精品解析：2023年山东省滕州市北辛街道北辛中学数学中考定时训练三

滕州市北辛中学2023年数学中考过关练 一、选择题 1. 2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　） A. B. 3 C. 2 D. 二、填空题 7. 已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为________． 8. 分式方程的解是_________． 9. 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______． 10. 若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________． 11. 已知，则代数式的值为_________． 12. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 13. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 14. 如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________． 15. 如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________． 16. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（为常数）．其中正确的结论有______个 17. 如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 _____． 三、解答题 18. 先化简：，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值． 19. 小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发，两人离甲地的距离（m）与出发时间（min）之间的函数关系如图所示． （1）小丽步行的速度为__________m/min； （2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离． 20. 2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，） 21. 如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点． （1）求证：； （2）若，，求及的长． 22. 如下图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标． （2）过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接．当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长． 23. 如图，在矩形中，（），点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点H． 【尝试初探】 （1）在点E的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由． 【深入探究】 （2）若，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段中点时，求的值． 【拓展延伸】 （3）连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含n的代数式表示）． 24. 在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C． 　　 （1）求a，b满足的关系式及c的值； （2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值； （3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滕州市北辛中学2023年数学中考过关练 一、选择题 1. 2022年5月17日，工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布，我国目前已建成5G基站近160万个，成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网络的国家．将数据160万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解答：解：160万=1600000=， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项错误，不符合题意； B.，故该选项错误，不符合题意； C.，故该选项错误，不符合题意； D.，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式乘以多项式法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键． 3. 如图所示，几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图判断即可． 【详解】解：几何体的左视图是 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．掌握以上知识是解题的关键． 4. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐个分析即可求解． 【详解】解：A.是轴对称图形，故该选项符合题意； B.不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D.不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选A 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义. 5. 如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OB，OC，由⊙O的周长等于6π，可得⊙O的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案． 【详解】解：连接OB，OC， ∵⊙O的周长等于6π， ∴⊙O的半径为：3， ∵∠BOC360°＝60°， ∵OB＝OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴BC＝OB＝3， ∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3， 故选：C． 【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 6. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得， 进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD，， ∴， ∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°， ∴， ∴AD=4，AF=2，， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键． 二、填空题 7. 已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据平方差公式，把原式化为，可得，即可求解． 【详解】解：a2﹣b2 +2b+9 故答案为：10 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键． 8. 分式方程的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出x的值，将求出的x的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解： 解：化为整式方程为：3﹣x﹣1＝x﹣4， 解得：x＝3， 经检验x＝3是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的解法是关键． 9. 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解, ∴不等式组的解集为： ， 不等式组恰有3个整数解，则整数解为1，2，3 ， 解得． 故答案为：． 【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出合理的答案． 10. 若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________． 【答案】11或13##13或11 【解析】 【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解． 【详解】解：∵（a﹣3）2+=0， ∴，， 当为腰时，周长为：， 当为腰时，三角形的周长为， 故答案为：11或13． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 11. 已知，则代数式的值为_________． 【答案】##3.5##3 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值； 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． ， 移项得， 左边提取公因式得， 两边同除以2得， ∴原式＝． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：； 当水面下降，水面宽为8米时，有 把代入解析式，得； ∴水面下降米； 故答案为：； 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 13. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是． 【详解】解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键． 14. 如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，设OA=a，则OB=OC=a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和圆的面积，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：如图，设OA=a，则OB=OC=a， 由正方形的性质可知∠AOB=90°， ， 由正方形的性质可得CD=CE=OC=a， ∴DE=2a， S阴影=S圆-S小正方形=， S大正方形=， ∴这个点取在阴影部分的概率是， 故答案为： 【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键． 15. 如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解． 【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小， ∴G'E=GE，AG=AG'， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD=BC=2 ∴CH∥EF， ∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形， ∴EH=CF， ∴G'H=EG'+EH=EG+CF， ∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点， ∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键． 16. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（为常数）．其中正确的结论有______个 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴交点的位置、对称轴，可知、、，可得：；由函数图象可知当时，，所以可得：；由抛物线经过点，因为抛物线的对称轴是，可知，可得：，所以；根据二次函数的对称性可知点关于的对称点为，根据二次函数的性质可知；根据抛物线的对称轴为直线，可得：，所以成立． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴， 对称轴为直线， ， ， ， 故（1）正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ， ， 故（2）错误； ， ， 图象过点， ， ， ， 故（3）正确； 点关于的对称点为，， ， 故（4）错误； 抛物线的对称轴为直线， 二次函数的最大值为， 当时， 可得：， ， 故（5）正确； 综上所述，正确的结论有个． 17. 如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 _____． 【答案】-4 【解析】 【分析】过B作于D，设，根据三角形的面积公式求得，进而得到点A的坐标，再求得点C的坐标，结合一次函数的解析式得到列出方程求解． 【详解】解：过B作于D，如下图． ∵点B在反比例函数的图象上， ∴设． ∵的面积为6， ∴， ∴． ∵点C是AB的中点， ∴． ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题的关键． 三、解答题 18. 先化简：，再从0、1、2、3中选择一个适合的数代入求值． 【答案】x；1或者3 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则即可进行化简，再根据分式有意义的条件确定x可以选定的值，代入化简后的式子即可求解． 【详解】 根据题意有：，， 故，， 即在0、1、2、3中， 当x=1时，原式=x=1； 当x=3时，原式=x=3． 【点睛】本题主要考查了运用分式的混合运算法则将分式的化简并求值、分式有意义的条件等知识，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 19. 小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发，两人离甲地的距离（m）与出发时间（min）之间的函数关系如图所示． （1）小丽步行的速度为__________m/min； （2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离． 【答案】（1）80 （2）960m 【解析】 【分析】（1）由图象可知小丽行走的路程与时间，根据速度=路程÷时间计算即可； （2）方法一：根据两函数图象的交点坐标来求解；方法二：根据行程问题中的相遇问题列出一元一次方程求解． 【小问1详解】 解：由图象可知，小丽步行30分钟走了2400米， 小丽的速度为：2400÷30=80 (m/min)， 故答案为：80． 【小问2详解】 解法1：小丽离甲地的距离（m）与出发时间（min）之间的函数表达式是， 小华离甲地的距离（m）与出发时间（min）之间的函数表达式是， 两人相遇即时，， 解得， 当时，（m）． 答：两人相遇时离甲地的距离是960m． 解法2：设小丽与小华经过 min相遇， 由题意得， 解得， 所以两人相遇时离甲地的距离是m． 答：两人相遇时离甲地的距离是960m． 【点睛】本题考查函数的图象，两直线相交问题，一元一次方程的应用，从图象中获取有用的信息是解题关键． 20. 2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】约为 【解析】 【分析】在Rt△ACO中，根据正弦函数可求OA=20cm，在Rt△中，根据正弦函数求得的值． 【详解】解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm， ∴OA=， 在Rt△中，，cm， ∴cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 21. 如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点． （1）求证：； （2）若，，求及的长． 【答案】（1）证明：∵中，， ∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°， ∵， ∴∠B=∠BCF， ∴∠A=∠ACF； （2）BF=5， 【解析】 【分析】（1）根据中，，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根据，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF； （2）根据∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF= AB，根据，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据，得到，连接CD，根据BC是⊙O的直径，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到，推出，得到，根据∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF ∴AF=CF，BF=CF， ∴AF=BF= AB， ∵，AC=8， ∴AB=10， ∴BF=5， ∵， ∴， 连接CD，∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD， ∴， ∴， ∴， ∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE， ∴∠FDE=∠B， ∴DE∥BC， ∴△FDE∽△FBC， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质． 22. 如下图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标． （2）过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接．当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标分别代入一次函数解析式和反比例函数解析式可求解； （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和勾股定理可求解． 【小问1详解】 一次函数的图象过点， ， ， 点的坐标为． 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为． 由题意，得 解得    点的坐标为． 【小问2详解】 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设与轴的交点为， ， ， ． 线段被轴分成长度比为的两部分， 可分以下两种情况讨论： ①当时，， 点的坐标为， ； ②当时，， 点的坐标为， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合、相似三角形的判定和性质，根据题意作出相似三角形是解答本题的关键． 23. 如图，在矩形中，（），点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点H． 【尝试初探】 （1）在点E的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由． 【深入探究】 （2）若，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段中点时，求的值． 【拓展延伸】 （3）连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）解：在点E的运动过程中，与始终保持相似关系，理由如下： ∵四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质及两角对应相等可证明； （2）设，则，由，列比例式可得，最后根据正切的定义可得结论； （3）分两种情况：和，先根据三角形相似证明F在射线上，再根据三角形相似的性质和勾股定理列等式可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1， ∵H是线段的中点， ∴， 由题意可知：，设，则， 由（1）知：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， 当时，则， 当时，则； 综上，的值是． 【小问3详解】 解：由题意可分两种情况： ①如图2，， 设，则有，， ∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴，即， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，， ∵矩形矩形， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∴D，C，F共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由①可知：， 由勾股定理得：， ∴， ∴（负值舍）， ∴， 综上，的值是或． 24. 在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C． 　　 （1）求a，b满足的关系式及c的值； （2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值； （3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值． 【答案】（1）2a=b+1，c=-2； （2）△PAB的周长最小值是2+2； （3）此时Q（-1，-2），DQ最大值为． 【解析】 【分析】（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值； （3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点， ∴， ∴2a=b+1，c=-2； 【小问2详解】 解：当a=时，则b=-， ∴抛物线的解析式为y=x2-x-2， 抛物线的对称轴为直线x=1， ∵点A的坐标为(-2，0)， ∴点C的坐标为(4，0) ， △PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值， ∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小， ∵点A、C关于直线x=1对称， ∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小， ∵AP=CP， ∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB， ∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0）， ∴OA=2，OB=2，OC=4， 由勾股定理得BC=2，AB=2， ∴△PAB的周长最小值是：2+2． 【小问3详解】 解：当a=1时，b=1， ∴抛物线的解析式为y=x2+x-2， 过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E， ∵A（-2，0），B（0，-2）， ∴OA=OB， ∴∠OAB=45°， ∵QD⊥AB， ∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°， ∴QD=ED=EQ， 设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），　 ∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t， ∴DQ=QE=-(t2+2t)= -(t+1)2+， 当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $