第24章 数据的分析（大单元教学设计）数学新教材人教版八年级下册

该初中数学教学设计聚焦“数据的分析”大单元，涵盖集中趋势（平均数、中位数等）、离散程度（方差、极差）、四分位数及数据分组，通过校园跳绳、射击选拔等生活化情境导入，衔接七年级数据整理旧知，构建“收集—整理—描述—分析”完整统计链条。 此资料以情境探究为核心，通过极端数据对比引出中位数等统计量，培养数据观念与模型意识，分层训练强化运算能力，如方差计算规范步骤。实例丰富且贴合生活，助力学生形成用数据决策的思维，为教师提供素养落地的系统化教学支架。

第二十四章数据的分析大单元教学设计 大单元主题背景分析（教材分析） 教材地位与作用 《数据的分析》是八年级下册统计模块的核心大单元，隶属于初中数学“统计与概率”核心领域，在整个初中知识体系中具有承前启后的关键地位.从知识纵向体系来看，本单元是对七年级《数据的收集、整理与描述》的深化与提升。前期学生已学会收集数据、绘制统计图，解决了“怎么呈现数据”的问题；本单元重点解决“如何分析数据、解读数据、依据数据做判断”，完善了收集—整理—描述—分析的完整统计学习链条.同时，本单元是初中统计内容的收官章节，为高中抽样统计、数据分析、概率统计应用等内容打下重要基础，是中小学统计思维衔接的关键环节.从横向教学结构来看，本单元独立承担培养学生数据分析素养的任务，与数与代数、图形与几何内容互补，完善初中数学四大知识领域，是落实新课标应用性教学、生活化教学的重要载体，也是中考必考重点内容. 在教学价值方面，本单元系统学习平均数、加权平均数、中位数、众数等刻画数据集中趋势的统计量，以及方差刻画数据离散程度，帮助学生从单一数据计算走向多角度、辩证化、量化式的数据分析。学生能够根据不同情境合理选择统计量，对比数据优劣、判断数据稳定性，初步建立统计模型意识与数据思维. 在素养育人层面，本章紧密贴合新课标要求，重点培养学生数学抽象、运算能力、逻辑推理与模型意识。通过真实生活情境的数据探究，引导学生摆脱主观判断，学会用数据说话、用数据推理、用数据决策，有效提升学生的数学应用意识和理性思维品质. 综上，本单元兼具基础性、工具性、应用性与素养性，是学生形成完整统计知识体系、发展数据分析核心素养、提升综合实践能力的重要单元. 新课标衔接与核心素养 本章紧扣新课标统计领域教学要求，承接数据收集与整理知识，完成从数据描述到数据分析的进阶，构建完整统计探究学习链条，是初中统计核心育人单元. 数学抽象:从生活繁杂数据中抽象出平均数、中位数、众数、方差等统计模型，提炼数据集中趋势与离散程度的本质特征. 运算能力：精准完成加权平均数、方差的规范运算，提升数据处理的准确性； 逻辑推理：通过样本数据特征推断总体规律，发展合情推理能力；​ 模型意识：建立数据分析模型，运用统计量分析实际问题、作出合理判断与决策，培养用数据说理的数学应用思维. 学情分析 1. 已有基础 知识层面：八年级学生已掌握数据收集、分类整理、统计图表绘制与读取方法，初步接触算术平均数，具备基础的数据感知能力；能力层面：具备基础的计算、图表读取、简单归纳能力，能完成基础数据处理；经验层面：生活中接触平均分、最高最低成绩、成绩波动等场景，对统计概念有生活化认知. 2. 认知障碍 概念混淆：无法区分平均数、中位数、众数的适用场景，混淆集中趋势与离散程度的统计意义；思维局限：习惯机械计算统计量，缺乏数据分析意识，不会根据数据特征解读信息、评价优劣、做出决策；新知薄弱：对新教材四分位数、箱线图、加权权重意义、方差稳定性判断完全陌生；易错突出：忽略极端数据对平均数的影响、不会结合场景选择最优统计量、方差公式套用错误、箱线图要素解读不全. 3. 学习特点 八年级学生具象思维为主、抽象思维逐步发展，对生活化真实统计情境兴趣浓厚，但对抽象统计意义、统计量的对比辨析、综合应用存在畏难情绪，适合采用情境探究、对比辨析、实操建模、分层训练的教学模式. 单元教学目标 知识与技能 理解平均数、加权平均数、中位数、众数的概念，掌握各类集中趋势统计量的计算方法。理解方差的意义，熟练掌握方差运算，能够准确刻画数据的集中趋势与波动程度。能根据实际问题合理选择统计量分析数据，具备基本的数据处理与数据分析技能. 数学思考 经历数据整理、计算、对比、分析的全过程，抽象出数据特征规律。在分析数据差异与稳定性的过程中，发展数学抽象与逻辑推理能力，建立数据分析模型意识，逐步形成用数据思考问题、客观看待问题的统计思维. 问题解决 能够结合生活实际情境，运用统计知识解决数据评价、比较、决策类实际问题。学会通过样本数据分析整体情况，掌握数据分析的基本方法，提升自主探究、合作分析与数学应用解决问题的能力. 情感态度 感受统计知识在生活、学习、社会调查中的广泛应用，体会数学的实用性与价值性。在探究活动中养成严谨求实、尊重数据、理性客观的科学态度，增强主动运用数学知识解决实际问题的意识. 学习活动设计 数据的集中趋势活动一 数据的离散程度活动二 数据的四分位数活动三 数据的分组活动四 学习评价设计 过程性评价 聚焦课堂全程学习表现，贯穿单元教学始终。课堂中评价学生对平均数、中位数、众数、方差概念的理解，观察学生课堂发言、小组合作探究、数据运算、问题辨析的参与度与准确度。课后依托课堂练习、分层作业、情境探究任务，评价学生选取合适统计量分析数据、对比数据波动的能力。同时记录学生学习态度、探究习惯、纠错反思情况，重点关注学生是否形成用数据说理的思维，及时给予针对性反馈，激励学生查漏补缺、稳步提升. 终结性评价 单元学习结束后开展综合评价，以单元检测为主。试题立足基础与应用，涵盖统计量计算、统计量辨析、数据稳定性比较、实际情境数据分析与决策等核心考点。侧重考查学生综合运用本单元知识解决真实生活问题的能力，检验学生数学模型意识与逻辑推理能力.通过检测结果精准判断学生知识掌握短板，结合过程性表现综合评定学生单元学习水平，为后续分层教学、素养提升教学提供依据. 反思性教学改进 本单元教学中，存在学生知识碎片化、机械解题、素养落地不充分的问题。部分学生只会套公式计算，不会根据情境选择统计量，数据分析思维薄弱.后续大单元教学将强化整体架构，以“数据分析与决策”为主线串联知识点，注重前后知识关联，增加对比探究、错题复盘与课堂生成评价，引导学生形成系统化、结构化的统计思维. （一）概念教学改进​ 原有概念教学偏重直接讲授定义，学生对中位数、众数、加权平均数、方差的本质理解模糊，易混淆适用场景。后续改进将依托真实数据情境引入概念，通过对比同质数据，让学生直观感知集中趋势与波动特征的区别；增设辨析题型，突出统计量的优缺点与适用范围，弱化死记硬背，帮助学生从表象记忆转向本质理解. （二）运算教学改进​ 学生存在加权平均数权重识别不准、方差计算步骤混乱、计算粗心、格式不规范等问题。以往训练题型单一，针对性不足。后续将分层设计运算训练，规范解题步骤，强化易错点专项练习；对比普通平均数与加权平均数、方差公式的结构差异，通过限时训练、错题归类、规范书写，提升学生运算准确性与熟练度，夯实运算能力素养. （三）应用教学改进​ 以往教学重计算、轻应用，学生面对生活情境题审题不清、不会提取有效数据、缺乏决策意识。后续将增加生活化、综合性真实情境任务，引导学生经历“读数据—选统计量—分析对比—合理决策”的完整过程；设置开放性对比评价问题，鼓励学生多角度分析数据，辩证评价结果，切实提升学生模型意识与解决实际问题的能力，落实核心素养. 单元教学结构图 教学设计 数据的集中趋势活动一 · 情境引入： 结合课本P149课堂导入素材，创设校园真实情境：学校开展班级跳绳达标测评，抽取甲、乙两组学生一分钟跳绳成绩（单位：次），数据如下： 甲组（5人）：182、194、143、185、156 乙组（5人）：199、148、242、170、141 教师抛出递进式问题链： 1. 想要快速判断甲、乙两组哪组跳绳整体水平更好，我们可以用什么数据进行对比？ 2. 有同学直接观察发现乙组有242的高分，认为乙组成绩更好，这个判断是否准确？ 3. 单一的最高成绩能否代表一组数据的整体水平？我们需要学习什么样的统计量来刻画数据的整体集中水平？ 引导学生自由发言、交流讨论，初步感知：零散的单个数据无法反映整体情况，需要寻找能代表一组数据集中趋势的量，顺势引出本节课主题——数据的集中趋势. (设计意图:1. 严格依托课本原生生活化情境，贴合八年级学生校园生活，消除统计知识的陌生感，激发学生探究兴趣；2. 通过认知冲突（最高分≠整体水平），打破学生的片面认知，让学生体会学习集中趋势统计量的必要性；3. 聚焦大单元核心目标，为本章后续数据分析、数据评判的学习奠定认知基础，初步培育学生的数据观念核心素养.) · 探究新知 本环节紧扣课本24.1核心知识点，循序渐进探究算术平均数、加权平均数、中位数、众数的定义与求法，完全沿用课本推导逻辑. 探究1：算术平均数（课本P149） 1. 概念推导：结合跳绳测评数据，引导学生思考：如何计算一组数据的平均水平？ 师生共同归纳课本定义：一般地，若有n个数据，则算术平均数，平均数是刻画数据集中趋势最常用的统计量，反映数据的平均水平. 2. 实操计算：让学生分组计算甲、乙两组跳绳成绩的平均数 甲组平均数：（次） 乙组平均数：（次） 3. 初步结论：从平均数来看，乙组整体跳绳水平高于甲组. 探究2：加权平均数（课本P150问题2） 1. 情境升级（课本原题改编）：学校招聘校园讲解员，对应聘者的语言表达、仪容仪表、知识储备三项打分，三项素质重要程度不同，分别赋予权重3:2:5。引出核心问题：各项数据重要程度不同时，普通算术平均数能否公平评判成绩？ 2. 概念归纳：结合课本定义，讲解权的意义：权反映数据的相对重要程度，权重越大，对应数据对整体结果影响越大. 加权平均数公式：若n个数的权分别为，则加权平均数. 3. 对比辨析：让学生对比算术平均数与加权平均数的区别，明确：算术平均数是各项权重相等的特殊加权平均数. 探究3：中位数与众数（课本P154-P156） 1. 认知冲突深化：回归甲乙两组跳绳数据，教师提问：乙组平均数更高，是否代表乙组大部分学生成绩更好？引导学生排序观察数据： 甲组排序：143、156、182、185、194（数据分布均匀） 乙组排序：141、148、170、199、242（存在极端高分242） 学生发现：乙组平均数被极端数据拉高，无法反映大部分学生真实水平，进而引出中位数、众数。. 2. 课本概念精讲 中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，若数据个数为奇数，中间的数为中位数；若为偶数，中间两个数的平均数为中位数，代表数据的中等水平. 众数：一组数据中出现次数最多的数据，代表数据的多数水平，可不止一个. 3. 即时探究：求出甲乙两组跳绳成绩的中位数、众数，总结三者特点：平均数易受极端值影响，中位数、众数不受极端值影响. (设计意图:1. 完全遵循课本“情境推导—概念归纳—对比辨析”的探究逻辑，贴合教材编排体系，夯实课内基础；2. 层层递进突破重难点，从简单算术平均数到加权平均数，再补充中位数、众数，完善数据集中趋势的知识体系，解决“极端数据影响评判”的实际问题；3. 通过自主计算、小组探究、对比分析，培养学生数据整理、数据分析的能力，落实大单元数据分析的核心素养目标.) · 应用新知 本环节全部采用课本原题+课本变式题，贴合课后习题难度，针对性巩固新知，实现学以致用. 例1：算术平均数应用（课本P149例1）某班10名学生的数学随堂检测成绩（满分100分）：85、92、78、90、88、95、82、86、93、81，求这10名学生的平均成绩. 【分析】直接套用算术平均数公式，巩固基础计算，明确平均数可反映班级整体检测水平. 【详解】（分） 例2：加权平均数应用（课本P151例2 原题）一家公司招聘公关人员，对甲、乙两名候选人进行面试和笔试，面试、笔试权重为6:4。甲面试90分、笔试85分，乙面试85分、笔试90分，谁的综合成绩更高？ 【分析】强化权重的实际意义，让学生掌握：数据重要程度不同时，必须用加权平均数评判，突破本节课核心重难点. 【详解】甲综合成绩：（分） 乙综合成绩：（分） 结论：甲综合成绩更高，应录用甲. 例3：中位数与众数综合应用（课本P155练习题变式）某小组8名同学体育测试成绩：75、80、80、85、85、85、90、95，求这组数据的中位数和众数. 【分析】巩固中位数、众数的计算方法，让学生区分三者适用场景：存在极端数据时，优先用中位数、众数描述集中趋势. 【详解】1. 数据已排序，个数为偶数，中位数= 2. 85出现次数最多（3次），众数为85. 拓展应用题 （课本P157习题24.1第5题）某商店销售一款运动鞋，一周内各尺码销量：38码5双、39码12双、40码20双、41码15双、42码8双，店主进货应重点参考哪个统计量？说明理由. 【分析】从生活实际出发，主要参考众数进行进货. 【详解】参考众数（40码），因为众数反映销量最多的尺码，能为进货决策提供依据，贴合生活实际应用. （设计意图：1. 所有例题、习题均源自人教新版课本原题及课内变式，紧扣课堂新知，难度梯度由浅入深，适配八年级学生学情；2. 分层巩固算术平均数、加权平均数、中位数、众数的计算与应用，区分不同统计量的适用场景，突破“极端数据评判”易错点；3. 结合学习测评、招聘、商品销售等真实场景，让学生体会统计知识的实用性，实现“学数学、用数学”的教学目标，衔接大单元数据分析的应用要求。生活数据对比，感知集中趋势.） 数据的离散程度活动二 · 情境引入 依托课本P158导入素材，延续班级体育测试生活化情境，衔接上一节课数据集中趋势的知识，创设对比情境：学校从两名射击运动员中选拔一人参加校级比赛，对甲、乙两名运动员进行5次射击测试，成绩（单位：环）如下： 甲：7、8、8、8、9 乙：6、8、8、8、10 第一步：组织学生利用上节课知识，快速计算两组数据的平均数： 甲平均数：（环） 乙平均数：（环） 教师抛出递进式问题链，制造认知冲突： 1. 甲、乙两人射击的平均成绩相等，能否说明两人射击水平完全一样？ 2. 观察两组数据，甲的成绩集中在8环附近，乙的成绩忽高忽低，高低差距更大，这说明两组数据存在什么差异？ 3. 平均数只能反映数据的平均水平（集中趋势），如何刻画数据的波动大小、稳定程度？ 引导学生小组交流，得出结论：当两组数据集中趋势相同时，需要新的统计量描述数据的波动情况，顺势引出本节课课题——数据的离散程度. （设计意图：1. 衔接大单元体系：紧密承接活动一集中趋势知识，形成“先看集中水平、再看波动程度”的完整数据分析逻辑，构建单元知识闭环；2. 贴合教材原生情境：完全沿用课本射击比赛导入案例，贴合教材编排逻辑，降低学生认知门槛；3. 突破思维局限：通过“平均数相同但成绩稳定性不同”的认知冲突，让学生直观感受仅靠平均数无法全面分析数据，体会学习离散程度统计量的必要性；4. 素养落地：初步培养学生全面分析数据的思维，完善数据观念核心素养.） · 探究新知 本环节严格依据课本P158-P160知识点，循序渐进探究极差、方差两个核心离散程度统计量，完整复刻课本概念推导、规律总结过程. 探究1：极差——最简单的离散程度统计量 1. 概念提炼：结合上述射击数据，引导学生观察数据最值差距，归纳课本定义：一组数据中最大值与最小值的差，叫做这组数据的极差。极差是刻画数据波动范围最简单的统计量. 2. 实操计算： 甲成绩极差：9-7=2（环） 乙成绩极差：10-6=4（环） 3. 初步结论：乙的极差更大，说明乙的成绩波动范围更大，成绩更不稳定；甲极差更小，成绩更稳定. 4. 优缺点总结：极差计算简单，能快速反映数据波动范围，但只受最值影响，无法反映中间所有数据的波动情况，具有局限性. 探究2：方差——精准刻画数据波动的统计量 1. 问题升级：仅通过极差无法精准判断数据波动，若两组数据极差相同、内部波动不同，如何精准对比稳定性？引出课本核心统计量——方差. 2. 课本概念与公式推导： 设有n个数据，平均数为，则这组数据的方差： 教师精讲公式含义：用每个数据与平均数的偏差平方的平均值，刻画数据整体偏离平均水平的程度. 3. 分步计算（依托课本解题步骤）： 已知甲乙平均数均为8，分别计算方差： 甲方差： 乙方差： 4. 规律归纳（课本核心结论）： 在两组数据平均数相等或相近的前提下： ① 方差越小，数据波动越小，数据越稳定； ② 方差越大，数据波动越大，数据越不稳定. 5. 最终判定：，甲射击成绩更稳定，更适合参赛. （设计意图：1. 遵循教材认知梯度：按照课本“极差（基础粗略）→方差（精准严谨）”的顺序探究，由浅入深，符合八年级学生认知规律；2. 重过程轻灌输：复刻课本公式推导、分步计算过程，让学生理解方差“平方偏差”的设计意义，突破本节课重难点；3. 完善单元思维：建立数据分析完整逻辑：用平均数看整体水平，用极差、方差看稳定程度，形成完整的数据研判思维；4. 能力培养：通过规范计算、对比分析，提升学生数据运算、数据分析的数学能力.） · 应用新知 本环节例题、变式题全部取自人教八下课本原题及课后习题，难度梯度贴合教材，精准对应知识点，兼顾基础巩固与实际应用，每道例题配套完整解题过程与解析. 例1：极差的基础应用（课本P158随堂练习变式）某班级5名学生的立定跳远成绩（单位：m）：1.72、1.68、1.75、1.69、1.71，求这组数据的极差. 【分析】巩固极差的基本计算方法，让学生掌握极差快速判断数据波动范围的用法，适配基础题型. 【详解】最大值：1.75m，最小值：1.68m 极差=1.75-1.68=0.07（m） 例2：方差核心应用（课本P160例3 原题）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高（单位：cm）分别是： 甲团：163、164、164、165、165、166、166、167 乙团：163、165、165、166、166、167、168、168 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？ 【分析】本题为课本核心例题，重点巩固方差的规范计算与实际应用，让学生明确：生活中“整齐、稳定、波动小”的问题，均可通过方差判定. 【详解】1. 计算平均数： （cm） （cm） 2. 计算方差： 3. 对比结论： ，因此甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐. 例3：集中趋势与离散程度综合应用（课本P161习题24.1第6题）甲、乙两名运动员的5次短跑测试成绩（单位：s）： 甲：12.8、12.9、13.0、13.1、13.2 乙：12.7、12.9、13.0、13.1、13.3 （1）分别计算两组数据的平均数和方差；（2）判断谁的成绩更稳定。 【分析】综合运用本节课方差与上节课平均数知识，实现大单元知识融合，培养学生“先看平均水平、再看稳定程度”的全面数据分析能力. 【详解】1. 平均数：， 2. 方差： 3. 结论：甲乙平均成绩相同，，甲成绩更稳定. (设计意图：1. 紧扣教材考点：所有例题100%依托课本原题、变式题，贴合课时重难点，适配课堂教学与课后作业要求，无超纲内容；2. 梯度分层训练：从单一极差计算，到核心方差应用，再到集中趋势与离散程度综合运用，层层递进，适配全体学生学情；3. 落地学以致用：结合体育、艺术、生活选拔等真实场景，让学生理解离散程度统计量的实际价值；4.强化单元整合：衔接活动一知识，完善大单元数据分析体系，帮助学生构建完整的统计知识框架.) 数据的四分位数活动三 · 情境引入 学校为了解八年级学生体育达标跳绳成绩，抽取20名学生一分钟跳绳成绩（单位：次）：132、145、128、150、136、142、138、148、130、135、144、139、152、126、133、140、137、146、131、141. 此前我们学习了中位数，只能知道成绩的中间水平，老师想要精准划分学生成绩等级：前25%为优秀、中间50%为良好、后25%为待提升，仅用中位数无法实现精准分层. 提问1：只用平均数、中位数，能否清晰地地区分大部分学生的成绩分布层次？ 提问2：是否存在一组数据指标，能将所有数据平均分成四部分，精准划分数据梯度？ 顺势引出本节课核心内容：为细化数据分布特征、精准分层数据，我们学习新的统计量——四分位数. (设计意图：1. 立足课本本源：贴合人教新版八下“数据的分析”单元生活化统计情境，以学生熟悉的体育测试数据为载体，衔接课本中位数、平均数旧知，自然暴露单一统计量的局限性，贴合教材编写逻辑；2. 素养落地：从真实校园统计问题出发，激发学生探究欲望，让学生感知统计知识的实用性，培养数据分析核心素养，建立“数据分层分析”的统计思维；3. 衔接新旧知识：通过对比旧知短板，搭建旧知到新知的桥梁，让学生理解学习四分位数的必要性，避免被动接受概念，符合八年级学生循序渐进的认知规律.) · 探究新知 步骤1：梳理核心定义（课本原话适配） 将一组数据从小到大有序排列，通过三个数值把数据分成个数相等的四组，每组数据占总体的25%，这三个数值就是四分位数，依次记为： 1. 第一四分位数（下四分位数）：Q_1（25%分位数），代表数据前25%与后75%的分界值； 2. 第二四分位数：Q_2（50%分位数），就是我们学过的中位数； 3. 第三四分位数（上四分位数）：Q_3（75%分位数），代表数据前75%与后25%的分界值. 步骤2：总结课本标准计算步骤 结合八年级教材简化算法（适配初中教学要求），统一计算流程： 1. 排序：将原始数据从小到大重新排列； 2. 定位：根据数据个数n，确定三个四分位数的位置： Q_1位置： Q_2位置：（中位数位置） Q_3位置： 3. 取值：位置为整数，直接取对应数据；位置为小数，取相邻两个数据的平均值（课本基础取值规则）. 步骤3：结合情境数据实操探究 针对课前20名学生跳绳成绩，分步实操： 1. 排序：126、128、130、131、132、133、135、136、137、138、139、140、141、142、144、145、146、148、150、152（n=20） 2. 定位： Q_1位置： Q_2位置： Q_3位置： 3. 取值讲解（适配课本例题逻辑）： Q_1：第5个数132、第6个数133，平均值 Q_2：第10个数138、第11个数139，平均值\frac{138+139}{2}=138.5（中位数） Q_3：第15个数144、第16个数145，平均值 步骤4：归纳统计意义 四分位数可以精准刻画数据的分段分布特征，弥补平均数、中位数只能反映整体、中间水平的不足，能清晰看出数据低端、中端、高端的分布情况，为数据分级、对比、评价提供依据. （设计意图：1. 紧扣教材重难点：严格遵循人教新版八下四分位数的定义、计算规则，简化高中复杂算法，贴合初中课本教学要求，聚焦学生必须掌握的基础知识点和核心技能；2. 循序渐进突破难点：通过“定义解读—步骤总结—情境实操—意义归纳”四层探究，拆解四分位数计算的易错点（位置计算、小数取值），降低学生认知难度；3. 强化思维迁移：衔接已学中位数知识，让学生感知统计量之间的关联，构建完整的数据分析知识体系，培养学生归纳总结、精准运算的数学能力.） · 应用新知 结合课本习题题型，设置基础例题、变式例题，分层巩固四分位数的计算与实际应用，贴合单元教学目标. 例1（课本基础题型：奇数个数据计算）抽取8名同学数学单元测试成绩：82、76、90、85、78、88、80、92、84，求这组数据的四分位数Q_1、Q_2、Q_3. 【分析】先将数据排序，再根据定义求出四分位数. 【详解】1. 排序：76、78、80、82、84、85、88、90、92（n=9） 2. 计算位置： Q_1位置： Q_2位置： Q_3位置： 3. 确定数值： Q_1：第2、3个数平均值 Q_2：第5个数84（中位数） Q_3：第7、8个数平均值 4. 数据分析：可判断25%的学生成绩低于79分，50%的学生成绩低于84分，75%的学生成绩低于89分，清晰掌握班级成绩分层情况. 例2（实际应用题型：数据对比分析）甲、乙两名运动员近10次短跑训练成绩（单位：s）： 甲：12.8、12.6、13.0、12.7、12.9、12.5、13.1、12.8、12.6、12.7 乙：12.9、12.4、13.2、12.5、12.8、12.6、13.0、12.5、12.7、12.9 通过计算四分位数，对比两名运动员成绩的稳定性和分层水平. 解题核心： 1. 分别排序、计算两组数据Q_1、Q_2、Q_3； 2. 通过四分位区间（Q_3-Q_1）判断数据离散程度，区间越小，成绩越稳定； 3. 结合分层数据，分析两名运动员的优势区间. 具体解答由学生完成. （设计意图：1. 贴合课本考情：例题完全匹配人教新版八下课后习题题型，涵盖奇数、偶数个数据，覆盖基础计算、实际分析两大核心考点，夯实课堂新知；2. 分层落实能力：基础例题聚焦计算技能，巩固四分位数核心算法；变式应用题聚焦数据分析能力，呼应单元“用数据解决实际问题”的核心目标；3. 强化知识应用：通过成绩、体育训练等生活化案例，让学生学会用四分位数分层、对比、评价数据，突破“只会计算、不会应用”的学习误区，落实数据分析核心素养.） 数据的分组活动四 · 情境引入 课堂开篇创设教材同源生活统计情境：某企业面向社会公开招聘岗位，筛选出10名应聘者的笔试成绩（单位：分）：58、64、68、75、76、83、85、89、90、92.企业需要划分面试入围层级，初步计划划分两个等级：择优入围、备选储备. 教师抛出递进式问题： 1. 仅通过平均数、最高分、最低分，能否清晰看出10名成绩的分布层次？ 2. 直接按分数高低简单划分，会出现分数相近人员被分到不同组别、分数差距大的人员同组的不合理问题，如何分组才能让组内成绩差异最小、组间差异明显？ 3. 生活中还有哪些场景需要对杂乱数据进行分组整理？（学生举例：班级身高统计、体育测试成绩分析、气温数据统计等） 通过问题引导学生发现：单一的集中趋势、离散程度统计量，无法直观体现批量数据的分布规律，杂乱无序的原始数据需要科学分组，才能精准分析数据、辅助决策，由此引出本节课核心内容——数据的分组. （设计意图：1. 立足教材本源：采用教材经典招聘成绩统计情境，贴合人教新版八下数据分组的开篇素材，衔接课本例题原型，让课堂教学贴合教材编排逻辑；2. 激活认知冲突：依托学生已学的平均数、方差等旧知，通过“旧知识无法解决新问题”的冲突，让学生感知数据分组学习的必要性，构建新旧知识衔接桥梁. 3. 素养落地：结合真实生活场景，培养学生用数学眼光观察生活、用统计思维解决实际问题的能力，落实数据分析核心素养；4. 启发探究意识：开放式举例提问，拓宽学生思维，让学生理解数据分组的广泛应用场景，激发自主探究新知的兴趣.） · 探究新知 结合上述招聘成绩情境，依托人教新版教材分组原理，分步探究数据科学分组的核心方法与组内差异最小原则，全程贴合课本探究流程： 步骤1：数据排序，梳理基础 引导学生将10组成绩从小到大有序排列：58、64、68、75、76、83、85、89、90、92。 明确核心前提：数据分组需先排序，有序数据可精准判断数据间距，为科学分组奠定基础，这是课本明确的分组前置步骤. 步骤2：感知分组核心原则 教师讲解教材核心知识点：数据分组的核心准则为组内离差平方和最小，即分组后同一组别内的数据差异尽可能小，不同组别之间的数据差异尽可能大，避免出现数据混杂分组的问题. 结合排序后的数据，标注数据间9个间隔，引导学生观察：相邻数据间距大小不同，分组的关键是在合适的间隔处划分组界，保证组内数据高度接近. 步骤3：尝试分组、对比优劣 组织学生小组合作，尝试两种基础分组方案并对比分析： 方案1：随意划分（0-80分、80-100分），分组结果：低分58、64、68、75、76；高分83、85、89、90、92. 发现问题：80分为组界，分组后组内数据相对均匀，但未结合数据本身间距特点，属于机械分组. 方案2：结合数据自然间距分组，观察数据间距：76与83之间出现明显断层（间距最大），以此为分界点分组： 第一组（基础储备）：58、64、68、75、76 第二组（择优入围）：83、85、89、90、92 步骤4：验证分组合理性 简要讲解课本验证方法：分别计算两组数据的组内离差平方和，对比发现以最大数据间隔为分界的分组方式，组内离差平方和最小，是最贴合数据分布规律的科学分组方法. 步骤5：归纳课本核心结论 师生共同总结教材知识点： 1. 数据分组基本步骤：数据排序→观察数据间隔→选取最优分界点→确定分组结果； 2. 核心原则：优先在数据间距最大的位置划分组界，保证组内差异最小、组间差异最大； 3. 分组价值：将杂乱的原始数据系统化、条理化，清晰呈现数据分布特征. （设计意图：1. 贴合教材探究逻辑：严格遵循人教新版课本“观察数据—尝试分组—对比验证—归纳结论”的探究流程，还原教材课堂活动设计，贴合教材重难点排布；2. 突出学生主体地位：通过小组合作、自主尝试、对比辨析的方式，让学生亲历知识生成过程，而非被动接受公式结论，符合新课标探究式学习要求； 3. 突破核心重难点：聚焦本节课难点“组内离差平方和最小的分组原则”，结合具体数据具象化抽象概念，降低初中生理解难度；4. 构建方法体系：归纳标准化分组步骤，帮助学生形成规范的解题思维，为后续应用新知、解决实际统计问题搭建方法框架.) · 应用新知 依托人教新版教材课后变式例题与随堂习题，设置基础巩固例题+拓展提升例题，学以致用，强化数据分组方法的实操应用。 例题1（课本基础原型例题）某班级抽取8名学生的数学单元测试成绩（单位：分）：62、65、71、73、82、84、91、93。请依据组内差异最小原则对数据进行分组，并说明分组依据. 【分析】复述数据分组的完整流程与核心原则，所有批量无序数据，均可通过该方法分组分析，辅助数据解读与实际决策. 【详解】： 1. 排序：62、65、71、73、82、84、91、93； 2. 观察间隔：数据最大间隔出现在73和82之间； 3. 确定分组： 基础组：62、65、71、73（基础薄弱层级） 优秀组：82、84、91、93（成绩优秀层级） 4. 结论：该分组组内数据差异最小，数据分布层次清晰，符合科学分组原则. 例2（生活拓展应用题，教材变式题型）某气象站记录某地连续10天的日均气温（单位：℃）：12、13、13、15、16、19、20、20、22、23。请对气温数据进行科学分组，并分析该地这10天的气温分布特点. 【分析】复述数据分组的完整流程与核心原则，所有批量无序数据，均可通过该方法分组分析，明确解题规范. 【详解】： 1. 排序：12、13、13、15、16、19、20、20、22、23； 2. 观察最大间隔：16与19之间间距最大； 3. 分组结果： 低温组：12、13、13、15、16 高温组：19、20、20、22、23 4. 数据分析：该地10天气温分为两个梯度，低温区间气温稳定，高温区间气温整体偏高，组内气温变化幅度小，分组结果可清晰反映气温分布规律. （设计意图：1. 紧扣教材习题体系：例题1为人教新版教材同源原型题，贴合课后基础题型，帮助学生巩固课堂核心知识，掌握课本基础考法；2. 分层落实学情：基础题夯实方法，拓展题衔接生活实际，兼顾学困生基础巩固与优等生能力提升，适配分层教学要求；3. 强化知识落地：通过完整规范的解题步骤，让学生熟练掌握数据分组的实操方法，破解“会原理、不会做题”的问题；4. 深化核心素养：通过气温、成绩两类典型统计场景，让学生体会数据分组在数据分析、规律探究中的作用，完善“收集数据—整理数据—分析数据”的统计思维闭环，贴合大单元整体教学目标.) · 课堂小结 师生互动梳理本节课内容：我们学习了数据分组的完整流程，先将原始数据排序，观察相邻数据差值，在间隔最大的位置划分组界，遵循组内差异小、组间差异明显的核心原则。结合考试成绩、日均气温例题练习分组操作，体会分组可简化杂乱数据，清晰呈现数据分布特征，也是后续绘制频数分布表、直方图的前置基础。同时串联单元已学平均数、中位数、方差，串联“整理—描述—分析数据”完整统计思路. （设计意图：依托八下教材编排逻辑，串联单元前后知识点，形成知识体系；复盘分组实操步骤，夯实重难点；引导学生归纳统计解决问题的流程，发展数据分析核心素养.） · 当堂练习 1．为了解某校初三（8）班同学的鞋码分布情况，数学兴趣小组随机抽取班上10名同学的鞋码进行调查，统计数据为：38、39、39、39、40、40、40、40、41、41，这组数据的众数是（     ） A．38 B．39 C．40 D．41 【分析】根据众数定义，统计每个数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可得到结果． 【详解】解：先统计各数据出现的次数，∵ 38出现次，39出现次，40出现次，41出现次， ∴ 40出现的次数最多，根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数， ∴ 这组数据的众数是． 答案C. 2．某餐厅共有7名员工，所有员工的工资如下所示： 人员 经理 厨师 会计 服务员 人数 1 2 1 3 工资数 16000 6000 5200 3400 则餐厅所有员工工资的众数，中位数分别是（     ） A．5200，3400 B．5600，3400 C．3400，5600 D．3400，5200 【分析】根据众数和中位数的定义，即可求解． 【详解】解：工资对应3名员工，出现次数最多， 众数为， 将所有员工工资从小到大排列为：，，，，，，， 7个数据为奇数个，中位数是排序后的第4个数据， 中位数为． 答案D. 3．甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差（单位：）如表所示，根据表中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（     ） 甲 乙 丙 丁 平均成绩/秒 方差/ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】本题考查利用平均数和方差做决策，100米短跑中，平均成绩越小代表成绩越好，方差越小代表发挥越稳定，先比较平均数筛选出成绩更好的选手，再比较方差得到发挥稳定的选手即可求解． 【详解】解：∵平均成绩越小，运动员成绩越好，甲、乙的平均成绩为秒，小于丙、丁的平均成绩秒，∴从甲和乙中选择一人参赛， ∵方差越小，运动员发挥越稳定，甲的方差为，乙的方差为，， ∴乙的发挥更稳定，因此应选择乙． 答案B. 4.学校开展演讲比赛．某选手演讲的内容、能力、效果得分分别为84分、90分、95分，若成绩按照内容、能力、效果权重为 确定，则该选手的最终成绩为_______分． 【分析】根据给定的各项得分和对应权重，利用加权平均数的计算方法求出该选手的最终成绩． 【详解】解： 分， 故该选手的最终成绩88分． 5．某学校招聘数学教师，对应试者进行笔试和面试（百分制），其中笔试占，面试占．其中一名应试者笔试与面试成绩分别为分，分，则该应试者的招聘成绩是_________分． 【分析】根据题目给出的数据，利用加权平均数的计算方法求解即可. 【详解】解：由题意可得，该应试者的招聘成绩为 （分）. 6.某校举行播音员选拔赛，评委从读音吐字、节奏韵律两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，再按读音吐字占，节奏韵律占，计算选手的综合成绩，小秦同学读音吐字得80分，节奏韵律得90分，请你计算一下小秦同学的综合成绩． 【分析】利用加权平均数的计算方法求解即可. 【详解】解：已知小秦读音吐字得80分，权重为，节奏韵律得90分，权重为， 小秦的综合成绩为： 答：小秦同学的综合成绩为84分． 7．快递业为商品走进千家万户提供了便利，网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分10分）： 甲：；乙：． ②服务质量得分统计图（满分10分）： （3）配送速度和服务质量得分统计表： 快递公司统计量 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 9 7 乙 7.9 8 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ， ，比较大小： （填“”“”或“”）； (2)综合上表中的统计量，从两家公司的服务质量的稳定性考虑，小刘应该选择与 公司合作．（填“甲”或“乙”）． 【分析】（）根据中位数、众数的定义及方差的意义解答即可； （）根据方差的意义判断即可． 【详解】（1）解：甲的配送速度得分由低到高排序为：，，，，，，，，，， ∴中位数， ∵乙的配送速度得分中分出现的次数最多， ∴众数， 由折线统计图可知，甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于，甲的数据波动更小，数据更稳定， ∴； （2）解：∵甲的数据波动更小，数据更稳定， ∴小刘应该选择与甲公司合作． 8.为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后组织了航天知识竞赛．为了解七年级两个班级的竞赛情况，该校从两个班级各随机抽取12名学生的成绩（满分分，成绩均为整数），并绘制了如下统计图表： 成绩统计表 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的，，． (2)你认为哪个班级的学生成绩更好？请至少选择两个统计量说明理由． 【分析】（）先从条形图提取两班各分数人数，分别算出班平均数、班中位数、班众数； （）对比平均数、中位数、方差分析得出B班成绩更好． 【详解】（1）解：① 求（班平均数）： 从条形图可得班各分数人数：分人，分人，分人，分人，分人，总人数人， 班总分为： 平均数； ② 求（班中位数）：班总人数人，中位数是从小到大排序后第个成绩的平均数， 班各分数人数：分人，分人，分人，分人，分人， 排序后：第至名成绩为，第到名成绩为， ∴第个成绩都是，中位数 ； ③ 求（班众数）： 班中分的人数最多（人），因此众数； （2）略 单元作业设计 基础达标 一、选择题 1.昆明的春节历来给人一种温暖而从容的感觉．下列数据是2026年昆明市主城区春节假期连续9天的最高气温（单位：）：21，22，22，23，22，21，22，22，23，则这9天的平均气温是（ ） A．21 B．22 C．22.5 D．23 【分析】根据平均数的定义求出. 【详解】解：这9天的平均气温是． 故选B． 2．某社区的5名孩子在“艺术百花——少儿艺术花会”比赛中，成绩（单位：分）分别是88、95、92、88、90，这组数据的众数和中位数分别为（    ） A．97、88 B．90、90 C．95、88 D．88、90 【分析】本题考查众数和中位数的定义，解题思路是先将数据从小到大排序，再根据定义分别求出众数和中位数即可． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序得： ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，88出现2次，次数最多， ∴众数为； ∵这组数据共有5个，为奇数个，中位数是排序后位于中间位置的数，即第3个数， ∴中位数为； 因此众数和中位数分别为88和90， 故选D． 3.一组数据 ， ， ， ， 的平均数为 ，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【分析】本题考查平均数的基础计算，根据平均数的定义列出关于 的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：∵ 这组数据共 个，平均数为 ， ∴ 这组数据的总和为 ， 可得方程 ， 化简得 ， 解得 ． 故选D． 4.下表是 10 个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，组内离差平方和最小的分组位置是（ ） A．第3个间隔 B．第4个间隔 C．第5个间隔 D．第6个间隔 【分析】根据第4个间隔对应的数值290.8是所有分法中最小的组内离差平方和求解即可． 【详解】解：观察上表最后一列 “组内离差平方和”，可以发现第4个间隔对应的数值290.8是所有分法中最小的． 故选B. 5.2026年5月9日“苏超”第五轮无锡队主场3∶1战胜泰州队，首发阵容平均年龄为25的11名球员的年龄分别为19、28、19、22、22、28、33、21、29、32、22，则这组数据的中位数和众数分别为（     ） A．28和3 B．28和22 C．33和3 D．22和22 【分析】先将数据按从小到大排序，再根据定义分别求出中位数和众数即可． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序，得 ， ∵这组数据共个，为奇数个，中位数是排序后最中间的数即第个数， ∴ 中位数为， ∵在这组数据中出现次数最多， ∴众数为， 因此这组数据的中位数和众数分别为和． 故选D. 6.在5月份仰卧起坐训练中，晓琳同学一周成绩记录如下：36，38，38，40，42，45，49（单位：次/分钟），这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．40，42 B．38，42 C．40，40 D．38，40 【分析】根据众数定义找出出现次数最多的数，再根据中位数定义，对已排序的数据找到中间位置的数即可得到结果． 【详解】解：∵这组数据已经按从小到大的顺序排列，其中数字38出现次数最多，为2次，其余数字都只出现1次 ∴这组数据的众数为38， ∵这组数据共有7个，个数为奇数，中位数为排序后第个数字， ∴第4个数字为40，即这组数据的中位数为40， 综上，这组数据的众数为38，中位数为40． 故选D 7.甲、乙两台机床同时生产一种零件，在5天中，两台机床每天出次品的数量（单位：件）如下表所示，则出次品波动较小的是（     ） 甲 1 2 1 4 2 乙 2 1 3 1 3 A．甲机床 B．乙机床 C．两台机床一样 D．无法判断 【分析】数据波动大小由方差判断，方差越小，数据波动越小．本题分别计算甲、乙两台机床出次品数的方差，比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ 乙机床出次品波动更小． 故选B. 8.某校将举办小合唱比赛，八个参赛小组人数如下：6，5，5，7，x，8，9，8．已知这组数据的平均数是7，则这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．8，7.5 B．8，7 C．8，8 D．5，7.5 【分析】先根据平均数的定义求出未知数x的值，再将数据从小到大排序，根据众数和中位数的定义计算结果即可． 【详解】解：∵这组数据的平均数是7，共有8个数据， ∴这组数据的总和为 ， 已知数据的和为 ， 可得， 将这组数据从小到大排序得：， ∵8出现次数最多， ∴众数为8， ∵8个数据的中位数为排序后第4个和第5个数据的平均数， ∴中位数为 ， 因此众数是8，中位数是7.5． 故选A. 9．某校为普及健康教育知识，举办了“健康相伴成长，活力点亮青春”知识竞赛，如图是甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，根据该图判断下列说法中正确的是（     ） A．甲班的第一四分位数小于丙班的第一四分位数 B．乙班学生得分的四分位距为30 C．丙班学生得分的中位数低于甲班学生得分的中位数 D．甲班和丙班的最高分均低于100分 【分析】观察箱线图，分别读取甲、乙、丙三个班级的第一四分位数、中位数、第三四分位数及最大值，结合四分位距的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：对于A，甲班的第一四分位数约为，丙班的第一四分位数约为， 因为， 所以甲班的第一四分位数大于丙班的第一四分位数，故A错误； 对于B，乙班的第三四分位数约为，第一四分位数约为，则乙班学生得分的四分位距为，故B错误； 对于C，甲班学生得分的中位数约为，丙班学生得分的中位数约为，丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，故C错误； 对于D，甲班的最高分约为，丙班的最高分约为，均低于分， 故D正确． 10.有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 【分析】求四分位数、中位数、观察箱线图，逐一进行判断. 【详解】解：A、箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的第一四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B、箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法错误，故该选项符合题意； C、箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的第三四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； D、箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法正确，故该选项不符合题意． 故选B. 2、 填空题 11．小马同学在假期实践活动中调查了某一小型智能公司员工的月收入情况如下表，则这家公司员工的平均月收入为_________． 月收入/元 50000 18000 10000 5000 3600 3000 人数 1 1 1 7 6 4 【分析】根据加权平均数的定义，先计算总收入和总人数，再用总收入除以总人数得到平均月收入. 【详解】首先计算员工总人数： 再计算所有员工的月收入总和：， 根据加权平均数的计算方法，平均月收入为：（元）. 填7330元. 12．若一组数据0，1，2，3，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为______． 【分析】本题考查方差的性质，一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，据此判断第一组数据应为连续整数，即可确定的可能值． 【详解】解：第二组数据，，，，是个连续整数，方差为固定值， 又∵一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变， 第一组数据，，，，应为个连续整数， 当时，数据为，，，，，是个连续整数，符合条件， 当时，数据为，，，，，是个连续整数，符合条件， 的值为或． 填或. 13.相声是一种民间说唱曲艺，它以说、学、逗、唱为形式．某相声社要招聘一名相声学徒，通过考察，甲乙两人的各项得分如下表，若将“说、学、逗、唱”四种功夫按照、、、的百分比确定最终得分，则_____将被录取．（填甲或乙） 说功 学功 逗功 唱功 甲 80 85 90 95 乙 90 80 95 85 【分析】分别计算甲，乙两人的最终得分，比较得分大小，得分更高者被录取． 【详解】根据加权平均数的计算方法， 甲的最终得分（分）， 乙的最终得分（分）， ∵， ∴乙的得分更高，乙将被录取． 14．在一次体检中，测得某校八年级（1）班第一组同学的体重（单位：）分别为50，55，58，57，54，50，56，60．该组同学体重的上四分位数是______，离差平方和是______． 【分析】需先对数据排序，再根据对应定义计算即可． 【详解】解：将数据从小到大排序得：，，，，，，，， 数据共个，上四分位数为分位数， 计算位置得，为整数， 因此上四分位数为第项与第项的平均数，即， 计算数据的平均数：， 离差平方和为各数据与平均数差的平方和， 计算得 ． 所以填57.5 90. 3、 解答题 15.军训期间，小华打靶的成绩是m发9环和n发7环，小华的平均成绩是每发多少环？ 【分析】根据加权平均数的定义，平均成绩等于总环数除以总发数，分别计算出总环数和总发数，代入公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，打靶的总环数为，总发数为， 则平均成绩为环． 16.随着技术发展，为提升学生指令能力，某学校开展专项培训．培训后，随机抽取50名学生进行测试，整理成绩（百分制）如下： a．成绩频数分布表： 成绩（分） 频数 5 10 12 18 5 b．成绩在这一组的是：（单位：分） 71  72  73  74  74  75  76  76  77  78  78  79 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ． (2)这次测试成绩的平均分是分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均分，所以甲的成绩高于一半学生的成绩，”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． (3)请对该校学生“指令能力”的掌握情况作出合理的评价． 【分析】（1）根据中位数可求出中位数，用成绩不低于80分的人数除以测试人数，即可求解； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）根据成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比以及平均数的意义解答即可． 【详解】（1）解：这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据的平均数为（分）， 所以这组数据的中位数是78分， 成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为； （2）解：不正确，理由如下： 因为甲的成绩77分低于中位数78分， 所以甲的成绩不高于一半学生的成绩； （3）解：测试成绩不低于80分的人数占测试人数的，且平均分为分， 说明该校学生对“指令能力”的掌握情况整体良好，多数学生能较好掌握相关技能． 17.综合与实践：人形机器人马拉松技术分析 2024年4月19日，全球首个人形机器人马拉松品牌赛事−−2024北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松在欢呼与感动中落幕，来自荣耀齐天大圣队的“闪电”机器人（冠军）和北京人形机器人创新中心的“天工”机器人赛场表现优异，赛后组委会共收集了“闪电”机器人组、“天工”机器人组完整测试数据，并从中随机抽取平均速度、算法响应、散热控制、续航能力、弯道通过率5组数据进行对比分析，满分均为分，相关数据如下： 两款机器人测试数据得分表 机器人 平均速度 算法响应 散热控制 续航能力 弯道通过率 闪电 ① 8 9 8 天工 7 ② 8 9 已知信息：上表抽取的5组数据中，“闪电”机器人得分的众数为8分；“天工”机器人得分的众数为9分，两款机器人的平均得分都是分． 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：①处的数值为________，②处的数值为________； (2)稳定性分析： 已知“天工”机器人5组数据得分的方差为，请通过计算判断哪款机器人的技术性能更稳定； (3)样本估计总体： 若得分不低于9分视为“优秀指标”，请根据抽取的样本数据，估计两款机器人所有测试数据中“优秀指标”的总组数． 【分析】（1）由“闪电”机器人和“天工”机器人得分的众数、平均数可得①处的数值为8，②处的数值为9； （2） 由方差公式计算出“闪电”机器人5组数据得分的方差为，，故“闪电”机器人的技术性能更稳定； （3） （3）由表格知“闪电”机器人的“优秀指标”的频率为，“天工”机器人的“优秀指标”的频率为，用样本估计总体可得两款机器人所有测试数据中“优秀指标”的总组数为． 【详解】（1）解：由题意可知机器人5组成绩为①，8，9，，8，平均分为， 故，解得，此时众数为8，符合题意， 由“天工”机器人得分的众数为9分，可知， 代入验算平均分，符合题意； （2）解；“闪电”机器人5组数据得分的方差为， ， ∴“闪电”机器人的技术性能更稳定； （3）解：“闪电”机器人的“优秀指标”的频率为，“天工”机器人的“优秀指标”的频率为， ， 答：估计两款机器人所有测试数据中“优秀指标”的总组数为． 18．购物节期间，某电商平台推出了一款热门智能家居产品．为了分析用户对该产品的兴趣程度，平台随机抽取了100名用户在该商品页面的停留时间（单位：秒）．停留时间被认为是衡量用户兴趣的重要指标：停留时间越长，用户对商品的兴趣可能越高． 平台将用户的停留时间分为6个区间，并统计了每个区间的用户数量．以下是具体的频数分布表： 组别 停留时间/秒 频数（用户数量） 组内用户平均停留时间/秒 A 5 5 B 10 15 C 20 25 D 30 35 E 25 45 F 10 55 根据上述信息，解答下列问题： (1)这100名用户停留时间的中位数落在组．（填写组别） (2)求这100名用户停留时间的平均数． (3)如果有8000名用户浏览了该产品，请估算停留时间不少于40秒的用户数． 【详解】（1）解：∵共有100个数据， ∴中位数为第50个数据和第51个数据的平均数 ∵， ∴这100名用户停留时间的中位数落在组； （2）解：（秒）， ∴这100名用户停留时间的平均数为34秒； （3）解：． 答：停留时间不少于40秒的用户数约为2800． 19.为深入贯彻落实《政府工作报告》中关于教育高质量发展的部署，某区教育局为了解辖区内学生课后服务特色课程的选择意愿，随机抽取m名学生开展问卷调查（每人必选且仅选一项）．课程分为五类：A．人工智能编程；B．传统非遗手工；C．校园足球社团；D．经典诵读课程；E．科技创新实践．根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图． 请根据调查信息，回答下列问题： (1)_____； (2)设选择“C．校园足球社团”课程的人数为_____，并补全条形统计图； (3)在本次调查中，五类课程选择的人数分别为：96，60，n，120，84，众数是____，中位数是_____； (4)若学生总人数为2400人，估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数． 【详解】（1）解：， （2）解： ，条形图补充如下： （3）120出现次数最多，所以众数为120， 排序后： 60，84，96，120，120，所以中位数为：96 （4）， 答：估计选择“D．经典诵读课程”的学生人数为600人． 20.“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：9，7，8，7，8，10，8，7，8，8． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 0.8 八年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：______，______； (2)求m的值； (3)综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【详解】（1）解：七年级打分从小到大排列为：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10， 排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数； （2）解：八年级打分的平均分为8分， 则， 即， ∴； （3）解：七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下： ∵， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于八年级的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致． 21.为了更好地利用体育课因材施教，提高学生体质水平，某校将学生体质健康测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为4分，3分，2分，1分，为了了解学生整体体质健康状况，拟抽样进行统计分析． (1)以下是两位同学关于抽样方案的对话： 小颖：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩．” 小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩” 根据下方学校信息，请你简要评价小颖、小明的抽样方案． 如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案． (2)现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如下统计图，请求出这组数据的平均数、中位数和众数． (3)如果将A、B两个等级的学生称为良好体质，那么该校2000名学生中良好体质的学生有多少人？ 【详解】（1）解：略； （2）解：平均数为（分）， 抽查的120人中，成绩是3分出现的次数最多，共出现45次， 因此众数是3分； 将这120人的得分从小到大排列处在中间位置的两个数都是3分， 因此中位数是3分； 答：这组数据的平均数是2.75分、中位数是3分，众数是3分． （3）解：（人） 答：该校2000名学生中良好体质的学生有1250人． 22．某校有若干名学生参加劳动技能知识竞赛．了解本次竞赛活动成效，随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩均为整数），对数据进行整理分析，并绘制相应统计图．已知竞赛成绩的众数出现在B组，B组成绩为：70，73，74，74，74，74，74，76，78． 根据以上信息，解答下列问题： (1)所抽取学生的竞赛成绩的众数为______分，中位数为______分，扇形统计图中m的值为______； (2)小琴所在小组五位组员在本次比赛中的成绩分别为：65，69，70，74，78．他们决定分成两人组或三人组合作学习，有下表两种分法． 分法 分组情况 组内离差平方和 第一种 甲组2人，乙组3人 n 第二种 Ⅰ组3人，Ⅱ组2人 22 请你计算n的值，并根据组内离差平方和最小原则选择一种分法． 【详解】（1）解：竞赛成绩的众数出现在B组，B组成绩为：70，73，74，74，74，74，74，76，78． B组成绩的众数为74分， 故竞赛成绩的众数为：74分； 根据题意，得 组的人数为：9人， 组的人数为：（人） 组的人数为：（人） 组的人数为：（人） 中位数是第10个，11个数据的平均数， 故中位数（分）； 根据题意，得， 解得； （2）解：根据题意，得， 故， 根据题意，得， 故， 故， ， 故选择第二种分组法． 23.跳绳是一项有效的有氧运动，因其便捷被学校广泛选为促进学生体质健康的运动项目，某校八年级400名学生在“跳绳提升”训练前后各参加了一次规则相同的测试，测试成绩为整数，满分10分．两次测试结果显示所有学生成绩都不低于6分，现用抽样调查的方式从中抽取了50名学生训练前后的测试成绩，并绘制出了如下统计图、统计表． 平均数 中位数 众数 方差 训练前 7 a 训练后 b 10 根据以上信息，解答下列问题： (1)____________，____________； (2)补全图1的条形统计图； (3)如图3是小帆绘制的训练前跳绳成绩的箱线图，请直接写出训练后的四分位数： 第一四分位数____________，第二四分位数____________，第三四分位数____________；并将训练后跳绳成绩的箱线图补充完整，并标出数据； (4)请根据以上统计量、箱线图，至少从两个方面分析训练前后的成绩变化． (5)估计该校八年级学生训练后成绩不低于9分的人数． 【分析】（1）根据众数的定义，中位数的定义，求解即可； （2）求得得分8分的人数为：，补图即可； （3）先计算各个四分数，再画出箱线图即可； （4）根据统计量的意义作出决策即可． （5）利用样本估计总体的思想解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得6分出现的次数最多，14次， 故众数分，根据题意，得6分的人数为：（人），7分的人数为：（人），8分的人数为：（人），9分的人数为：（人），10分的人数为：（人）， 中位数是第25个数据，第26个数据的平均数， 故（分）； （2） （3）解：根据题意，得6分的人数为：（人），7分的人数为：（人），8分的人数为：（人），9分的人数为：（人），10分的人数为：（人）， 且， 第一四分数是第12个数据，第13个数据的平均数，故分， ，故第二四分数是第25个数据，故分， ，故第三四分数是第37个数据，第38个数据的平均数，故分， 补图略； （4） （5）解：根据题意，得（人）， 答：该校八年级学生训练后成绩不低于9分的人数为280人． 能力提升 1.已知一组数据：3，3，3，4，5，5，6，则这组数据的上四分位数为（     ） A．3 B．5 C．3.5 D．4 【分析】按照计算规则先确定上四分位数的位置，再对应得到结果即可． 【详解】这组数据已经从小到大排列，总个数7， 这组数据的中位数是4， 上四分位数是5，5，6的中位数，即5． 故选B. 2．2022年6月4日，“神十四”发射成功并于次日与空间站组合体成功实现自主快速交会对接，航天员乘组从返回舱进入轨道舱，这是我国航天事业又一个伟大成就．某中学为此举行航天知识竞赛活动，其中甲、乙两队学生的竞赛成绩如下表所示，下列关系完全正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【分析】分别计算出两队竞赛成绩的平均数和方差，进行比较即可． 【详解】解：甲队学生的竞赛成绩为60，70，70，60，80， 平均数为， 方差． 乙队学生的竞赛成绩为70，80，80，70，90， 平均数为， 方差． ∴，． 故选A. 3.在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．教练计划将队员分成两组进行分层训练，先将五名同学成绩按照从小到大的顺序排列为：7，9，12，13，15．再分成两组分别计算各组的离差平方和（结果保留小数点后一位），结果如下表所示，则最合理的分组方式为（     ） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 各组的离差平方和 第1个间隔 0 18.8 18.8 第2个间隔 2 4.7 6.7 第3个间隔 12.7 2 14.7 第4个间隔 22.8 0 22.8 A．和 B．和 C．和 D．和 【分析】本题判断分组是否合理的依据是组内离差平方和，组内离差平方和越小，说明组内数据越集中，分组越合理，只需找到最小的组内离差平方和对应的分组即可． 【详解】解：∵ 组内离差平方和越小，组内数据越集中，分组越合理， 由表格可得，四个分组的组内离差平方和中，最小值为， 对应第个间隔，排序后数据为， 第个间隔为和之间的间隔， 因此分组为和． 故选B. 4.八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D．乙组跳绳次数的最大值大于190 【分析】根据箱线图的特征，分别观察甲、乙两组数据的极差（波动情况）、中位数位置、下四分位数位置及最大值位置，结合选项逐一判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组， 则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170， ， 乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195， 乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 5.在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B. 6.为测试甲、乙两款国产大语言模型（AI）在不同任务上的稳定性，研发团队选取了代码生成、逻辑推理、内容创作、知识问答、语言处理5项任务进行测试，分别记录了它们在每项测试中的成绩（满分分），并绘制了如图所示的折线图．已知甲、乙两款国产大语言模型成绩的平均数均为8，根据图中信息判断甲、乙两款国产大语言模型成绩更稳定的是________．（填“甲”或“乙”） 【分析】本题考查折线统计图和方差，理解方差的意义是解题的关键．根据折线统计图以及方差的定义判断即可． 【详解】根据折线统计图可知，甲款国产大语言模型五项任务的成绩波动较小，乙款国产大语言模型五项任务的成绩波动较大，所以甲的成绩更稳定． 故答案为：甲 7.现有一批螺丝帽，从中抽选个测得它们的直径尺寸（单位：）依次是，，，，，，现要将这个螺丝帽按直径大小分成两组，每组至少个，且两组的组内离差平方和之和最小，你认为应该如何分______． 【分析】先将数据从小到大排序，列举所有有序分组的情况，计算每种分组的组内离差平方和，选择组内离差平方和最小的分组作为结果即可． 【详解】解：将个数据从小到大排列，得到， ∴有序数据分成前后两组共有种不同分法，分别计算每种分法的组内离差平方和： 第种分法（第个间隔分割）： 第一组为，离差平方和为， 第二组平均数为，组内离差平方和为， 总离差平方和为； 第种分法（第个间隔分割）： 第一组为，平均数为，组内离差平方和为， 第二组平均数为，组内离差平方和约为，总离差平方和为； 第种分法（第3个间隔分割）： 第一组为，离差平方和约为， 第二组离差平方和为，总离差平方和为 第种分法（第个间隔分割）： 第一组离差平方和约为， 第二组离差平方和为，总离差平方和为； 第种分法（第个间隔分割）： 第一组离差平方和为，第二组离差平方和为，总离差平方和为 ∴对比所有总离差平方和，最小， 因此得到最终分组为和． 8．某地6家企业去年的产值如下表所示． 企业 产值/亿元 将6个数据从小到大排序：，，，，， ．把6个数据按大小顺序分成两组，共有5种情况，分别计算组内离差平方和，如下表所示： 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 第2个间隔 第3个间隔 第4个间隔 第5个间隔 从上表可知，这6家企业按组内离差平方和最小的分法对应选择第____________个间隔． 【分析】本题只需比较5种分组对应的组内离差平方和的大小，找到最小值对应的间隔即可求解． 【详解】解：将5个组内离差平方和按从小到大排序得： 可知组内离差平方和的最小值为 ，对应第个间隔和第个间隔最小， 这6家企业按组内离差平方和最小的分法对应选择第或个间隔． 9.某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 【分析】根据箱线图的信息解答即可． 【详解】 解：箱线图的箱体越窄、数据分布越集中，方差越小．甲班的箱线图最紧凑，所以方差最小，①正确； 乙班的箱线图的须最长，数据分布最分散，波动最大，②正确； 丙班的中位数（箱体中间的线）大于80，说明有一半以上的学生得分，所以得分低于80的人数少于得分高于80的人数，③错误； 每班42人，第11名是从高到低排列的第11个，属于上四分位数（前），丙班的上四分位数（箱体的上沿）最高，所以丙班的第11名分数最高，④正确． 故答案为：③． 10.河南省新乡市宝泉旅游区内特有嶂石岩陡崖断层地貌形成了太行山密集壮观的瀑布群，2024年12月27日，该风景区被确定为国家级旅游景区，春节期间该景区管理处为了解景区的服务质量，现从景区2月份的游客中随机抽取50人对景区的服务质量进行评分，评分结果用 表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下： 组别 分组 人数 2 4 10 15 请根据以上信息，完成下列问题： (1)_________； (2)这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在_______组； (3)若游客评分的平均数不低于75，则认定该景区的服务质量良好．分别用50，60，70，80，90作为这五组评分的平均数，估计该景区2月份的服务质量是否良好，并说明理由． 【答案】(1) (2)D (3)该景区2月份的服务质量良好． 【分析】（1）根据参与评分的一共50人，结合表格数据即可求得m的值； （2）根据参与评分的一共50人，结合中位数的定义，得出第25人和第26人评分的平均数即为中位数，再根据A组、B组、C组的总人数为：（人），而D组有19人，即可求出这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组； （3）先计算出总分数，再计算游客评分的平均数，将平均数与75作比较即可解答． 【详解】（1）解：∵参与评分的一共50人， ∴． （2）解：∵参与评分的一共50人， ∴将所有人的评分从低到高排列后，第25人和第26人评分的平均数即为中位数， ∵A组、B组、C组的总人数为：（人），A组、B组、C组、D组的总人数为：（人）， ∴这50名游客对该景区服务质量评分的中位数落在D组． （3）解：∵50名游客对该景区服务质量的总评分为： （分）， ∴游客评分的平均数为：（分）， ∵， ∴该景区2月份的服务质量良好． 11.为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知八年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）：A．；B．；C．；D．；E．；F．．随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下： 笔试 展演 甲 92 89 乙 90 95 已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89，请根据以上信息，完成下列问题： (1)_________，并补全频数分布直方图； (2)在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角的度数是________； (3)已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，上表为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 【分析】（1）用D组的笔试成绩人数除以所占百分比求出的值，再计算B组展演成绩的频数，即可补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，先求出“E组”所对应的百分比，再乘以即可求解； （3）根据加权平均数公式分别计算甲、乙同学的总成绩，再与91分比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，D组的笔试成绩数据有9个， ∴， B组展演成绩的频数为， 补全频数分布直方图略； （2）解：“E组”所对应的百分比为， “E组”所对应的扇形的圆心角的度数是； （3） 12．在发生某公共卫生事件期间，某专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是：“连续14天，每天新增疑似病例不超过7人”．已知在过去14天，甲、乙两地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为2，方差为2； 乙地：中位数为3，众数为4和5． 请你运用统计知识对数据分析并判断：甲、乙两地是否会发生大规模群体感染？请说明理由． （方差公式：） 【分析】根据平均数和方差的意义分析甲地的情况，根据中位数、众数，分析判断乙地的情况，结合题意“连续14天，每天新增疑似病例不超过7人”进行判断，即可求解． 【详解】解：①甲地不会发生大规模群体感染， 理由如下： 由题意可知：样本容量，平均数为，方差为， 则由方差计算公式得：， 若甲地天中存在某一天新增疑似病例超过人，则最少为人， 由于， 所以没有一天新增疑似病例超过人， 故甲地不会发生大规模群体感染； ②乙地不会发生大规模群体感染， 理由如下： 由于样本容量， 所以中位数为中间两个数（即第，个数）的平均数， 因为中位数为，众数为和． 所以第，个数可能为，或，两种情况， 且和的个数只能都是三个， 若中间两个数为和， 则前面个数只能取，，这三个数， 从而有一个数至少出现三次， 于是这个数也是众数，不合题意； 若中间两个数都是， 因为众数为和， 所以较大的六个数恰好是和各有三个， 故这个数只能是： ，，，，，，，，，，，，，， 所以乙地不会发生大规模群体感染． 13．甲、乙两个生物兴趣小组在探究“光照对绿豆种子发芽影响”的活动中，分别安排相同组数的实验，每组放置10粒种子，在相同的条件下，经过一段时间后，记录每组种子发芽的粒数，并把结果制成尚不完整的扇形统计图（图1）和完整的条形统计图（图2）． (1)求甲兴趣小组种子发芽为“8粒”的有几组； (2)甲兴趣小组种子发芽粒数的平均数，方差，求乙兴趣小组种子发芽粒数的平均数和方差，并判断哪个小组种子发芽情况较好些； (3)甲兴趣小组发现把一组种子发芽粒数记错了，若把正确的甲兴趣小组种子发芽粒数与乙兴趣小组种子发芽粒数合并得到一组新数据，这组数据的众数有3个，求甲兴趣小组的正确样本数据． 【答案】(1)2组 (2)，；甲组种子发芽情况较好些 (3) 【分析】（1）根据图2可得组数为，进而结合扇形统计，即可求解； （2）根据平均数与方差的定义，进行计算即可求解； （3）根据众数的定义分析，即可求解． 【详解】（1）解：∵甲、乙安排相同组数的实验，根据图2可得组数为 ∴甲兴趣小组种子发芽为“8粒”的有组 （2）解： ∵甲组的平均数大于乙组的平均数，且甲组的方差小于乙组的方差， ∴甲组种子发芽情况较好些 （3）解：甲组原数据为：，乙组的原数据为： 合并到一起为， ∵这组数据的众数有3个，且乙数据不变，则众数为，， ∴甲兴趣小组的正确样本数据为 素养挑战 1．某班进行趣味投篮比赛，每人投10次，6位参赛同学的命中次数整理如下表（单位：次）： 最小值 平均数 中位数 众数 最大值 3 a 6 6 b 根据以上信息，下列分析正确的是（     ） A．若，则b的最小值为7 B．若，则b的最大值为8 C．若，则a的最大值为 D．若，则a的最小值为6 【分析】先将6个数据从小到大排列，根据中位数、众数的定义确定数据关系，再结合平均数公式，对每个选项逐一计算判断即可． 【详解】解：设6位同学命中次数从小到大排列为 ， 由题意得 ，中位数为6， 所以 ，即， 因为众数是6， 若 ，则 ， 此时数据中最多只有1个6，不满足众数为6， 因此 ，6个数为 ，满足 ，所有数为不超过10的整数，6是唯一众数，总和满足 ． 若，则 ， 对A选项，若 ，则 ， ， ，不成立，A错误． 对B选项，取 ，数据 满足所有条件， 此时 ，B错误． 若，则 ， 对C选项，要使最大，需 最大， ， 取 ，此时 ，数据 满足所有条件， 故最大值为，C正确． 对D选项，要使最小，需 最小，取 ， 此时 ，数据 满足所有条件， 故最小值不是，D错误． 答案：C. 2.如图是反映某场女排决赛中，A、B两队队员拦网高度情况的箱线图，下列说法一定正确的有（     ） ①A队拦网高度下四分位数比B队拦网高度上四分位数大 ②A队拦网高度中位数比B队拦网高度中位数大 ③B队拦网高度中至少有小于A队拦网高度的最小值 ④A队拦网高度平均数比B队拦网高度平均数小 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查其他统计图的分析，四分位数、结合统计图的数据集中程度和中位数等根据生活实际分析即可解答． 【详解】解：①A队下四分位数=A队箱子下边的高度，B队上四分位数=B队箱子上边的高度，从图中可见： A队下四分位数 B队上四分位数，错误； ②中位数=箱子中间线的高度，从图中可见A队中位数 B队中位数，正确； ③图中可知，B队拦网高度中至少有的高度是小于A队拦网高度的最小值，正确； ④箱线图只展示中位数、四分位数、最值，无法直接判断平均数，仅从图中无法确定A队平均数一定比B队小，错误． 正确的有②和③即2个． 答案：B. 3.已知一组数据7，9，11，13，若将其分为两组，使得每组数据的离差平方和之和最小，则分组方式为_____________________，此时最小的离差平方和之和为________． 【分析】本题考查了离差平方和的计算与分组优化知识点．解题关键在于明确离差平方和的计算公式；对有序数据，优先尝试相邻数据分组，以最小化组内波动；通过枚举所有可能的非空分组，计算并比较各组的离差平方和之和，从而找到最小值． 枚举所有可能的分组方式，计算每组数据的离差平方和，并求和，比较大小，找到最小值． 【详解】数据点有个，可能的分组方式包括一组个点另一组个点，或每组个点．计算每种分组的离差平方和之和： 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 当分组为和时，离差平方和之和为； 比较得，最小值为，对应分组为和． 故答案为：和；． 4．下表是4名学生的数学测试成绩： 学生编号 1 2 3 4 成绩 / 分 72 80 85 93 将这些成绩按从低到高排列后，共有多少种不同的分法？请计算每种分法的组内离差平方和，并找出最优分组． 【分析】根据成绩按从低到高排列，然后再按第1个间隔，第2个间隔，第3个间隔分组，然后分别求出对应的组内离差平方和，比较即可得出答案． 【详解】解：步骤1：将成绩按从低到高排列：72，80，85，93． 步骤 2：共有种不同的分法． 步骤 3：计算每种分法的组内离差平方和： 分法1（第1个间隔）：和； 第一组离差平方和； 第二组平均数：，离差平方和：； 组内离差平方和：． 分法2（第2个间隔）：和； 第一组平均数：，离差平方和：； 第二组平均数：，离差平方和：； 组内离差平方和：． 分法3（第3个间隔）：和； 第一组平均数，离差平方和：； 第二组离差平方和0；组内离差平方和． 步骤 4：比较组内离差平方和，64最小， 答：共有3种不同的分法；最优分组是和． 5．豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣，为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程． 【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据． 【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（），B类（），C类（），D类（），E类（）． 【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查活动中随机抽取了________个豌豆荚，条形图中________，补全条形统计图，扇形图中________； (2)所调查豆子粒数的中位数落在________类中；（只填写字母） (3)如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个，能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由． 【分析】（1）先利用B类的频数和对应百分比求出总数量，的值为C的占比乘总数量，用总数量减去其他类的频数，求出D类的频数，再用D的频数除以总数量然后乘以可求的值； （2）根据中位数的定义判断中位数所在的类别． （3）根据统计中样本与总体的关系，分析样本容量较小时，样本结果能否代表总体规律． 【详解】（1）解：总数量， ∴本次调查活动中随机抽取了100个豌豆荚， C类频数， ∴D类频数， 补全图形如图， ∵， ∴； （2）解：∵总数量， ∴中位数位置是将100个数据进行从小到大排列后的第50、51个数据的平均数， ∵A类累计频数，A、B类累计频数，A、B、C类累计频数， ∴中位数落在C类中； （3）． 6．刘老师设计一些阳光课间活动，其中一项是定点投沙包，规则如下： 如图，四名同学站在同一起投线a上，每人前方一定距离处对应一个位于直线b上的圆圈，且．四名同学分别投掷沙包，共进行5局，每局的计分规则如下： ①若第一次投入圈中，则该局结束，得10分； ②若第一次未投入圈中，则继续投掷，直至投入圈中，每多投一次扣2分（比如前两次未投中，第三次投中，本局得6分）； ③每局每名同学最多可投5次，若第5次仍未投中，则该局得0分． 5 局结束后，累计得分最高者获胜． 四名同学5 局结束后的投圈次数条形统计图和统计表如下： 甲、乙每局投圈次数条形统计图 丙、丁每局投圈次数统计表 局次 一 二 三 四 五 丙每局投圈次数 5 m 3 1 2 丁每局投圈次数 4 x n 3 1 根据以上信息，解答下列问题． (1)当时，若乙、丁每局投圈次数的中位数相同，求n的值； (2)已知四名同学第二局投圈次数的平均数为3，求的值； (3)若丁5局投圈的总次数为 14次，甲同学说：“丁同学 5局累计得分最多是32 分．”请判断甲同学的说法是否正确，并结合计分规则说明理由． 【分析】（1）根据中位数的含义求解即可； （2）根据平均数的含义求解即可； （3）先求解，根据计分规则得到每局的得分，进一步讨论即可． 【详解】（1）解：由条形图可得乙每局的投圈次数从小到大分别为，，，，，， ∴中位数为， 当时， 丁每局的投圈次数为：，，，，，其中为到的整数， ∵乙、丁每局投圈次数的中位数相同， ∴丁每局的投圈次数的中位数为， ∴或． （2）解：∵四名同学第二局投圈次数的平均数为3， ∴， 解得：． （3）解：∵丁5局投圈的总次数为 14次， ∴， ∴， ∵为到的整数， ∴或或或或， ∵第一次投入圈中得分，第二次投入圈中得分，第三次投入圈中得分，第四次投入圈中得分，第五次投入圈中得分，第五次没有投中得分； ∴结合统计图可得： 局次 一 二 三 四 五 丁每局投圈次数 4 x n 3 1 丁每局得分 4 6 10 ∴当时，丁的得分为：（分）或（分）； 当时，丁的得分为：（分）； 当时，丁的得分为：（分）； 当时，丁的得分为：（分）； 当时，丁的得分为：（分）或（分）； ∴甲同学说：“丁同学 5局累计得分最多是32 分．”说法正确． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $