广东省佛山市2025-2026学年下学期高一数学期末冲刺模拟卷（考试范围：人教A版必修第一册第五章、人教A版必修第二册）

**基本信息** 立足高一数学核心内容，融合佛山徒步、牛皮鼓工艺等地方文化与布洛卡点数学史情境，梯度设计突出空间想象、数据分析及逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58分|复数、向量、三角函数、解三角形、统计|第5题以气象数据判断入夏，考查统计量实际应用；第10题结合佛山徒步数据，对比分析扇形与条形图| |填空题|3/15分|三角函数定义、向量做功、正四棱台与正方体|第14题通过储物盒旋转问题，融合空间几何与最值思想| |解答题|5/77分|立体几何证明、统计直方图、三角函数综合、翻折问题、布洛卡点探究|第19题引入布洛卡点定义，层层递进考查解三角形与不等式证明，体现数学文化与逻辑推理；第18题翻折问题综合空间垂直证明与线面角最值，培养直观想象|

广东省佛山市2025-2026学年下学期高一数学期末冲刺模拟卷 考试范围：人教A版必修第一册第五章、人教A版必修第二册 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以复数z的共轭复数是 2．已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（     ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由向量与向量共线，且向量不共线， 得，所以. 3．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变）， 可得的图象， 令，得，可得， ． 4．已知中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合二倍角公式及正弦定理求出，再由余弦定理求出或，讨论舍去即可求出答案. 【详解】由，得， 所以. 由余弦定理，得， 解得或. 若，则，得，又由且，得， 所以，与矛盾； 若，由余弦定理得， 又，且， 所以，符合题意． 综上所述，. 5．气象学上判定春季进入夏季的标准为：当某地连续5天的日平均气温达到或超过时，便将这5天中的第一天定为夏季的开始.已知甲、乙、丙3个地区某连续5天日均气温的数据特征如下： 甲地：中位数是27，平均数是26. 乙地：最高气温31，平均数是26，方差是10.4. 丙地：中位数是24，众数是22. 则由此判断一定进入夏季的地区是（    ） A．乙地 B．丙地 C．甲地，乙地 D．乙地，丙地 【答案】B 【详解】设5天气温从小到大排列为. 甲地：中位数，平均数. 因中位数大于平均数，所以必有，可构造，不一定入夏，如21,26,27,28,28. 乙地：5天平均气温为26，总和为，方差，故气温与均值差的平方和为. 假设存在一天气温为21（低于22），与均值差为，平方为25， 最高气温31, 剩余天平方和只需，又因为. 所以完全可以构造出五个数满足总和130,方差10.4,最大为31的数值， 因此乙地不能保证每天气温，不一定进入夏季，如21,25,26,27,31. 丙地：中位数，众数，，故； 众数为，则，5天均，一定入夏. 6．已知的内角 ，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得：，所以， 所以. 7．牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为 cm，鼓身高度为 cm，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为 cm，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将牛皮鼓抽象成两个完全相同的圆台拼接而成的组合体，利用台体的侧面积和圆的面积公式分别计算侧面积和底面积求和. 【详解】由题可知，牛皮鼓是两个完全相同的圆台底面对底拼接而成， 其中一个圆台，上底面半径 ，下底面半径，高为. 圆台的母线长为，则， 圆台侧面积为 ，上底面积为， 所以牛皮鼓的表面积为 . 8．在和中，B是的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，为方向的单位向量，进而表示相关向量，利用已知边长关系求出，代入求出，进而利用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】设，为方向的单位向量， B是的中点，，故， 由得， 解得， 又， 则， 故， 故． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，为的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】，共轭复数，则 ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 10．佛山50公里徒步自2016年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加，到2025年，现场参与人数为45万人，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示.下面分别为2016年佛山50公里徒步参与人数的扇形统计图（图1）、2025年佛山50公里徒步参与人数的条形统计图（图2，单位：万人），已知2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则（   ） A．2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万 B．2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和 C．五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是三水线 D．五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线 【答案】ABD 【分析】根据扇形图及条形图得出5条线路的各个数据，再结合选项分别判断即可. 【详解】因为2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则2016年的高明线的参与人数是万人， 对于A：根据扇形图得出万，所以2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万，A选项正确； 2016年佛山50公里徒步高明线，三水线，禅城线，顺德线，南海线参与人数分别为：万，万，万，万，万， 2025年佛山50公里徒步高明线，三水线，禅城线，顺德线，南海线参与人数分别为：万，万，万，万，万， 对于B：因为，2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和，B选项正确； 对于C：五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是高明线，C选项错误； 对于D：南海线的参与人数2025年与2016年相比增长率，顺德线的参与人数2025年与2016年相比增长率， 禅城线的参与人数2025年与2016年相比增长率，三水线的参与人数2025年与2016年相比增长率， 高明线的参与人数2025年与2016年相比增长率，所以五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线，D选项正确； 故选：ABD. 11．已知中，与均为锐角，的面积为，且，则（） A． B． C．周长为 D． 【答案】ACD 【分析】利用和角公式结合已知等式推出，再由面积、正弦定理求边长，通过平方变形计算，逐一判断选项正误. 【详解】由，可得. 因为， 所以， 则， 即. 因为与均为锐角，所以 当时，此时，. 当时，， 此时，，则， 且，，则， 此时与不能同时成立，同理，也不成立， 综上 ， 选项A正确. 因为，则，由可得成立， 又，则， 成立， 此时， 由正弦定理：，，即， 故. ，，即，所以，，选项B错误. ，选项D正确. 因为， 所以，所以周长选项C正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则________． 【答案】 【分析】利用任意角三角函数的定义得出角的正切值和余弦值，再结合二倍角的余弦公式即可求解． 【详解】由三角函数的定义得， 则， 所以. 13．一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为___________ 【答案】2 【分析】根据向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知，， 所以. 14．有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________． 【答案】 【分析】由题意可知若一个正方体可以在盒内任意旋转,则正方体的外接球直径不超过正四棱台内切球的直径.则此题转化成求正四棱台内切球半径.分情况讨论：当内切球与棱台的上、下底面相切时，半径即为棱台高的一半；当内切球与棱台的腰相切时，利用三角形相似可求得内切球半径. 【详解】 将正四棱台的四条侧棱延长交于一点，形成一个正四棱锥，作出截面（如图） 正四棱台的上、下底面为正方形，且上、下底面面积分别为4和64， 则上底边长为2，下底边长为8.即. 侧面梯形的高为6,则，所以棱台的高. 若一个正方体可以在盒内任意旋转,则正方体的外接球直径不超过正四棱台内切球的直径. 当内切球与棱台的上、下底面相切时，内切球半径； 当内切球与棱台的侧面相切时（如图），假设 由，则， 即，得,则，. 又，，即，解得 ，正四棱台内切球的半径,即正方体外接球半径. 此时正方体的边长为，则正方体棱长的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在四棱锥中，， ，，E为棱 的中点，平面 ． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明：由，，E为棱的中点， 则且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面平面，所以平面； (2)证明：由平面平面，得， 连接，由且，    所以四边形 为平行四边形，又 ， 所以平行四边形 为正方形，所以， 又 ，， 又平面，平面， 平面，所以平面平面 . 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得 平面 ，结合面面垂直的判定定理即可证明； 【详解】（1）略 （2）略 16．（15分）某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：）数据进行统计分析，将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求该市这40天中PM2.5日均浓度低于的天数； (3)估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）． 【答案】(1) (2)天 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中，长方形的面积和为1，计算a的值； （2）根据频数等于频率和总数的乘积计算即可； （3）利用每组中间值和频率的乘积之和计算平均数． 【详解】（1）由可得：， 故； （2）低于的组为，，， 对应的频率和为：， 天数为：（天）； （3）各组中间值分别为：25，35，45，55，65， ． 17．（15分）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式在上的解集； (3)对于任意的，关于x的不等式≥0恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式得到，结合周期公式和整体代换即可求解； （2）由（1）得到再结合正弦函数性质即可求解； （3）通过分离参数得到，再结合的值域和基本不等式即可求解. 【详解】（1）易知 ． 令，可得， 所以的单调递增区间为； （2）由可得，整理可得． 因为，所以． 根据正弦函数的性质可知要使，应满足， 解得． 所以不等式在上的解集为． （3）因为，所以，得到， 所以，又因为不等式恒成立， 得到，因为， 当且仅当，即时取等号，因此， 所以实数m的取值范围是. 18．（17分）如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，其中为动点. (1)当平面平面时， （i）求证：；     （ii）求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)（i）证明见解析（ii）2 (2) 【分析】（1）由条件先证明，再由平面平面，由面面垂直的性质定理可以得到平面，即可证明；（ii）又由，根据线面垂直的判定定理可以得到平面，即可知点到平面的距离即为； （2）取的中点，的中点，首先确定点在平面上的射影为在直线上，分析得到只研究在上或在左侧的情况，过作，得到的表达式，通过换元，利用基本不等式即可求出直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【详解】（1） （i）梯形中，，，， ，. 取的中点，连接，易知四边形为正方形， ，可知. ，. 平面平面，平面平面，平面 平面，平面，； （ii），，，平面， 平面，点到平面的距离为； （2） 取的中点，的中点，连接可知. 由（1）知. 设点在平面上的射影为，则由， 可得，从而，在直线上. 设直线由平面所成的角为，则. 可知分别在左右对称位置时，长度相同， 而当在右侧时，较长，此时较小， 因此只需考虑在上或在左侧的情况. 过作，则， 设，则，， ，， ， ，. 设，则， ， ，，当且仅当， 即时取等号，， 直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 19．（17分）布洛卡点是三角形内部的一个特殊的点，由法国数学家亨利•布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角．如图，在中，记它的三个内角分别为，，，其对边分别为，，，的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题： (1)若，且，求； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形．求证：． 【答案】(1) (2)24 (3)在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得 ， ， ， 三式相加可得：①； 在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得： ， 在和内，同理， 于是， 因为， 由等比性质得②， 由①②得 即， 因为， 所以. 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和，可得，从而求得，得到 的值； （2）由三角形面积公式，可得，在，，中，分别利用余弦定理，并三式相加整理得，从而求得； （3）由同角三角关系的商数关系，进行切化弦，在内，利用余弦定理及三角形面积公式可得：；同理在，和内，可得，根据比例的性质进行化简即可证明. 【详解】（1）， 又， ，. 所以， ，所以. （2） ， 所以， 在，，中，分别由余弦定理得： ，，， 三式相加整理得， 即，故； （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省佛山市2025-2026学年下学期高一数学期末冲刺模拟卷 考试范围：人教A版必修第一册第五章、人教A版必修第二册 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2．已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（     ） A． B．6 C． D． 3．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 4．已知中，角所对的边分别为，若，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 5．气象学上判定春季进入夏季的标准为：当某地连续5天的日平均气温达到或超过时，便将这5天中的第一天定为夏季的开始.已知甲、乙、丙3个地区某连续5天日均气温的数据特征如下： 甲地：中位数是27，平均数是26. 乙地：最高气温31，平均数是26，方差是10.4. 丙地：中位数是24，众数是22. 则由此判断一定进入夏季的地区是（    ） A．乙地 B．丙地 C．甲地，乙地 D．乙地，丙地 6．已知的内角 ，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 7．牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为 cm，鼓身高度为 cm，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为 cm，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的表面积为（     ） A． B． C． D． 8．在和中，B是的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，为的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．佛山50公里徒步自2016年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加，到2025年，现场参与人数为45万人，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示.下面分别为2016年佛山50公里徒步参与人数的扇形统计图（图1）、2025年佛山50公里徒步参与人数的条形统计图（图2，单位：万人），已知2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则（   ） A．2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万 B．2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和 C．五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是三水线 D．五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线 11．已知中，与均为锐角，的面积为，且，则（） A． B． C．周长为 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则________． 13．一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，则对该物体所做的功为___________ 14．有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6，若一个正方体可以在盒内任意旋转，则该正方体的棱长的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在四棱锥中，， ，，E为棱 的中点，平面 ． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 16．（15分）某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：）数据进行统计分析，将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求该市这40天中PM2.5日均浓度低于的天数； (3)估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）． 17．（15分）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式在上的解集； (3)对于任意的，关于x的不等式≥0恒成立，求实数m的取值范围． 18．（17分）如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，其中为动点. (1)当平面平面时， （i）求证：；     （ii）求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 19．（17分）布洛卡点是三角形内部的一个特殊的点，由法国数学家亨利•布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点．其定义如下：设是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角．如图，在中，记它的三个内角分别为，，，其对边分别为，，，的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下各题： (1)若，且，求； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形．求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $