1.2 菱形的性质与判定（讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦菱形的性质与判定核心知识点，系统梳理从平行四边形基础引入菱形定义，到边角关系、对角线性质、对称性等性质，再到面积计算、尺规作图及判定方法的完整学习支架。 资料特色在于知识点与中考真题、模拟题紧密结合，通过角度计算、边长求解等12类题型培养数学思维与几何直观，课中辅助教师分层教学，课后学生可借即学即练与变式巩固查漏补缺，提升推理能力与应用意识。

第一章 特殊平行四边形 1.2 菱形的性质与判定 知识点一 菱形的性质（边角关系） 定义 的叫做菱形 性质 符号语言 图示 边 菱形的 ∵四边形ABCD是菱形∴ 对 角 线 菱形的 ，且 ∵四边形ABCD是菱形，∴ ， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 具有平行四边形的一切性质：①对边平行；②对角相等；③对角线互相平分 ∵四边形ABCD是菱形，∴① ；② ；③ 对称性 ①是轴对称图形：4条对称轴；②是中心对称图形 即学即练 1．（2025·湖南·中考真题）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 2．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在菱形中，于点E，于点F，求证：． 4．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 知识点二 菱形的面积 菱形的面积 ①菱形的面积=底×高，即. ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 即学即练 1．（25-26八年级下·天津·期末）已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 2．（2025·青海·中考真题）如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为______． 知识点三 尺规作菱形 根据已知线段 根据已知角 根据平行四边形 作垂直平分线 作角平分线 作等线段 即学即练 1．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． (1)请用尺规把这个菱形补充完整；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)已知，交于点，，，求菱形的面积． 知识点四 菱形的判定方法 判定定理 符号语言 图示 按边 讨论 已知 四边形 的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵ ， ∴四边形ABCD是菱形 已知平行四边形 的是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵ ， ∴▱ABCD是菱形 按对角线 讨论 已知 四边形 的是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵ ， ∴▱ABCD是菱形 已知平行四边形 的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵ 且 ，∴▱ABCD是菱形 即学即练 1．（2026·四川乐山·中考真题）如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·中考真题）如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 2．（2026·云南·中考真题）如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 题型01 根据菱形的性质计算角度 ①菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形的问题常会在直角三角形中解决； ②菱形的四条边相等，因此菱形与等腰三角形、等边三角形的综合应用较多，利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合. ·具体技巧：牢牢锁定对角线平分对角，配合邻角互补（和为180°）。看到对角线，立刻找等腰三角形（边相等）或直角三角形（对角线垂直）。 典｜例｜精｜析 1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，在菱形中，，点、点分别在边、上，且，，则的度数是（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在菱形中，过点A作于点E，对角线交于点F．若，则的度数为________． 2．（2026·福建宁德·二模）如图是由一个正八边形和四个菱形组成的图形，图中的度数是（     ） A． B． C． D． 题型02 根据菱形的性质计算边长 ①善用勾股定理（对角线的一半恰好构成直角三角形直角边）。 ②结合方程思想 典｜例｜精｜析 1．（2026·陕西渭南·二模）如图，菱形的对角线、相交于点，点、分别为、的中点，连接、、、，若四边形的周长为，，则菱形的边长为（    ） A． B． C．4 D． 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为（     ） A． B．5 C． D． 3．（2026·河南平顶山·二模）如图，在四边形中，，，，．的平分线交于点E，交于点O．若点O是的中点，则的长为（     ） A． B．1 C．2 D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·上海青浦·期中）菱形中，，边长为4，则较长对角线长为______． 2．（2026·甘肃·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________． 3．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，在中，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为______． 4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 5．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点是线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，则的周长为________．    题型03 根据菱形的性质计算面积 ·菱形面积：优先使用对角线乘积的一半；其次才是底×高（注意高往往需要30°、60°特殊角求解） ·不规则图形面积：利用等底等高的三角形面积相等转化面积、割补法 · 面积公式千万别忘乘， （这是菱形与正方形面积求法的关键区别）。 · 不要混淆“对角线长度”与“对角线的一半长度”，在勾股定理中用的是一半。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____． 2．（2026·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，点，分别在边，上，且，于点，连接，，交于点．若，，，则四边形的面积是________． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·四川泸州·二模）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．80 C．96 D．192 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________． 3．（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为________；四边形的面积为________． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，，的平分线交于点G，于点O，交于点F，连接，，则四边形的面积为_____ ． 题型04 添加条件判断菱形 ·一般在选择题中考查：利用“排除法”，注意正方形是特殊的菱形，但若题目说“一定是菱形”，正方形也算；若说“是菱形但不一定是正方形”，则排除有直角的选项。 ①判定时，“对角线互相垂直”必须加上“平行四边形”这个前提，否则只能推出筝形（对角线垂直的任意四边形），不一定四边相等。 ②看到“邻角相等”（即90°）或“对角线相等”，若再加菱形条件，会升级为正方形，注意选项陷阱。 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北保定·二模）如图，将任意，沿所在直线翻折，使点A落到点D处，若使四边形为菱形，则需补充的条件为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广西南宁·一模）如图，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，则可使四边形是菱形的条件是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（   ） A． B． C． D．平分 2．（2026·河南信阳·一模）如图，在中，，交于点，点，在上，．要使四边形为菱形，还需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邢台·模拟预测）按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 题型05 根据菱形的性质判断结论 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 2．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点，点E是上一点，且，连接，下列结论：；；；，成立的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连接，分别交，于点F、G，连接、，则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③四边形与四边形面积相等． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，菱形的对角线，交于点O，且的长度是定值．在较长的对角线上有两点E，F，，连结，，，．设四边形和四边形的面积分别是m，n，若，则下列运算结果为定值的是（   ） A． B． C． D． 题型06 根据尺规作图痕迹判断结论 尺规作图：痕迹多为垂直平分线或角平分线。若作图得到对角线互相垂直或平分，直接指向菱形判定。 再根据菱形的性质解决问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为（） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·四川·期中）如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东济南·二模）如图，以为圆心任意长为半径画弧，交、于点、．分别以和为圆心，大于的长为半径画弧两弧交于点，连接交于点．分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，过两弧的交点作直线，交于点，于点．以为圆心长为半径画弧，交于点．若，则四边形的面积（   ） A． B． C．12 D． 4．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点．若，，则_____． 题型07 根据菱形的性质进行证明和计算 ①全等桥梁：菱形中大量存在对称的全等三角形，多连接对角线构造旋转或对称全等。 ②等面积法：当涉及高或点到边的距离时，利用面积相等建立方程非常快捷。 忽略“菱形对角线平分对角”在角度转化中的链式反应（如内角平分线常导致平行线间出现等腰三角形） 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于，求的长． 2．（25-26九年级下·福建漳州·期中）如图，菱形的对角线交于点O，过点O的直线分别与的延长线交于点E，F．求证：． 3．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）如图，是菱形的对角线，点E，F分别在和上，与交于点．求证：是的垂直平分线． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在菱形中，点，分别是上的一点，且，与相交于点O，求证：． 2．（2026·河北保定·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点O，延长至点E使得，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型08 菱形的性质与判定综合问题 1.判定路径： ①定义优先； ②优先证它是平行四边形，再加“邻边相等”或“对角线垂直”；若直接证四边形，则需证“四边相等”。 2.倒推法：证菱形时，先从结论倒推需要什么条件（如边相等），再从已知条件正推。 ①判定时，“对角线互相垂直”必须加上“平行四边形”这个前提，否则只能推出筝形（对角线垂直的任意四边形），不一定四边相等。 ②证明书写时，判定定理使用不当（如误用“一组邻边相等”去证任意四边形，必须先证平行四边形）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）如图，四边形为菱形，对角线，相交于点．，为对角线上的两点，请你从以下三个条件：①；②；③，选择一个合适的作为已知条件，使四边形为菱形．（不添加辅助线） (1)你选择的条件是______________（填序号）； (2)选择了一个条件后，请证明四边形为菱形． 2．（2026·北京东城·一模）如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·北京昌平·二模）如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 2．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，在等边三角形中，，于点，点是上一点，延长到点，使． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则四边形的面积是________． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，中，对角线的中垂线分别交于点E，O，F． (1)连结，请判断四边形的形状，并说明理由： (2)若，连结，求的度数： (3)如图2，连结交于点G，若，，，求的度数和的长． 题型09 菱形与坐标 ①坐标法：已知三个顶点求第四个（菱形），利用对角线互相平分（中点坐标公式）分类讨论；利用四边相等列两点间距离公式； ②方程思想：动点或未知的关键点的坐标需要设坐标； ③分类讨论思想。 ·坐标分类讨论时遗漏情况（菱形顶点顺序不定），务必按照“对角线为对角线”还是“边为对角线”分三类讨论。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为原点．边长为的菱形的一边与轴的正半轴重合，． (1)求点的坐标； (2)已知直线过点，且直线不平行于轴． ①若与轴的夹角为，求与轴交点的纵坐标； ②若将菱形分成面积比为∶的两部分，求的解析式． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为菱形，点，，连接、交于点，交轴于． (1)如图，求直线的解析式； (2)如图，点从点出发沿着向终点运动，速度为个单位长度秒，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，求出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（）的条件下，点在线段上，延长交于点，若，求的值． 题型10 与菱形有关的规律探究 ·规律探究：抓住菱形边长或对角线长度随序号变化的等差/等比/周期规律，结合解直角三角形求边长（顶点坐标)。 ①混淆了“第n个菱形的边长”与“第n个顶点的横坐标”； ②结果涉及幂的形式，要验证指数，所以画图标注序号至关重要。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作．，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则_____． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山东烟台·中考真题）如图，以原点为顶点作边长为2的菱形，点在轴上，且，将点向右平移2个单位得到点，以为顶点作与菱形全等的菱形，点在轴上；再将点向右平移2个单位得到点，以为顶点作与菱形全等的菱形，点在轴上；…；按照以上规律作图，则点的坐标为__________． 题型11 转化线段求最值 ·最值转化的核心：是将军饮马（利用菱形对角线对称性，将折线段“拉直”）、垂线段最短（点到直线距离）、三角形三边关系； ·转化线段的方法：构造全等三角形转化线段、等面积法转化高（底）等。 求最值时忽略动点运动范围的端点，导致最值取在边界但未验证是否满足几何意义（如三点共线是否在可行域内）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，在平行四边形中，，O为对角线、的交点，，，M，N分别为边和上的动点，且，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接、，则周长的最小值为______． 2．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，，点、分别是、边上的动点，连接，，当的值最小时，，则的长为________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，菱形，，，是上动点，是中点，，分别是，中点，则菱形的面积为________，最小值为________． 题型12 动点问题与综合探究 ①寻找不变量（如某条边的长度、某个固定的角度），将动态问题转化为静态的几何模型。 ②常设时间为t ，用含t 的代数式表示边长，再列方程（如面积相等、勾股定理）。 ①动点题中分类讨论不全（如P在BC上和在CD上运动时，函数表达式完全不同），需分段求解； ②注意“速度不同”或“停止点”导致的死锁情况。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接，． (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 2．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，已知在菱形中，，点是射线上一动点（不与点，重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接． (1)若点在边上，且，过点作，交于点． 证明：①；②； (2)若菱形的边长为，当为等腰三角形时，求的长． 变｜式｜巩｜固 1 ．（25-26八年级下·重庆·期中）在菱形中，，动点E在边上，连接，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，在上取点F，使得，且，连接，点G是的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明； (3)如图3，在同一平面上取一点P（点P与点A在的异侧），使得，且，连接．当取到最小值时，求的值． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图1，公园里有一片矩形空地，现计划在矩形空地内修建一个花园．取矩形四条边的中点，，，并顺次连接，建造出一个四边形花园． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，，若米，米． ①如图2，求菱形的周长与面积； ②如图3，分别作于点，于点．公园管理处决定在花园内分别种植红、黄两种颜色的郁金香，其中四边形内种植红色郁金香，花园的其它地方种植黄色郁金香，记红色郁金香的种植面积为，黄色郁金香的种植面积为，则______（直接写出结果）． 3．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）我们知道：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．如图1，在中，点D，E分别是的中点，求证：，且． (1)下面是小高给出的一种证明思路：如图2，过点C作的平行线交的延长线于点F……请根据小高的思路证明上述命题； (2)如图3，在四边形中，点E，F分别是的中点，点G，H分别是的中点，连接，，，，则的度数为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形 1.2 菱形的性质与判定 知识点一 菱形的性质（边角关系） 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 性质 符号语言 图示 边 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC 对 角 线 菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 具有平行四边形的一切性质：①对边平行；②对角相等；③对角线互相平分 ∵四边形ABCD是菱形，∴①AB//CD，AD//BC；②∠ABD=∠ADC，∠BAD=∠BCD；③AO=CO，BO=DO 对称性 ①是轴对称图形：4条对称轴；②是中心对称图形 即学即练 1．（2025·湖南·中考真题）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 解法二： ∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为， 故选：． 2．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在菱形中，于点E，于点F，求证：． 【答案】证明：∵菱形， ∴，， ∵于点E，于点F， ∴， ∴， ∴． 4．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在菱形中，分别是边上的点，且． 求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 知识点二 菱形的面积 菱形的面积 ①菱形的面积=底×高，即. ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 即学即练 1．（25-26八年级下·天津·期末）已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 【答案】24 【分析】直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别是6和8， 菱形的面积为：． 2．（2025·青海·中考真题）如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，由，分别为，的中点，得，所以，然后根据菱形的面积为即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 知识点三 尺规作菱形 根据已知线段 根据已知角 根据平行四边形 作垂直平分线 作角平分线 作等线段 即学即练 1．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，是菱形的一条对角线，点在射线上． (1)请用尺规把这个菱形补充完整；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)已知，交于点，，，求菱形的面积． 【答案】(1)如图所示菱形即为所求： (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知，则四边形是菱形； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线交于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交的垂直平分线于点，连接、即可； （2）解：∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∴菱形的面积． 知识点四 菱形的判定方法 判定定理 符号语言 图示 按边 讨论 已知 四边形 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形 已知平行四边形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴▱ABCD是菱形 按对角线 讨论 已知 四边形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形 已知平行四边形 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AC⊥BD且AO=CO，BO=DO，∴▱ABCD是菱形 即学即练 1．（2026·四川乐山·中考真题）如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意； B、，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得到平行四边形为菱形，不符合题意； C、，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不符合题意； 综上，故选C． 2．（2026·云南·中考真题）如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据，得到，进而得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，即可得证； （2）根据角的数量关系，和差关系求出的度数，再根据菱形的性质，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 2．（2026·云南·中考真题）如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2)解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 题型01 根据菱形的性质计算角度 ①菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形的问题常会在直角三角形中解决； ②菱形的四条边相等，因此菱形与等腰三角形、等边三角形的综合应用较多，利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合. ·具体技巧：牢牢锁定对角线平分对角，配合邻角互补（和为180°）。看到对角线，立刻找等腰三角形（边相等）或直角三角形（对角线垂直）。 典｜例｜精｜析 1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，在菱形中，，点、点分别在边、上，且，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在菱形中，过点A作于点E，对角线交于点F．若，则的度数为________． 【答案】/度 【详解】解：∵于点E， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·福建宁德·二模）如图是由一个正八边形和四个菱形组成的图形，图中的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， 由正八边形内角和定理得：， ∴， 又四边形，是菱形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 题型02 根据菱形的性质计算边长 ①善用勾股定理（对角线的一半恰好构成直角三角形直角边）。 ②结合方程思想 典｜例｜精｜析 1．（2026·陕西渭南·二模）如图，菱形的对角线、相交于点，点、分别为、的中点，连接、、、，若四边形的周长为，，则菱形的边长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】∵菱形的对角线、相交于点， ∴， 又∵点、分别为、的中点， ∴， 又∵即， ∴四边形是菱形， 又∵四边形的周长为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为（     ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴、都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 3．（2026·河南平顶山·二模）如图，在四边形中，，，，．的平分线交于点E，交于点O．若点O是的中点，则的长为（     ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】解：连接， ∵，即， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·上海青浦·期中）菱形中，，边长为4，则较长对角线长为______． 【答案】 【详解】解：连接、交于点，如图； 因为四边形是菱形， 所以，，，； 因为， 所以； 在中，， 所以； 所以； 因为菱形边长为，即， 所以； 由勾股定理得，代入得， 解得，负根不合题意舍去； 所以； 又因为，所以较长对角线长为． 2．（2026·甘肃·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________． 【答案】 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴，解得：． 3．（25-26八年级下·北京西城·期中）如图，在中，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为______． 【答案】12 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵点是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长为． 4．（2025·辽宁·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点， ，， ， ， 如图，取中点H，连接， 点为的中点，点H为的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点是线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，则的周长为________．    【答案】 【详解】解：四边形是菱形， 在中， 由勾股定理得 是线段的垂直平分线 的周长为： ． 题型03 根据菱形的性质计算面积 ·菱形面积：优先使用对角线乘积的一半；其次才是底×高（注意高往往需要30°、60°特殊角求解） ·不规则图形面积：利用等底等高的三角形面积相等转化面积、割补法 · 面积公式千万别忘乘， （这是菱形与正方形面积求法的关键区别）。 · 不要混淆“对角线长度”与“对角线的一半长度”，在勾股定理中用的是一半。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____． 【答案】24 【详解】解：过点A作于点E，过点A作于点F，设交于点， 由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴． 2．（2026·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，点，分别在边，上，且，于点，连接，，交于点．若，，，则四边形的面积是________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， 又∵， ∴点到的距离等于， ∴， ∴四边形的面积是． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·四川泸州·二模）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．80 C．96 D．192 【答案】C 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ∴， ， ， ∴， 即， ， ∴． 2．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________． 【答案】 【详解】解：、、、分别是边、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为________；四边形的面积为________． 【答案】 4 【详解】解：如图， 由题意得，， （已舍去负值）， 即图1中的的长度为； 如图， 由题意可知，，设，， 则， 在中，， 即， 由题意得，， ， ， ， 即， ， ． 将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形， ， 四边形为菱形． 由题意和图可知，，， ． 故答案为：；． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，，的平分线交于点G，于点O，交于点F，连接，，则四边形的面积为_____ ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点G，于点O，交于点F， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型04 添加条件判断菱形 ·一般在选择题中考查：利用“排除法”，注意正方形是特殊的菱形，但若题目说“一定是菱形”，正方形也算；若说“是菱形但不一定是正方形”，则排除有直角的选项。 ①判定时，“对角线互相垂直”必须加上“平行四边形”这个前提，否则只能推出筝形（对角线垂直的任意四边形），不一定四边相等。 ②看到“邻角相等”（即90°）或“对角线相等”，若再加菱形条件，会升级为正方形，注意选项陷阱。 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北保定·二模）如图，将任意，沿所在直线翻折，使点A落到点D处，若使四边形为菱形，则需补充的条件为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由翻折可得：，， 添加， ∴， ∴四边形是菱形，故A符合题意； 补充，是重复条件，得不到四边相等， 补充得不到四边相等， 故B，C，D不符合题意． 2．（2026·广西南宁·一模）如图，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，则可使四边形是菱形的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵E，F分别为，的中点， ∴，， 同理可得，，，，，，， ∴且，且， ∴四边形是平行四边形， 当时，如图，则， ∴是菱形， 当时，如图， ∵， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴是矩形， 当或时，均不能判定为菱形， ∴可使四边形是菱形的条件是． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【详解】解：A、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形，，不能证明平行四边形是菱形，故选项C符合题意； D、四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（2026·河南信阳·一模）如图，在中，，交于点，点，在上，．要使四边形为菱形，还需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 选项B由已知可得，不需要添加， ∵， ∴，即， 选项A由已知可得，不需要添加， ∴四边形是平行四边形， 添加选项C，无法证得四边形为菱形， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴． 若添加选项D， ∵， ∴． ∴， ∴四边形为菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 3．（2026·河北邢台·模拟预测）按照下列步骤作图，得到下图： ①任意画两条相交直线，n，记交点为； ②以点为圆心，分别在直线m，n上截取与，与．使； ③顺次连接A，B，C，D得到四边形． 若添加下列一个条件后，使得四边形是菱形，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， A、添加，此时平行四边形变为矩形，不是菱形； B、添加，无法推出对角线垂直或邻边相等，不能判定为菱形； C、添加，即，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定为菱形； D、添加，则，此时平行四边形是矩形，不是菱形； 所以正确条件是选项C． 题型05 根据菱形的性质判断结论 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（   ） ①；②；③ A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行四边形及邻边相等的条件判定图形为菱形，再利用菱形性质、等腰三角形性质等，逐一分析与相等的角． 【详解】解：四边形是平行四边形，且 四边形是菱形 ，，，， ， ， ，故①符合题意， ， ，故②符合题意， ， ， 又，， ， ， ∴， ，故③符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，则，，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，可证明四边形是菱形，则，所以，则，由，且，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ∵，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，且，， ， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点，点E是上一点，且，连接，下列结论：；；；，成立的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先证明，得到四边形是菱形，利用菱形的性质，三角形中位线求解即可； 【详解】解：平行四边形的对角线交于点 ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 故， 故正确； ； 故错误； ， 故正确； ， ， 故正确； 所以选C选项。 2．如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连接，分别交，于点F、G，连接、，则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③四边形与四边形面积相等． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】①由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；②先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，则四边形是菱形，②正确；③由菱形的性质可得，由中线的性质，即可得四边形与四边形面积相等，得出③正确． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中位线， ∴，故①正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴、是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形与四边形面积相等，故③正确； 故正确的结论有3个． 3．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，菱形的对角线，交于点O，且的长度是定值．在较长的对角线上有两点E，F，，连结，，，．设四边形和四边形的面积分别是m，n，若，则下列运算结果为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，由菱形的性质，，，，通过证明平行四边形是菱形，可得，，，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵的长度是定值， ∴的长度是定值， ∴的值为定值， 故选：C． 题型06 根据尺规作图痕迹判断结论 尺规作图：痕迹多为垂直平分线或角平分线。若作图得到对角线互相垂直或平分，直接指向菱形判定。 再根据菱形的性质解决问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，按以下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解；由作图方法可得， ∴四边形是菱形，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 2．（2026·辽宁铁岭·二模）如图，在平行四边形中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设与交于点，连接，如图所示： 由作图可知，平分，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点， ∴， ∵分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，即选项A符合题意． 2．（25-26九年级上·四川·期中）如图，按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点；③分别以点为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作图可得， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2026·山东济南·二模）如图，以为圆心任意长为半径画弧，交、于点、．分别以和为圆心，大于的长为半径画弧两弧交于点，连接交于点．分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，过两弧的交点作直线，交于点，于点．以为圆心长为半径画弧，交于点．若，则四边形的面积（   ） A． B． C．12 D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：平分，是的垂直平分线，， ∵， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为. 4．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点．若，，则_____． 【答案】 【分析】由作图过程可知，，为的平分线，则，，，结合平行四边形的性质以及菱形的判定可证明四边形为菱形，则，，根据，可得，再由，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，，为的平分线， ∴，， ∴， 四边形为平行四边形， ∴， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ． 题型07 根据菱形的性质进行证明和计算 ①全等桥梁：菱形中大量存在对称的全等三角形，多连接对角线构造旋转或对称全等。 ②等面积法：当涉及高或点到边的距离时，利用面积相等建立方程非常快捷。 忽略“菱形对角线平分对角”在角度转化中的链式反应（如内角平分线常导致平行线间出现等腰三角形） 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·安徽六安·阶段检测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于，求的长． 【答案】 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理求出的值，根据等面积法列方程求解即可． 【详解】解：在菱形中，，， ，，， ， ， ， 解得． 2．（25-26九年级下·福建漳州·期中）如图，菱形的对角线交于点O，过点O的直线分别与的延长线交于点E，F．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）如图，是菱形的对角线，点E，F分别在和上，与交于点．求证：是的垂直平分线． 【答案】证明：四边形是菱形， ， 又， ，即， 是等腰三角形， 是菱形的对角线， ， 是底边的中线和高线， 是的垂直平分线． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在菱形中，点，分别是上的一点，且，与相交于点O，求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ． ， ． 即， ，， ， ． 2．（2026·河北保定·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点O，延长至点E使得，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ，， ， 在和中， ，，， ． （2）解：， ， ∵四边形是菱形， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即：， 解得， ． 题型08 菱形的性质与判定综合问题 1.判定路径： ①定义优先； ②优先证它是平行四边形，再加“邻边相等”或“对角线垂直”；若直接证四边形，则需证“四边相等”。 2.倒推法：证菱形时，先从结论倒推需要什么条件（如边相等），再从已知条件正推。 ①判定时，“对角线互相垂直”必须加上“平行四边形”这个前提，否则只能推出筝形（对角线垂直的任意四边形），不一定四边相等。 ②证明书写时，判定定理使用不当（如误用“一组邻边相等”去证任意四边形，必须先证平行四边形）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）如图，四边形为菱形，对角线，相交于点．，为对角线上的两点，请你从以下三个条件：①；②；③，选择一个合适的作为已知条件，使四边形为菱形．（不添加辅助线） (1)你选择的条件是______________（填序号）； (2)选择了一个条件后，请证明四边形为菱形． 【答案】(1)①或②均可 (2)选择①证明：∵四边形为菱形， ，， ． 在和中， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 选择②证明：∵四边形为菱形， ，， ． 在和中， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 2．（2026·北京东城·一模）如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·北京昌平·二模）如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ． 对角线平分， ， ． ， ，且， 四边形为平行四边形，且， 四边形为菱形． （2）设， 由（1）得四边形为菱形， ． ，， ， ，垂足为， 在中，，即， 解得， 的长为． 2．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，在等边三角形中，，于点，点是上一点，延长到点，使． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则四边形的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ， ， 四边形是平行四边形， 在上，，， ， 四边形是菱形； （2）∵是等边三角形，， ∴， ∵ ∴ 在中， ∵， ∴ ∴ ∴菱形的面积为． 3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，中，对角线的中垂线分别交于点E，O，F． (1)连结，请判断四边形的形状，并说明理由： (2)若，连结，求的度数： (3)如图2，连结交于点G，若，，，求的度数和的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析． (2) (3)， 【详解】（1）解：四边形是菱形． 理由如下： 在中， ∵， ∴． ∵为中垂线， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：在中， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 由（1）得，四边形是菱形， ∴， ∴； （3）解：在中， ∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ，即， ∴， ∴设，则，， 在中：，即， 在中：， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∵，， 过点A作于点H， ， 解得， 在中，，， ， ， 在Rt中，． 题型09 菱形与坐标 ①坐标法：已知三个顶点求第四个（菱形），利用对角线互相平分（中点坐标公式）分类讨论；利用四边相等列两点间距离公式； ②方程思想：动点或未知的关键点的坐标需要设坐标； ③分类讨论思想。 ·坐标分类讨论时遗漏情况（菱形顶点顺序不定），务必按照“对角线为对角线”还是“边为对角线”分三类讨论。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为原点．边长为的菱形的一边与轴的正半轴重合，． (1)求点的坐标； (2)已知直线过点，且直线不平行于轴． ①若与轴的夹角为，求与轴交点的纵坐标； ②若将菱形分成面积比为∶的两部分，求的解析式． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（）作于点，利用菱形的性质可得，，进而可得，即得，，即可求解； （）①连接，作于点 ，于，结合与轴的夹角为，设直线为，可得，再进一步求解即可； ②设菱形 的面积为，可得点的坐标为，，，即得直线和均将菱形分成面积比为的两部分， 且直线的解析式为，此时不符合题意，再利用待定系数法求出直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：如图，作轴，交轴于点，则， 四边形是边长为的菱形， ，， ， ， ， ，， . （2）解：如图，连接，作，，垂足分别为，， 设菱形的面积为， 四边形是边长为的菱形，， 和都是等边三角形，点的坐标为， ，，， ，，，， ， ①与轴的夹角为，设直线为， ， 可设：或，则与轴交点的纵坐标即为， 直线过点， 或， 或， 与轴交点的纵坐标为或 ②，， 直线、均将菱形分成面积比为的两部分，且直线的解析式为（平行于轴，不合题意，舍去）， ，，为的中点， ， 设直线的解析式为，把的坐标代入得，， 解得， 直线的解析式为， 综上，该直线的解析式为. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为菱形，点，，连接、交于点，交轴于． (1)如图，求直线的解析式； (2)如图，点从点出发沿着向终点运动，速度为个单位长度秒，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，求出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（）的条件下，点在线段上，延长交于点，若，求的值． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)与的函数关系式； (3)的值为． 【分析】（）过作轴于点，由菱形的性质可得，，证明，所以，，可得，然后通过勾股定理求得，则点，然后通过待定系数法即可求解； （）过作轴于点，过作轴于点，由（）得，，，直线的解析式为，根据题意可得，设，则，由勾股定理得，即，则，即有，所以，然后通过即可求解； （）过作轴于点，则，由四边形是菱形，则，，，，所以，，通过，，得，所以，设，，则，，，可得，所以，设，则，，求得，利用待定系数法求出直线解析式为，从而得，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，过作轴于点， 由（）得，，，直线的解析式为， ∵点的速度为个单位长度秒，运动时间为秒， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴，则， ∴， ∴ ， ∴与的函数关系式； （3）解：如图，过作轴于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设，， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴的值为． 题型10 与菱形有关的规律探究 ·规律探究：抓住菱形边长或对角线长度随序号变化的等差/等比/周期规律，结合解直角三角形求边长（顶点坐标)。 ①混淆了“第n个菱形的边长”与“第n个顶点的横坐标”； ②结果涉及幂的形式，要验证指数，所以画图标注序号至关重要。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，得到四边形，它的周长记作；取中点，作．，得到四边形，它的周长记作，…，照此规律作下去，则_____． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的性质和判定，找出周长的规律是解题的关键；根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解． 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山东烟台·中考真题）如图，以原点为顶点作边长为2的菱形，点在轴上，且，将点向右平移2个单位得到点，以为顶点作与菱形全等的菱形，点在轴上；再将点向右平移2个单位得到点，以为顶点作与菱形全等的菱形，点在轴上；…；按照以上规律作图，则点的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点H， ∵所以菱形都两两全等 ∴从开始，每8个点记为1组， ∵ ∴的位置和第1组中的位置相同， ∵ ∴ ∵菱形的边长为2 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，， 由平移得， ∴ ∴， ∵菱形与菱形全等 ∴同理可得，，， ∴ ∴ ∴． 题型11 转化线段求最值 ·最值转化的核心：是将军饮马（利用菱形对角线对称性，将折线段“拉直”）、垂线段最短（点到直线距离）、三角形三边关系； ·转化线段的方法：构造全等三角形转化线段、等面积法转化高（底）等。 求最值时忽略动点运动范围的端点，导致最值取在边界但未验证是否满足几何意义（如三点共线是否在可行域内）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，在平行四边形中，，O为对角线、的交点，，，M，N分别为边和上的动点，且，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接、，则周长的最小值为______． 【答案】/ 【详解】解：在上取点Q，使得，连接，作，且，连接，，如图： ∵在平行四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴ ∴ 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴P在与夹角的线段上， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵O是菱形对角线的交点， ∴， ∴周长， ∴当点P在线段上时，周长取得最小值，即的值 ∵， ∴周长的最小值为． 2．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，，点、分别是、边上的动点，连接，，当的值最小时，，则的长为________． 【答案】6 【分析】作点关于的对称点，过点作于点E，交于点D，连接、，根据轴对称的性质可得，，此时三点共线，的值最小，即的值最小，易得四边形是菱形，证明是等边三角形，结合含30度角的直角三角形的性质及等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，过点作于点E，交于点D，连接、、，则， ， ，四边形是菱形， 此时三点共线，的值最小，即的值最小， ， ， ， ， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，， 在中，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，菱形，，，是上动点，是中点，，分别是，中点，则菱形的面积为________，最小值为________． 【答案】 【分析】利用菱形的性质和面积公式，由边长与夹角直接计算面积．取中点，利用三角形中位线证明，再利用平行四边形的判定证明，从而得到，，三点共线，说明点在线段上运动，最后由垂线段最短求出的最小值． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， ， 菱形的高， 面积． 取的中点，连接，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 点在上， ． 四边形是菱形， ，， 是的中点，是的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，． ，，且是公共点， ，，三点共线， 点在线段上运动． ，都是定点， 是定点， 当时，取得最小值． ， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，交于点Q，此时， ∴， ∵，， ∴， ∴，则，且四边形是矩形， ∴，， 是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ． 题型12 动点问题与综合探究 ①寻找不变量（如某条边的长度、某个固定的角度），将动态问题转化为静态的几何模型。 ②常设时间为t ，用含t 的代数式表示边长，再列方程（如面积相等、勾股定理）。 ①动点题中分类讨论不全（如P在BC上和在CD上运动时，函数表达式完全不同），需分段求解； ②注意“速度不同”或“停止点”导致的死锁情况。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接，． (1)求证：； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； (3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形能够成为菱形， (3)或，理由见解析 【分析】（1）利用t表示出和的长，然后在直角中，利用直角三角形的性质求得的长，即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此列出方程求得t值． （3）分别从和两种情况分类讨论即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，， 中，，， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：四边形能够成为菱形． ，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 即， 解得：， 即当时，平行四边形是菱形； （3）解：当时，是直角三角形；或当时，是直角三角形． 理由如下：当时，如图， ∵， ∴， ∴，， 即， 解得：； 当时，如图， 四边形是平行四边形， ， ∴． ， ， ， ∵， ， 解得． 综上所述，当时或当时，也是直角三角形． 2．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，已知在菱形中，，点是射线上一动点（不与点，重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接． (1)若点在边上，且，过点作，交于点． 证明：①；②； (2)若菱形的边长为，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)证明：①四边形是菱形， ，． ， ， ． ②四边形是菱形， ， ，， ． ， ． 由①，可知， ， ， ． (2)的长为或 【分析】（1）①根据证明可得结论；②证明，即可证明结论； （2）分两种情况：①，过点作于，则，然后证明为等腰直角三角形，那么，然后利用勾股定理求得，，最后求得；②当时，可证明，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：分两种情况进行讨论： 如图，当时，过点作于点，则， 四边形是菱形，，， ， ， ． ，， ， 为等腰直角三角形， ． ，， ， ， ． 如图，当时， ，四边形是菱形， ，． ， ． ，，， ， ． ， ， ， 综上所述，的长为或． 变｜式｜巩｜固 1 ．（25-26八年级下·重庆·期中）在菱形中，，动点E在边上，连接，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，在上取点F，使得，且，连接，点G是的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明； (3)如图3，在同一平面上取一点P（点P与点A在的异侧），使得，且，连接．当取到最小值时，求的值． 【答案】(1)4 (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）利用等腰直角三角形的判定，勾股定理解答即可； （2）延长到点H，使得，连接，则，只需证明，，证明即可． （3）过点D作于点Q，在上截取，连接，，确定点P的运动轨迹是过点M且垂直的定直线，垂足为点M，根据垂线段最短，得当时，最小，此时点P与点M重合，点E与点Q重合，根据菱形的性质，勾股定理，面积分割法计算解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（舍去）， ∴． （2）解：；理由如下： 延长到点H，使得，连接， 则， ∵点G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：过点D作于点Q，在上截取，连接， ∵菱形中，， ∴，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P的运动轨迹是过点M且垂直的定直线，垂足为点M， 根据垂线段最短，得当时，最小，此时点P与点M重合，点E与点Q重合， 此时，， 设菱形的边长为， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图1，公园里有一片矩形空地，现计划在矩形空地内修建一个花园．取矩形四条边的中点，，，并顺次连接，建造出一个四边形花园． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，，若米，米． ①如图2，求菱形的周长与面积； ②如图3，分别作于点，于点．公园管理处决定在花园内分别种植红、黄两种颜色的郁金香，其中四边形内种植红色郁金香，花园的其它地方种植黄色郁金香，记红色郁金香的种植面积为，黄色郁金香的种植面积为，则______（直接写出结果）． 【答案】(1)见解析 (2)①周长为40米，面积为96平方米；② 【分析】（1）利用三角形中位线定理，结合矩形对角线相等的性质，证明四边形的四条边相等，从而判定为菱形； （2）①根据菱形对角线互相垂直平分的性质，用勾股定理求边长，再计算周长与面积； ②利用菱形的面积和三角形面积关系，结合角平分线性质，求出红色与黄色郁金香的种植面积比． 【详解】（1）证明：连接、， 四边形是矩形， ， 、、、分别是矩形四条边的中点， 是的中位线， ， 同理：，，， 又， ， 四边形为菱形（四条边相等的四边形是菱形）． （2）解：①四边形是菱形，米，米，菱形的对角线互相垂直平分， 设对角线交点为，则米，米，且， 在中，由勾股定理： 米， 菱形的周长为米， 菱形的面积为平方米． ②四边形是菱形，，， ，且菱形的面积为， ，， 又菱形的对角线平分一组对角，平分， ， 菱形的面积也可表示为： ， ， ， 由，得：， 所以 同理，， 在中，，， 则， ， 同理， ， 则， 则=． 3．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）我们知道：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．如图1，在中，点D，E分别是的中点，求证：，且． (1)下面是小高给出的一种证明思路：如图2，过点C作的平行线交的延长线于点F……请根据小高的思路证明上述命题； (2)如图3，在四边形中，点E，F分别是的中点，点G，H分别是的中点，连接，，，，则的度数为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点C作的平行线交的延长线于点F，先证明，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据三角形中位线定理和平行线的性质证明四边形是菱形，根据角之间的关系即可得到答案． 【详解】（1）证明：过点C作的平行线交的延长线于点F，即， ∴， ∵E是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； （2）解：∴ ∴， ∵点E，F分别是的中点，点G，H分别是的中点， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $