2026年中考数学真题完全解读（山西卷）

该初中数学中考复习讲义全面覆盖数与式、函数、几何、统计概率等核心模块，通过模块整合与考点细目表系统梳理知识内在联系，设计“考点分析-策略指导-真题训练”教学流程，助力学生突破基础运算、几何推理等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于融合三晋文化情境（如藻井测算、七巧板书签）与项目式学习（如第20题藻井调查），培养学生抽象能力与模型观念，通过“问题情境-模型建立-求解验证”活动流程提升应用意识。设置分层练习与避坑提醒，确保高效复习，帮助教师精准把控节奏，提升学生应考能力。

2026年山西省中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年山西省中考数学试卷共23题，满分120分，考试时间120分钟。试卷延续“选择题10题+填空题5题+解答题8题”的稳态结构，分值分布为30分、15分、75分。整体难度以基础性为主，兼顾综合性、应用性和创新性，突出对数学核心素养的全面考查。选择题第1-10题覆盖有理数、整式运算、三视图、平行线、坐标系、反比例函数、增长率等核心概念，其中第9、10题在基础框架下融入正方形平移与整数位值分析，体现“基础题不基础”的倾向。填空题第11-15题分别考查二次根式、分式运算、概率、一次函数建模和四边形综合推理，梯度明显。解答题第16-23题中，第16题为常规计算与不等式组，第17题以《考工记》铜锡配比为背景考查二元一次方程组，第18题围绕短视频评选开展统计分析，第19题考查圆与扇形面积，第20题以山西古建筑藻井为情境进行解直角三角形测算，第21题通过“工匠智慧”阅读材料考查尺规作图与推理，第22题以小麦产量与施氮量为背景的二次函数应用，第23题则是三角形旋转的综合探究。全卷对抽象能力、运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识和创新意识均有覆盖，尤其强调在真实情境中提取信息、建立数学模型和进行逻辑推理的能力。 试题亮点 1. 三晋文化符号与古建筑情境高频入题，彰显山西卷的育人底色：第6题以省城迎泽公园景点分布创设平面直角坐标系问题，将太原地标融入坐标定位；第13题以“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”等非遗书签设计概率问题，让学生在抽取书签的过程中感受传统工艺魅力；第20题直接以山西某古建筑大殿顶部藻井为项目背景，要求学生运用解直角三角形测算中间层菱形井对角线长度，把地方文化遗产转化为数学探究素材；第21题以木工师傅画角的工匠智慧为阅读材料，体现《考工记》中的传统文化与尺规作图融合。 2. 项目式学习与综合实践贯穿中高档题，应用意识考查常态化：第20题以“藻井的调查与测算”为项目主题，完整呈现项目背景、项目主题、驱动任务、活动过程和反思，是典型的项目式学习题型；第22题“综合与实践”以科研团队研究不同肥力麦田小麦产量与施氮量关系为背景，通过抛物线模型让学生经历建立模型、应用分析、比较最优方案的完整过程；第23题“综合与探究”以等腰三角形旋转为情境，设置推理证明、拓展延伸和分类讨论三问，突出探究性学习。 3. 思维能力层级分明，几何与函数仍是区分主战场：第9题正方形中的平移线段与线段比例，需要构造相似或利用坐标法；第15题四边形中通过添加辅助线、利用相似三角形和勾股定理求线段长；第22题二次函数最值与总产量最优化，需要理解顶点、对称轴及参数关系；第23题旋转背景下的全等、菱形判定和直角三角形分类讨论，综合度高、区分度强。这些题目共同体现从直观感知到逻辑推理、从静态计算到动态探究的能力梯度。 命题趋势 一、三晋地方文化符号将持续入题，育人导向更加鲜明：近三年山西中考数学频繁选取本地地标、古建筑和非遗素材，2026年继续以迎泽公园、七巧板书签、古建筑藻井等为载体。第6题用迎泽公园景点坐标定位，第13题用七巧板书签抽取设计概率，第20题用藻井结构开展解直角三角形测算，第21题用《考工记》工匠智慧引出尺规作图。未来命题将继续挖掘山西传统文化、古建筑和地方产业素材，引导学生在熟悉的地域情境中建立数学模型，体现“数学服务地方、文化传承育人”的导向。 二、项目式学习与综合实践比重稳中有升，真实情境建模成为常态：2026年试卷在第20、22、23题分别设置项目式学习、综合与实践、综合与探究三类活动型题目，合计分值超过30分。第20题要求学生阅读活动报告、提取测量数据并完成测算；第22题以农业科研数据为背景建立二次函数模型；第23题通过图形旋转开展探究证明。此类题目不仅考查知识掌握，更考查信息提取、方案设计和数学表达能力，预计未来山西卷将继续加大活动型、探究型题目的比重。 三、基础题“送分到位”但概念理解要求更深，拒绝机械刷题：选择题第1-8题和填空题第11-12题总体保持较低难度，但第2题轴对称图形需要准确识别对称性，第3题整式运算要求逐项辨析运算法则，第10题整数位值问题需要抽象出代数表达式并分析7的倍数特征，第11题二次根式比较需要先化简再判断。这些题目看似简单，实则考查概念本质和运算条理，未来基础题将继续通过“反套路”设计检验学生是否真正理解概念。 四、几何综合与函数应用仍是压轴区分主战场，思维过程考查持续强化：第22题二次函数应用以农业产量最优化为背景，第23题旋转背景下的全等、菱形和直角三角形分类讨论，两题合计26分，是顶尖区分度载体。第23题第(2)②问还需要对直角顶点位置进行分类讨论，体现了“设参—建方程—分类验证”的完整思维链条。未来压轴题将继续淡化复杂计算、强化思维过程和数学表达规范。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 3 数与式→有理数→正负数的意义 抽象能力、运算能力 2 单选 3 图形的变化→图形的对称→轴对称图形的识别 几何直观 3 单选 3 数与式→整式→整式的运算 运算能力 4 单选 3 图形的性质→投影与视图→三视图（左视图） 空间观念、几何直观 5 单选 3 图形的性质→相交线与平行线→平行线的判定 推理能力、几何直观 6 单选 3 图形的性质→图形与坐标→平面直角坐标系 几何直观、应用意识 7 单选 3 函数→反比例函数→反比例函数的图象与性质 运算能力、推理能力 8 单选 3 方程与不等式→一元二次方程→一元二次方程的应用（增长率问题） 模型观念、运算能力 9 单选 3 图形的变化→图形的平移→正方形中的平移与线段比例 几何直观、推理能力 10 单选 3 数与式→整数→数位表示与整除性 抽象能力、推理能力 11 填空 3 数与式→二次根式→二次根式的比较大小 运算能力 12 填空 3 数与式→分式→分式的加减运算 运算能力 13 填空 3 统计与概率→概率→用列表法或树状图求概率 数据观念、推理能力 14 填空 3 函数→一次函数→一次函数的实际应用 模型观念、运算能力 15 填空 3 图形的性质→四边形→四边形综合推理与计算 推理能力、几何直观 16 解答 10 数与式→实数与不等式→实数运算与一元一次不等式组 运算能力 17 解答 7 方程与不等式→二元一次方程组→二元一次方程组的实际应用 模型观念、运算能力 18 解答 9 统计与概率→统计量→平均数、中位数、众数、方差 数据分析、推理能力 19 解答 7 图形的性质→圆→切线性质与扇形面积 推理能力、运算能力 20 解答 8 图形的性质→解直角三角形→解直角三角形的实际应用 模型观念、几何直观 21 解答 8 图形的变化→尺规作图→阅读材料型尺规作图与推理 推理能力、创新意识 22 解答 13 函数→二次函数→二次函数的实际应用与最值 模型观念、运算能力 23 解答 13 图形的变化→图形的旋转→旋转背景下的全等、菱形与分类讨论 推理能力、几何直观 考点模块占比分析 数与式模块（约27%，32分）：重点考查有理数、整式、分式、二次根式、实数运算和一元一次不等式组等基础概念与运算，对应第1、3、10、11、12、16、17题。该模块强调运算的准确性和概念的本质理解。 函数模块（约16%，19分）：重点考查反比例函数、一次函数和二次函数的图象性质及实际应用，对应第7、14、22题。第22题以小麦产量与施氮量为背景，综合考查二次函数建模与最值分析。 图形的性质模块（约25%，30分）：重点考查三视图、平行线、平面直角坐标系、四边形、圆、解直角三角形等几何图形的性质与推理，对应第4、5、6、15、19、20题。该模块强调几何直观与逻辑推理的结合。 图形的变化与综合实践模块（约22%，27分）：重点考查轴对称、平移、旋转、尺规作图及项目式学习、综合探究，对应第2、9、21、23题。第20题以山西古建筑藻井为项目情境，第23题以旋转为背景设置综合探究。 统计与概率模块（约10%，12分）：重点考查概率计算和统计量的分析与应用，对应第13、18题。第18题结合短视频评选，要求学生综合运用平均数、中位数、众数、方差进行决策分析。 核心复习策略 1. 夯实基础运算，重视概念本质 （1）系统梳理有理数、整式、分式、二次根式的运算法则，强化运算步骤的规范表达，避免因符号、通分、化简等细节失分。 （2）深入理解正负数、轴对称、三视图、平行线判定等基本概念，通过变式训练识别“反套路”设计，做到“会而不错、对而又快”。 2. 强化几何直观与推理能力 （1）注重三角形、四边形、圆的性质网络建构，熟练添加常见辅助线，掌握相似、全等、勾股定理在综合题中的综合运用。 （2）加强平移、旋转、轴对称等变换问题的训练，培养动态几何观念，提升在复杂图形中提取关键信息的能力。 3. 提升情境建模与综合实践能力 （1）多关注山西本地文化、古建筑、非遗、农业等真实情境，训练从文字、表格、图像中提取信息并建立函数、方程、不等式模型的能力。 （2）熟悉项目式学习、综合与实践、综合与探究题型的答题结构，重视“问题情境—建立模型—求解验证—反思表达”的完整过程。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×只刷难题忽视基础：基础题失分最不划算。 ×只背模板不理解原理：新情境下必须依靠理解迁移。 ×做题不复盘：错题复盘的价值远大于机械刷题。 ×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。 一、单选题 1．如果水库的水位升高0.06米时水位变化记作米，那么水位下降0.05米时水位变化记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 命题透视 ►核心考点：正数和负数的意义 ►命题分析： （1）情境创设：以水库水位变化为现实背景，用正负数表示具有相反意义的量。 （2）问题设计：直接考查相反意义量的表示，选项设置成正数、负数两种方向，干扰项主要考查对“升高”与“下降”对应符号的理解。 （3）考查目标：考查学生对正数和负数概念的理解，以及将实际问题抽象为数学符号的能力。 答案与解析 【答案】A 【详解】解：∵水位升高米时水位变化记作米，说明升高用正数表示， ∴与升高意义相反的下降应用负数表示， 因此水位下降米时水位变化记作米． 知识总结 ① 核心概念：正数和负数可用来表示一对具有相反意义的量，通常规定其中一个方向为正，则另一个方向为负。② 解题要点：先明确题目中规定的正方向，再判断所求量与规定方向相同还是相反，最后确定符号和数值。③ 拓展关联：相反意义的量在生活中广泛应用，如温度升降、海拔高低、收入支出、向东向西等。 2．学校开展非遗文化体验活动．下列是同学们设计的活动项目图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：轴对称图形的识别 ►命题分析： （1）情境创设：以学校开展非遗文化体验活动设计项目图标为情境，要求学生从四个图标中识别轴对称图形。 （2）问题设计：四个选项分别给出不同图案，要求学生依据轴对称图形的定义进行判断，考查对定义的直接应用。 （3）考查目标：考查几何直观能力和对轴对称图形概念的理解。 答案与解析 【答案】C 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 知识总结 ① 核心概念：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。② 解题要点：判断时先想象或画出可能的对称轴，再检验折叠后是否完全重合；对于复杂图案可尝试水平、竖直、斜向多种对称轴。③ 拓展关联：轴对称在建筑、剪纸、徽标设计中广泛应用，常与中心对称、旋转对称结合考查。 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：整式的运算 ►命题分析： （1）情境创设：直接考查整式运算的正确性，属于纯数学运算题。 （2）问题设计：四个选项分别给出不同的整式运算结果，要求学生准确运用幂的运算、合并同类项、去括号等法则逐一判断。 （3）考查目标：考查运算能力和对整式运算法则的掌握程度。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：A、 ∵   ，∴ A错误； B ∵   ，∴ B正确； C 、∵   ，∴ C错误； D 、∵   ，∴ D错误． 知识总结 ① 核心概念：整式运算包括合并同类项、去括号、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除等，必须严格遵循相应法则。② 解题要点：逐项化简，不跳步；注意符号变化，尤其是括号前是负号时；幂的运算要分清“指数相加”“指数相乘”“指数不变”三种情况。③ 拓展关联：整式运算是分式、根式、函数等后续学习的基础，运算能力是中考数学的核心能力之一。 4．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通．如图是它的示意图及主视图，其左视图为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：三视图（左视图） ►命题分析： （1）情境创设：以机器零件及孔洞为实物背景，给出几何体的示意图和主视图，要求判断其左视图。 （2）问题设计：题目结合工程零件，考查左视图的绘制，关键是识别前后贯通的圆孔在左视图中的虚线表示。 （3）考查目标：考查空间观念和几何直观，要求学生能从不同方向观察几何体并正确绘制视图。 答案与解析 【答案】A 【分析】根据左视图定义解答即可． 【详解】解：从左面观察几何体，看不见的孔洞轮廓要用虚线表示，零件左侧整体为矩形，前后贯通的圆孔在左视图中呈现两条水平虚线，下方还有底座矩形，对应选项A． 知识总结 ① 核心概念：三视图包括主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）；看不见的轮廓线用虚线表示。② 解题要点：先确定观察方向，再分辨可见轮廓与不可见轮廓；本题中圆孔前后贯通，从左面看应表现为两条水平虚线。③ 拓展关联：三视图与展开图、立体图形的表面积和体积计算密切相关，是培养空间观念的重要内容。 5．图1为木质花窗的局部，将其部分抽象成如图2所示的平面图形．为验证与是否平行，已测得，仅用下列一个测量结果即可判定与平行的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：平行线的判定 ►命题分析： （1）情境创设：以木质花窗局部抽象成的平面图形为背景，考查两直线平行的判定条件。 （2）问题设计：给出四个不同的测量结果，要求学生判断哪一个能推出两直线平行，重点考查内错角相等、同位角相等、同旁内角互补等判定方法。 （3）考查目标：考查推理能力和对平行线判定定理的掌握。 答案与解析 【答案】B 【分析】根据平行线的判定判断选项即可． 【详解】解：A选项，若，无法判断与平行； B选项，若，则， 由内错角相等，两直线平行，可得与平行； C选项，若，无法判断与平行； D选项，若，无法判断与平行 ． 知识总结 ① 核心概念：平行线的判定方法主要有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。② 解题要点：先确定被截两直线和截线，再识别角的位置关系，最后判断对应判定条件是否成立。③ 拓展关联：平行线判定与性质互逆，常与三角形、四边形综合考查，是平面几何推理的基础。 6．如图为省城迎泽公园部分景点分布示意图．将其放在平面直角坐标系内，若用表示赏荷栈道的位置，用表示泽众书院的位置，则中国共产党太原历史展览馆的位置表示为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：平面直角坐标系 ►命题分析： （1）情境创设：以省城迎泽公园部分景点分布为真实情境，用坐标表示景点位置。 （2）问题设计：给出两个景点的坐标，要求学生确定坐标系并写出第三个景点的坐标，考查坐标系的建立和点的坐标表示。 （3）考查目标：考查几何直观和应用意识，以及在真实地图情境中建立数学模型的能力。 答案与解析 【答案】B 【分析】根据题干给出的坐标确定平面直角坐标系，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， ∴中国共产党太原历史展览馆的位置表示为 ． 知识总结 ① 核心概念：平面直角坐标系由两条互相垂直且原点重合的数轴组成，平面内任意一点都可用唯一的有序数对(x,y)表示。② 解题要点：根据已知点的坐标确定原点、坐标轴方向和单位长度，再读取未知点的坐标；注意横坐标在前、纵坐标在后。③ 拓展关联：坐标系是函数图象、解析几何的基础，在生活中可用于地图定位、GPS导航等。 7．已知点，点，点都在反比例函数的图象上，则，，的关系是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：反比例函数的图象与性质 ►命题分析： （1）情境创设：直接给出反比例函数图象上的三个点，比较函数值大小。 （2）问题设计：通过比较三点的横纵坐标特征，判断函数值的大小关系，考查反比例函数在不同象限的增减性。 （3）考查目标：考查运算能力和推理能力，以及对反比例函数性质的理解。 答案与解析 【答案】D 【分析】利用反比例函数的性质直接判断． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∵， ∴函数图象在一三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵， ∴． 知识总结 ① 核心概念：反比例函数y=k/x(k≠0)，当k>0时，图象在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小；当k<0时，图象在二、四象限，每个象限内y随x增大而增大。② 解题要点：先判断k的符号和点所在象限，再运用单调性比较；跨象限比较时要结合正负号。③ 拓展关联：反比例函数常与一次函数、几何图形面积综合，是中考函数模块的重点。 8．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：一元二次方程的应用（增长率问题） ►命题分析： （1）情境创设：以公司自主研发仿生蝴蝶飞行器的产量增长为科技情境，考查月平均增长率问题。 （2）问题设计：给出3月和5月的产量，设月平均增长率为x，要求列出方程，重点考查增长率的复利模型。 （3）考查目标：考查模型观念和运算能力，以及将增长率问题转化为一元二次方程的能力。 答案与解析 【答案】C 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 知识总结 ① 核心概念：若原有量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的量为a(1+x)^n；若为下降率，则为a(1-x)^n。② 解题要点：明确起始量、终止量、增长次数和增长率，代入公式列方程；注意3月到5月经过两次增长。③ 拓展关联：增长率问题在经济、人口、细菌繁殖、产量提升等领域广泛应用，是数学建模的经典题型。 9．如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：正方形中的平移与线段比例 ►命题分析： （1）情境创设：以正方形为背景，将一条线段沿对角线方向平移，考查平移性质与相似三角形。 （2）问题设计：当平移后的点为某边中点时，要求计算两条线段长度的比值，需要综合运用正方形性质、平移性质和相似三角形。 （3）考查目标：考查几何直观、推理能力和运算能力，突出数形结合与综合推理。 答案与解析 【答案】A 【分析】由四边形是正方形得，由点是的中点得，由平移得，进而得，得出，代换即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由平移得， ∴， ∴, 又∵， ∴． 知识总结 ① 核心概念：平移不改变图形的形状和大小，对应线段平行且相等；正方形对角线相等、互相垂直平分。② 解题要点：利用正方形性质得到线段关系，结合平移得到平行线，构造相似三角形或利用坐标法求比例。③ 拓展关联：图形的平移、旋转、轴对称常与三角形、四边形综合，是解决几何比例问题的重要工具。 10．用、分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（     ） A．6 B．13 C．31 D．56 命题透视 ►核心考点：数位表示与整除性 ►命题分析： （1）情境创设：以两位数的十位和个位数字表示为背景，考查代数式建立与整除性分析。 （2）问题设计：根据题意写出原数和新数，计算差值后分析其必为7的倍数，再从选项中找出符合条件的数。 （3）考查目标：考查抽象能力和推理能力，以及用字母表示数和整除性分析的能力。 答案与解析 【答案】D 【分析】先根据数位表示法写出原两位数，再根据题意写出新数，计算两者的差，整理后可得差是7的倍数，再判断选项中符合的结果即可． 【详解】解：∵原两位数的十位数字为，个位数字为， ∴原两位数可表示为 ，其中，，，均为整数， 由题意得新数为 ， 则新数与原数的差为： ∵，是整数， ∴差一定是的整数倍， 观察选项，只有是的倍数，因此答案选D． 知识总结 ① 核心概念：一个两位数，若十位数字为a、个位数字为b，则该数可表示为10a+b；整除性问题常通过代数变形转化为倍数关系。② 解题要点：准确用字母表示数，列出新数与原数的差，化简后判断其为某数的整数倍，再结合选项验证。③ 拓展关联：数位表示法是数论问题的基础，常与整除、余数、奇偶性等结合考查。 二、填空题 11．比较大小：_____6（填“>”“<”或“=”）． 命题透视 ►核心考点：二次根式的比较大小 ►命题分析： （1）情境创设：直接比较二次根式与整数的大小，属于基础运算题。 （2）问题设计：将二次根式化为最简形式或平方后比较，考查二次根式的化简和实数大小比较。 （3）考查目标：考查运算能力和对二次根式性质的理解。 答案与解析 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质计算出左侧式子的值，再将计算结果与右侧的数比较大小． 【详解】解：． 知识总结 ① 核心概念：二次根式√a(a≥0)具有非负性；(√a)^2=a(a≥0)；比较二次根式大小时可先化简或两边平方。② 解题要点：将根号内的数分解因数，把能开得尽方的因数开出来；比较大小时可将被开方数与整数的平方比较。③ 拓展关联：二次根式的化简与运算是后续学习勾股定理、一元二次方程求根公式的基础。 12．计算的结果是_____． 命题透视 ►核心考点：分式的加减运算 ►命题分析： （1）情境创设：直接考查异分母分式的减法运算，属于基础计算题。 （2）问题设计：要求学生先通分，再进行分子相减，最后化简得到最简分式。 （3）考查目标：考查运算能力和分式运算法则的掌握。 答案与解析 【答案】 【分析】先对异分母分式进行通分，转化为同分母分式后进行加减计算，最后化简得到最简分式． 【详解】解： ． 知识总结 ① 核心概念：异分母分式相加减，先通分化为同分母分式，再按同分母分式加减法法则计算，结果必须化为最简分式。② 解题要点：找准最简公分母，通常取各分母因式分解后的最高次幂的乘积；分子相减时注意添括号、变号。③ 拓展关联：分式运算在函数化简、方程求解、代数式求值中广泛应用。 13．小思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它们除正面图案外，其余完全相同．小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上．小伟从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是_____． 命题透视 ►核心考点：用列表法或树状图求概率 ►命题分析： （1）情境创设：以山西“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”等非遗书签为情境，考查不放回抽样概率。 （2）问题设计：小思从三张书签中不放回地抽取两张，要求计算抽到特定两张书签的概率，适合用列表法或树状图求解。 （3）考查目标：考查数据观念和推理能力，以及在传统文化情境中运用概率知识的能力。 答案与解析 【答案】 【分析】用列表法或画树状图法表示所有等可能结果，再运用概率公式计算即可． 【详解】解：分别用A，B，C表示“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，用列表法表示所有等可能结果如下， 共有6种等可能结果，其中恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”的结果有2种，即， ∴他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是 ． 知识总结 ① 核心概念：概率P(A)=事件A发生的可能结果数/所有等可能结果数；不放回抽样每次抽取后总结果数减少。② 解题要点：用列表法或树状图列举所有等可能结果，注意区分“有序”与“无序”；本题抽取两张书签不讲顺序，可用组合思想简化。③ 拓展关联：概率与统计密切联系，常与游戏公平性、决策分析等实际问题结合。 14．某出版社出版一种科普读物，当印刷数量不超过20000册时，投入成本（元）与印刷数量（册）之间满足我们学过的一种函数关系，部分数据如下表所示．当印刷数量为5000册时，投入成本是________元． 印刷数量（册） 0 500 1000 1500 … 20000 投入成本（元） 24000 27000 30000 33000 … 144000 命题透视 ►核心考点：一次函数的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以出版社印刷科普读物的成本与印刷数量关系为实际情境，考查一次函数建模。 （2）问题设计：给出部分数据表格，判断函数关系后用待定系数法求解析式，再代入具体印刷数量求成本。 （3）考查目标：考查模型观念、运算能力和数据分析能力。 答案与解析 【答案】54000 【分析】根据表格数据可判断投入成本与印刷数量满足一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入解析式计算即可得到结果． 【详解】解：由题意，设，将，代入解析式得： 解得 ∴函数解析式为， 当时，． 知识总结 ① 核心概念：若两个变量满足一次函数关系y=kx+b(k≠0)，可用待定系数法求解析式；印刷成本通常包含固定成本和可变成本。② 解题要点：根据表格数据判断是否为线性关系，设出解析式，代入两组数据求k和b，再代入所求自变量计算函数值。③ 拓展关联：一次函数模型广泛应用于成本、利润、行程、注水等实际问题，是函数应用的基础。 15．如图，在四边形中，，，．点是边上的一点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交边于点．若，则线段的长为________． 命题透视 ►核心考点：四边形综合推理与计算 ►命题分析： （1）情境创设：以一般四边形为背景，通过添加辅助线构造相似三角形和矩形，求线段长度。 （2）问题设计：题目条件较多，需要综合运用等角对等边、相似三角形、平行线分线段成比例、矩形判定和勾股定理求解。 （3）考查目标：考查推理能力、几何直观和运算能力，是填空题的压轴题。 答案与解析 【答案】14 【分析】过点E作，交于点．通过等角对等边证明，过点作于点，作于点，证明，根据平行线分线段成比例求出，进而得出，证明四边形是矩形得到，根据勾股定理求出，得到的长，从而可得的值，进而在中解直角三角形即可求解． 【详解】过点E作，交于点． ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 过点作于点，作于点，则． ， ， ∴ ， ， ， ， ． ， 四边形是矩形， ， 在中，， ． 在中，， 在中， ． 知识总结 ① 核心概念：四边形问题常通过添加辅助线转化为三角形、特殊四边形问题；相似三角形对应边成比例，矩形对边相等、四个角为直角。② 解题要点：根据已知角度、边长关系构造辅助线；利用相似求比例线段；利用矩形和勾股定理计算目标线段。③ 拓展关联：四边形综合题常与全等、相似、三角函数、圆等知识交汇，是中考几何的重要考查形式。 三、解答题 16．计算、解不等式组： (1)计算：； (2)解不等式组：． 命题透视 ►核心考点：实数运算与一元一次不等式组 ►命题分析： （1）情境创设：直接考查实数混合运算和解一元一次不等式组，属于基础计算题。 （2）问题设计：第(1)问进行综合实数运算，第(2)问解不等式组并在数轴上表示解集，考查运算的规范性和准确性。 （3）考查目标：考查运算能力和对不等式组解法的掌握。 答案与解析 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以，原不等式组的解集是． 知识总结 ① 核心概念：实数运算包括零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简、绝对值等；一元一次不等式组的解集是各不等式解集的公共部分。② 解题要点：运算题注意顺序和符号；解不等式组时分别求解每个不等式，再借助数轴确定公共解集，注意端点是实心还是空心。③ 拓展关联：实数运算和不等式是代数学习的基础，与方程、函数联系紧密。 17．《考工记》是我国古代的一部工科巨著，其中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例．某工厂按书中记载比例制作鼎和铜镜，制作一个鼎需要12千克铜和2千克锡，制作一面铜镜需要1千克铜和1千克锡，现用60千克铜和20千克锡制作鼎和铜镜、这些铜和锡恰好全部用完时．可制作多少个鼎和多少面铜镜？ 命题透视 ►核心考点：二元一次方程组的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以《考工记》中制作鼎和铜镜的铜锡比例为文化背景，考查二元一次方程组的应用。 （2）问题设计：根据鼎和铜镜各自的铜、锡用量及总材料量，设未知数并列方程组求解，体现传统文化与数学建模的融合。 （3）考查目标：考查模型观念、运算能力和应用意识。 答案与解析 【答案】可制作4个鼎和12面铜镜 【分析】设制作x个鼎、y面铜镜，根据铜总质量、锡总质量列出二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：设这些铜和锡恰好全部用完时，可制作个鼎和面铜镜．根据题意，得      解得     答：这些铜和锡恰好全部用完时，可制作4个鼎和12面铜镜． 知识总结 ① 核心概念：当问题中有两个未知量且能找到两个等量关系时，可设二元一次方程组求解。② 解题要点：审清题意，设出两个未知数；根据“铜总质量”和“锡总质量”列出两个方程；解方程组并检验答案是否符合实际意义。③ 拓展关联：方程组模型广泛应用于配比、行程、工程、利润等实际问题，是古代数学《九章算术》的重要内容。 18．某校开展“讲绿水青山故事·绘美丽中国画卷”公益短视频评选活动．现有甲、乙、丙三个短视频作品参加校级评选，由位评委对参选作品进行评分（满分为分），最终推荐一个作品参加公益展播． 数据整理：评委对三个短视频作品的评分数据如下： 分析决策：为确定最终参加公益展播的作品，对评委评分数据分析如下： 作品 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 甲 8.5 8.5 2 乙 7.5 6 3.5 丙 8 8 0.5 (1)表中 _____，_____，_____； (2)根据上表中对评委评分数据的分析，你认为应推荐哪个短视频作品参加公益展播？请选择两个统计量说明推荐理由． 命题透视 ►核心考点：平均数、中位数、众数、方差 ►命题分析： （1）情境创设：以学校开展公益短视频评选活动为真实情境，对甲、乙、丙三个作品进行评分分析。 （2）问题设计：第(1)问根据统计图表求众数、中位数、平均数；第(2)问要求选择两个统计量进行决策分析，考查统计量的综合运用。 （3）考查目标：考查数据分析、推理能力和决策意识。 答案与解析 【答案】(1)，， (2)我推荐丙作品参加公益展播． 理由：甲、乙、丙三个作品评委评分的平均数分别为分、分、分， ， 从平均数的角度看，评委对甲作品和丙作品的评分较高； 甲、乙、丙三个作品评委评分的方差分别为，，， ， 从方差的角度看，评委对丙作品的评分更一致． 推荐丙作品参加公益展播． 我推荐甲作品参加公益展播． 理由：甲、乙、丙三个作品评委评分的平均数分别为分、分、分， ， 从平均数的角度看，评委对甲作品和丙作品的评分较高； 甲、乙、丙三个作品评委评分的中位数分别为分、分、分， ， 从中位数的角度看，评委对甲作品的评分更高． 推荐甲作品参加公益展播． 【分析】（1）根据众数，中位数以及平均数的概念求解即可； （2）由平均数可判断评委对甲作品和丙作品的评分较高；再由方差角度可推荐丙作品参加公益展播；由中位数的角度可推荐甲作品参加公益展播． 【详解】（1）解：根据甲作品评委评分统计图可知，分占比最大， 甲作品的众数为分，即； 根据乙、丙作品评委评分统计图可知， 乙作品的分数从小到大排序为：，，，，，，，，位于第位和第位的数据为和， 乙作品的中位数为，即； 丙作品的分数为：，，，，，，，， 丙作品的平均数为，即； （2）略 知识总结 ① 核心概念：平均数反映总体水平；中位数反映中间水平；众数反映出现次数最多的数据；方差反映数据的波动程度。② 解题要点：根据条形图或折线图读取数据，按定义计算各统计量；决策时要结合问题背景说明理由，如选择方差小表示评分更一致。③ 拓展关联：统计量的分析是数据观念的核心，广泛应用于质量评估、比赛评分、调查研究等领域。 19．如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，．若，，求扇形（即阴影部分）的面积（结果保留）． 命题透视 ►核心考点：切线性质与扇形面积 ►命题分析： （1）情境创设：以圆、切线、弦、圆心角为背景，求阴影扇形面积。 （2）问题设计：通过切线性质得到直角，结合等弧所对圆心角相等求出圆心角，最后用扇形面积公式计算阴影面积。 （3）考查目标：考查推理能力和运算能力，以及对圆相关性质的综合运用。 答案与解析 【答案】扇形（即阴影部分）的面积为 【分析】连接，先根据切线性质得到，进而得到，然后根据等弧所对的圆心角相等得到，继而得到，最后根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：连接． 与相切于点． ． ． ， ． ， ． ． ， ． ， ． 知识总结 ① 核心概念：圆的切线垂直于过切点的半径；等弧所对的圆心角相等；扇形面积S=(nπr²)/360。② 解题要点：连接半径构造直角三角形；利用角度关系求出扇形圆心角；代入半径和圆心角计算面积。③ 拓展关联：圆的综合题常与三角形、四边形、相似、三角函数结合，是中考几何的重要题型。 20．项目式学习 项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件．下图为山西某古建筑大殿内顶部的藻井．某校学生到此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告． 项目主题 藻井的调查与测算 驱动任务 调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据 活动过程 调查 工艺 该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑等工艺形成逐层向上收缩的三层结构． 造型 该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱形、菱形，分别称为长方形井、菱形井、菱形井． 测算 对象 中间层菱形井中较长对角线的长 图示 图1为藻井仰视平面图，其中线段为中间层菱形井较长的对角线（点，在同一水平直线上）；图2为测量方案示意图，其中测量点，在同一水平直线上，且点，，，在同一竖直平面内． 数据 在点处测得点的仰角为，米；在点处测得点的仰角为，米． 结果 … 活动反思 … 请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线的长（结果精确到0.1米，参考数据：）． 命题透视 ►核心考点：解直角三角形的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以山西某古建筑大殿顶部藻井为项目式学习背景，要求学生测算中间层菱形井对角线长度。 （2）问题设计：通过活动报告给出测量数据，包括两个观测点的仰角和水平距离，要求学生构造直角三角形并求解目标线段长度。 （3）考查目标：考查模型观念、几何直观和运算能力，突出数学服务地方文化的应用意识。 答案与解析 【答案】该藻井中间层菱形井对角线的长约为米 【分析】过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，在中根据正弦、余弦的计算得到， 在中得到，由此即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∴，则四边形为矩形， ，， 在中，，， ，， ，， ， 在中，， ， ， ， ， （米）． 答：该藻井中间层菱形井对角线的长约为米． 知识总结 ① 核心概念：解直角三角形是利用直角三角形中边、角关系（锐角三角函数、勾股定理）求未知边或角；测量问题常通过作垂线构造直角三角形和矩形。② 解题要点：读懂活动报告，提取关键数据；作辅助线构造水平和竖直方向上的直角三角形；利用正切、正弦、余弦建立方程求解。③ 拓展关联：解直角三角形广泛应用于测量高度、距离、坡度等问题，是数学建模的重要工具。 21．阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 工匠智慧引发的数学思考【工匠智慧】如图1，木工师傅用一根没有弹性的绳子和一把直尺在矩形木板上画特定度数的角． 【数学抽象】 将图1的操作过程抽象成尺规作图，步骤如下：如图2，在矩形木板 中，以点 为圆心，长为半径作弧，交于点；以点 为圆心，长为半径作弧，与交于点；连接，，，即可得到特定度数的角，如和等． 【推广迁移】 受上述作法的启发，可以用尺规作出与已知角有关的特定度数的角．如图3，已知，作图步骤如下：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交， 于点，；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；③连接，可得． 结论“”成立的理由如下： 连接． 由步骤①可知，．… 任务： (1)图2中_____，_____； (2)补全“推广迁移”中的说理过程； (3)如图4，四边形表示一块木板，，．现要将此木板裁割成两部分，裁割线为线段（点在上），使．请用尺规在木板上作出裁割线（要求：在木板上保留作图痕迹，不写作法）． 命题透视 ►核心考点：阅读材料型尺规作图与推理 ►命题分析： （1）情境创设：以木工师傅用绳子和直尺画特定度数角为阅读材料，抽象出尺规作图并推广应用。 （2）问题设计：第(1)问求特定角的度数；第(2)问补全说理过程；第(3)问利用所得结论进行新的尺规作图，考查阅读理解、迁移应用和几何推理。 （3）考查目标：考查推理能力、创新意识和几何作图能力，体现工匠智慧与数学抽象的结合。 答案与解析 【答案】(1)45，15 (2)解：连接，，如图， 由步骤①可知，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 由步骤②可知，． ∴为等边三角形． ∴． ∴； (3)解：如图，线段即为所求作的裁割线． 【分析】（1）判断出为等腰直角三角形，由此可得的度数，判断出为等边三角形，由此可得的度数； （2）添加辅助线，连接，，先由等边对等角得到．再得到为等边三角形，由此可得到结论； （3）作图步骤如下：①以点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；③连接交于点，由“推广迁移”中的结论可得． 【详解】（1）解：∵以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； ∵以点为圆心，长为半径作弧，与交于点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （2）略 （3）略 知识总结 ① 核心概念：尺规作图是用无刻度直尺和圆规完成几何图形构造；等腰直角三角形两锐角为45°，等边三角形内角为60°。② 解题要点：认真阅读材料中的操作步骤，抽象出几何关系；补全说理时注意每一步的依据；迁移作图时要保留作图痕迹。③ 拓展关联：尺规作图是几何学习的重要内容，与全等、等腰三角形、圆等知识密切相关，也是培养空间观念和创新意识的有效载体。 22．综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 命题透视 ►核心考点：二次函数的实际应用与最值 ►命题分析： （1）情境创设：以科研团队研究不同肥力麦田中小麦产量与施氮量关系为农业科研情境，用二次函数模型描述产量变化。 （2）问题设计：第(1)问用待定系数法求抛物线解析式；第(2)①问分析低肥力麦田产量最大时的施氮量及两种麦田产量差；第(2)②问比较两种施肥方案下的总产量最值差。 （3）考查目标：考查模型观念、运算能力和综合分析能力，突出函数在实际问题中的应用。 答案与解析 【答案】(1)（） (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15 【分析】（1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解； （2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解； ②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令， 当时，有最大值，为940． ， ． 知识总结 ① 核心概念：二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象是抛物线，当a<0时，抛物线开口向下，顶点处取得最大值；顶点横坐标x=-b/(2a)。② 解题要点：根据顶点或已知点设解析式，用待定系数法求解；求最值时先确定对称轴，再计算顶点函数值；比较不同方案时要统一自变量或分别求最值。③ 拓展关联：二次函数最值问题广泛应用于最大利润、最大面积、最优方案等实际问题。 23．综合与探究 问题情境：如图1，在中，，是的中线．将绕点顺时针旋转得到，其中点，的对应点分别为点，，线段分别与线段，交于点，，线段与交于点． (1)推理证明：求证：； (2)拓展延伸：在旋转过程中，当时，探究下列问题． ①如图2，判断与的数量关系，并说明理由； ②已知，．在射线上取一点，在射线上取一点，使．当以点，，为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边时，请直接写出线段的长． 命题透视 ►核心考点：旋转背景下的全等、菱形与分类讨论 ►命题分析： （1）情境创设：以等腰三角形绕中点旋转为几何探究背景，设置推理证明、数量关系探究和分类讨论三问。 （2）问题设计：第(1)问证明线段相等；第(2)①问在特殊角度下探究线段数量关系并证明；第(2)②问以直角三角形为分类标准，求线段长度，需要分情况讨论。 （3）考查目标：考查推理能力、几何直观和创新意识，是压轴题，突出动态几何与分类讨论思想。 答案与解析 【答案】(1)证明：，是的中线， ，，     旋转得到， ，，     ，，     ， 在和中， ， ； (2)①解：， 理由如下： ，是的中线， ，     旋转得到， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，     ， 是菱形， ； ②或 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，结合图形得到，运用“角边角”即可求证； （2）①根据旋转得到，由平行线的判定得到，可证四边形是菱形，由此即可求解； ②当以点，，为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边时，应分两种情况求解：一种情况是点在线段上；另一种情况是点在射线上且在直线上方时． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：如下图所示，当点在线段上时， 过点作于点，过点作于点， ， ， ， 又，是的中线， ， ， ， ，， ，， 设，， 则， ， 由旋转可知， ， ， 于点， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 若， ，， ， ， ， 又， ， 解得：， ， ； 若， 则有，， ， ， ， ，，， ， 解得：（不符合题意，舍去）； 如下图所示，当点在射线上且在直线上方时， 过点作，过点作，过点作，过点作， ， ， ， ， 又， ， 由旋转可知， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， ， 若， ，， ， ， ， ， 解得：， ， ； 若， 则有， ，， ， ， ， ，，，， ， （不符合题意，舍去）； 综上所述，或． 知识总结 ① 核心概念：旋转不改变图形的形状和大小，对应边相等、对应角相等；全等三角形的判定（ASA、SAS、SSS）；菱形的判定与性质；分类讨论是处理不确定条件的重要思想。② 解题要点：抓住旋转前后对应元素相等；通过角度关系证明三角形全等或四边形为菱形；对于直角三角形问题，要分别讨论哪条边为直角边，避免漏解。③ 拓展关联：旋转综合题常与全等、相似、特殊四边形、圆结合，是中考几何压轴题的主流形式。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $