1.2 菱形的性质与判定 教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦菱形的性质与判定，通过回顾平行四边形性质引入菱形特殊性，从生活实例出发引导逆向思考判定方法，搭建新旧知识衔接的学习支架。 以“探究-证明-应用”为主线，性质定理让学生独立推理证明培养推理能力，判定定理结合尺规作图发展几何直观，例题变式训练强化数学语言表达，提升学生逻辑思维与应用意识，助力教师高效教学。

2 菱形的性质与判定 课题 第1课时 菱形的性质 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P5-7 教学目标 1.经历菱形性质定理的探索过程，掌握菱形性质的应用，进一步发展合理推理能力。 2.掌握菱形面积的求法。 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。 教学重难点 重点：菱形的性质定理、菱形面积的求法。 难点：菱形性质定理的灵活应用。 教学准备 多媒体课件、直尺、菱形纸片 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.知识回顾，导入新课 在上一节中，我们学习了菱形的定义，知道了菱形具有平行四边形的所有性质.回顾一下，菱形的定义是什么，它有哪些和一般平行四边形相同的性质？ 学生回答：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形，菱形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。 那么菱形还有哪些特殊性质呢？与同伴进行交流. 教师活动：教师提出问题，引导学生思考、交流。 学生回答，老师总结，引出新课。 【归纳总结】 菱形的四条边相等，对角线互相垂直。 如何证明这些结论呢，我们这节课来学习菱形的性质（教师板书课题：第1课时 菱形的性质） 教师通过让学生复习回顾菱形的定义和所具有的平行四边形的性质，巩固所学知识，在此基础上，引导学生重点思考菱形的特殊性。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师活动：得到的“菱形的四条边相等，对角线互相垂直”这两个结论是否正确呢？我们必须加以证明，那么证明的环节有哪些？如何证明这两个性质呢？请同学们先思考。在学生思考、交流的基础上，展示证明过程。 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O。 求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD。 师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示证明的书写过程，师生共同评议。 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）。 又∵AB=AD， ∴AB=BC=CD=AD。 （2）∵AB=AD， ∴△ABD是等腰三角形。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴BO=OD（菱形的对角线互相平分）。 在等腰三角形ABD中， ∵BO=OD， ∴AO⊥BD， 即AC⊥BD。 【归纳总结】 由此得到了菱形的两个性质定理： 定理：菱形的四条边相等。 定理：菱形的对角线互相垂直。 【探究2】 思考·交流： 你是如何发现菱形的特殊性质的？与同伴交流你的经验. 学生回答：“看着像”“用直尺量了”“将菱形沿对角线折叠，发现四边都能重合” 教师活动：“很好！‘看着像’‘量出来’‘折着看’都是我们最初发现性质的方法。这些方法虽然不像证明那样绝对，但它们是数学发现的起点。观察和实验是发现问题的眼睛，逻辑和证明是确认真理的大脑。两者结合，才是完整的数学学习。希望大家在以后学习矩形、正方形时，也能主动运用今天分享的这些“小妙招”。 【教材例题】 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6。 （1）AB和AC的长； （2）求菱形ABCD的面积。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD（菱形的四条边相等）， AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， OB=OD=BD=3（菱形的对角线互相平分）。 在等腰三角形ABD中， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD为等边三角形。 ∴AB=BD=6． 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2， ∴OA===3。 ∴AC=2OA=6（菱形的对角线互相平分）。 （2）菱形ABCD的面积 =△ABD的面积+△CBD的面积 =2×△ABD的面积 =2×BD·AE =2××6×3 =18（cm2）。 教师活动：通过第（2）小问，我们得到菱形面积可以怎样计算？ 学生回答：可以拆分成几个三角形的面积和计算，可以通过对角线进行计算。 教师总结：非常好！大家发现了菱形面积计算的两种重要思路。 第一种是割补法——将菱形分成两个或四个三角形，分别求出面积再相加； 第二种是对角线法——菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半 通过观察得到猜想，然后通过严谨的证明成为定理，才能用来解决其他问题。教学中，定理的证明也可以让学生自己完成，再与教材中的过程对比。无论采用哪种方式，都应鼓励学生先独立思考、分析证明思路。 帮助学生从“被动接受结论”转向“主动回顾发现过程”，从而掌握合情推理的方法，积累探究经验，提升几何直观与交流能力，真正实现“知其然，亦知其所以然，更知其何以知其然”。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 3.学以致用，应用新知 考点1 菱形的四条边相等 例1 边长为3 cm的菱形的周长是（ ） A. 6 cm B. 9 cm C. 12 cm D. 15 cm 答案：C 变式训练 已知菱形ABCD的周长为20 cm，∠A∶∠ABC=1∶2，则BD= cm。 答案：5 考点2 菱形的对角线互相垂直 例2 如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE。 （1）求证：BD=EC； （2）若∠E=50°，求∠BAO的大小。 解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AB，DC=AB。 又∵BE=AB， ∴DC=BE。 ∵DC∥BE， ∵四边形DBEC是平行四边形， ∴BD∥EC。 （2）由（1）可知BD∥EC， ∴∠ABO=∠E=50°。 又∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD。 ∴∠BAO=90°-∠ABO=90°-50°=40°。 变式训练 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中线，连接OM。若AC=4，BD=8，则OM的长为_________。 答案： 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“菱形的四条边相等”的性质，此性质一般跟菱形的周长有关，有时会考查在直角坐标系中应用。 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“菱形的对角线互相垂直”的性质，此性质一般会跟勾股定理或三角形其它性质结合考查。 4.随堂训练，巩固新知 1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 答案：C 2. 如图，菱形ABCD的边长为10，∠A=120°，则点A到BD的距离等于（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 答案：A 3. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC，O为坐标原点，点C在x轴上，点A的坐标为（-3，4），则顶点B的坐标是（ ） A. （-5，4） B. （-6，3） C. （-8，4） D. （2，4） 答案：C 4. 已知菱形的面积为24 cm2，一条对角线长为6 cm，则这个菱形的边长是（ ） A. 8 cm B. 5 cm C. 10 cm D. 4.8 cm 答案：B 5. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4 cm，BD=8 cm，则这个菱形的面积是_________cm2。 答案：16 6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若AD=BD，则BE与AD的数量关系是_______。 答案：AD=4BE 7. 在菱形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD上的中点，连接AP，AQ。 图1 图2 （1）如图1，求证：AP=AQ； （2）如图2，连接PQ，若AP⊥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等于30°的角。 解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D。 ∵P，Q分别是边BC，CD上的中点， ∴BP=BC，DQ=CD， ∴BP=DQ， ∴△ABP≌△ADQ（SAS）， ∴AP=AQ。 （2）由（1）知BP=BC。 ∵AP⊥BC， ∴根据直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，得∠BAP=30°。 ∵△ABP≌△ADQ， ∴∠DAQ=30°， ∴∠B=∠D=60°， ∴∠BAD=∠C=120°。 ∵P，Q分别是边BC，CD上的中点，∴CP=CQ， ∴∠CPQ=∠CQP=（180°-∠C）=（180°-120°）=30°。 综上所述，∠BAP，∠DAQ，∠CPQ，∠CQP的度数为30°。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.菱形的性质： 定理：菱形的四条边相等。 定理：菱形的对角线互相垂直。 2.菱形的面积： 菱形是特殊的平行四边形，所以平行四边形的面积公式同样适用于菱形，即“底×高”，要注意底与高必须是相互对应的。另外由于菱形的特殊性，它的面积等于其两条对角线长的乘积的一半。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P9习题1.2中的T1、T2、T3、T4、T5、T8、T9。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 菱形的性质 一、菱形的性质 二、菱形的面积 投影区 1.定理 2.定理 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课在性质的证明和应用过程中，教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较，优化证明方法，提高学生的逻辑推理能力。 反思，更进一步提升。 课题 第2课时 菱形的判定 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P7-8 教学目标 1.掌握菱形的判定方法，会用这些判定方法进行有关的论证和计算。在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力。 2.尝试从不同角度寻求菱形的判定方法，并能有效地解决问题，尝试比较不同判定方法之间的差异，并获得判定四边形是菱形的经验。 3.理解探索结论和证明结论的过程，掌握合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好习惯。 教学重难点 重点：探索证明菱形的判定方法，掌握证明的基本要求和方法。 难点：明确推理证明的条件和结论，能用数学语言正确表达。 教学准备 多媒体课件、直尺、圆规、长方形纸片。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 上节课我们学习了菱形的定义和性质，请同学们找一找，生活中有哪些地方存在菱形？ 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 教师活动：同学们回答的很好，但是判断一个图形是不是菱形，光靠直观的感受是不够的，在数学上，还需要严格的证明，这节课，我们来学习菱形的判定。（教师板书课题： 第2课时 菱形的判定） 教师活动：同学们观察多媒体中展示的过程，判断四边形ABFE是什么形状？判定的依据是什么？ 学生回答：四边形ABFE是菱形，根据菱形的定义来判定的。 总结：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。实际上菱形的定义本身也是菱形的一种判定方法。 教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。 在菱形定义的基础上，使学生拓展思维，加深对菱形定义的理解。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师活动：除了运用菱形的定义，你认为还有什么条件可以判定一个平行四边形是菱形呢？（先想一想，再与同伴交流） 师生活动：教师板书写出菱形两条性质，引导学生根据菱形的性质考虑菱形的判定方法。 教师活动：我们可以发现：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。同学们能证明这两个结论吗？ 师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析证明思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示证明的书写过程，师生共同评议。 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵AB=BC=CD=AD，∴AB=CD，BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD。 求证：▱ABCD是菱形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC。 又∵AC⊥BD， ∴直线BD是线段AC的垂直平分线。 ∴BA=BC。 ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）。 【归纳总结】 定理：四边相等的四边形是菱形 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 【探究2】 教师活动：我们已经学习了菱形的两个判定定理，现在，我们反过来思考：已知线段a，如何用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC=a。（教师板书一条线段a） 师生活动：教师安排同学们自主尝试，有困难的同学可请教或小组间相互交流。等待大部分学生做完图后，由学生代表上台在黑板上展示作图的方法。 教师活动：教师多媒体展示一种作图方法，并提问：满足（1）中的菱形唯一吗？如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流. 学生活动：与同伴比较所作出的菱形，观察它们是否相同。讨论为什么给定AC=a后菱形还是不唯一。 教师引导总结：因为另一条对角线BD的长度可以变化，只需要固定菱形的边长或对角线BC的值，就可以画出唯一的菱形。 【教材例题】 例2 已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1。 求证：▱ABCD是菱形。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 证明：在△AOB中， ∵AB=，OA=2，OB=1， ∴AB2=OA2+OB2。图3 ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角。 ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）。 通过引导学生从菱形的性质逆向猜想判定方法、独立完成证明并合作交流，旨在培养逆向思维、几何推理能力与自主探究意识。教学时应鼓励学生积极探索，大胆猜想。在此基础上再进行严格的证明。 鼓励学生利用菱形的判定方法，设计制作菱形的方案。教学时不应局限于一种方法，而应放手让学生去思考、操作，鼓励学生展示自己的制作方法。可能有学生会制作出正方形，对此也要予以肯定，同时让学生思考：能否制作出一个不是正方形的菱形？再增加什么样的环节可以变为非正方形的菱形？ 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 3.学以致用，应用新知 考点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 例1 ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BC=5，AC=6，BD=8，则四边形ABCD是（ ） A. 梯形 B. 长方形 C. 菱形 D. 正方形 答案：C 变式训练 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请添加一个条件：______________，使为▱ABCD菱形（不添加任何辅助线） 答案：AC⊥BD（答案不唯一） 考点2 四边相等的四边形是菱形 例2 如图等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA边上的中点，则图中有_________个菱形。 答案：3（提示：菱形ADEF，菱形BDFE，菱形CFDE） 变式训练 四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点。若四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD应满足条件_________。 答案：AC=BD 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理，此定理一般会给出对角线添加判定条件，或在结合勾股定理判定。 通过例题和变式训练的讲解，巩固理解“四边相等的四边形是菱形”的判定定理，此定理一般会与三角形中位线结合考查。 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，下列判断中不正确的是（ ） A. 若AB＝BC，则▱ABCD是菱形 B. 若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 C. 若AC平分∠BAD，则▱ABCD是菱形 D. 若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 答案：D 2. 如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，E，F分别是OA，OC的中点，给出下列结论： ①四边形BFDE是菱形； ②S四边形ABCD＝EF·BD； ③∠ADE＝∠EDO； ④△DEF是轴对称图形。 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案：C 3. 如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是（ ） A. AE＝AF B. EF⊥AC C. ∠B＝60° D. AC是∠EAF的平分线 答案：C 4. 如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF，连接DE，DF，BE，BF。 求证：四边形BEDF是菱形。 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，AD∥BC。 ∴∠DCF＝∠BCF。 ∵CF＝CF， ∴△CDF≌△CBF(SAS)。 ∴DF＝BF。 ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA。 ∴∠DAE＝∠BCF。 ∵AE＝CF，DA＝BC， ∴△DAE≌△BCF(SAS)。 ∴DE＝BF。 同理可证：△DCF≌△BAE(SAS)， ∴DF＝BE。 ∴DF＝BF＝BE＝DE。 ∴四边形BEDF是菱形。 5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF。 （1）求证：AE＝CF； （2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形。 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥CB。 ∴∠DAE＝∠BCF。 ∵DE∥BF， ∴∠DEF＝∠BFE。 ∴∠AED＝∠CFB。 ∴△ADE≌△CBF(AAS)。 ∴AE＝CF。 （2）由（1）知△ADE≌△CBF， ∴DE＝BF。 又∵DE∥BF， ∴四边形EBFD是平行四边形。 ∵BE＝DE， ∴四边形EBFD为菱形。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 菱形的判定： 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 定理：四边相等的四边形是菱形。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P9习题1.2中的T6、T7、T10、T11、T12。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 菱形的判定 一、定义法 二、对角线互相垂直 三、四边相等 提纲掣领，重点突出。 教后反思 课前布置的任务为本节课的探究做了有效的铺垫，提高了学生参与探究的兴趣，在证明思路的分析过程中体会了逆向思维、一题多解等数学思想，另外，学生通过经历“实验—猜想—证明—应用”的探索过程提高了自身的科学素养。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $