是___s. 答案： （2）某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m. ①建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ ②此时，若对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，则他能否获得成功？ 解：①能投中； ②当x＝1时，y＝3＜3.1，∴能成功． 5.课堂小结，自我完善 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： ①建立适当的直角坐标系；②写出抛物线上的关键点的坐标；③运用待定系数法求出函数解析式；④求解数学问题；⑤求解抛物线形实际问题。 6.布置作业 课本P54练习。 二次函数在拱桥等抛物线型问题中的应用也十分广泛。 在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题． 引导学生独立完成并交流，教师适时指点。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 抛物线形问题 利用二次函数可以求各种抛物线型问题。 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。 学科网（北京）股份有限公司 $