24.2.1《离差平方和、方差》课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“离差平方和、方差”核心知识点，通过农业专家选择甜玉米种子的实际问题导入，先回顾数据集中趋势（平均数），再引出离散程度刻画需求，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是以真实情境（甜玉米产量、射击成绩等）驱动探究，通过“平均离差局限→离差平方和→方差”的推理链培养数学思维，结合数据计算与图表分析发展数据观念。学生能提升数据分析能力，教师可借助实例和步骤引导高效教学。

第二十四章 数据的分析 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 24.2 数据的离散程度 24.2.1 离差平方和、方差 1 学习目标 1. 掌握离差、离差平方和、方差的概念与方差计算公式，能计算数据方差，利用方差判断数据波动与稳定性. 2. 理解方差的推导逻辑，明晰平均离差、离差平方和的局限性，掌握完整数据分析解题步骤. 3. 学会结合平均数、方差综合分析数据，感受统计在生活中的应用，养成全面分析数据的习惯. 2 新知探究 在数据分析中，除了集中趋势，数据的波动情况也是人们经常关注的特征，统计中把它称为数据的离散程度.本节我们将学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量——离差平方和、方差. 3 4 新知探究 问题 某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量 (单位：t) 如下表所示. 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢? 5 新知探究 上面两组数据的平均数分别是 甲=7.537，乙=7.515. 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大. 由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大. 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 由样本平均数 估计总体平均数 6 新知探究 为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述，如图所示. 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 2 4 6 8 10 12 每公顷产量 数据 序号 0 甲种甜玉米的产量 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 2 4 6 8 10 12 每公顷产量 数据 序号 0 乙种甜玉米的产量 7 新知探究 比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好． 8 新知探究 思考 如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？ 正如两幅图所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小. 反过来也成立. 这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画. 9 新知探究 一般地，有 n 个数据 x1，x2，，xn，用表示它们的平均数，我们把 xi- （i=1，2，，n）叫作 xi 关于平均数的离差或偏差. 10 新知探究 思考 可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？ 用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由 (x1- )+(x2- )++(xn- )=x1+x2++xn-n=0 可知，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异. 11 新知探究 为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.我们把 (x1- )2+(x2- )2++(xn- )2 叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”. 把离差的平方的平均数 叫作这组数据的方差，记作“s2”. 12 新知探究 方差的意义： 方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量. 方差越大，数据的离散程度越大； 方差越小，数据的离散程度越小. 而且在比较两组数据的离散程度时，不受数据个数的限制. 13 新知探究 思考 你能利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度吗? ≈ 0.010， ≈ 0.002. 由，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好. 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 14 新知探究 由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定.正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差. 因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定. 综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米. 15 新知探究 离差平方和可以刻画一组数据的离散程度. 在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制. 思考 用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？ 16 新知探究 例1 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示. 哪名射击运动员的发挥更稳定？ 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为 甲= =8.7, 乙= =8.6. 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 17 新知探究 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 两名运动员射击成绩的方差分别为 s2甲= =2.41, s2乙= =1.04. 由s2甲＞s2乙可知，乙射击运动员的发挥更稳定. 18 新知探究 如何使用计算器求方差？ 使用计算器的统计功能可以求方差.操作时需要参阅计算器的使用说明书，通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据，最后按动求方差的功能键，计算器便会求出方差的值. 19 新知探究 在利用方差比较两组数据的波动情况时，一定要先计算两组数据的平均数.一般说来，平均数可能反映数据的优劣程度，如果在平均数上已经能够区分几组数据的优劣，那么就不用再考虑方差的大小了.但在实际的习题中，往往都是平均值相同，那么此时就要考虑数据的方差情况了.由此可得到：在解决问题时，要先算平均数，当平均值不同时，择优选取；当平均数相同时，比较方差，选择波动较小的一组数据. 20 随堂演练 1.两组数据：8，9，9，10和8.5，9，9，9.5，它们之间不相等的统计量是( ) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 2.已知一组数据1，2，3，x，5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班级平均分和方差如下： 甲=82， 乙=82，s2甲=254，s2乙=190，则成绩较为整齐的是( ) A.甲班 B.乙班 C.两班一样整齐 D.无法确定 D B B 21 随堂演练 4. 如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序.先通过直观判断排序，再根据方差排序.这两种排序的结果是否一致？ 解：(1)1=×(6+6+6+6+6)=6， s21=×[(6−6)²+(6−6)²+(6−6)²+(6−6)²+(6−6)²]=0. (2)2=×(5+6+6+6+7)=6， s22=×[(5−6)²+(6−6)²+(6−6)²+(6−6)²+(7−6)²]=0.4 22 随堂演练 (3) 3= ×(4+5+6+7+8)=6， s23=×[(4−6)²+(5−6)²+(6−6)²+(7−6)²+(8−6)²]=2. (4) 4= ×(4+4+6+8+8)=6， s24=×[(4−6)²+(4−6)²+(6−6)²+(8−6)²+(8−6)²]=3.2. 所以这4组数据按方差大小，离散程度从小到大的排序为(1)<(2)<(3)<(4). 通过直观判断和根据方差排序的结果是一致的. 23 随堂演练 5.某水果店一周内甲、乙两种水果每天销售情况统计如下(单位: kg); (1)分别求出本周甲、乙两种水果每天销售的平均数; 解: (1) 甲==51 乙==51 甲、乙两种水果每天销售的平均数均为51kg. 24 随堂演练 5.某水果店一周内甲、乙两种水果每天销售情况统计如下(单位: kg); (2)说明甲、乙两种水果销售量的稳定性. 解: (2) S2甲=[(45-51)2+(44-51)2+...+(66-51)2]= S2乙=[(45-51)2+(44-51)2+...+(66-51)2]=24 ∵ S甲2 ＞S2乙 ∴乙种水果销售更稳定. 25 课程小结 数据的离散程度 离差平方和 d2=(x1- )2+(x2- )2++(xn- )2. 方差 s2= . 26 第二十四章 数据的分析 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 24.2 数据的离散程度 24.2.1 离差平方和、方差 27 $