精品解析：上海市青浦区2024-2025学年高二下学期期终学业质量调研数学试卷

2024学年第二学期高二年级期终学业质量调研 数学试卷 Q2025.06 （时间120分钟，满分150分） 考生注意: 1.答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名、学生考号等填写清楚. 2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.本试卷共有21道试题，可以使用规定型号计算器. 一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 与的等差中项为_____. 2. 点到直线的距离为_____. 3. 的展开式中含项的系数为_____. 4. 已知等比数列中，，，则这个数列的公比_____. 5. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为_____. 6. 在平面直角坐标系中，已知双曲线是以直线为渐近线，且经过抛物线的焦点，则该双曲线的标准方程是_____. 7. 如图，用茎叶图表示的个数据的第百分位数是_____. 8. 已知函数，其中.若的一个极值点为则的极大值是_____. 9. 在数列中，，，则______. 10. 已知是抛物线上三点，其中，直线是圆的两条切线，则直线的方程为_____. 11. 已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是______． 12. 若正方体的棱长为3，P是正方体表面上一动点.设是以P为球心，半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体，则的体积为______. 二.选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分.每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑. 13. 已知直线、和平面，且.则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 14. 有个质地大小相同的球，分别标有数字从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（ ）. A. 甲与丙相互独立 B. 乙与丙相互独立 C 丙与丁相互独立 D. 甲与乙相互独立 15. 已知为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 16. 已知椭圆，作垂直于轴直线交椭圆于两点，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，两垂线相交于点，若点的轨迹是某种曲线（或其一部分），则该曲线是（ ）. A 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 三.解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）现采用分层抽样的方式从和的学生中抽取名学生参加运动交流会，大会上需要从这名学生中随机抽取名学生进行经验交流发言，求抽取的名发言者分数差大于分的概率. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，. （1）求证:平面平面； （2）求二面角大小. 19. 随着人们生活水平和环保意识的提高，某家庭购买了某种型号新能源家用汽车.使用汽车共需支出三笔费用：购置费、电费、养护保险费.已知该型号汽车的购置费共万元；购买后预计第年电费共千元，以后每一年都比前一年增加百元. （1）若每年养护保险费均为千元.设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式； （2）若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为千元，由于部件老化等原因，第7年起，每一年的养护保险费都比前一年增加.设使用年后年平均费用为，当时，最小.请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）. 20. 已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形. （1）写出椭圆的标准方程和离心率； （2）当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程； （3）设点满足:，求证:为定值. 21. 定义:若函数与图像上分别存在点，使得当时有成立，则称函数与具有“对称互补”关系. （1）判断函数与是否具有“对称互补”关系，并说明理由； （2）若函数与在给定定义域区间上具有“对称互补”关系，且存在唯一的点对满足条件，求实数的取值范围; （3）若函数不具有“对称互补”关系，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期高二年级期终学业质量调研 数学试卷 Q2025.06 （时间120分钟，满分150分） 考生注意: 1.答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名、学生考号等填写清楚. 2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.本试卷共有21道试题，可以使用规定型号计算器. 一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 与的等差中项为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据等差中项定义计算求解. 【详解】与的等差中项为:. 故答案为：2. 2. 点到直线的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式直接求解. 【详解】 故答案为： 3. 的展开式中含项的系数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据展开式的通项公式计算求解. 【详解】因为含展开式的通项为，所以含项的系数为. 故答案为：. 4. 已知等比数列中，，，则这个数列的公比_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据等比数列任意两项之间的关系式，由数列的项，求数列公比. 【详解】由题知，得，解得. 故答案为：3. 5. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为_____. 【答案】 【解析】 【分析】建系，向量法求直线夹角. 【详解】不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则 则 故所成角的大小为 故答案为：. 6. 在平面直角坐标系中，已知双曲线是以直线为渐近线，且经过抛物线的焦点，则该双曲线的标准方程是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意判断双曲线的焦点位置；再设出双曲线的方程，根据双曲线经过的点及渐近线列出方程组求解，从而可得出双曲线的方程. 【详解】抛物线的焦点为：. 因为双曲线经过点， 所以该双曲线的焦点在轴上，设该双曲线方程为：. 又因为双曲线是以直线为渐近线， 所以，解得：. 所以该双曲线方程为：. 故答案为：. 7. 如图，用茎叶图表示的个数据的第百分位数是_____. 【答案】 【解析】 【分析】将数据由小到大进行排序，结合百分位数的定义可得结果. 【详解】数据从小到大排列为：、、、、、、、、、、、， 由于，故该组数据的第百分位数是. 故答案为：. 8. 已知函数，其中.若的一个极值点为则的极大值是_____. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意求出函数的解析式，然后利用导数分析单调性求解极值即可. 【详解】定义域为， ， 由题意得， 故， 令得，或，令得，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得极大值为. 故答案为： 9. 在数列中，，，则______. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，依次求出确定周期，进而求出. 【详解】由题意易知， 当时，由，得， 由，得，，， 因此数列是以为周期的数列，所以. 故答案为： 10. 已知是抛物线上三点，其中，直线是圆的两条切线，则直线的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线上的点，求出抛物线解析式，根据点到直线的距离公式，求出切线方程，联立抛物线，求出点的坐标，写出直线方程. 【详解】 点在抛物线上，，解得，所以抛物线的方程为， 又直线，是圆的两条切线， 设切线方程为，即， 因为圆心到切线的距离等于半径，则， 所以，解得，则直线的方程为，直线的方程为， 联立直线和抛物线的方程，得，由， 得，得，直线的方程为. 11. 已知点P为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量运算将转化为，通过求的取值范围来求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为. 因为 ． 又因为椭圆的，为椭圆的右焦点， 设，， ， ， 所以，， ∴． 故答案为： 12. 若正方体的棱长为3，P是正方体表面上一动点.设是以P为球心，半径为1的动球在运动过程中经过区域的全体，则的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由空间想象得到为棱长为5的正方体，去掉中心处棱长为1的正方体，各角去掉正方体减去一个顶点为球心半径为1的球后余下部分，各棱处去掉长方体减去一条高为轴，1为底面半径的圆柱后的部分，再结合正方体、球体、圆柱的体积公式求体积. 【详解】由题设，动球在运动过程中经过区域可看作棱长为5的正方体，先去掉中心处棱长为1的正方体， 8个角处去掉：棱长为1的正方体减去一个顶点为球心半径为1的球后剩余部分， 12条棱处去掉：底面边长为1，高为3的棱柱减去一条高为3，底面半径为1的圆柱后剩余部分， 综上，的体积为. 故答案为： 二.选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分.每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑. 13. 已知直线、和平面，且.则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】直线，和平面，且， 当时，不能得到，可能，可能，也可能和只相交不垂直，即充分性不成立； 当时，由，则存在直线，使， 有，所以一定成立，即必要性成立. “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 14. 有个质地大小相同的球，分别标有数字从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（ ）. A. 甲与丙相互独立 B. 乙与丙相互独立 C. 丙与丁相互独立 D. 甲与乙相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型的概率求得每个事甲，乙，丙，丁四事件的概，进而利用相互独立事件的定义逐项计算判断即可.. 【详解】分别标有数字从中有放回地随机取两次，总的方法数有种， 其中甲事件包含6种情况， 乙事件包含6种情况， 丙事件包含4种情况， 丁事件包含5种情况， 所以甲，乙，丙，丁. 对于A，甲丙，所以甲丙甲丙，所以甲与丙不相互独立，故A不正确； 对于B，乙丙，所以乙丙乙丙，所以乙与丙不相互独立，故B不正确； 对于C，丙丁，所以丙丁丙丁，所以丙与丁不相互独立，故C不正确； 对于D，甲乙，所以甲乙甲乙，所以甲与乙相互独立，故D正确. 故选：D. 15. 已知为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是等差数列 D. 是等比数列 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求解. 【详解】由题可知，抛物线的焦点为，准线为， 点在抛物线上，由抛物线的定义可知， 点到焦点距离，即为点到准线的距离，故，同理； 所以，解得. 故数列是等差数列. 故选：A. 16. 已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，两垂线相交于点，若点的轨迹是某种曲线（或其一部分），则该曲线是（ ）. A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】设出点坐标，结合，将点坐标代入椭圆方程，求出点的轨迹方程即可得. 【详解】设，，则， 由及椭圆对称性，可取、， 故有、， 消去，可得，即， 即，则点为双曲线上一点. 故选：C. 三.解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）现采用分层抽样方式从和的学生中抽取名学生参加运动交流会，大会上需要从这名学生中随机抽取名学生进行经验交流发言，求抽取的名发言者分数差大于分的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形面积和为求出； （2）利用抽样比得出在中抽取人，在中抽取人，再利用古典概型的概率公式即可. 【小问1详解】 根据题意可得 解得； 【小问2详解】 和的学生的频率之比为， 在中抽取人，在中抽取人， 要从这名学生中随机抽取名学生进行经验交流发言，一共有种结果， 而抽取名发言者分数差大于分有种结果， 抽取的名发言者分数差大于分的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，. （1）求证:平面平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在平面内找两条相交直线与垂直，利用线面垂直的判定定理可证线面垂直，再根据线面垂直推出面面垂直. （2）如图建系，写出平面和平面的法向量，再根据求二面角的余弦值的数量积公式计算即可得解，再观察图象判断出二面角是钝角. 【小问1详解】 联结 因为底面 所以 因为底面是正方形 所以 因为 所以，又因为， 所以平面平面； 【小问2详解】 建立如图所示空间直角坐标系： 设平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， ，令 ，， 令 ，，. 所以 由题知：二面角为钝角； 所以二面角的大小为. 19. 随着人们生活水平和环保意识的提高，某家庭购买了某种型号新能源家用汽车.使用汽车共需支出三笔费用：购置费、电费、养护保险费.已知该型号汽车的购置费共万元；购买后预计第年电费共千元，以后每一年都比前一年增加百元. （1）若每年养护保险费均为千元.设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式； （2）若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为千元，由于部件老化等原因，第7年起，每一年的养护保险费都比前一年增加.设使用年后年平均费用为，当时，最小.请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据等差数列计算年后电费的总支出，再加上购置费和养护保险费，计算总支出费用； （2）根据等比数列计算时，第年养护保险费，进而计算年后总费用的平均值，计算确定. 小问1详解】 购买后第年电费共元后每一年都比前一年增加元， 购买该车后，每年的电费构成等差数列，首项为，公差为， 购买该种型号汽车第年的电费用为， 购买该种型号汽车第年的电费用为 ， 每年养护保险费均为元，购置费共万元， 购买该种型号汽车年后共支出费用 . 【小问2详解】 设第年养护保险费为，则， 设年后的总费用为， 则 经计算器计算可得时，最小. 20. 已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形. （1）写出椭圆的标准方程和离心率； （2）当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程； （3）设点满足:，求证:为定值. 【答案】（1），； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知求出椭圆参数，即可得椭圆方程； （2）根据已知有，联立椭圆得，进而求圆心和半径，即可得圆的方程； （3）设点，直线为:，直线为，联立求的横坐标，再应用三角形面积公式求比值. 【小问1详解】 因为是边长为的等边三角形，所以，， 又，所以，， 故椭圆的标准方程为，离心率为； 【小问2详解】 因为的一个法向量是且直线过点， 所以直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，得，解得， 所以线段中点为，线段长度为， 故以为直径的圆的标准方程为； 【小问3详解】 由题意，点为直线过点的垂线与直线过点的垂线的交点， 设点，所以直线为:，直线为， 则直线为，直线为， 联立直线方程与直线方程，消去，得， 整理得，即，解得， 因为， 所以，得证. 21. 定义:若函数与的图像上分别存在点，使得当时有成立，则称函数与具有“对称互补”关系. （1）判断函数与是否具有“对称互补”关系，并说明理由； （2）若函数与在给定定义域区间上具有“对称互补”关系，且存在唯一的点对满足条件，求实数的取值范围; （3）若函数不具有“对称互补”关系，求实数的取值范围. 【答案】（1）具有“对称互补”关系，理由见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义计算求解判断即可； （2）先求出导函数结合函数单调性计算求出参数范围； （3）构造函数求出导函数结合函数单调性计算极大值进而得出参数范围. 【小问1详解】 由题意得： ， ， 所以具有“对称互补”关系； 【小问2详解】 由题知：在上有唯一解； 令 当，此时单调递增； 当，此时单调递减； 所以在处取得极大值为， 所以或 所以或 【小问3详解】 由题知：在无解； 当时，无解； 所以 令 所以 当时，，在单调递增，此时 当时，，在单调递增； 当，，在单调减； 所以当时，在处取得极大值为，此时 综上， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $