25.3 实际问题与一元二次方程 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦“实际问题与一元二次方程”，分几何图形、传播与变化率、循环问题三课时。通过封面设计、传染病传播、排球邀请赛等情境导入，搭建从实际问题到方程模型的学习支架，衔接方程解法与实际应用。 特色在于以真实情境培养数学眼光，如封面设计用面积法建模发展几何直观，传播问题列表格分析数量关系强化推理意识，循环问题区分单双循环深化模型意识。分层例题与变式训练提升学生应用能力，为教师提供结构化教学流程，助力高效课堂。

25.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 几何图形问题 课题 实际问题与一元二次方程——几何图形问题 课型 新授课 教学内容 教材第20-21页 教学目标 1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题． 3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力． 教学重难点 教学重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。 教学难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究】要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 分析： 正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？ 上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？ 若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a㎝，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？ “应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比为9：7，设上下边衬宽为9x㎝，左右边衬宽为7x㎝.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9：7，设正中央的长方形的长为9x㎝，宽为7x㎝.尝试列出方程. 方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义. 解：设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xcm. 则（27-18x）（21-14x）=×27×21. 整理，得16x2-48x+9=0. 解方程，得x=. 当x=时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的宽度。 上、下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm。 拓展：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 2.探索新知，归纳知识 （1）在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决； （2）对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程. 3.学以致用，应用新知 【例1】是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得x1=3，x2=-1（不符合题意，舍去）. 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5. 【例2】用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m， 可得此边的邻边长为(20-x)m；再由矩形的面积为96 m2，得x(20-x)=96. 解方程，得x1=12，x2=8. 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8 m，12 m. 4.随堂训练，巩固新知 （1）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为(　　) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6 C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6 解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6. 答案：B （2）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为______________． 解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，如图，用含x的代数式表示草坪的长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x)(17－x)＝300. 解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300. 答案：答案不唯一，如(22－x)(17－x)＝300. 5.课堂小结，自我完善 利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题。 6.布置作业 课本P21练习。 已知封面及正中央矩形的长度比都是9:7，由此可以推出上、下，左、右边衬宽度之比也是9:7, 这个关系很重要。 教师提出问题，让学生结合画图独立理解并解答问题，培养学生对几何图形的分析能力，将数学知识和实际问题相结合的应用意识。 方程的两个根都是正数，但它们并不都是问题的解。需要根据它们值的大小，判断哪一个更合乎实际。 教师总结，学生体会 理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程。 解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 实际问题与一元二次方程——几何面积问题 从实际问题中构建出用一元二次方程解决面积问题的模型，进而解决与面积相关的整体法和动点问题等。 教后反思 与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好。 第2课时 传播问题及平均变化率问题 课题 实际问题与一元二次方程——传播问题及平均变化率问题 课型 新授课 教学内容 教材第21页的探究1，2内容 教学目标 1.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理． 2．联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键． 教学重难点 教学重点：建立传播问题数学模型，建立平均变化率数学模型，找等量关系，列方程。 教学难点：找等量关系，列方程。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 导语：通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题. 【探究1】某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人? 分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，第一轮传染后共有x+1人患了流感. 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮传染后有[x+1+x(x+1)]人患了流感. 列表格如下： 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2 列式： x+1+x(x+1)=121 得x1=10, x2=-12（不合题意，舍去） 故平均一人传染了10个人. 拓展：如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少分人患流感？ 解：以1人为传染源,3轮传染后的人数是: (1+x)3=(1+10)3=1331. 【探究2】两年前生产1 t甲种药品的成本是10000元，生产1 t乙种药品的成本是12000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是6000元，生产1 t乙种药品的成本是7200元.哪种药品成本的年平均下降率较大? 分析：设甲种药品成本的年平均下降率为x， 则一年后甲种药品的成本为10000（1-x）， 两年后的成本变为10000(1-x)2. 列出方程10000(1-x)2=6000， 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 设乙种药品的年平均下降率是y. 根据题意，列出方程为12000(1-y)2=7200. 解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775(不合题意, 舍去) 乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 比较这两种药品成本的年平均下降额与年平均下降率发现，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定大. 2.学以致用，应用新知 【例1】北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（　　） A．8 B．10 C．7 D．9 答案：B 【例2】有3人患了流感，经过两轮传染后共有300人患流感，若每轮传染中平均每人传染的人数相同（设为x），则第一轮传染后患流感的人数为 ， 第二轮传染后患流感的人数为 ，所以可列方程为 . 答案：3x x（3+3x） 3+3x+x（3+3x）＝300 【例3】某工厂一种产品2024年的产量是100万件，计划2026年产量达到121万件．假设2024年到2026年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2024年到2026年这种产品产量的年增长率； (2)2024年这种产品的产量应达到多少万件？ 分析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2025年产量的表达式即可解决． 解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)． 答：这种产品产量的年增长率为10%. (2)100×(1＋10%)＝110(万件)． 答：2025年这种产品的产量应达到110万件． 3.随堂训练，巩固新知 （1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． ①求每轮传染中平均一个人传染了多少个人？ ②如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 解：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64， 解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人． ②7×64＝448(人)． 答：又将有448人被传染． （2）月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂．现有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73.求每个支干长出多少小分支？ 解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意，得1＋x＋x2＝73， 解得x1＝8，x2＝－9(舍去)． 答：每个支干长出8个小分支． （3）某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为x.根据题意，得 200+200(1+x)+200(1+x)2=950 整理方程，得4x2+12x-7=0， 解这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5. 这个增长率为50%. 5.课堂小结，自我完善 根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理。 6.布置作业 课本P22练习。 教师提出问题，并指导学生进行阅读，独立思考，学生根据个人理解，回答教师提出的问题.弄清题意，设出未知数，并表示相关量，根据相等关系尝试列方程，求根.根据实际问题要求，对根进行选择确定问题的解.教师组织学生合作交流，达到共识。 拓展中的思考问题虽然涉及三轮传播，但只是求值问题，不需要用方程解决。 实际问题中的数量关系比较复杂，更深入认识一元二次方程与现实生活的联系，加强建模思想。 建立数学模型，利用一元二次方程来解决实际问题．读懂题意，正确的列出方程是解题的关键。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 实际问题与一元二次方程——传播问题及平均变化率问题列一元二次方程解应用题的一般步骤 其他问题 传播问题 平均变化率问题 迁移以前方程解决问题的步骤，总结列一元二次方程解决问题的步骤，经历完整的建立一元二次方程解决实际问题的过程。 教后反思 教学过程中，强调利用一元二次方程解应用题的步骤和关键．特别是解有关的传播问题时，一定要明确每一轮传染源的基数。强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍。 第3课时 循环问题 课题 实际问题与一元二次方程——循环问题 课型 新授课 教学内容 教材第23页的探究3内容 教学目标 1．通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤． 2．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准． 教学重难点 教学重点：通过分析问题中的数量关系，建立方程模型解决问题． 教学难点：理解循环问题中“单循环”和“双循环”的区别，准确将实际问题转化为数学方程． 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究】单循环问题 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛一场，受场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他　（x－1）　支球队各赛1场． 思考：赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，也就是一共要比赛　28　场，比赛的总场次用含x的代数式表示为　x（x－1）　场，所以可列得方程　x（x－1）=28　．解方程，得x1=　8　，x2=　－7（不合题意，舍去）　．因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛． 归纳总结：单循环指所有参赛选手只相遇一次，如握手、单循环赛等．总次数=n（n－1），其中n为参与对象的数量． 2.探索新知，归纳知识 【探究】双循环问题 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？ 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛．如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n（n－1）． 解：假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么n（n－1）=300. 解方程，得n=． 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数． 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对． 归纳总结：双循环指所有参赛选手相遇两次，如足球双循环赛、互发邮件等．总次数=n（n－1），其中n为参与对象的数量． 3.学以致用，应用新知 【例1】一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由. 解：设这个多边形是n边形. 根据题意，得n(n−3)/2=20. 解得n1=8，n2=−5（不合题意，舍去）. 故该多边形是八边形. 不存在有18条对角线的多边形.理由如下： 若n(n−3)/2=18,则 n=3±3√17/2. ∵ n不是正整数，∴ 不存在这样的多边形. 【例2】“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛. 解：设共有x支球队参加比赛. 根据题意得x(x-1)=240. 解得x1=16，x2=-15(不合题意，舍去). 答：共有16支球队参加比赛. 4.随堂训练，巩固新知 （1）在某元宇宙平台举办的行业峰会上，每位参会者都通过VR 设备与其他所有参会者进行了一次击拳致意，若系统后台显示共有15次击拳记录，则参加这次会议的人数是___. 答案：6 （2）云南铁路从高原到大海，从中国铁路运输的末梢，逐渐变成面向南亚东南亚的铁路运输枢纽中心.某高铁交通路线从昆明南站出发，最终到达广州南站，若从昆明南站到广州南站共设计了42种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？ 解：设这条线路共有 x 个站点. 根据题意，得x(x−1)=56. 解得x1=8，x2=−7（不合题意，舍去）. 答：这条线路共有8个站点. 5.课堂小结，自我完善 掌握用“循环问题”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题． 6.布置作业 课本P23练习。 以实际问题引入，激发学生兴趣.思考并探究单循环指所有参赛选手只相遇一次，从而进行列方程解决问题. 双循环(互相进行)含义：任意两者之间互相发生两次行为，你来我往. 根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 实际问题与一元二次方程——循环问题 循环问题 用一元二次方程解决循环问题。 教后反思 教学过程中，强调解决循环问题时，区分单循环和双循环的区别，并考虑实际，对方程的根进行取舍。 学科网（北京）股份有限公司 $