平面向量的坐标运算期末复习专题2025-2026学年高一下学期人教A版必修二

**基本信息** 聚焦平面向量坐标运算及应用，通过题型分类构建从基础运算到数量积应用的逻辑链条，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |坐标运算|3题|直接考查向量加减、数乘的坐标计算|向量坐标表示的基础应用| |数量积计算|2题|结合几何图形（平行四边形）考查数量积|坐标运算延伸至数量积定义| |投影向量|2题|已知向量求投影向量及参数|数量积几何意义的应用| |模长问题|2题|利用模长公式求参数或模长|数量积与模长公式的关联| |夹角问题|2题|求夹角余弦值及钝角条件（含参数范围）|数量积与夹角公式的综合| |垂直与平行|2题|利用坐标条件判断垂直和平行求参数|向量位置关系的坐标表示|

期末复习专题 平面向量的坐标运算【解析】 题型一 平面向量的坐标运算 1．已知平面向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．向量，，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 3．已知点，，若点满足，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】设出点的坐标，得出，，利用即可求出点的坐标. 【详解】由题意，，， 设点的坐标为， ∴，， ∵点满足， ∴，解得， ∴. 题型二 平面向量数量积的计算 4．已知向量，，则__________. 【答案】 【详解】因为，，所以， ， 则. 5．在平行四边形中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题利用向量的加减法则和向量乘法计算公式计算即可. 【详解】， ， . 题型三 投影向量的问题 6．已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】已知，， 则在上的投影向量为，故C正确. 7．已知，，在上的投影向量的坐标为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】，得，即，解得. 题型四 向量中模长的问题 8．已知，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算及模的坐标计算公式即可求解． 【详解】由得，， 所以． 9．已知向量，满足，，与的夹角为，则 ． 【答案】2 题型五 向量中夹角的问题 10．已知，，若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角的向量表示及向量共线求解即可. 【详解】由题意可知且向量，不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围为. 11．已知向量，则___________． 【答案】 【详解】由题意可知， 所以. 题型六 向量中的垂直与平行的问题 12．向量，则实数的值为__________. 【答案】 13．已知点，，向量，若，则实数______. 【答案】2 【分析】由点，，可得的坐标，结合向量平行的公式，可列出关于的方程，解方程即可. 【详解】由题意，点，，可得， 因为，且， 所以，解得. 【历年真题】 1．已知向量 ， .那么“”是“ ”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先由向量平行求出,再讨论充要性． 【详解】向量， ， ，则解之得, 则“”是“”的充分而不必要条件. 即向量 ,.那么“”是“ ”的充分而不必要条件. 故选：A． 2．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得； 【详解】解：因为，，且， 所以，解得； 故选：D 3．已知向量 ，若 ，则 （      ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 4. 已知向量，，且，则___________. 【答案】-1 5．和垂直的一个单位向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，，结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于、的方程组，即可得解. 【详解】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，， 所以，解得或， 故或，结合选项可知选项B即为所求. 故选：B 6.已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 7. 对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量“迷你向量”. （1）若，，是的“迷你向量”，求实数的取值范围； （2）一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）.蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第次后停留的位置记为，设.记事件“蚂蚁经过的路径中至少有个使得是的迷你向量”.（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的） ①当时，求； ②证明：. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积坐标运算公式计算不等式即可； （2）①应用列举法计算古典概型即可；②应用古典概型证明即可. 【小问1详解】 是的“迷你向量”， ，解得. 【小问2详解】 ①如图，当时，能使得是的迷你向量的共有四个，即， 要想使得经过的路线中至少有其中3个点，则路径必经过点 故只需要考虑所有最短路径中经过点的条数即可. 先考虑总共最短路径条数：最短路径一共6步，其中三步向上，三步向右，也即是在6步中选择三步向上， 其余三步向右故可以用这样样本点组成的样本空间描述最短路径的走法： “123”代表前三步向上，剩下三步向右； “246”表示第二、第四、第六步向上，其余三步向右； {123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456}， 总共的最短路径条数，； {156，256，356，456},故经过包含的路径条数为4，， 因为选择每条路径都是等可能的，故试验为古典概型， . ②同理，总共的最短路径条数为 经过包含的路径条数为，试验为古典概型， . 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题 平面向量的坐标运算 题型一 平面向量的坐标运算 1．已知平面向量，则（   ） A． B． C． D． 2．向量，，，，则（   ） A． B．2 C． D． 3．已知点，，若点满足，则点的坐标为______． 题型二 平面向量数量积的计算 4．已知向量，，则__________. 5．在平行四边形中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 题型三 投影向量的问题 6．已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 7．已知，，在上的投影向量的坐标为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型四 向量中模长的问题 8．已知，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 9．已知向量，满足，，与的夹角为，则 ． 题型五 向量中夹角的问题 10．已知，，若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．已知向量，则___________． 题型六 向量中的垂直与平行的问题 12．向量，则实数的值为__________. 13．已知点，，向量，若，则实数______. 【历年真题】 1. 设，向量，，则是的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D．2 3．已知向量 ，若 ，则 （      ） A． B． C．1 D．2 4. 已知向量，，且，则___________. 5. 和垂直的一个单位向量的坐标可以是（ ） A B. C. D. 6.已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（ ） A. B. C. D. 7. 对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”. （1）若，，是的“迷你向量”，求实数的取值范围； （2）一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）.蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第次后停留的位置记为，设.记事件“蚂蚁经过的路径中至少有个使得是的迷你向量”.（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的）①当时，求； ②证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $