四川南充市高坪中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

**基本信息** 融合数学文化与核心知识，梯度设计适配高二学情，如以《劝学》“积跬步”情境考查指数增长模型，培养应用意识与文化传承。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差等比基本量计算、导数定义|第4题结合图像辨析导数与函数值关系，考查数学眼光| |多选题|3/18|求导运算、数列前n项和性质|第11题综合等比数列积与单调性，培养逻辑推理| |填空题|3/15|导数几何意义、等比数列求和|第14题通过递推关系与恒成立问题，提升综合应用能力| |解答题|5/70|数列证明、导数切线方程|第18题以递推式证等比数列并解不等式，体现数学思维的严谨性|

高坪中学2025年春季高2023级第一次月考 数 学 试 卷 考试时间：120分钟； 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（     ） A．3 B．2 C． D．4 2．设函数在处存在导数为2，则（     ） A．1 B．2 C． D．3 3．已知等比数列中，，，则公比等于（     ） A． B． C．或 D．或 4．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知数列为等比数列，，公比，则的最大值为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 6．已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列中，，（，且），则通项公式（    ） A． B． C． D． 8．“积跬步以至千里，积小流以成江海．”出自荀子《劝学篇》．原文为“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”数学上这样的两个公式：①；②，也能说明这种积少成多，聚沙成塔的成功之道．它们所诠释的含义是“每天增加1%，就会在一个月、一年以后产生巨大的变化．虽然这是一种理想化的模型，但也能充分地说明“小小的改变和时间积累的力量”．假设某同学通过学习和思考所带来的知识积累的变化，以每天2.01%的速度“进步”，则30天以后他的知识积累约为原来的（     ） A．1.69倍 B．1.96倍 C．1.78倍 D．2.8倍 二、多选题（每题6分，共18分，全对得6分，部分对得部分分，选错得0分） 9．下列求导运算正确的有（   ） A． B． C． D． 10．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．仅有为的最小值 C． D． 11．设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．与均为的最大值 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知函数则a的值为 . 13．设正项等比数列的前项和为，若，则的值为 . 14．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，数列满足，若对任意恒成立，则的取值范围是 . 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分） 15.(13分）．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 16.（15分）已知等差数列的前n项和为，且， (1)求的通项公式和； (2)若，求数列的前n项和 17．（15分）等比数列的各项均为正数，且. (1).求数列的通项公式； 18．（17分）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数. 19．（17分）若数列满足，其中，则称数列为数列．已知数列为数列，当时． (1)求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式； (2)，求． 高二数学 第 2 页 共 4 页 高二数学 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学第一次月考数学试卷 考试时间：120分钟； 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1．已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差（    ） A．3 B．2 C． D．4 2．设函数在处存在导数为2，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 3．已知等比数列中，，，则公比等于（    ） A． B． C．或 D．或 4．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知数列为等比数列，，公比，则的最大值为（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 6．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知数列中，，（，且），则通项公式（   ） A． B． C． D． 8．“积跬步以至千里，积小流以成江海．”出自荀子《劝学篇》．原文为“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”数学上这样的两个公式：①；②，也能说明这种积少成多，聚沙成塔的成功之道．它们所诠释的含义是“每天增加1%，就会在一个月、一年以后产生巨大的变化．虽然这是一种理想化的模型，但也能充分地说明“小小的改变和时间积累的力量”．假设某同学通过学习和思考所带来的知识积累的变化，以每天2.01%的速度“进步”，则30天以后他的知识积累约为原来的（    ） A．1.69倍 B．1.96倍 C．1.78倍 D．2.8倍 二、多选题（每题6分，共18分，全对得6分，部分对得部分分，选错得0分） 9．下列求导运算正确的有（  ） A． B． C． D． 10．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B．仅有为的最小值 C． D． 11．设是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与均为的最大值 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知函数则a的值为 . 13．设正项等比数列的前项和为，若，则的值为 . 14．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，数列满足，若对任意恒成立，则的取值范围是 . 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分） 15.(13分）．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 16.（15分）．已知等差数列的前n项和为，且， (1)求的通项公式和； (2)若，求数列的前n项和 17．（15分）等比数列的各项均为正数，且. (1).求数列的通项公式； 18．（17分）已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数. 19．（17分）若数列满足，其中，则称数列为数列．已知数列为数列，当时． (1)求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式； (2)，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024-2025学年度高二数学第一次月考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A C C C A BCD AC 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】根据等差数列通项公式和求和公式直接计算求解. 【详解】由题意得，，解得. 故选：B 2．C 【分析】利用导数的定义即可得解. 【详解】由依题意，知， 则. 故选：C. 3．C 【分析】根据已知条件可得出关于的二次方程，由此可解得的值. 【详解】由已知条件可得，即，解得或. 故选：C. 4．A 【分析】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图像可得解. 【详解】由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 5．C 【分析】可根据数列通项公式写出的表达式，进而得出结果. 【详解】，则， 当或4时，表达式取得最大值：． 故选：C． 6．C 【分析】由，得到，再利用等比数列的定义求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 7．C 【分析】根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前n项和公式求出通项公式. 【详解】当时，，即，而， 所以 ，满足上式， 所以所求通项公式为. 故选：C 8．A 【分析】根据等比数列的通项公式计算可得答案. 【详解】每天进步2.01%，即0.0201， 因为， 所以30天以后某同学的知识积累约为原来的1.69倍． 故选：A. 9．BCD 【分析】根据导数的运算规则可得正确的选项. 【详解】对于A，；对于B，，故A错B对， 对于C，，故C对； 对于D，，故D对， 故选：BCD. 10．AC 【分析】A选项，利用求出通项公式；B选项，当时，，，当时，，故B错误；C选项，利用等差数列求和公式得到C正确；D选项，先求出，结合C得到答案. 【详解】A选项，中，当时，， 当时，， 显然满足，故，A正确； B选项，因为当时，，，当时，， 故为的最大值，B错误； C选项，， 故，C正确； D选项，， ， 由C知，，故，D错误. 故选：AC 11．ACD 【分析】根据题意，由等比数列的性质依次分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，是各项为正数的等比数列，是其公比，是其前项的积， 由可得，故C正确； 由可得，则，故A正确； 是各项为正数的等比数列，， 则有， 对于B，，则有，故B错误， 对于D，，则与均为的最大值，D正确. 故选：ACD 12．1 【分析】求导可得，进而得，结合题意即可求解. 【详解】由，得， 所以，又 所以，解得. 故答案为：1 13．91 【分析】方法一：利用等比数列前项和的性质即可求解；方法二：利用等比数列前项和的公式，代入计算即可求解. 【详解】方法一：等比数列中，，，成等比数列， 则，，成等比数列，∴，∴， ∴. 方法二：设公比为，由题意显然且,所以， ∴， 故答案为：. 14． 【分析】先由关系求解数列通项公式，代入式子整理得，对整数的奇偶性分类讨论进行数列求和，得数列的最大值，进而得到范围. 【详解】当时，， 又，解得， 由①， 则当时，②， 两式①②相减得，， 即，又，则， 所以数列是以为首项，的公差的等差数列， 故， 则 令， 又 则数列是递增数列，且； 数列是递减数列，， 若恒成立， 且恒成立， 所以，且，解得， 故答案为： 15．(1) (2)，切点为 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解. 【详解】（1）由，得， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点为，由（1）得， 所以切线方程为， 因为切线经过原点， 所以， 所以，． 则， 所以所求的切线方程为，切点为． 16．(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前项和为求得首项与公差，即可得数列的通项公式和； （2）由（1）得，通过裂项相消法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 则，解得，， 所以，. （2）由（1）可知：， 所以. 17．（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可； （2）由an＝化简bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设数列{an}的公比为q, 由＝9a2a6得＝9, 所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝. 由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝. 故数列{an}的通项公式为an＝. （2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－. 故. 所以数列的前n项和为 18．(1)证明见解析， (2)12 【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列为等比数列，再根据等比数列的通项公式写出数列的通项公式即可； （2）利用分组求和法求得，记，判断出单调递增，再分别取和验证即可. 【详解】（1）因为，所以， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； 所以， 所以； （2）由（1）知， 记，则， 所以单调递增， 当时，，不符合； 当时，， 所以的最大值为12. 19．(1)证明见解析，； (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义及通项公式计算即可； （2）观察式子结构，分奇偶可得，根据等差数列求和公式可得，再利用裂项相消法计算即可. 【详解】（1）由题意可知：，， 所以是等差数列，首项与公差均为1，则， 又，所以，； （2）易知 ， 所以， 则， 故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $