浙江嘉兴市2025-2026学年高一第二学期期末检测数学试题

20252026学年第二学期期末检测 高一数学试题卷 (2026.6) 本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。 考生注意： 1,答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在 试题卷和答题纸规定的位置上。 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答， 在本试题卷上的作答一律无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知向量a和向量b不共线，那么以下几组向量可以作为基底的是 A.a+b,-a-b B.a-2b,-2a+4b C.2a+3b,6a+4b D.2a+b,4a+2b 2.复数，1在复平面内对应的点所在的象限为 1-i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知一个圆锥的侧面展开图是一个面积为”的半圆，则该圆锥的底面直径为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,b=2且C=2T 3 则c的值为 A.2 B.5 C.6 D.万 高一期末检测数学试题卷第1页（共6页） 5.如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O所在平面外一点，点C是圆周上不同于A,B的 任意一点，若平面PAC⊥平面ABC,则下列结论一定正确的是 A.AB⊥平面PAC B.BC⊥PC C.PA⊥平面ABC D.AB⊥PC (第5题) 6.一个袋子中有编号为1~10的10个小球，每名同学有放回地摸球5次，记录每次摸到 的球的编号，现有四名同学的统计结果如下，其中可能摸到过编号为10的小球的是 A.平均数为5，极差为4 B.中位数为5，极差为4 C.平均数为5，方差为4 D.中位数为5，众数为4 7.从正方体的十二条棱中任选两条，则这两条棱所在直线互为异面直线的概率是 A合 c. 8 D. 8.如图，为了测量两座山顶A,B之间的距离，飞机沿水平方向在相距2千米的C,D两 点进行测量，在C点测得∠ACB=75°，∠ACD=45°，在D点测得∠ADB=∠BDC=30°， 已知A,B,C,D在同一个铅垂面内，则两山顶A,B之间的距离是 A.(√30-10)千米 B.(V30+√10)千米 C.(33-3)千米 B D.(3V3+3)千米 (第8题) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬 币反面朝上”，则下列结论中正确的是 A.事件A与事件B的概率相等 B.事件A与事件B互斥 C.事件A与事件B相互独立 D.事件A与事件B互为对立 高一期末检测数学试题卷第2页（共6页） 10.在菱形ABCD中，AC=3,BD=2,AC与BD交于点O,E,F分别是边AD,CD 上的动点，且满足DE=1DA,DF=uDC,连接EF,则下列说法正确的是 A.当1=】时，向量BE在向量AC上的投影向量为AC 4 B.当=分“=1时，卡图 C.当A4=时，死那 3 4 0,当驴经过0D中点时，7+9 11.在棱长为2的正方体ABCD-4B,CD中，M是棱AD上的动点，N,P分别是BC, CC的中点，O是该正方体的中心，则下列说法正确的是 A.三棱锥A-MNP的体积为定值 B.存在点M,使得DN∥平面ABM C.二面角M-BP-A的平面角的正切值的取值范围为 「55 5’3 D.到O点的距离小于等于到正方体每个顶点的距离的点所构成的几何体的体积是？ 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知复数z=a+bi（a,b∈R)满足z·z=2,则|z=▲_ 13.一个正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，高为6，其顶点都在同一个球面上， 则该球的表面积为▲一。 14.已知|a曰b=1,<a,b>=60°，a·c+b·c=2,则(2a-c)(b-2c)的最小值为▲_ 高一期末检测数学试题卷第3页（共6页） 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本题满分13分) 已知向量a,b满足a+b=35,a=(1,2). (1)若a⊥b,求|b|: (2)若a∥b,求b的坐标. 16.(本题满分15分) 2026年浙江省城市足球联赛“吴越杯”于4月6日正式开赛，揭幕战在嘉兴市体育中 心举行.作为浙江人自己的“世界杯”，赛事吸引了大量球迷.主办方在现场随机抽取了 100位球迷，了解他们每周参加体育锻炼的时长，并根据获得的数据绘制了频率分布直方 图. 频率/组距 0.200 0.100 0.075 0.050 02 46810锻炼时长h (第16题) (1)根据频率分布直方图，估计这100位球迷每周锻炼时长的平均数（同一组中的 数据用该组区间的中点值为代表)和中位数； (2)若将(1)中估计所得的平均数作为这100位球迷每周锻炼时长的总体平均数.已 知这100位球迷中男性球迷每周锻炼时长的平均数是6，方差是10.21；女性球迷每周锻炼 时长的平均数是5，方差是12.31.求这100位球迷中男性球迷和女性球迷的人数，并计算 这100位球迷锻炼时长的总体方差. 高一期末检测数学试题卷第4页（共6页） 17.(本题满分15分) 如图1，将一边长为2的正六边形ABCDEF沿着对角线AD进行翻折，四边形ADEF 翻折至四边形ADMN,得到五面体ABCDMN,如图2所示. (1)求证：BN/平面CDM; (2)若AN⊥CD,求DM与平面ABCD所成角的余弦值. E N 图1 图2 (第17题) 18.（本题满分17分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2b,△ABC的面积 为3. (1)若cosA= (2)若BD=2DC. ()求4D的取值范围： (ii)当a最小时，求AD的长. 高一期末检测数学试题卷第5页（共6页） 19.(本题满分17分) (1)在长方体ABCD-ABCD中，AB=a,AD=b,A4=c,设直线AC与AB, AD,A4所成的角分别为&，B,y,求cos2a+cos2B+cos2y的值. (2)如图，正方体ABCD-EFGH的顶点A在平面2内，其余顶点均在2同一侧， 顶点B,D,E到平面2的距离分别为3,4,5. (i)求正方体的体积： (ⅱ)若有一束平行光线从平面Ω的上方照向正方体，光线所在直线与平面Ω所成 角的余弦值为行，求正方体在平面Q内的投影面积的取值范围。 G H B (第19题) 高一期末检测数学试题卷第6页（共6页）2025~2026学年第二学期期末检测 高一数学参考答案 (2026.6) 一，选择题I:本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.C 2.B 3.A 4.D 5.B 6.D 7.B 8.A 第8题解析 法一：在△ACD中，∠CDA=30°+30°=60°，∠CAD=180°-60°-45°=75°，由正弦 定理得，一 CD AD ,得AD=2(3-1),在△BCD中，∠BCD=45°+75°=120°， sin∠CAD sin∠ACD ∠CBD=180°-120°-30°=30°，由正弦定理得， CD BD ,得BD=25, sin∠CBD sin∠BCD 在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD+BD2-2AD·BDcos,∠ADB,故AB=V30-√10， 选A. 法二：在△ACD中，∠CDA=30°+30°=60°，∠CAD=180°-60°-45°=75°，由正弦 定理得 sin /CAD"sin∠Dc，得AC=V65-】)，在△BcD中， CD AC ∠BCD=45°+75°=120°，∠CBD=180°-120°-30°=30°，由正弦定理得 sn∠CBDsin∠BDC，得BC=2，在△ABC中，由余弦定理得 CD BC AB2=AC2+BC2-2AC.BC cos.∠ACB,故AB=V30-V10,选A. 二，选择题Ⅱ：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.AC 10.BCD 11.ABD 第11题解析 对于选项A,如图1，因为AD/1NP,AD￠面ANP,NPc面AWP所以A,D1/面ANP, 所以点M到面ANP的距离不变，又因为△ANP面积不变，所以三棱锥A,-MWP的体积为 定值，故选项A正确： 高一期末检测数学参考答案第1页（共9页） 对于选项B,如图2，连接DN,分别取BB,AD中点E,F,连接EF,则EF∥DN, 连接45与1交于点G,因为△4G4与△AGE相似，所以4G=子45，在棱40上取 点M满足4M=2AF,连接MG,所以MG∥EF∥D,N且MGc面AB,M,所以存在点 M使得D,N∥面AB,M,故选项B正确； D C D B (第11题) (图1) (图2) 对于选项C,如图3，取DD中点Q,连接AQ,QP,BP,过M作MT⊥AQ,垂足为T, 又因为AB⊥MT,ABn40=A,ABC平面ABPQ,AQC平面ABPQ,所以MT⊥平面 ABPQ,再作TG⊥BP,垂足为G,连接MG。由三垂线定理得MG⊥BP,所以二面角 M-BP-A的平面角为LMGT,tan∠MGT=M IG ,显然TG=2,当M与4重合，MT最 ：当M与D重合，M灯及短为25，所以二面角正切位的取值范为 长为4⑤ 「V525 5,5 故选项C错误； D (图3) (图4) 对于选项D,如图4，到正方体中心的距离小于等于到每个顶点的距离的点所构成的几何 体为一个中心到各顶点距离为的正八面体，故体积为？，故选项D正确。 高一期末检测数学参考答案第2页（共9页） 三，填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 12.V2 155 13.32元 14. 96 第14题解析 法一（基底）：设c=ma+nb（m,n∈R),因为a:c+bc=2,ab= 即 a·(ma+mb)+b-(ma+nb)=2,得m+n= 3’ 所以 (2a-c)(b-2c)=(2a-ma-nb):(b-2ma-2nb)=[(2-m)a-nb]-[(1-2n)b-2ma] 2496-96 法二（几何）：如图，记OA=a,OB=b,oC=c,OD=a+b,则OD3. 因为a·c+b.c=2即(a+b)c=2 所以ODH0C1cos<0C,OD>=2 所以10Ccos<0C,0D25 D 3 在OD上取点H满足OH=OD,故OC在OD上的投影向 量为O匠， 0 (第14题图) 取0B=)b,04=2a,则C4=2a-c,CB=b-c, 取AB中点P, 所以(2a-d-6-2)=2C4,c网=却网+C瓜P-4-C瓜1=21-248P 又因为当CP1CH时，CP取到最小值为 在△O4B中，根据余弦定理得 24 44-3 2 所以w-00-29=21@r-4≥2受-5-g 高一期末检测数学参考答案第3页（共9页） 四，解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) 已知向量a,b满足|a+b=3V5,a=(1,2). (1)若a⊥b,求b|: (2)若a∥b,求b的坐标. 解：(1)1a+bPa尺+1bP+2a-b=45,又因为1aP=12+22=5,ab=0,所以bP=40, |b=2W10. (2)根据题意可设b=(x,2x),则a+b=1+x,2+2x),因为|a+b上35，所以 1+x)2+(2+2x)2=45,解得x=2或x=-4,所以b的坐标(2,4)或(-4，-8) 16.（本题满分15分) 2026年浙江省城市足球联赛“吴越杯”于4月6日正式开赛，揭幕战在嘉兴市体育中 心举行.作为浙江人自己的“世界杯”，赛事吸引了大量球迷.主办方在现场随机抽取了100 位球迷，了解他们每周参加体育锻炼的时长，并根据获得的数据绘制了频率分布直方图. 频率/组距 0.200 0.100 0.075 0.050 02 46810 锻炼时长小时 (第16题) (1)根据频率分布直方图，估计这100位球迷每周锻炼时长的平均数（同一组中的 数据用该组区间的中点值为代表)和中位数： 高一期末检测数学参考答案第4页（共9页） (2)若将（1)中估计所得的平均数作为这100位球迷每周锻炼时长的总体平均数.已 知这100位球迷中男性球迷每周锻炼时长的平均数是6，方差是10.21；女性球迷每周锻 炼时长的平均数是5，方差是12.31，求这100位球迷中男性球迷和女性球迷的人数，并 计算这100位球迷锻炼时长的总体方差. 解：(1)锻炼时长平均数x=1×0.1+3×0.15+5×0.2+7×0.4+9×0.15=5.7,中位数 6+0.05×2=6.25 0.4 (2)设男性球迷有x人，则xx6+100-xx5=5.7,x=70,所以男性球迷有70人， 100 100 女性球迷有30人，总方差为0.7×[10.21+(6-5.7)2]+0.3×[12.31+5-5.7)2]=11.05 17.(本题满分15分) 如图1，将一边长为2的正六边形ABCDEF沿着对角线AD进行翻折，四边形ADEF 翻折至四边形ADMN,得到五面体ABCDMN,如图2所示. (1)求证：BN/平面CDM. (2)若AN⊥CD,求DM与平面ABCD所成角的余弦值. 图1 图2 (第17题) 解：(1)在翻折的过程中，MN/1AD,BC//AD,所以BC//MN,又MN=BC,所 以四边形BCMN为平行四边形，BN//CM.又CMc平面CDM,BNd平面CDM,所 以BN//平面CDM. (2)如图，连接AC,CN,在正六边形中，AD=2CD,∠ADC=60°，所以AC⊥CD, 高一期末检测数学参考答案第5页（共9页） 又AN⊥CD,AN与AC相交，所以CD⊥平面ACN,平面ACN⊥平面ABCD,作 NG⊥AC,垂足为G,则NG⊥平面ABCD,所以∠NAC为AN与平面ABCD所成角.又 NC⊥CD,CW2=DN2-CD2=AC2-AW2,所以AN⊥CN, cos∠NMC==,2=5,由对称性得DM与平面ABCD所成角的大小等于AN与平面 AC 23 3 4BCD所成角的大小，所以其余弦值为Y 3 18.(本题满分17分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=2b,△ABC的面积 为3. (1)若cosA=4, 求a; (2)若BD=2DC. ()求4D的取值范围； b (i)当a最小时，求AD的长. 解：DsnA=，S三-bcsinA=-33,得B=5,再由余弦定理绸 a2=b2+c2-2bccosA=b2(5-4cOs A)=9,a=3 (2)()法一：在三角形ABD中，由正弦定理得，BD AB 同理，在三 sin∠BAD sin∠ADB 角形ACD中，，CD AC,因为BD=2DC,AB=2AC,sin∠ADB=sin∠ADC, sin∠CAD sin∠ADC 所以sin∠BAD=sin∠CAD,又∠BAD+∠CAD<π，所以∠BAD=∠CAD= 2 由5uo+5w=5uac得0-6+a小子m4,AD0站sm气-2冰如4， 高一期末检测数学参考答案第6页（共9页） 法二：由BD=2DC得SMABD=2 SMCD，即AB·AD·sin∠BAD=2AC·AD·sin∠CAD，又 AB=2AC,所以sin∠BAD=sin∠CAD,又∠BAD+∠CAD<π，所以∠BAD=∠CAD.后 同法一. 法三：D-西+号C,D-)+1Cr+号孤c-+eos0,所以 3 10-0+,因为e,所以l0@与. e. (i)。2=b62(5-4cosA0=35-4c0sL_341-cosA0+1 sin A sin A 3(9sin2+cos2 4) 3 9sin 2 cos 2 A ≥9， A。。A 2 s2 sin A 2sin 2 2 当且仅当3s血=os2时取等，此时cos子-3D 2 210，b=V5, 法一：设AD=x,在三角形ACD中，CD=1,由余弦定理得 1=+2-2bxo2-32x+5,得x=25或5，检验得0=25. 法三：设4D1=x,c=25由SAMc=3 SMADE,得csin A=3xsin2，x=2Ccos1=22 3 2 法三：osA=号由（①的法三知而P-21+cos0=8,4D25. 19.(本题满分17分) (1)在长方体ABCD-4B,CD,中，AB=a,AD=b,AA,=c,设直线AC与AB, AD,A4所成的角分别为，B,Y,求cos2a+cos2B+cos2y的值. (2)如图，正方体ABCD-EFGH的顶点A在平面2内，其余顶点均在)同一侧， 顶点B,D,E到平面2的距离分别为3,4,5. ()求正方体的体积： 高一期末检测数学参考答案第7页（共9页） (i)若有一束平行光线从平面2的上方照向正方体，光线所在直线与平面2所成 角的余弦值为}求正方体在平面Ω内的投影面积的取值范围。 G B A (第19题) 解：(1)cos2a= 4G ，cos2B=b2 os7aGP又14G=a2+62+c,所 cos2 a+cos2 B+cos2y=1 (2)(i)设l是过点A且与平面2垂直的直线，l与AB,AD,AE所成的角分别为a, B,Y·设B,D,E在平面2的投影点为B,D,E,则 sin∠BAB1=cosa,sin∠DAD1=cosB,sin∠EAE1=cosy, 由(1)知，(sin∠BAB)2+(sin∠DAD)2+(sin∠EAE)2=1. 设正方体的棱长为x,由题意得xsin∠BAB=3,xsin∠DAD,=4,xsin∠EAE,=5,平方 相加得x2=50,x=5√2，正方体的体积V=2502. (i)设厂为过点D且与平面2平行的平面，则正方体在平面2内的投影与在平面Γ内的 投影形状大小均相同.设线段BE的中点为M,则M∈T,设B,E在T内的正投影点为 B,E,斜投影点（在光线斜照射下的投影点）为B2,E2·因为B,E到T的距离均为 )光线与T所成角的余弦值为，所以B马=6.=V2 是圆B和圆E上的动点，且M既是线段BE的中点，也是线段B2E2的中点，如图所示.由 (i)知BE=V102-(5-3)2=4V6,DM=V5√2)2+52=55.设E2到直线DM的距离 为d,△DE2B2的面积为S,则SDM|d=5V3d, 高一期末检测数学参考答案第8页（共9页） 然da6-.2a5+导.则sm5-0w+ 41,整个正方体的投影面 积为2Se60N2-5y6,60N2+561, E2 D B2 B 备注： 第4题命题参考必修二P44练习第1题(1)： 第5题命题参考必修二P156例8； 第6题命题参考必修二P22复习参考题9第2题： 第8题命题参考必修二P54习题6.4拓广探索第21题； 第9题命题参考必修二P250习题10.2复习巩固第1题； 第10题命题参考必修二P54习题6.4拓广探索第19题； 第15题命题参考必修二P36习题6.3复习巩固第9题。 高一期末检测数学参考答案第9页（共9页）