暑假作业12 重难专题06：利用导数研究函数的零点或方程的实根（含隐零点）（巩固培优,5知识6题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 聚焦导数研究函数零点问题，构建“概念-方法-技巧”三阶体系，系统整合零点判定、含参讨论及隐零点处理策略，培养数学思维与问题转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1（知识点1）|零点定义与存在定理|从方程实根到函数零点的转化，建立数形联系| |零点个数判定|3（知识点2+题型1）|单调区间分析+端点值符号判断|导数工具→函数单调性→极值→零点个数的推理链| |含参问题|5（知识点3+题型2-3）|参数分离优先，直接讨论为辅|分类讨论思想与函数图像交点问题的转化| |隐零点应用|4（知识点4-5+题型6）|设而不求+特征方程代换|超越方程求解困境的突破，培养抽象思维|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业12 重难专题06：利用导数研究函数的零点或方程的实根（含隐零点） 【知识点1 函数的零点与方程的实根关系】 1.函数的零点 (1)定义：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： (3)零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解. 【注意】(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根.零点一定在定义域内. (2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)＜0，如图所示. 【知识点2 利用导数确定函数零点的个数】 第1步：求导 ，确定 的单调区间. 第2步：计算每个单调区间端点的函数值（或极限值：， 间断点）. 第3步：对每个单调区间：若区间两端点函数值异号，则有且仅有一个零点；若同号且非零，则无零点；若端点值为0，则该端点为函数的零点（注意边界是否包含）. 【知识点3 含参函数零点个数问题】 1．分离参数法（优先考虑）： 将方程变形为，则原方程不等实根的个数⇔ 水平线 与 图像交点个数. 利用导数研究 的单调性、极值、渐近线，画出草图. 2.直接讨论法（参数不易分离时）： 对参数分类，分析函数的单调性、极值符号及区间端点处的符号，从而确定函数零点个数. 【知识点4 隐零点替换，设而不求】 当导函数方程 是超越方程，无法直接解出零点时，可以设出该零点（称为隐零点），寻找出特征根方程，通过代换法来解决问题. 具体步骤可归纳为： 第1步：设出隐零点，即. 第2步：利用该关系式，将 、 等超越形式用代数式表示（如 或 等），从而避免解出 的具体值，. 第3步：将 中的超越部分替换为代数式，.判断 的符号. 【知识点5 常见隐零点模型与代换公式】 导数方程形式 代换关系 用于化简 中的项 → 常用于证明不等式 两边指对互化，构造同构 如设 【题型1 判断或讨论函数零点的个数】 1．（25-26高二下·北京海淀·期中）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（多选）（25-26高二下·甘肃兰州·期末）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．是增函数 C．有且仅有1个零点 D．既有极大值又有极小值 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）给定函数 (1)求函数的单调区间； (2)画出函数的大致图象； (3)求出方程的解的个数. 4．（2026·四川巴中·一模）已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 【题型2 由函数零点（方程实根）的个数求参数的取值范围】 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数.若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则（    ） A． B．0 C．2 D．或2 2．（25-26高二下·重庆江津·期中）已知关于的方程至多有两个不同实数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·山东烟台·期中）若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 5．（25-26高二下·广东肇庆·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)在（1）问的条件下，求的最小值 (3)若有两个零点，求的取值范围． 【题型3 由函数零点的唯一性求参数的值】 1．（2025·四川成都·三模）函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数有唯一零点，则 ． 【题型4 函数零点的证明问题】 1．（25-26高三上·河北·期末）已知函数. (1)当时，证明：： (2)证明：当时，仅有1个零点；当时，有2个零点. 2．（2026·云南·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若，都成立，求的取值范围； (3)若函数，证明有且仅有两个零点． 【题型5 两函数图象交点问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）若曲线与有且仅有一组关于y轴对称的点，则（   ） A． B． C．e D．2e 2．（2026·河北邢台·二模）已知函数，.若与的图象恰好有4个不同的交点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若曲线与曲线有唯一的交点，求实数的取值范围. 4．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； (3)讨论函数与函数的图象的交点个数． 【题型6 隐零点的应用】 1．（2026·湖南益阳一模）已知函数，若，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数f（x）＝ex－a－ln x＋x.当a≤0时，证明：f（x）＞x＋2. 3．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数，， (1)求函数的最值； (2)若恒成立，求的取值范围. 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 1．（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论不正确的有（    ） A．函数的极大值点有个 B．函数在是减函数 C．若时，的最大值是，则的最大值为4 D．当时，函数有个零点 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·北京房山·二模）已知函数 若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 5．(多选)（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数，则（   ） A．是增函数 B．有且仅有1个零点 C．的图象关于原点对称 D．既有极大值又有极小值 6．（多选）（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数有两个极值点 B．直线与的图象有且仅有两个公共点 C．若有三个零点，则 D．若，对，都有 7．（2026高三下·全国·专题练习）函数有个零点，则的取值范围是_____. 8．（2026·湖北武汉·期中）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为__________. 9．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 10．（25-26高二下·北京海淀·期末）已知函数，曲线在 处的切线方程为. (1)求的值； (2)证明：函数在区间上存在唯一极大值点； (3)求函数的零点个数. 11．（2026·江苏南通·模拟预测）已知． (1)求的最小值； (2)若方程有两个不等的实根，求的取值范围． 1．（2026·广东·模拟预测）若函数有极值点，，且，若，，则关于的方程的不同实根个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)若存在大于零的极值，求a的取值范围； (2)对于函数，若，则称为的不动点．判断是否存在a，使得的极值点同时也是不动点，并说明理由． 3．（2026·河北唐山·二模）设函数，若有两个极值点，且. (1)求的取值范围； (2)当时，记为最大零点. （i）①证明：有两个零点；②证明：； （ii）比较与的大小，并给出证明. 4.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若 ①求函数的单调区间； ②求证： (2)若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围. 5．已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，，证明：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业12 重难专题06：利用导数研究函数的零点或方程的实根（含隐零点） 【知识点1 函数的零点与方程的实根关系】 1.函数的零点 (1)定义：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： (3)零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解. 【注意】(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根.零点一定在定义域内. (2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)＜0，如图所示. 【知识点2 利用导数确定函数零点的个数】 第1步：求导 ，确定 的单调区间. 第2步：计算每个单调区间端点的函数值（或极限值：， 间断点）. 第3步：对每个单调区间：若区间两端点函数值异号，则有且仅有一个零点；若同号且非零，则无零点；若端点值为0，则该端点为函数的零点（注意边界是否包含）. 【知识点3 含参函数零点个数问题】 1．分离参数法（优先考虑）： 将方程变形为，则原方程不等实根的个数⇔ 水平线 与 图像交点个数. 利用导数研究 的单调性、极值、渐近线，画出草图. 2.直接讨论法（参数不易分离时）： 对参数分类，分析函数的单调性、极值符号及区间端点处的符号，从而确定函数零点个数. 【知识点4 隐零点替换，设而不求】 当导函数方程 是超越方程，无法直接解出零点时，可以设出该零点（称为隐零点），寻找出特征根方程，通过代换法来解决问题. 具体步骤可归纳为： 第1步：设出隐零点，即. 第2步：利用该关系式，将 、 等超越形式用代数式表示（如 或 等），从而避免解出 的具体值，. 第3步：将 中的超越部分替换为代数式，.判断 的符号. 【知识点5 常见隐零点模型与代换公式】 导数方程形式 代换关系 用于化简 中的项 → 常用于证明不等式 两边指对互化，构造同构 如设 【题型1 判断或讨论函数零点的个数】 1．（25-26高二下·北京海淀·期中）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】记，函数的定义域为， ，故函数在上单调递增. 又，所以函数的零点个数为. 故选:B. 2．（多选）（25-26高二下·甘肃兰州·期末）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．是增函数 C．有且仅有1个零点 D．既有极大值又有极小值 【答案】ABC 【解析】函数的定义域为，又， 所以是奇函数，故A正确； 由，所以在上单调递增，故B正确； 又，所以有且仅有1个零点，故C正确； 令，方程无解，故既无极大值也无极小值，故D错误. 故选：ABC. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）给定函数 (1)求函数的单调区间； (2)画出函数的大致图象； (3)求出方程的解的个数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)作图见解析 (3)答案见解析 【解析】（1）函数的定义域为，求导得， 由，得，由，得， 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为. （2）由（1）知，函数在处取得最小值，，当时，， 函数的大致图象，如图： （3）方程解的个数等价于函数的图象与直线的交点个数， 由（2）知当时，方程的解为个； 当或时，方程的解为个； 当时，方程的解为个. 4．（2026·四川巴中·一模）已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1）由题意得．因为在处取得极小值， 则，解得，， 所以，， 故，， 则切线方程为，即； （2）令，所以． 令，解得或．则，，的关系如下表： 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 作出函数的图象如下： 所以，①当或时，有两个零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有三个零点． 【题型2 由函数零点（方程实根）的个数求参数的取值范围】 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数.若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则（    ） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】D 【解析】函数，， 当单调递增，当单调递减，当单调递增， 所以的极大值为，的极小值为，且，， 所以的最大值为2，的最小值为， 所以若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则或. 2．（25-26高二下·重庆江津·期中）已知关于的方程至多有两个不同实数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】方程至多有两个不同实数解，记， 则与至多有两个交点， 由可得， 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以是函数的极大值点，极大值为， 是函数的极小值点，极小值为， 作出函数图象，如图， 由图可知，与至多有两个交点时，或， 所以实数的取值范围是. 3．（25-26高二下·山东烟台·期中）若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域是， ， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，且， 所以要使函数存在两个不同的零点， 则需，解得. 故选：B 4．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为， (2) 【解析】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当或时， 的单调递增区间为，单调递减区间为，. （2）令，即，依题意可得与有且仅有一个交点， 因为当时，当时，，此时， 当时，，所以； 当时，又， 当时，，此时， 当时，，所以； 所以或，解得或； 所以实数的取值范围为. 5．（25-26高二下·广东肇庆·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)在（1）问的条件下，求的最小值 (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)递减区间为，递增区间为 (2) (3) 【解析】（1）由题设，则， 当时，当时， 所以的递减区间为，递增区间为； （2）由（1）知，； （3）由题意得：； 当时，恒成立， 在上单调递增， 至多有一个零点，不合题意； 当时，令，解得：， 当时，当时， 在上单调递减，在上单调递增， ； 当时，，则，则至多有一个零点，不合题意； 当时，，则； ， ， 在上有唯一零点； 由（1）知：当时，， 则且时，， 在上有唯一零点； 则时，有两个不同零点； 综上所述：实数的取值范围为. 【题型3 由函数零点的唯一性求参数的值】 1．（2025·四川成都·三模）函数有且只有一个零点，则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得. 令，则， 则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 且当时，；当时，， 因函数有且只有一个零点， 即函数的图象与直线有且只有一个交点， 故. 故选：B. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数有唯一零点，则 ． 【答案】0 【解析】有1个零点，则方程有1个实数根， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，又当时，；当时，， 所以要与的图象有一个交点，则，解得． 【题型4 函数零点的证明问题】 1．（25-26高三上·河北·期末）已知函数. (1)当时，证明：： (2)证明：当时，仅有1个零点；当时，有2个零点. 【答案】见解析 【解析】（1）当时，， 则. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，即. （2），当时，. 当时，令，得单调递减， 令，得单调递增， 又，函数在处取得极小值， 故在上的唯一零点是 所以当时，仅有1个零点. 当时，令，得单调递减， 令，得单调递增， 因为，所以，则， 又，当时，，所以必存在唯一的，使得， 所以当时，有2个零点. （3）略45．（2026·云南·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若，都成立，求的取值范围； (3)若函数，证明有且仅有两个零点． 【答案】(1)；(2)；(3)见解析 【解析】（1）当时，，则， 所以，． 故切线方程为，即． （2）因为在 上恒成立，且 ， 所以在 上恒成立，令，则， 因为， ①当 时，由 ，解得， ，单调递增，，单调递减， 所以当 时，； ②当 时，因为，，所以， 所以 时，，所以， 综上， 的取值范围为． （3）因为， 所以，，设， ①当 时，， 单调递增， 所以，所以在 上单调递减． 又 ，所以为在 上的唯一零点； ②当时，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减． 又，， 所以，使得，所以当时，；时， ， 即 在上单调递增；在上单调递减， 又 ，所以， 所以在上单调递增，此时 ，不存在零点． 又，所以，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又， 所以 在上恒成立，此时不存在零点； ③当时，单调递减，单调递减， 所以在上单调递减． 又， 即，又在上单调递减， 所以在上存在唯一零点； ④当时，，， 所以，即在上不存在零点． 综上所述：有且仅有 个零点． 【题型5 两函数图象交点问题】 1．（2025高三·全国·专题练习）若曲线与有且仅有一组关于y轴对称的点，则（   ） A． B． C．e D．2e 【答案】B 【解析】曲线关于y轴对称的曲线方程为， 由题意可知方程只有一个实数根， 令，，则， 令，解得，易知在单调递减， 所以在单调递增，在单调递减， 则， 又，且时，，时，， 故m的取值范围为，又，故． 故选：B. 2．（2026·河北邢台·二模）已知函数，.若与的图象恰好有4个不同的交点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知，为偶函数， 又也为偶函数， 故与的图象恰好有4个不同的交点 等价于方程恰好有2个不同的正根，显然， 所以与函数图象有2个不同的交点， ， 当时，单调递增；当时，单调递减； 所以， 当时；当时， 所以，所以，故实数a的取值范围为 3．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若曲线与曲线有唯一的交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【解析】（1）时，， 令解得，所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）由分离得， 令， 令， 所以在上单调递减，， 所以在区间上，单调递增， 在区间上，单调递减，， 当时，，由此画出的大致图象如下图所示， 要使曲线与曲线有唯一的交点， 则的取值范围是. 4．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； (3)讨论函数与函数的图象的交点个数． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解析】（1）若，则， 所以，则， 又， 所以曲线在点处的切线方程是， 即． （2）， 函数的定义域为 ． 当时，， 令，得， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为． （3）联立得得， 得， 结合（2）可知． 则“函数与函数的图象的交点个数”等价于“函数的零点个数”． 当时，无零点． 当时，的最大值为． 若，即，则无零点． 若，即，则只有一个零点． 若，即，则，又， 令，则且， 由，得；由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故有最大值，无最小值． 故，所以，由（2）知在上单调递增，所以在上有唯一零点． 令， 则，且， 由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故有最小值，无最大值． 所以， 于是和， 所以， 又在上单调递减， 故在上有唯一零点． 当时，由上得，于是，而， 所以，即无零点． 综上，当或时，无零点；当时，只有一个零点；当时，有两个零点， 即当或时，函数与函数的图象无交点； 当时，函数与函数的图象有1个交点； 当时，函数与函数的图象有2个交点． 【题型6 隐零点的应用】 1．（2026·湖南益阳一模）已知函数，若，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，则， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 当时，，当时， 所以存在使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，不合题意， 所以则实数a的取值范围是. 故选：B. 2.已知函数f（x）＝ex－a－ln x＋x.当a≤0时，证明：f（x）＞x＋2. 【证明】当a≤0时， 令F（x）＝f（x）－x－2＝ex－a－ln x－2，x＞0， F'（x）＝ex－a－＝， 显然函数F'（x）在（0，＋∞）上单调递增， 令g（x）＝xex－a－1，x＞0， g'（x）＝（x＋1）ex－a＞0， 即函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增， 而g（0）＝－1＜0，g（1）＝e1－a－1≥e－1＞0， 则存在唯一x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，即＝， 因此存在唯一x0∈（0，1），使得F'（x0）＝0， 当0＜x＜x0时，F'（x）＜0，当x＞x0时，F'（x）＞0， 因此函数F（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增， 当＝时，x0－a＝－ln x0， 则F（x）≥F（x0）＝－ln x0－2＝＋x0－a－2＞2－a－2＝－a≥0，当且仅当＝x0，即x0＝1时，取等号，故式子取不到等号. 所以当a≤0时，f（x）＞x＋2. 3．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数，， (1)求函数的最值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)的最小值为，无最大值. (2) 【解析】（1）已知，所以. 令，即，因为恒成立，所以，解得. 当时，，，则，所以在上单调递减. 当时，，，则，所以在上单调递增. 由上述单调性可知，在处取得极小值，同时也是最小值. 将代入可得：. 因为当时，，所以函数无最大值. 则的最小值为，无最大值. （2）原不等式等价于 即,在上恒成立， 等价于,在上恒成立， 令 令,则为上的增函数， 又当时, 在存在唯一的零点,即 由 又有在上单调递增， ∴b的取值范围是 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)3 【解析】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）函数的零点个数为2．，理由如下： 因为，定义域是， 所以．当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，．     因为，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数的零点个数为2． （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数k的最大值为3． 1．（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论不正确的有（    ） A．函数的极大值点有个 B．函数在是减函数 C．若时，的最大值是，则的最大值为4 D．当时，函数有个零点 【答案】C 【解析】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、， 单调递减区间为、，B选项正确； 由单调性可知，函数有个极大值点，A选项正确； 当时，函数最大值是，而最大值是，C选项错误； 作出函数的图象如下图所示，由下图可知， 当时，函数与函数的图象有四个交点，D选项正确. 故选：C 2．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数在定义域上恰有三个零点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】①当时，，则，所以在上单调递增， 因为，而， 由零点存在定理得，函数在上有且只有一个零点； ②时，，该二次函数的图象开口向上，对称轴为， 要使原分段函数在定义域上恰有三个零点，则需使在上要有2个零点， 即需使在上有两个不相等的实数根， 即，解得， 综上可得. 3．（2026·北京房山·二模）已知函数 若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若存在非零实数，使得， 则函数与有公共点， 即有根， 即与有公共点 ， 设， ，所以在上单调递减， 因为，所以， 即，所以在上单调递减， 因为， 时， 所以，即，所以. 4.若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知的定义域为， 不难发现在区间内单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一使得，即， 所以当时，；当时，． 所以在区间上单调递减，在区间内单调递增， 所以的最小值为， 所以，所以，解得. 故选：B 5．(多选)（25-26高二下·吉林长春·期中）已知函数，则（   ） A．是增函数 B．有且仅有1个零点 C．的图象关于原点对称 D．既有极大值又有极小值 【答案】AB 【解析】对于A，因为，所以， 而，则，即是增函数，故A正确， 对于B，由题意得，结合已知得是增函数， 则有且仅有1个零点，故B正确， 对于C，因为， 所以，即， 可得的图象不关于原点对称，故C错误， 对于D，因为是增函数，所以无极值，故D错误. 故选：AB 6．（多选）（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．函数有两个极值点 B．直线与的图象有且仅有两个公共点 C．若有三个零点，则 D．若，对，都有 【答案】AC 【解析】已知，求导得， 选项A：因为，有两个不同的实根， 且在两侧导数符号改变，因此有两个极值点，A选项正确； 选项B：令，得，即，解得， 因此直线与图象有个公共点，B选项错误； 选项C：的极大值为（恒成立）， 极小值为有三个零点等价于极小值小于， 即，结合得，即，C选项正确； 选项D：当时，，所以在上恒成立， 在单调递减，， 当时，，不满足，D选项错误. 7．（2026高三下·全国·专题练习）函数有个零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】解析：函数的零点，即为关于的方程的实根， 将方程化为方程，令，， 由导数知识可知，直线与曲线相切时有， 所以关于的方程有两个不同的实根， 实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（2026·湖北武汉·期中）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】不等式对恒成立， 等价于，所以， 设，其中，则，令得， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，又， 所以存在使得， 所以若，则或，即或， ， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以，所以只有才能满足要求， 即，又，解得， 所以实数的取值范围为. 9．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数 . (1)当时，讨论的单调性； (2)证明:当时，在上有且仅有一个零点. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）当时，， 所以， 所以当时，，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减， （2）易知，，， 当时，；当时，；当时，. 所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增， 又， 所以当时，，所以； 又， 所以在上有零点． 又因为在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点. 10．（25-26高二下·北京海淀·期末）已知函数，曲线在 处的切线方程为. (1)求的值； (2)证明：函数在区间上存在唯一极大值点； (3)求函数的零点个数. 【答案】(1) (2)见解析 (3)2 【解析】（1）由，可得， ，则， 因曲线在 处的切线方程为，则. （2）证明：由（1）得，求导得， 设，则， 当时，，，则，故函数在上单调递减， 又，由零点存在定理，存在唯一的，使得. 当时，，即，则函数在上单调递增； 当时，，即，即函数在上单调递减. 故为函数在区间上的唯一极大值点； （3）函数的定义域为，则， ①当时，由（2）知，函数在上单调递增，在上单调递减. 又，即当时，，即， 故函数在上单调递减，故函数在上仅有零点； ②当时，因，由（2）当时，单调递增， 故，即在上单调递增， 当时，单调递减，因， 则在后面一段区间必有,单调递减,在上先增后减， 又，则当时，，即函数无零点； ③当时，若，则，则函数在上单调递减， 又，由零点存在定理，函数存在唯一的零点； 若，则，而，则恒成立，故函数在上无零点. 综上，函数共有与两个零点. 11．（2026·江苏南通·模拟预测）已知． (1)求的最小值； (2)若方程有两个不等的实根，求的取值范围． 【答案】(1)的最小值为 (2)的取值范围是 【解析】（1）函数的定义域为，. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，. 故的最小值为. （2）方程整理为，显然是方程的一个实根. 要使方程有两个不等实根，只需有且仅有一个非零实根，即时仅有一个实根. 令，则 . 令，则，解得. ①当时，，单调递减，此时， 且时，，时，，此时值域为， 因此当时，在有唯一解； ② 当时，，单调递减，时，，单调递增，所以在处取最小值， 当时，， 因此当时，在上有唯一解； 当时，在上无实数解； 当时，在上有2个解； 因此，满足条件. 综上，的取值范围是. 1．（2026·广东·模拟预测）若函数有极值点，，且，若，，则关于的方程的不同实根个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】，且，是极值点， 则，故 令，则方程即为 ，解得或， 因此原方程等价于，．示意图如下，可得实根个数为4． 2．（2026·湖北·三模）已知函数． (1)若存在大于零的极值，求a的取值范围； (2)对于函数，若，则称为的不动点．判断是否存在a，使得的极值点同时也是不动点，并说明理由． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 【解析】（1）已知，其定义域为，则， 当时，，在上单调递减，无极值； 当时，令得（负根舍去）， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以是的极小值点， 则， 所以． （2）由（1）知时，的极小值点为， 假设存在使得的极值点同时也是不动点，即， 则， 令，得， 令，则， 所以在上单调递增，又， 所以存在使得， 所以存在使得，满足， 因此，存在a，使得的极值点同时也是不动点． 3．（2026·河北唐山·二模）设函数，若有两个极值点，且. (1)求的取值范围； (2)当时，记为最大零点. （i）①证明：有两个零点；②证明：； （ii）比较与的大小，并给出证明. 【答案】(1) (2) 【解析】（1），令，则， 当时，，此时在上单调递增， 则至多有一个零点，即至多有一个极值点，不符合题意； 当时，由得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 先证明：、、， 令，则， 当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 则，故成立； 因为，所以，则成立； 令，则， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，则单调递增， 故，故成立； 由以上不等式可得，，，， 故， 因为，由零点存在性定理可知，若有两个极值点， 只需 记， 当时，单调递增；当时，单调递减； 又，则，所以的取值范围为. （2）（i）①易知，由（1）可知， 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意． 故在，单调递增，单调递减，且， 由单调性可知， 令，则， 则在上单调递增，则， 则当无限大时， ， 由零点存在性定理可知，存在两个零点0和且，命题得证． ②因为为极值点且， 所以 ，即， 又由①知 ，结合， 有 ， 得，命题得证． （ii），证明： 由（*）可知，所以 ， 记， 又，所以，则， 则 ， 所以在单调递增，则，所以， 因为在单调递增，且，所以． 4.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若 ①求函数的单调区间； ②求证： (2)若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围. 【答案】(1)①的单调递减区间为，单调递增区间为；②证明见解析 (2) 【解析】（1）解：①当时，函数，可得，则， 令，可得， 所以在单调递增，且， 当时，，即，在单调递减； 当时，，即，在单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. ②证明：令，可得， 令，可得， 所以在上单调递增，且，， 所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 可得， 又由，可得，则， 所以，即. （2）解：（法一）由，可得，则， 令，可得，所以在上递增， 又由，可得，所以， 令，可得， 由，解得， 令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以实数的取值范围为. （法二）设，则， 设，则， 因为在上递增，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 所以在递减， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 5．已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，，证明：． 【答案】见解析 【解析】（1）当时，，求导得， ，， 曲线在点处的切线方程为． （2）恒成立，即，即恒成立， 令，则． 令，则， 单调递减，又， 当时，，当时，， 即时，，单调递增； 时，，单调递减. ，故． （3）要证，， 即证，， 令， 则，令， ， 在单调递增， 又，， ，使得， 即，故， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ， 时，恒成立，得， ， 又，， 故， ，时，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $