1.1.2集合的基本关系（6个考点+5道例题+30分钟限时训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的基本关系核心知识点，承接集合的表示方法，为后续集合运算、不等式解集包含关系奠定基础。系统梳理子集、真子集、集合相等的概念，子集个数公式，包含关系传递性及元素与集合符号区分，构建完整学习支架。 资料以考情分析明确重难点，典型例题涵盖关系判断、个数计数、参数求解等题型，高频易错点总结针对性强。通过概念抽象培养数学眼光，参数问题推理发展数学思维，符号规范训练提升数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第一章 集合及常用逻辑用语 1.1.2 集合的基本关系 典型例题精讲与详细分析 例题1 判断集合间的包含关系 题目：判断下列各组集合的关系 （1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4} （2）A={x|x>2}，B={x|x>1} （3）A={0}，B=∅ 解析： （1）集合A所有元素都在B中，并且B有多余元素，所以A是B的真子集。 （2）所有大于2的数一定大于1，因此A真包含于B。 （3）空集不含元素，{0}含有元素0，空集是{0}的子集，二者不相等。 例题2 子集、真子集个数计数 题目：写出集合M={1，3，5}的所有子集、真子集，并统计个数。 解析：该集合一共有3个元素。子集一共2³=8个，分别为：空集，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}。 真子集需要去掉集合本身，一共7个。 点评：很多同学列举子集时容易漏掉空集，一定要按照元素个数从零个开始依次列举，做到不重不漏。 例题3 利用集合相等求参数 题目：已知集合A={1，x}，集合B={x²，1}，若A=B，求实数x的值。 解析： 两个集合相等，元素完全相同，可得x=x²。 解方程得x=0或者x=1。 接下来检验集合元素互异性。 当x=1时，集合A={1，1}，元素重复，不符合要求，舍去。 当x=0时，A={1，0}，B={0，1}，满足条件。 综上x=0。 例题4 已知包含关系求参数（本节重难点大题） 题目：已知集合A={x|1≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}，且B⊆A，求实数m的取值范围。 解析：题目给出B是A的子集，必须分两种情况讨论。 第一种情况：B为空集。 当m+1＞2m-1时，解得m＜2，空集一定是A的子集，符合题意。 第二种情况：B不为空集。 首先满足m+1≤2m-1，得到m≥2。 同时要保证B整个区间落在A内部，需要满足左右边界都在集合A之内： m+1≥1，并且2m-1≤5。 联立不等式解得0≤m≤3，结合前提m≥2，得到2≤m≤3。 把两种情况合并，最终m的取值范围是m≤3。 点评：本题最常见的错误是直接默认B不是空集，漏掉空集的讨论，导致答案缺少一部分取值。 例题5 符号辨析易错题 题目：判断下列写法是否正确 （1）0⊆{0} （2）∅∈{0} （3）∅⊆{0} 解析： （1）错误，0是元素，应该用属于符号，不能用包含。 （2）错误，空集是集合，集合与集合之间要用包含，不能用属于。 （3）正确，空集是任何集合的子集。 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第一章 集合及常用逻辑用语 1.1.2 集合的基本关系 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.集合的真子集为个． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查集合的真子集个数的求法，是基础题． 若集合中有个元素，则集合中有个真子集． 【解答】 解：集合的真子集为个． 故选：． 2.已知集合，，则集合的子集个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查集合的运算以及子集个数的求解，属于基础题． 首先求出集合，运用集合的交集运算求出，即可求出子集的个数． 【解答】 解：，又， 则． 所以的子集个数为个． 故选C． 3.已知集合，，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 或 【答案】A  【解析】解：因为，所以或， 当时，，则，不符合题意， 当时，，则，即，，符合题意， 综上所述，的值为． 故选：． 4.设集合，对任意恒成立，则与的关系是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题通过集合关系来考查函数中的恒成立问题，容易忽略对的讨论，应引起足够的重视． 首先化简集合，对任意实数恒成立，则分两种情况：时，易知结论是否成立，时无根，则由求得的范围． 【解答】 解：对任意实数恒成立， 对分类：时，恒成立； 时，需，解得． 综合知， 所以． 因为， 所以． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.设集合，，若，则实数的值可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查集合关系中的参数取值问题，属于基础题． 由题意解集合易得，对进行分类讨论可得的范围，可得答案． 【解答】解：合，， 由，可得， 显然时，，满足题意； 若，可得，要满足，可得， 若，可得，要满足，可得． 综上所述，实数的取值范围为， 故选：． 6.已知集合，，若，则的值可以为(    ) A. B. C. D. 【答案】ABC  【解析】解：， 由可知， 当时：方程变为，无解，故，符合条件； 当时：方程的解为，此时， 需满足， 若，解得； 若，解得， 综上，的值可以为、、． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.设集合，则集合的真子集个数为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查集合的表示，考查集合的真子集个数的求法，属于基础题． 化简集合，进而能求出集合的真子集的个数． 【解答】 解：集合 ， 集合的真子集有个． 故答案为． 8.已知，，若集合，则的值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了集合相等的定义，集合元素的互异性，属于基础题． 由题意可知，求出，的值，进而求出结果． 【解答】 解：集合，且， ，解得，或， 当时，不满足集合元素的互异性，故，， ． 故答案为：． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 记集合，． 若，求的取值范围 若，求的取值范围． 【答案】解：由，得， 解得或， 故的取值范围是 当时，题设显然成立， 此时有，解得 当时，有，解得，或 综上，的取值范围是．  10.本小题分 已知集合，． 求集合； 若，求实数的值． 【答案】解：． ，即， 或． 当时，，，满足条件； 当时，，，不符合集合中元素的互异性，舍去． 综上得． 【解析】本题考查集合的求解，集合之间的基本关系，注意集合元素的互异性，属于基础题． 解一元二次方程即可确定集合； 由，列方程或，即可解得． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第一章 集合及常用逻辑用语 1.1.2 集合的基本关系 资料目录 一．学习目标与考情分析....................................1 二．核心知识点全面梳理....................................2 三、典型例题精讲与详细分析................................3 四、本节高频易错点总结....................................3 五、课堂限时训练..........................................5 一、学习目标与考情分析 本节是集合这一章的核心内容，承接上一节集合的表示方法，是后续集合运算、不等式解集包含关系的基础，在月考、期中测试中属于必考内容，高考常以小题形式出现。 学习重点：子集、真子集、集合相等的概念，能够准确判断两个集合之间的包含关系，会写出一个有限集合的所有子集与真子集。 学习难点：空集是任何集合的子集这一特殊结论；已知两个集合的包含关系求解参数范围；区分子集与真子集，容易遗漏空集造成解题失分。 二、核心知识点全面梳理 知识点1 子集的定义：一般地，如果集合A中的每一个元素，都是集合B中的元素，那么就称集合A是集合B的子集。记作A包含于B，或者B包含A。 简单理解：A里面有的元素，B里面全都有。 重要规定：空集是任何集合的子集。在做含参数的包含问题时，一定要优先讨论集合为空集的情况，这是最容易丢分的地方。 知识点2 真子集的定义：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少存在一个元素不在集合A里面，那么称集合A是集合B的真子集。记作A真包含于B。 通俗解释：A被B完全包住，而且B里面还有多余元素，两个集合不能完全一样。 规定：空集是任何非空集合的真子集。 知识点3 集合相等：如果集合A是集合B的子集，同时集合B也是集合A的子集，那么集合A与集合B相等。两个集合相等的本质条件：两个集合的元素完全一致。常和元素互异性结合在一起考查参数求值。 知识点4 子集个数公式（必考结论）：若一个集合中含有n个元素，那么这个集合： 1.子集总个数为2的n次方个。 2.真子集个数为2的n次方减1个。 3.非空子集个数为2的n次方减1个。 4.非空真子集个数为2的n次方减2个。 注意：计数的时候一定要把空集算进子集里。 知识点5 包含关系传递性 如果A包含于B，B包含于C，那么A包含于C。 如果A真包含于B，B真包含于C，那么A真包含于C。 知识点6 元素与集合、集合与集合符号区分 属于、不属于，只用在元素和集合之间。 包含、真包含，只用在集合和集合之间。 两类符号绝对不能混用，不能出现a⊂A这类错误写法。 三、典型例题精讲与详细分析 例题1 判断集合间的包含关系 题目：判断下列各组集合的关系 （1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4} （2）A={x|x>2}，B={x|x>1} （3）A={0}，B=∅ 例题2 子集、真子集个数计数 题目：写出集合M={1，3，5}的所有子集、真子集，并统计个数。 例题3 利用集合相等求参数 题目：已知集合A={1，x}，集合B={x²，1}，若A=B，求实数x的值。 例题4 已知包含关系求参数（本节重难点大题） 题目：已知集合A={x|1≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}，且B⊆A，求实数m的取值范围。 例题5 符号辨析易错题 题目：判断下列写法是否正确 （1）0⊆{0} （2）∅∈{0} （3）∅⊆{0} 四、本节高频易错点总结 1.求解B⊆A类参数问题时，忘记讨论集合B为空集的情况，造成答案不完整。 2.混淆属于∈和包含⊂两个符号，元素与集合、集合与集合乱用符号。 3.计算子集个数时忘记计入空集，计算真子集时忘记去掉集合自身。 4.忽略集合元素互异性，求出参数后不进行检验。 5.错误认为空集等于{0}，空集不含任何元素，{0}含有一个元素，二者完全不同。 6.在区间包含问题中，端点不等式没有取等号，导致参数范围出错。 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第一章 集合及常用逻辑用语 1.1.2 集合的基本关系 课堂限时训练 考试时长：30分钟　满分：66分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.集合的真子集为个． A. B. C. D. 2.已知集合，，则集合的子集个数为(     ) A. B. C. D. 3.已知集合，，若，则的值为(     ) A. B. C. D. 或 4.设集合，对任意恒成立，则与的关系是(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.设集合，，若，则实数的值可能是(     ) A. B. C. D. 6.已知集合，，若，则的值可以为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.设集合，则集合的真子集个数为          ． 8.已知，，若集合，则的值为          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分记集合，． 若，求的取值范围 若，求的取值范围． 10.本小题分已知集合，． 求集合； 若，求实数的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第一章 集合及常用逻辑用语 1.1.2 集合的基本关系 资料目录 一．学习目标与考情分析...................................1 二．核心知识点全面梳理....................................2 三、典型例题精讲与详细分析................................3 四、本节高频易错点总结....................................3 五、课堂限时训练..........................................5 一、学习目标与考情分析 本节是集合这一章的核心内容，承接上一节集合的表示方法，是后续集合运算、不等式解集包含关系的基础，在月考、期中测试中属于必考内容，高考常以小题形式出现。 学习重点：子集、真子集、集合相等的概念，能够准确判断两个集合之间的包含关系，会写出一个有限集合的所有子集与真子集。 学习难点：空集是任何集合的子集这一特殊结论；已知两个集合的包含关系求解参数范围；区分子集与真子集，容易遗漏空集造成解题失分。 二、核心知识点全面梳理 知识点1 子集的定义：一般地，如果集合A中的每一个元素，都是集合B中的元素，那么就称集合A是集合B的子集。记作A包含于B，或者B包含A。 简单理解：A里面有的元素，B里面全都有。 重要规定：空集是任何集合的子集。在做含参数的包含问题时，一定要优先讨论集合为空集的情况，这是最容易丢分的地方。 知识点2 真子集的定义：如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少存在一个元素不在集合A里面，那么称集合A是集合B的真子集。记作A真包含于B。 通俗解释：A被B完全包住，而且B里面还有多余元素，两个集合不能完全一样。 规定：空集是任何非空集合的真子集。 知识点3 集合相等：如果集合A是集合B的子集，同时集合B也是集合A的子集，那么集合A与集合B相等。两个集合相等的本质条件：两个集合的元素完全一致。常和元素互异性结合在一起考查参数求值。 知识点4 子集个数公式（必考结论）：若一个集合中含有n个元素，那么这个集合： 1.子集总个数为2的n次方个。 2.真子集个数为2的n次方减1个。 3.非空子集个数为2的n次方减1个。 4.非空真子集个数为2的n次方减2个。 注意：计数的时候一定要把空集算进子集里。 知识点5 包含关系传递性 如果A包含于B，B包含于C，那么A包含于C。 如果A真包含于B，B真包含于C，那么A真包含于C。 知识点6 元素与集合、集合与集合符号区分 属于、不属于，只用在元素和集合之间。 包含、真包含，只用在集合和集合之间。 两类符号绝对不能混用，不能出现a⊂A这类错误写法。 三、典型例题精讲与详细分析 例题1 判断集合间的包含关系 题目：判断下列各组集合的关系 （1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4} （2）A={x|x>2}，B={x|x>1} （3）A={0}，B=∅ 例题2 子集、真子集个数计数 题目：写出集合M={1，3，5}的所有子集、真子集，并统计个数。 例题3 利用集合相等求参数 题目：已知集合A={1，x}，集合B={x²，1}，若A=B，求实数x的值。 例题4 已知包含关系求参数（本节重难点大题） 题目：已知集合A={x|1≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}，且B⊆A，求实数m的取值范围。 例题5 符号辨析易错题 题目：判断下列写法是否正确 （1）0⊆{0} （2）∅∈{0} （3）∅⊆{0} 四、本节高频易错点总结 1.求解B⊆A类参数问题时，忘记讨论集合B为空集的情况，造成答案不完整。 2.混淆属于∈和包含⊂两个符号，元素与集合、集合与集合乱用符号。 3.计算子集个数时忘记计入空集，计算真子集时忘记去掉集合自身。 4.忽略集合元素互异性，求出参数后不进行检验。 5.错误认为空集等于{0}，空集不含任何元素，{0}含有一个元素，二者完全不同。 6.在区间包含问题中，端点不等式没有取等号，导致参数范围出错。 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第一章 集合及常用逻辑用语 1.1.2 集合的基本关系 课堂限时训练 考试时长：30分钟　满分：66分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.集合的真子集为个． A. B. C. D. 2.已知集合，，则集合的子集个数为(     ) A. B. C. D. 3.已知集合，，若，则的值为(     ) A. B. C. D. 或 4.设集合，对任意恒成立，则与的关系是(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.设集合，，若，则实数的值可能是(     ) A. B. C. D. 6.已知集合，，若，则的值可以为(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.设集合，则集合的真子集个数为          ． 8.已知，，若集合，则的值为          ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分记集合，． 若，求的取值范围 若，求的取值范围． 10.本小题分已知集合，． 求集合； 若，求实数的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $