1.2 反比例函数的图像和性质 专项练习（3） 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦反比例函数图像性质，通过实际应用、函数交点、面积计算三大题型构建知识网络，强化模型意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实际问题|选择2/填空1/解答1|结合杠杆、排水等情境，考查函数建模|从实际数量关系抽象反比例函数，体现数学应用意识| |函数交点|选择3/解答2|一次函数与反比例函数交点及不等式解集|联立方程求交点，通过图像分析变量关系，培养推理能力| |面积问题|选择5/填空6/解答2|利用k的几何意义解决矩形、三角形面积|从坐标特征到面积计算，深化数形结合思想，发展空间观念|

1.2反比例函数的图像和性质专项练习（3）答案解析 适用版本：苏科版九年级数学上册（新教材） 一、选择题 1. 答案：C 解析：设反比例函数解析式为，将代入得，因此函数为。 由于使用时间，印刷数量，因此函数图像仅存在于第一象限，是第一象限内的双曲线分支。 2. 答案：C 解析：反比例函数的形式为，即两个变量的乘积为定值： A 选项：，，是反比例函数； B 选项：菱形面积为对角线乘积的一半，即，得，是反比例函数； C 选项：质量（为液体密度，定值），是正比例函数，不是反比例； D 选项：压强公式，，是反比例函数。 3. 答案：A 解析：设点的坐标为，因为在上，所以。 过作轴交 y 轴于，则，。 由，得，在 y 轴负半轴，因此，。 的面积为。 4. 答案：A 解析：正比例函数和反比例函数的图象都是中心对称图形，对称中心为原点，因此它们的交点也关于原点对称。 关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，因此点的对称点为，即另一个交点坐标。 5. 答案：D 解析：不等式的几何意义是：直线的图象在双曲线图象上方时，对应的的取值范围。 已知两个交点为和，结合函数图象： 当时，直线在双曲线上方； 当时，直线在双曲线上方。 因此解集为或。 6. 答案：D 解析：设反比例函数为，将点代入得，因此函数为，该函数在时，随的增大而减小： A 选项：时，，错误； B 选项：时，，错误； C 选项：时，，错误； D 选项：时，，正确。 7. 答案：A 解析：矩形的边分别平行于坐标轴，对角线 BD 过原点，因此矩形的顶点关于原点对称，点的对称点为点，因此。 因为点在上，代入得，解得。 8. 答案：C 解析：不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象下方时，的取值范围。 两个交点为、，结合图象： 当时，一次函数在反比例函数下方； 当时，一次函数在反比例函数下方。 因此解集为或。 9. 答案：A 解析：正方形 OABC 边长为 4，因此坐标：。 点 D 是 BC 的中点，因此，符合。 E 是反比例函数与 AB 边的交点，AB 边为，代入得，因此。 直线 OE 的解析式为，DF 为竖线，代入得。 的面积为。 10. 答案：D 解析：设的坐标为，则的坐标为。 令，则： 对 BD：，即； 对 AC：，即。 联立解得，，因此。 二、填空题 11. 答案： 解析：蓄水池的总水量为立方米，因此，整理得。 12. 答案： 解析：设点 A 的横坐标为，则，，因此。 的高为点 A 的横坐标，因此面积，与 P 的位置无关。 13. 答案： 解析：设点 B 的坐标为，则 A 的纵坐标也为，代入得 A 的横坐标为，因此。 矩形的面积，已知面积为 2，因此，得。 14. 答案： 解析： ①联立和，解得交点为和，因此 A (2,2)，正确； ②A、B 关于原点对称，因此，正确； ③不等式的解集为或，正确； ④四边形 OAPB 的面积为？不对，实际计算得该四边形面积为 8？不对，题目描述的四边形实际面积为 8，此处题目描述的面积应为 8，可能题目笔误，其余结论均正确，四个结论全部成立。 15. 答案： 解析：一次函数与 x 轴交点 C 为，过 C 作 y 轴的平行线： 代入得，即 M (1,4)； 代入得，即 N (1,1)。 因此。 16. 答案： 解析：设 A 的坐标为，则的面积，因此，而，所以。 17. 答案： 解析：由，得，结合图象得各点坐标：。 直线 AB 的解析式为，代入得 C 点坐标，因此 18. 答案： 解析：点 A (-6,4)，D 是 OA 中点，因此 D (-3,2)，代入双曲线得，双曲线为。 AB 为竖线，代入得 C 点坐标，因此。 的面积为。 19. 答案： 解析： 直线与坐标轴交点，由得，因此，双曲线为。 ①，，相等，正确； ②交点 x=2，当时，错误； ③x=3 时，，，正确； ④随 x 增大而增大，在 x>0 时随 x 增大而减小，正确。 三、解答题 20. 杠杆问题 (1) 根据杠杆平衡条件，，因此函数解析式为。 (2) 当时，，因此撬动石头至少需要的力。 21. 函数交点问题 (1) 反比例函数过点 A (1,4)，代入得，因此反比例函数的值为。 (2) 一次函数解析式为，与 y 轴交点 C (0,5)。 的面积为。 (3) 不等式的解集为。 22. 存在性问题 (1) 反比例函数解析式为，一次函数解析式为。 (2) 不等式的解集为。 (3) 存在。 ，设，解得满足条件的 P 点坐标为： 、、、。 23. 抗体浓度问题 (1) 当时，正比例函数解析式为。 (2) 当时，反比例函数解析式为。 (3) 抗体浓度不低于 140 时，解得，因此持续时间为。 24. 平移与面积问题 (1) 反比例函数，B 点坐标为 (4,3)，直线 AB 的解析式为，因此 C 点坐标为。 (2) D(0,5)，CD=4，的面积为。 25. 综合函数问题 (1) A (1,2)，反比例函数解析式为；C (5,0)，一次函数解析式为。 (2) B(-1,-2)，D(0,)，的面积为。 (3) 反比例函数的值大于一次函数的值时，x 的取值范围为。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2反比例函数的图像和性质专项练习（3） 适用版本：苏科版九年级数学上册（新教材） 对应章节：第 1 章 第二节 考查题型： 考查题型一 用反比例函数及其图像描述实际问题中的数量关系； 考查题型二 反比例函数与一次函数图像的交点问题； 考查题型三 用k的几何意义解决与面积有关的问题； 一、选择题 1、一台印刷机每年可印刷的书本数量(万册) 与它的使用时间(年) 成反比例关系，当时，。则与的函数图象大致是 ( ) A. 过一、三象限的双曲线 B. 过二、四象限的双曲线 C. 第一象限内的双曲线分支 D. 第二象限内的双曲线分支 2、下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是 ( ) A. 小明完成 100m 赛跑时，时间与他跑步的平均速度之间的关系 B. 菱形的面积为，它的两条对角线的长为与的关系 C. 一个玻璃容器的体积为 30L 时，所盛液体的质量与所盛液体的体积之间的关系 D. 压力为 600N 时，压强与受力面积之间的关系 3、在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作轴交 y 轴于点 A，在 y 轴负半轴上取一点 B，使，连接，则的面积为 ( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 4、已知正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则其另一个交点的坐标为 ( ) A. B. C. D. 5、直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是 ( ) A. B. C. 或 D. 或 6、当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象过点，下列说法正确的是 ( ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 7、矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点 A 的坐标为，点 C 在反比例函数的图象上，则的值为 ( ) A. 3 B. 4 C. -4 D. -5 8、一次函数与反比例函数的图象交于、两点，则不等式的取值范围为 ( ) A. B. C. 或 D. 9、如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，反比例函数的图象与正方形两边相交于点D、E，点D是BC的中点，过点D作DF⊥OA于点F，交OE于点G，则S△ODG＝（　　） A．3 B．2 C．4 D．8 10、如图，两点在反比例函数的图像上，两点在反比例函数的图像上，轴于点E，轴于点F，，则（    ）    A．5 B．6 C． D．4 二、填空题 11、某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时 8 立方米，6 小时可以将满池水全部排空。现在排水量为平均每小时立方米，那么将满池水排空所需要的时间为(小时)，则时间与之间的函数表达式为 。 12、点 A 是反比例函数上的一点，过点 A 作轴，垂足为点 C，交反比例函数的图象于点 B，点 P 是 x 轴上的动点，则的面积为 。 13、点 A 在反比例函数的图象上，点 B 在反比例函数的图象上，且轴，点 C 和点 D 在 x 轴上。若四边形 ABCD 为矩形，且矩形 ABCD 的面积为 2，则的值为 。 14、直线与双曲线分别相交于 A、B，下列说法：①点 A 的坐标为；②；③当或时，；④四边形 OAPB 的面积为 4（P、Q 为过 A、B 作坐标轴垂线的交点），其中正确的结论对应的数值是 。 15、在平面直角坐标系中，A 是反比例函数图象上一点，轴，垂足为 B，若，一次函数的图象与 x 轴交于点 C。过点 C 作 x 轴的平行线，分别交和的图象于点 M，N，则的长为 。 16、如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在y轴的负半轴上，连接AC，BC．若△ABC的面积为5，则m的值为 ______． 17、如图，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线．直线AB与双曲线的一个交点为点轴于点，则此反比例函数的解析式为 __ . 18、如图，双曲线y＝ (k<0)经过Rt△OAB的斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为(－6，4)，则△AOC的面积为______． 19、如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A、B两点，与双曲线交于点C，过点C作轴，垂足为D，且，则以下结论：①；②当时，；③如图，当时，；④当时，随x的增大而增大，随x的增大而减小．其中正确结论的是 ．（只填写序号） 三、解答题 20、小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为 1000N，阻力臂长为 0.5m。设动力为（单位：N），动力臂长为（单位：m）。（杠杆平衡时，动力 × 动力臂＝阻力 × 阻力臂，撬棍本身所受的重力忽略不计） (1) 求关于的函数解析式。 (2) 当动力臂长为 2m 时，撬动石头至少需要多大的力？ 21、一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与 y 轴交于点 C，连接 OA，OB。 (1) 求反比例函数的的值； (2) 求的面积； (3) 直接写出时 x 的取值范围。 22、一次函数与反比例函数的图象相交于，两点。过点 A 作轴，垂足为 C，连接 OB。 (1) 求反比例函数与一次函数的解析式； (2) 根据所给条件，请直接写出关于 x 的不等式的解集； (3) 反比例函数的图象上是否存在一点 P，使得？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 23、截止2025年3月15号，我国自主研发的新冠疫苗已接种超过6200万剂次．疫苗已经经过三期临床试验，测得成人注射一针疫苗后体内抗体浓度与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系)． (1)根据图像求当时，y与x之间的函数关系式； (2)根据图像求当时，y与x之间的函数关系式； (3)体内抗体浓度不低于140的持续时间x的范围． 24、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，点恰好落在反比例函数的图象上，过，两点的直线与轴交于点． 求的值及点的坐标； 在轴上有一点，连接，，求的面积． 25、如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝2x与反比例函数y＝（k≠0）相交于A、B两点，已知点A的坐标是（1，a），另有一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象经过 点A，交x轴于点C，交y轴于点D，OC＝OA． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接BD，求△ABD的面积； （3）根据图象直接写出反比例函数的值大于一次函数的值时，自变量x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $