1.2 菱形的性质与判定 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦菱形的性质与判定，课堂导入从平行四边形性质出发，通过问题引导学生猜想菱形特殊性质，结合折纸实验和证明过程，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生掌握菱形边、对角线的性质及判定方法。 其亮点在于注重数学眼光（几何直观、空间观念）和数学思维（推理能力）的培养，如通过折纸发现性质，严格证明过程培养逻辑推理，例题结合勾股定理逆定理应用。小结对比平行四边形与菱形性质，构建知识体系，助力学生理解，也为教师提供清晰教学流程和丰富练习资源。

2 菱形的性质与判定 2 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 学习目标 1.经历菱形性质定理的探索过程，掌握菱形性质的应用.（重点） 2.掌握菱形面积的求法.（重点） 课时导入 在上一节中，我们学习了菱形的定义，知道了菱形具有平行四边形的所有性质.那么菱形还有哪些特殊性质呢？与同伴进行交流. 菱形的四条边相等，对角线互相垂直. 请你尝试证明这些结论. 知识讲解 知识点1 菱形的性质 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O. 求证:（1）AB = BC = CD =AD；（2）AC⊥BD. A B C D O 证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD， ∴ AB = BC = CD =AD. 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O. 求证:（1）AB = BC = CD =AD；（2）AC⊥BD. A B C D O （2）∵AB=AD， ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD， ∴AO⊥BD，即AC⊥BD. 定理：菱形的四条边相等. 定理：菱形的对角线互相垂直. 思考·交流 你是如何发现菱形的特殊性质的？与同伴交流你的经验. 可以通过折纸的方法发现. 将一张菱形纸片沿2条对角线所在的直线折叠2次，能让菱形完全重合. 可以发现，菱形的四条边相等，对角线互相垂直. 随 堂 小 测 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 C 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. 已知AB=5 cm，AO=4 cm，求BD的长. 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 OA2 + OB2 = AB2， ∴BO = . ∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD=2BO= 2×3=6（菱形的对角线互相平分）. ∴BD 的长为 6 cm. 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交 于点O. 已知AB=5 cm，AO=4 cm，求BD的长. 3.已知：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B.求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°. 又∵∠BAD=2∠B, ∴∠B=60°. ∵AB =BC，∴△ABC是等边三角形. 4.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.求证：AC，CA分别平分∠BAD和∠BCD，BD，DB分别平分∠ABC和∠ADC. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD ，BO=DO， ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD， 同理：CA平分∠BCD，BD，DB分别平分∠ABC和∠ADC. 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6. （1）求菱形的边长AB和对角线AC的长. （2）求菱形ABCD的面积. A C D O B 知识点2 菱形的性质 解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴ AB = AD(菱形的四条边相等)， AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)， OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形，∴AB=BD=6. 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6. （1）求菱形的边长AB和对角线AC的长. （2）求菱形ABCD的面积. A C D O B 在RtΔAOB中，由勾股定理，得 OA2+OB2=AB2， ∴ OA = = = ∴ AC = 2OA = （菱形的对角线互相平分）. 例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6. （1）求菱形的边长AB和对角线AC的长. （2）求菱形ABCD的面积. A C D O B （2）菱形ABCD的面积 =△ABD的面积+△CBD的面积 = 2×△ABD的面积 =2× BD·OA = = . 随 堂 小 测 1.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4 ，BD=8 ，则这个菱形的面积是（ ） A.64 B.32 C.16 D.8 C A B D C O 2.已知菱形的面积为24 cm2，一条对角线长为6 cm，则这个菱形的边长是 （ ） A.8 cm B.5 cm C.10 cm D.4.8 cm B A B D C O 3.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6 cm，BD=8 cm，则菱形的高AE为 cm. 4.8 A B D C O E ∟ 小结 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直. 角：对角相等，邻角互补. 边：对边平行且相等. 对角线：相交并相互平分. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 2 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定 学习目标 1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．（重点） 2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点） 回顾复习 问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？ 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 平行四边形 菱形 一组邻边相等 菱形的性质：（1）菱形是轴对称图形； （2）菱形四条边都相等； （3）菱形的对角线互相垂直. 问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？ 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？ 思考·交流 （1）由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等.反过来，四条边相等的四边形一定是菱形吗？为什么？与同伴交流. （2）菱形的对角线有怎样的性质？写出它的逆命题，这个逆命题成立吗？为什么？与同伴交流. 可以发现：四条边相等的四边形是菱形， 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 知识讲解 知识点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 A B C O D 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴直线BD是线段AC的垂直平分线， ∴BA=BC，∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. A B C O D ∵四边形ABCD是平行四边形（如图）， 又∵AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形.(对角线互相垂直的平行四边形是菱形) 几何语言： 定理：四边相等的四边形是菱形. 1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ） A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD 随 堂 小 测 B 2.判断： （1）对角线互相垂直的四边形是菱形. （ ） （2）对角线垂直且平分的四边形是菱形 . （ ） （3）对角线互相平分的平行四边形是菱形. （ ） （4）对角线垂直且相等的四边形是菱形. （ ） （5）有一条对角线平分一组对角的四边形 是菱形. （ ） × × × √ √ A B C O D 3.如图所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形： 添加方式1： . 添加方式2： . AC⊥BD AB=BC 知识点2 四边相等的四边形是菱形 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形. A B C D 证明： ∵AB=BC=CD=AD，∴AB=CD，BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ∵AB=BC=CD=DA（如图）， ∴四边形ABCD是菱形(四边相等的四边形为菱形). A B C D 几何语言： 尝试·交流 （1）如图，已知线段a，请用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC=a. （2）满足（1）中的菱形唯一吗？如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的？与同伴进行交流. （1）如图，分别以A，C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B ， D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD是菱形. （2）可以在（1）的基础上，令菱形的边长为定值. A B C O D 例2 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB= ，OA=2，OB=1. 求证：□ ABCD是菱形. 证明：在△AOB中, ∵AB= ， OA=2，OB=1， ∴AB2=AO2+OB2. ∴ △AOB是直角三角形， ∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 4.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是（ ） A. ∠BAC＝90° B. ∠DAE＝90° C. AB＝AC D. AB＝AE 随 堂 小 测 A 5.下列命题中正确的是 （ ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形 C 6.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是 （ 　） A. AC⊥BD ，AC与BD互相平分 B. AB=BC=CD=DA C. AB=BC，AD=CD，AC ⊥BD D. AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD C A B C O D 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形. 定义法： 定理1： 定理2： 菱形的判定 小结 $