精品解析：四川省南充市高坪中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学理试题

高坪中学2023年春高2021级高二下期第一次月考 数 学（理） （满分150，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把抛物线的方程化为标准形式，即可求解. 【详解】因为抛物线，所以抛物线，所以抛物线的焦点在轴上，则焦点坐标为. 故选：D. 2. “”是“曲线表示椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】因为曲线为椭圆， 所以，解得且， 所以“”是“且”的必要而不充分条件. 故选：B 3. 若二面角的大小为120°,则平面与平面的法向量的夹角为(　　) A. 120° B. 60° C. 120°或60° D. 30°或150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据法向量的夹角和二面角的关系，即可确定答案. 【详解】二面角为120°时，则其法向量的夹角可能是60°，也可能是120°. 如下图，法向量夹角为120°，若其中一个法向量方向相反，则法向量夹角为60°. 故选：C 4. 已知是椭圆上的一个点，、是椭圆的两个焦点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的值，利用椭圆的定义可求得结果. 【详解】在椭圆中，，则. 故选：B. 5. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 利用可得，逐一检验即可得正确选项. 【详解】对于选项A：，故选项A不正确； 对于选项B：，故选项B不正确； 对于选项C：，所以，所以，故选项C 正确； 对于选项D：，故选项D不正确； 故选：C 6. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题可得，即，由此即可求出离心率. 【详解】直线的斜率为， 由题意，得，所以， 所以， 所以双曲线的离心率. 故选：D. 7. 以轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点，且与轴垂直的弦）长为，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴设抛物线方程为或，根据通径求出即可求解. 【详解】因为抛物线对称轴为轴， 所以设抛物线方程为或， 因为抛物线的通径为，所以，， 所以抛物线方程为或. 故选：C 8. 长方体中，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 则，， . 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 9. 已知抛物线的准线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于P、Q两点，则（是椭圆的右焦点）的周长为（ ） A. B. 24 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的准线过椭圆的左焦点求出，得椭圆的长轴长，而的周长等于两倍的长轴长． 【详解】由题意抛物线准线为，，∴，解得． ∴，，∴的周长为． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线的准线方程，考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，解题关键是求出值． 10. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点代入方程，两式相减得到，得到直线斜率，解得直线方程. 【详解】设交点分别为，，则，， 两式相减得到，即，解得. 故直线方程为：，即. 故选：D. 11. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据是面积为的等边三角形求出，再求出点P坐标，代入椭圆中，结合，解方程组，求出答案. 【详解】由题意得：，且，因为是面积为的等边三角形，所以，解得：，过点P作PM⊥于点M，所以，，所以，将P点代入椭圆方程中得：，又，解得：. 故选：C 12. 已知点、是双曲线C：的左、右焦点，P是C左支上一点，若直线的斜率为2，且为直角三角形，则双曲线C的离心率为( ) A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和勾股定理利用即可得离心率. 【详解】∵直线的斜率为2，为直角三角形， ∴，又， ∴，. ∵，即， ∴. 故选：B. 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知平面的法向量分别为，，若，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】由平面互相垂直可知其对应的法向量也垂直，然后用空间向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】∵， ∴平面的法向量互相垂直， ∴，即，解得, 故答案为：. 14. 若双曲线的焦距为，则_________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可知，再结合焦距为，即可求解. 【详解】因为双曲线的标准方程为，所以， 又焦距，所以， 因为，所以， 故答案为：2 15. 已知点，动点满足条件，则动点的轨迹方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可知轨迹为双曲线的右支，解出a，b的值即可求得方程. 【详解】解：由， 结合双曲线定义可知动点P的轨迹为以为焦点的双曲线右支， 在双曲线中 ， . 所以轨迹方程为：. 故答案为：. 16. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，过作垂直轴的直线交椭圆于两点，点在轴上方.若，的内切圆的面积为，则直线的方程是_____________________ . 【答案】 【解析】 【分析】利用，的内切圆的面积为求出a、b、c，得到的坐标，即可求出直线的方程. 【详解】椭圆中,令,得， 所以. 又△ABF2的内切圆面积为,即所以内切圆半径. 由椭圆的定义可得△ABF2的周长为4a,而△ABF2的面积为，即. 又，解得： 则，所以直线AF2的方程是，即为3x+4y-3=0. 故答案为：3x+4y-3=0 三、解答题（17题10分，18—22题每小题12分，共70分） 17. （1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程； （2）求离心率，经过点的双曲线标准方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接得出后求解 （2）待定系数法设双曲线方程，列方程组求解 【详解】（1）由题意得，故，椭圆标准方程为 （2）①若双曲线焦点在x轴上，设其方程为，由题意，而 故，由解得，故双曲线标准方程为 ②若双曲线焦点在轴上，设其方程为，同理，此时将代入后方程无解 综上，双曲线标准方程为 18. 如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点. （1）求抛物线的方程； （2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值. 【答案】（1）圆 的圆心坐标为， 即抛物线的焦点为,……………………3分 ∴ ∴抛物线方程为……………………6分 1. 由题意知直线AD的方程为…………………7分即代入得=0 设，则， ……………………11分 ∴ 【解析】 【分析】（1）设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果； （2）先由题意得出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再由为圆的直径，即可求出结果. 【详解】（1）设抛物线方程为， 圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴． 抛物线的方程为：； （2）依题意直线的方程为 设，，则，得， ，． ． 【点睛】本题主要考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出结果，属于常考题型. 19. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离． 【答案】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形是矩形，， 所以四边形是正方形， 所以， 又平面，平面，， 所以平面，又因为平面， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）证明、，由线面垂直的判定定理可证明平面，即证； （2）由勾股定理求出△ACD1各个边长，设点到平面的距离为，由即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，，为的中点， 所以，，，， 所以，， 设点到平面的距离为， 由可得：， 即， 解得：， 所以点E到面ACD1的距离为. 20. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点． （1）求证：面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】 (1)以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ． 则，，． 设平面的法向量是，则，即 令，则，．于是． ，． 又平面，平面． (2) ； (3)假设存在满足题意的点，且：， 设点N的坐标为，据此可得：， 由对应坐标相等可得， 故，由于平面的一个法向量， 由题意可得： 解得：， 据此可得存在满足题意的点，且的值为. 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量即可证明平面； （2）分别求出平面与平面的法向量，利用法向量的夹角即可得出； （3）假设存在，利用线面角的夹角公式即可得出表达式，解方程即可。 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为．则， 即据此可得平面的一个法向量, 设二面角的平面角大小为，易知： 则，即． 二面角的正弦值为． （3）略 【点睛】熟练掌握建立空间直角坐标系利用平面的法向量即可证明平面、平面与平面的法向量的夹角求出二面角、线面角的夹角公式是解题的关键，属于中档题。 21. 已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为1的直线与椭圆交于不同的两点，，求的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设可得且，结合椭圆参数关系求，即可得椭圆的方程； （2）设直线为，联立抛物线整理成一元二次方程的形式，由求m的范围，再应用韦达定理及弦长公式求关于m的表达式，根据二次函数性质求最值即可. 【小问1详解】 由题设，且，故，，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线为，联立椭圆并整理得：， 所以，可得，且，， 所以且， 故当时，. 22. 已知椭圆：的离心率为，且点为椭圆上一点. （1）求椭圆的方程. （2）已知，直线：交椭圆于A，B两点，证明：直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件可得，，解出即可； （2）设，，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理得到，，然后由算出答案即可. 【小问1详解】 由题意，，， 解得，， 因此椭圆的方程为； 【小问2详解】 证明：直线的方程为， 设，，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为. 由消去，得， 易知，得，， 所以直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高坪中学2023年春高2021级高二下期第一次月考 数 学（理） （满分150，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“曲线表示椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若二面角的大小为120°,则平面与平面的法向量的夹角为(　　) A. 120° B. 60° C. 120°或60° D. 30°或150° 4. 已知是椭圆上的一个点，、是椭圆的两个焦点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 以轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点，且与轴垂直的弦）长为，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（　　） A. B. C. 或 D. 或 8. 长方体中，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线的准线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于P、Q两点，则（是椭圆的右焦点）的周长为（ ） A. B. 24 C. D. 16 10. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知点、是双曲线C：的左、右焦点，P是C左支上一点，若直线的斜率为2，且为直角三角形，则双曲线C的离心率为( ) A. 2 B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知平面的法向量分别为，，若，则的值为___． 14. 若双曲线的焦距为，则_________ 15. 已知点，动点满足条件，则动点的轨迹方程为___________. 16. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，过作垂直轴的直线交椭圆于两点，点在轴上方.若，的内切圆的面积为，则直线的方程是_____________________ . 三、解答题（17题10分，18—22题每小题12分，共70分） 17. （1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程； （2）求离心率，经过点的双曲线标准方程． 18. 如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点. （1）求抛物线的方程； （2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值. 19. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离． 20. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点． （1）求证：面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 21. 已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为1的直线与椭圆交于不同的两点，，求的最大值. 22. 已知椭圆：的离心率为，且点为椭圆上一点. （1）求椭圆的方程. （2）已知，直线：交椭圆于A，B两点，证明：直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $