深圳2025-2026学年高二年级期末数学试题

**基本信息** 深圳高二期末数学卷仿编2026全国1卷，融合改编真题与教材习题，覆盖统计、向量、函数等模块，通过观景台高度、网约车派单等情境考查数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|上四分位数（统计）、向量共线（向量）|改编2026全国1卷T1等真题，基础巩固| |多选题|3/18|异面直线（立体几何）、复数方程（复数）|结合教材习题，考查推理能力| |填空题|3/15|轨迹方程（解析几何）、周期函数（函数）|改编教材与真题，注重抽象能力| |解答题|5/77|概率期望（统计）、函数零点（导数）、双曲线（解析几何）|融合八省联考等真题，通过网约车派单等情境考查应用意识，梯度覆盖基础到创新|

深圳2025-2026学年高二年级期末数学试题 （仿编2026年全国1卷) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.(改编2026年全国1卷T1)样本数据82,75，90，62，88，95，78，85的上四分位数为( ) A.82 B.85 C.88 D.89 2.(改编人教A必修二P16T3)已知，是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数的值为( ) A. B. C.2 D.4 3.(改编2026年全国1卷T3)已知集合，,则( ) A． B． C． D． 4.(改编自人教A选修2P81T6)已知函数满足，则在处的切线方程为( ) A． B． C． D． 5.(改编自2021年新全国1卷)已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为,为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且,若，则的准线方程为( ) A． B． C． D． 6.(改编自人教A选修2P94T2)已知函数的最大值为1，则( ) A． B．1 C． D．2 7.(改编2026年高考T7)某公园的7个观景台高度(单位：)从低到高依次为：,已知最低观景台高度，且第1,3,5,7个观景台高度成公比为的等比数列，第2,4,6个观景台高度成公差为的等差数列．则的最小值为( ) A． B． C． D． 8.(2026新高考1卷变式题)设，点，记，从中随机取一点，定义随机变量如下：对中的每个点,令，则的期望为( ) A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(改编自人教A版必修二P81T6)已知复数，是方程的两根，则( ) A． B． C． D． 10.(改编2026全国1卷T10)已知异面直线，，，，，，，，，四点,,,不共面，是线段的中点，,，则( ) A．当时， B．当时，直线,所成角为 C．点到直线的距离为 D．三棱锥的体积的最大值为3 11．(来自江西省三新协作体2026届高三12月联考)已知曲线:,(1,2,3)，曲线由，，组成，圆:()，则( ) A．当时，与圆无公共点 B．当与圆有6个公共点时， C．不存在过原点的直线与无公共点 D．上仅有4个点到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(改编自人教A版选修1P115T1)点在运动过程中，总满足关系式：，那么点的轨迹方程为：______________． 13.(改编2026全国1T13)设是定义在上的最小正周期为的函数,且在上,则_______,_______． 14.(改编2026全国1T14)设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公差为的等差数列．则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(改编人教A版选修1P49T15)如图，在四面体中，,,两两垂直，且，，，分别是，，，的中点． (1)求证：，，，四点共面，且平面； (2)若,直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离. 16.(来自2021年八省联考)在四边形中，，． (1)若，求； (2)若，求． 17．(15分)(来自2026届山东烟台二模数学)某用户在网约车平台发起订单后，平台按照就近原则依次派车：先派距离用户最近的第一辆车，若该车无法接单，则继续派第二辆车，以此类推，直至某网约车接单．假设该平台上每辆车接单的概率均为，且各辆车是否接单相互独立．记某网约车接单时平台为该用户派车的总次数为． (1)求()的概率，并证明：,对任意正整数,恒成立； (2)已知平台为该用户派出的第一辆车未接单，设平台还需为该用户继续派车的次数为．平台规定： 若，则赠送该用户一张金额为3元的优惠券；否则，不赠送优惠券． 求平台赠送该用户的优患券金额的期望． 18．(17分)已知函数． (1)若，求的单调区间： (2)若有且仅有1个零点，求的值： (3)若存在，使得对任意恒成立，证明：． 19．(17分)已知双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，点在上． (1)求的方程： (2)点,分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． (i)设,，求的最大值： (ii)设,,，点不在轴上，若，求的取值范围． 第页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳2025-2026学年高二年级期末数学试题解析 （仿编2026全国1卷) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.(改编2026年全国1卷T1)样本数据82,75，90，62，88，95，78，85的上四分位数为( ) A.82 B.85 C.88 D.89 【答案】D 【解析】第一步：先将数据从小到大排序：62,75,78,82,85,88,90,85 第二步：求为一个整数,第三步：则上四分位数为. 2.(改编人教A必修二P16T3)已知，是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数的值为( ) A. B. C.2 D.4 【答案】A 【解析】由共线条件，存在实数使，即． 由于，不共线，对应系数相等：, 由第一式得，代入第二式得，解得. 3.(改编2026年全国1卷T3)已知集合，,则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， 所以．．取交集时，保留中落在内的元素,和符合，不符合． 故. 4.(改编自人教A选修2P81T6)已知函数满足，则在处的切线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则．求导得． 令，得，解得． 所以，计算切点纵坐标： 切线斜率，由点斜式可得：切线方程为. 5.(改编自2021年新全国1卷)已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为,为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且,若，则的准线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的焦点为．因轴，故的横坐标为，代入得，取(取正负不影响结果),的斜率为，由，得斜率为． 设，则,于是，解得． 准线方程为. 6.(改编自人教A选修2P94T2)已知函数的最大值为1，则( ) A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】的最大值为1，即,,函数的定义域为 可得，即，根据最大值的定义： (1),，(2),， 令，， 令，得，在上递增，上递减，在处有最大值,解得. 7.(改编2026年高考T7)某公园的7个观景台高度(单位：)从低到高依次为：, 已知最低观景台高度，且第1,3,5,7个观景台高度成公比为的等比数列，第2,4,6个观景台高度成公差为的等差数列．则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可设数列的7项为,于是，， 因为，所以．从而的最小值为． 在时，数列的7项为：，，，2，，3， 8.(2026新高考1卷变式题)设，点，记，从中随机取一点，定义随机变量如下：对中的每个点,令，则的期望为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】统计各取值点数 ：三数均为，共个点，去掉，剩余7个 :个、2个，个 ：个、1个，个 ：三数均为，个, 则的分布列为： 期望： 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(改编自人教A版必修二P81T6)已知复数，是方程的两根，则( ) A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】，得，，不妨设，. A：，选项A正确. B：，选项B错误. C：，选项C错误. D：，选项D正确. 10.(改编2026全国1卷T10)已知异面直线，，，，，，，，，四点,,,不共面，是线段的中点，,，则( ) A．当时， B．当时，直线,所成角为 C．点到直线的距离为 D．三棱锥的体积的最大值为3 【答案】ABC 【解析】 11．(来自江西省三新协作体2026届高三12月联考)已知曲线:,(1,2,3)，曲线由，，组成，圆:()，则( ) A．当时，与圆无公共点 B．当与圆有6个公共点时， C．不存在过原点的直线与无公共点 D．上仅有4个点到直线的距离为 【答案】ABC 【解析】A：依题意可知为圆，为圆，为圆，这3个圆的半径均为2，且，当时，，则圆与这3个圆都外离，所以与圆无公共点， A对． B:当与圆有6个公共点时，圆与这3个圆都相交，则，解得， B对． C:设过原点的直线为直线，当与这3个圆中的1个圆相离时，至少会与另外2个圆中的1个圆不相离，所以不存在过原点的直线与无公共点， C对． D:因为到直线的距离为且与其平行的直线为:，:, 且到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为， 到直线的距离为，到直线的距离为，所以直线,与共有6个公共点， 即上有6个点到直线的距离为， D错． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(改编自人教A版选修1P115T1)点在运动过程中，总满足关系式：，那么点的轨迹方程为：_______． 【答案】 【解析】由椭圆的定义，点到两个定点和的距离之和为常数10，所以轨迹是以为焦点的椭圆,焦距，长轴长，短半轴 焦点在轴上，故椭圆方程为： 13.(改编2026全国1T13)设是定义在上的最小正周期为的函数,且在上,则_______,_______． 【答案】第一个空：，第二个空 【解析】由周期为，且区间的长度正好是，所以 而，，因此 又且，所以 14.(改编2026全国1T14)设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公差为的等差数列．则的最小值为_______． 【答案】 【解析】设，则第个三项块的和为: 连续9项中至少含有2个完整的三项块． －若含有3个完整块，设其为第，，块，则中间项分别为，， 它们应在等差数列中且相隔3项，但，，二者不等，矛盾． 所以只能恰有2个完整块．设这两个完整块为第，块． 若，则必须从第1项开始，会包含3个完整块，故． 它们的中间项满足，,二者相隔3项，所以， 即由，得，当时可构造满足条件的数列，因此最小值为. 如：数列，0，，，，，，，，，，，，，，，，， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(改编人教A版选修1P49T15)如图，在四面体中，,,两两垂直，且，，，分别是，，，的中点． (1)求证：，，，四点共面，且平面； (2)若,直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离. 【解析】(1)证明：，分别为,的中点，则,,分别为,的中点， 则,则,故，，，四点共面，，平面, 平面,平面； (2)由于,,两两垂直，建立的空间直角坐标系，不妨设() 直线的方向向量为，设平面的法向量为， ，，，,则中点坐标为，，， ,,则，得， 可令，则，，则， 直线与平面所成的角为，，解得 因为平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离： ，故直线到平面的距离为. 16.(来自2021年八省联考)在四边形中，，． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2)． 【解析】(1)在中，由余弦定理可得， ，， 在中，由余弦定理可得，； (2)设，则， 在中，， 在中，， 由(1)可知，，即， 整理可得，，解得， 因此，． 17．(15分)(来自2026届山东烟台二模数学)某用户在网约车平台发起订单后，平台按照就近原则依次派车：先派距离用户最近的第一辆车，若该车无法接单，则继续派第二辆车，以此类推，直至某网约车接单．假设该平台上每辆车接单的概率均为，且各辆车是否接单相互独立．记某网约车接单时平台为该用户派车的总次数为． (1)求()的概率，并证明：,对任意正整数,恒成立； (2)已知平台为该用户派出的第一辆车未接单，设平台还需为该用户继续派车的次数为．平台规定： 若，则赠送该用户一张金额为3元的优惠券；否则，不赠送优惠券． 求平台赠送该用户的优患券金额的期望． 【解析】(1)由题意知，． 所以，对任意的正整数，，. (2)由(1)知， 平台需要支付该用户的优惑券金额的所有可能取值为0,3， 则，所以． 即平台需要支付的优惑券金额的期望为元． 18．(17分)已知函数． (1)若，求的单调区间： (2)若有且仅有1个零点，求的值： (3)若存在，使得对任意恒成立，证明：． 【解析】(1)若,,,, ,得在上单调递减，且， 当时，，得在上递增， 当时，，得在上递减。 得的递增区间为：，递减区间为：. (2)(i)法1，由．得,由有且仅有1个零点． 则与有且仅有一个交点． . 令，则在上单调递增，且． 当时，，得，则在上单调递减 当时，，得，得在上单调递增． 所以． 当时，，当时，． 所以当且仅当时，与有且仅有一个交点． 所以的值为1 法2：．则在上单调递减 又，取，得， 所以．使得，得． 当时，，当时．． 则在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，的最大值为． 当时，：当时，． 又有且仅有1个零点，则． 由于函数在上单调递增．且． 所以．所以． (ii)法1：证明：因为存在．使得对任意恒恒立． 由(2)解法2，得．即. 得，则． 令，得， 当时，，当时，． 则在上单调递增．在上单调递减 所以当时，．由于，所以． 法2：．则在上单调递减， 又．．得． 所以，使得，得． 当时，，当时，． 则在上单调递增．在上单调递减． 所以当时．的最大值为 得． 即．得． 则． 令． 得 当时，，当时，． 则在上单调递增．在上单调递减． 所以当时．． 由于．所以． 19．(17分)已知双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，点在上． (1)求的方程： (2)点,分别在的两条渐近线上运动，且，线段的中点为． (i)设,，求的最大值： (ii)设,,，点不在轴上，若，求的取值范围． 【解析】(1)双曲线：的焦点到其渐近线的距离为, 点在上．,得，于是曲线的方程：. (2)曲线：的两条渐近线和，点,分别在的两条渐近线上运动，不妨设，，于是， 得，线段的中点为， 不妨设，，可知，，得. 即线段的中点为的运动轨迹方程为：， (i)设,，此时,恰为椭圆的上，下焦点，根据椭圆的定义， ，根据基本不等式，，此时为或. (ii)在中，设，由余弦定理, 由正弦定理：，得, 得，可整理成：， 得，设，则() 根据两点之间的距离公式：， 整理得：，得，由于， ，即，得，，， 可解得，且， 由于，得，. 第页 学科网（北京）股份有限公司 $