浙江温州市2025-2026学年第二学期高一期末质量评价题库数学(B类)

**基本信息** 高一期末数学B类试卷，通过向量运算、立体几何（如正方体动点问题）、统计概率（半马数据）等知识，考查数学抽象、空间观念与数据意识，解答题分层设计，体现应用与探究。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|向量投影、独立事件、正方体线面关系|单选基础巩固，多选结合复数几何意义考查推理| |填空题|3题15分|正四棱台体积、基底概率、向量最值|结合几何与概率，考查空间想象与数学抽象| |解答题|5题77分|四棱锥证明与距离、半马频率分布直方图、解三角形面积与最值、折叠问题二面角|17题半马统计体现数据观念，19题折叠问题考查空间观念与推理，分层设计基础与创新|

2025学年下学期温州市高一期末B卷 一、二、选择题 1-8.BDDC BCAB 9.ACD 10.ABC 11.ABD 三、填空题 12.112 3 四、解答题 15. (1)AF=4B+BF=a+b,BE=AE-4B=1b-a 2 (2) 由题意得∠ABE为向量AB与BE的夹角的补角， 在△ABE中， 由余弦定理得cOs∠ABE=4B+BE-AE216+13-17N3 2·AB.BE 2×4×V1326 所以向量AB与E的夹角的余弦值为-7N3 26 16.(1) (线线平行→线面平行) 证明：在PC上取中点F,连接EF,DF,因为EFBC,又因为ADI BC,所以 2 2 ADEF,(有通过平行线的传递性证明AD I EF,得2分) 所以四边形AEFD是平行四边形，所以AE∥DF,(证明AE∥DF,得2分) 因为DFc平面PDC,AE文平面PDC,所以AE∥平面PDC. (最后3句话有完整的表述，给2分，不完整的，给1分) (2) (等体积法)：'a-PD='n-BCD,即为：hg-PcD·SpcD=PA·SBcD, (写出等体积公式，给2分) 因为PA⊥BC,AB⊥BC,PAOAB=A,所以BC⊥面PBA,因为PBc面PBA,所以BC⊥PB, 所以PC=VPB2+BC=2V3,(求出PC长度，给2分) 因为PD=CD=V5,所以SpcD=②25=V6.(求出SpcD得2分). 2 所以时ha-pcDB2=×2×受hg-pcn=29 2 3 (有代入等体积公式运算得2分，答案对得3分)， 17.(1)10×(0.005+a+0.030+0.025×2)=1,解得a=0.015 第一四分位数落在110,120)中 由(0.005+0.015)×10+0.03×(x-110)=0.25 335 解得x= ≈111.7（分钟） 3 (2)选手完赛时间在110分钟内的概率为p=(0.005+0.015)×10=0.2, 则2人中至少有1人获得纪念奖章的概率为2p1-p)+p2=0.32+0.04=0.36 18.(1)由正弦定理可得a2+c2-b2=ac, 所以cosB=a+c2-b1 4分 2ac 因为B∈(0，)，所以B= .6分 3 (2)(i)由SBc=SAD+SCD可得 一8分 即5ac=a+c. —10分 因为a+c22c,所以c之2c,即ac之号当且假当a=c= 时取等 3 所以8，esnB5c≥，当且仅当a=c之时，S取到最小值 3 3 3 —13分 (ii) 由余弦定理可知6=i+e2-ac=(a+e-ac=3(am-c=3ac习子 15分 因为函数y= 上单调递增， 4 2 所以当且仅当ac=4,即a=c= 3 时() 因此4AC的最小值为2V3 -17分 3 19. (1) (线线垂直与线面垂直转化) 由题意得AE=L,AF=2,∠EAF=60°， 所以EF=√AE2+AF2-2AE·AF cos60°=√5， 此时AE2+EF2=AF2,所以AE⊥EF,即EB⊥EF, 平面A'EF⊥平面BCFE 平面A'EF∩平面BCFE=EF 因为 所以BE⊥平面A'EF BEC平面BCFE BE⊥EF 因为A'Fc平面A'EF,所以BE⊥A'F. (2)同(1)得A'E⊥平面BCFE, 所以A'F在平面BCFE的投影为直线EF, ∠A'FE是直线A'F与平面BCFE所成的角， 所以sim∠A'FE=4'E=1 AF 2 (3)假设存在P满足要求，作PH⊥BE交BE于H点，连接EH EF⊥EB EF⊥A'E 因为 A'E,EBC平面A'BE' A'E∩EB=E 所以EF⊥平面A'BE, 因为EB,EPc平面A'EF, 所以EF⊥EP,EF⊥EB, 所以∠PEB是二面角P-EF-B的平面角. 此时EP为∠A'EB的角平分线， BP BE 由角平分线定理得： =2, A'P AE 所以即-号48-号E+EB-2 2025学年第二学期高一期末质量评价题库 数学（B类） 本题库共4页，19小题．建议做题时间120分钟． 答题须知： 1．答题前，请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、题库答题卡号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在题库上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠．不要弄破． 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，则（ ▲ ） A． B． C． D． 2．设，则（ ▲ ） A． B． C． D． 3．设直线a，b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则与b（ ▲ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．可能相交，也可能异面 4．现有一组数据：1，3，4，4，4，6，6，若在这组数据中删去一个4，则发生变化的统计量是（ ▲ ） A．平均数 B．中位数 C．标准差 D．极差 5．已知事件A，B相互独立，且，，则（ ▲ ） A．0.12 B．0.58 C．0.7 D．0.82 6．若，为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（ ▲ ） A．，的夹角为 B．，的夹角为 C． D． 7．满足，，的恰有两解，则实数的取值范围是（ ▲ ） A． B． C． D． 8．已知三棱锥的六条棱长分别为，，，，，，则三棱锥的外接球半径为（ ▲ ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列说法正确的是（ ▲ ） A． B．在复平面上对应的点在第二象限 C． D．是方程的根 10．从某班级中随机抽取2名同学，调查他们的出生月份．设事件“2人恰好同一月份出生”，事件“2人出生月份互不相同”，事件“至少1人在上半年出生”．则下列说法正确的是（ ▲ ） A． B． C．事件与是对立事件 D．事件与相互独立 11．如图，正方体的棱长为2，点为的中点，动点P，Q满足，，且，，则下列说法正确的是（ ▲ ） A．若，则直线与平面可能平行 B．若，则平面截该正方体的截面可能是三角形 C．若，，则平面截该正方体的截面是五边形 D．若，则点到线段距离的最小值为 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上． 12．在正四棱台中，，高为4，则该棱台的体积为 ▲ ． 13．已知正方形，在中任取两个向量，能构成一个基底的概率是 ▲ ． 14．已知等边的边长为2，，，则的最小值为 ▲ ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在平行四边形中，，，，E，F分别是，中点，设，． （1）用向量，表示，； （2）求向量与的夹角的余弦值． 16．（本小题满分15分）在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，． （1）若为的中点，求证：平面； （2）求点到平面的距离． 17．（本小题满分15分）2026年3月温州龙湾半程马拉松顺利举办，为了解大众跑者完赛水平，从本次龙湾半马完赛选手中随机抽取100名选手，统计其完赛时间（单位：分钟），绘制频率分布直方图． （1）求的值，并利用频率分布直方图估计这100名选手完赛时间的第一四分位数（计算结果保留一位小数）； （2）赛事规定：完赛时间在110分钟内的选手可获得纪念奖章．用频率估计概率，求任意2名完赛选手中至少有1人获得纪念奖章的概率． 18．（本小题满分17分）在中，． （1）求； （2）设的角平分线交于点，且． （ⅰ）求面积的最小值； （ⅱ）求的最小值． 19．（本小题满分17分）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $