2026年湖南省中考数学 第24题讲义

该初中数学讲义聚焦中考几何压轴题，覆盖平行四边形性质、相似三角形判定与性质、二次函数最值等核心考点，知识点按“基础回顾-综合应用-动态探究”架构，通过审题关键信息提取、分步解析、常见错误诊断等环节，帮助学生突破动态几何与代数变形难点，体现复习教学的系统性和针对性。 亮点在于“动态几何建模”与“分层突破”策略，如通过图形拼接操作培养几何直观和空间观念，结合相似三角形“两角相等”判定训练提升推理能力。设置三级规范书写训练，配合即时错误反馈，确保中下水平学生有效掌握，教师可据此把控复习节奏，助力学生高效提升应考能力。

中考数学压轴题辅导讲义： 2026年湖南省中考数学第24题 2026年湖南省中考数学第24题（几何压轴题） 适用对象：初三中下水平学生 | 满分 12 分 | 建议用时 30–40 分钟 一、审题方法与关键信息提取 📖 题目完整转译 【问题背景】 给定平行四边形 ，点 是 边上不与 重合的一动点。 作 ，使得 ，且当点 运动时，保持 ，。 【动手操作】 将 拼接于平行四边形 的上方： 操作一（对应图3）： - 使点 与 重合，点 与 重合 - 将此时的 点记为 - 作 交 于点 操作二（对应图4）： - 使点 与 重合，点 与 重合 - 将此时的 点记为 - 连接 【四问内容】 第（1）问： 如图1，当 时，求 的度数。 第（2）问： 如图3，从结论①、②中选一个给出证明： - ① - ② 第（3）问： 如图3，在点 运动过程中，探究线段 与线段 的数量关系，并说明理由。 第（4）问： 如图4，设 ，，当点 运动时，求 的最大值。 【标准答案】 小问 答案 （1） （2） 选①或②证明相似三角形 （3） （4） 🔍 审题示范：像老师一样圈画关键信息 第一步：读题时圈画的关键词 关键词 意义解读 我的标注 “动点 ” 点 可以在 上移动，是本题的核心 ⚠️ 不是固定点 “” 的边 与平行四边形的边 等长 ⚠️ 建立长度关系 “” 的角与平行四边形中的角相等 ⚠️ 角相等是证明相似的关键 “” 另一组角相等 ⚠️ 角相等是证明相似的关键 “” 通过平行线传递角的关系 ⚠️ 平行⇒内错角相等 “ 的最大值” 这是一个求最值问题 ⚠️ 用二次函数求最值 “平行四边形 ” 对边平行且相等 ⚠️ ， 💬 条件翻译：把数学语言变成口语 原文一： “点 是 边上不与 重合的一动点” 翻译： “点 可以在 这条边上走来走去，但是不能走到 或 这两个端点上。也就是说， 只能在 和 之间运动。” 原文二： “使点 与 重合，点 与 重合” 翻译： “咱们把 这个三角形拿过来，让它的 点正好盖住平行四边形的 点，让它的 点正好盖住 点。就像拼图一样，把两个图形拼在一起。” 原文三： “ 交 于点 ” 翻译： “从 点出发，画一条和 平行的线，这条线和 会相交于一点，咱们把这个交点叫做 。因为 和 平行，所以它们和 相交形成的角是相等的。” 原文四： “当点 运动时，求 的最大值” 翻译： “点 在 上走来走去， 的长度会随着 的位置变化而变化。我们要找的是： 走到哪里的时候， 的和是最大的？” 📍 图形标注：在图上标什么？ 图1（审题时标注）： 1. 平行四边形 ：标出 ， 1. 动点 ：用笔圈出 边上的一点，标上 1. 角度信息：标出 、、 图3（审题时标注）： 1. 拼接位置： 与 重合， 与 重合， 变成 1. 点 ：， 在 上 1. 相似三角形： · （选证①） · （选证②） 图4（审题时标注）： 1. 拼接位置： 与 重合， 与 重合， 变成 1. ：连接 ，标出这条线段 1. 已知数据：， 二、知识点梳理与回顾 📚 本章涉及的核心知识点 序号 知识点 所在章节 重要程度 1 平行线的性质 七年级下册 ⭐⭐⭐⭐⭐ 2 平行四边形的性质 八年级下册 ⭐⭐⭐⭐⭐ 3 相似三角形的判定与性质 九年级下册 ⭐⭐⭐⭐⭐ 4 三角形内角和定理 七年级下册 ⭐⭐⭐⭐ 5 二次函数的最大值 九年级上册 ⭐⭐⭐⭐ 6 几何变换（全等） 八年级上册 ⭐⭐⭐⭐ 🔔 基础唤醒：核心公式速记 1. 平行线的性质 三大性质： · 性质1：两直线平行，同位角相等 · 性质2：两直线平行，内错角相等 · 性质3：两直线平行，同旁内角互补 应用场景： - 第（2）问证明 时，用 得到 （内错角） - 第（2）问证明 时，用 得到 （内错角） 2. 平行四边形的性质 四大性质： · 性质1：对边平行 · 性质2：对边相等 · 性质3：对角相等 · 性质4：对角线互相平分 应用场景： - 第（2）问选证②时，用 得到 （平行线的传递性） - 第（3）问证明 时，用 进行等量代换 3. 相似三角形的判定 三大判定方法： 判定1：两角分别相等（） 判定2：两边成比例且夹角相等（） 判定3：三边成比例（） 应用场景： - 第（2）问：用 判定两个三角形相似 - 第（4）问：用相似三角形的性质 建立方程 4. 相似三角形的性质 核心性质： 对应边成比例： 对应角相等： 应用场景： - 第（3）问：由 得到 - 第（4）问：由 得到 5. 三角形内角和定理 定理： 三角形三个内角的和等于 。 推论： 平角等于 。 应用场景： - 第（1）问：由 得到 6. 二次函数的最大值 顶点公式（一般式）： 若 ，则顶点坐标为： 最值规律： - 当 时，抛物线开口向下，函数有最大值 - 当 时，抛物线开口向上，函数有最小值 应用场景： - 第（4）问：，求最大值 ⚠️ 难点预判：这道题难在哪里？ 难点一：题目结构复杂，图形众多 这道题有 4 张图（背景图 + 操作图1 + 操作图2 + 解答图），很多同学看到这么多图就蒙了，不知道该看哪张。 破解方法： 先看第（1）问对应图1，第（2）（3）问对应图3，第（4）问对应图4。带着问题去找图。 难点二：动态理解——点 在运动 点 是动点，它在 上走来走去，很多条件都与 的位置有关，但 的构造规则使得某些关系始终保持不变。 破解方法： 理解”当点 运动时，保持 ，“这句话的含义——无论 在哪里， 的角都会跟着 的位置变化而变化，但始终满足这两个角的关系。 难点三：相似三角形的选取 第（2）问给了两个相似三角形结论让你选一个证明，很多同学不知道选哪个，或者选了一个之后不知道怎么做。 破解方法： 两个都简单，选哪个都行！选①就用 传递角相等；选②就用平行四边形的性质 再结合 得到 。 难点四：第（3）问的代数变形 第（3）问要证明 ，但直接用几何方法很难想到，需要通过相似三角形的性质建立比例关系，然后进行代数变形。 破解方法： 别怕代数变形！跟着步骤走：先写出两个相似三角形的比例式，再利用 进行代换，最后化简就能得到 。 难点五：第（4）问的综合应用 第（4）问综合了全等三角形、相似三角形、二次函数最值等多个知识点，需要建立 与某个变量的函数关系。 破解方法： 1. 先证明 得到 2. 再证明 得到 3. 设 ，则 ，代入得到 的表达式 4. 最后用二次函数求最值 三、分步解析与评分点 📝 第（1）问：求 的度数 【目标】 根据 ，求出 的度数。 【知识】 · 三角形内角和定理 · 平角的定义 【推导过程】 第一步：识别图形中的三点共线 如图1： 点 、、 在同一条直线上（因为 在 边上）， 因此，、、 三个角构成了一个平角。 第二步：应用平角定理 平角等于 ，即： 第三步：代入已知条件求解 已知 ，代入： ， 【规范书写】 解： 点 在 上，点 、、 三点共线， （平角定义）。 ， 。 📝 第（2）问：证明相似三角形 【目标】 从结论①、②中选一个，证明相应的三角形相似。 【知识】 · 平行线的性质（内错角相等） · 相似三角形的判定（） · 平行四边形的性质（对边平行） 【方案一：选证① 】 推导过程： 第一步：找到平行线 由操作一：（已知） 第二步：得到一对角相等 （内错角相等） 第三步：找到另一对角相等 由 的构造： 在操作一中， 与 重合， 与 重合 （等量代换） 第四步：判定相似 在 和 中： （ 两角分别相等） 【方案二：选证② 】 推导过程： 第一步：证明 四边形 是平行四边形（已知） （平行四边形的性质） 又 （已知） （平行于同一直线的两直线平行） 第二步：得到一对角相等 （内错角相等） 第三步：得到另一对角相等 由 的构造： 在操作一中， 与 重合 （等量代换） 第四步：判定相似 在 和 中： （ 两角分别相等） 【规范书写】 解： 选择① 证明。 （已知）， （两直线平行，内错角相等）。 当点 与 重合、点 与 重合时，， 。 在 和 中： （两角分别相等的两个三角形相似）。 （或选证②） 解： 选择② 证明。 四边形 是平行四边形， ，（平行四边形的性质）。 ， （平行于同一直线的两直线平行）。 （两直线平行，内错角相等）。 ， 。 在 和 中： （两角分别相等的两个三角形相似）。 📝 第（3）问：探究 与 的数量关系 【目标】 证明在线段 与 之间存在某种数量关系。 【知识】 · 相似三角形的性质（对应边成比例） · 平行四边形的性质（对边相等） · 等式的恒等变形 【推导过程】 第一步：写出两个相似三角形的比例式 由第（2）问： 第二步：利用平行四边形的性质进行代换 四边形 是平行四边形 （平行四边形的对边相等） 第三步：变形比例式 由 ① 得： 由 ② 得： 将 代入： 第四步：比较 ③ 和 ④ 由 ③ 和 ④ 得： 第五步：代入 ， 、、 在同一直线上（ 在 上） 同理， 代入： 展开： 移项，合并同类项： 第六步：得出结论 （平行四边形的边长大于 0） 【规范书写】 解： 。 理由： ， …… ① ， …… ② 四边形 是平行四边形， 。 由 ① 得： …… ③ 由 ② 得： 将 代入： …… ④ 由 ③ 和 ④ 得：。 ，， 。 展开得：。 移项得：。 。 📝 第（4）问：求 的最大值 【目标】 当 ， 时，求 的最大值。 【知识】 · 全等三角形的判定与性质 · 相似三角形的判定与性质 · 二次函数的最大值 · 配方法求最值 【推导过程】 第一步：证明 在图3（操作一）和图4（操作二）中： - 的边 （已知） - 操作一： 与 重合， 与 重合 ， - 操作二： 与 重合， 与 重合 ， ， 在 和 中： （ 三边相等） （全等三角形的对应边相等） 第二步：利用相似三角形得到 由第（3）问结论： 在 中： 将 （第一步结果）和 （第3问结论）代入： 又 （由 构造保证） （两边成比例且夹角相等，） 第三步：写出相似三角形的比例关系 由 ： 第四步：设变量，建立 的函数关系 设 ，则 ，其中 。 由 ： 解得： 第五步：求二次函数的最大值 用配方法： 第六步：写出最大值 当 时， 取最大值 即当 时， 的最大值为 。 【规范书写】 解： 根据题意，图3中 和图4中 全等， （全等三角形的对应边相等）。 图3中 ， 。 由（3）知：， 。 又 ， （两边成比例且夹角相等）。 。 设 ，则 （其中 ）。 ， 。 。 用配方法求最大值： ， 当 时， 取最大值为 。 四、常见错误与辅导建议 ❌ 错误类型一：审题错误 错误 1.1：混淆四张图的对应关系 错误示例： 看第（3）问的时候去看图4，结果找不到对应的线和角。 错误原因： 四张图分别对应不同的操作和问题： - 图1：第（1）问的背景 - 图3：第（2）（3）问的操作一 - 图4：第（4）问的操作二 避坑口诀： “做哪一问，看哪张图，不要混在一起！” 错误 1.2：看错角的相等关系 错误示例： 把”“误解为”“。 正确理解： 是指以 为顶点、 和 为边的角，也就是平行四边形中的角，不是 。 避坑口诀： “角的名字看顶点，三个字母缺一不可！” 错误 1.3：忽略 是动点这个条件 错误示例： 第（1）问直接写 。 正确理解： 、、 三点共线，所以 、、 是邻补角（加起来等于 ），而不是相等关系。 避坑口诀： “看到动点，先想三件事：哪点在哪条线上？有没有三点共线？角的关系怎么变？” ❌ 错误类型二：知识错误 错误 2.1：记错平行线的性质 错误示例： ，得到 （同位角），而不是 （内错角）。 正确理解： 、、 三点共线， 与 被直线 所截，所以是内错角。 避坑口诀： “平行线性质要记清：同位、内错、同旁内，对应位置要分清！” 错误 2.2：混淆相似三角形的对应边 错误示例： 写 的比例式时，写成 。 正确对应： - （第一个字母） - （第二个字母） - （第三个字母） 避坑口诀： “相似对应看顺序，第一个对应第一个，第二个对应第二个！” 错误 2.3：忘记平行四边形的性质 错误示例： 第（2）问选证②时，直接写 ，没有先证明 。 正确做法： 必须先说明”四边形 是平行四边形”，再利用平行四边形的性质得到 ，然后结合 才能得到 。 避坑口诀： “平行四边形性质是条件，没有它就没有平行！” 错误 2.4：求最值时写错顶点坐标 错误示例： 直接写”当 时取最大值”。 正确做法： 二次函数 的顶点横坐标为： 避坑口诀： “顶点公式要记准， 在分子上， 在分母上！” ❌ 错误类型三：过程错误 错误 3.1：等式变形时漏项或符号错误 错误示例： 由 展开后，写成 （第二项符号错误）。 正确展开： 避坑口诀： “去括号要看符号，负号进去要变号！” 错误 3.2：配方法配方错误 错误示例： 配方法写成 后，漏了系数 的处理。 正确配方： 避坑口诀： “配方别忘提系数，提出来之后别忘乘回去！” 错误 3.3：相似比写反 错误示例： 由 ，写成 。 正确比例： 对应点顺序：，， （题目需要的形式） 避坑口诀： “相似比要一一对应，顶点顺序不能对错位！” 💡 辅导建议 建议 1：画图理解法 对于这种动态几何题，最好的理解方法是”动手画图”： 1. 在草稿纸上画出平行四边形 2. 标出 边上的动点 3. 尝试按题目要求构造 4. 模拟操作一和操作二的过程 建议 2：分类整理法 把题目中的条件分成几类： 几何条件类： - 平行四边形 ：， - 平行线 - 全等： 角度条件类： - - - 边长条件类： - - ， 建议 3：逐步追问法 遇到复杂几何题，可以这样追问自己： 1. 第一问：看到 ，想想这三个角有什么关系？（答：三点共线） 1. 第二问：要证明相似，需要什么条件？（答：两对角相等） 1. 第三问：怎么把 和相似三角形联系起来？（答：写出比例式） 1. 第四问：要求 的最大值，先要求什么？（答：建立 关于某个变量的函数） 建议 4：模型记忆法 这道题其实包含两个经典几何模型： 模型一：平行线传递相似 这两个相似三角形是通过 和平行四边形的性质串联起来的。 模型二：折叠全等 操作一和操作二实际上是 在平行四边形上做了两次不同的”折叠”，形成了全等三角形 。 记住这两个模型，可以帮助理解整个题目的结构。 五、给同学的一句话总结 🎯 这道题虽然看起来复杂，但它考查的全都是我们学过的基础知识！ 第（1）问考的是”三点共线”，只要知道直线上的三个角加起来是 ，就能做出来。 第（2）问考的是”平行线的性质”和”相似的判定”，只要会找内错角，会写”两角相等”，就能证明相似。 第（3）问考的是”相似三角形的性质”和”等式变形”，按部就班写比例式、代换、化简，就能得到 。 第（4）问考的是”全等→相似→函数→求最值”的综合应用，虽然步骤多，但每一步都是我们学过的方法。 相信自己！压轴题不是难题，只是需要多走几步而已。 💪 记住老师的话：每一步都不难，难的是把每一步都走对走稳。稳扎稳打，你一定能做出来！ 附录：2026年湖南省中考数学第24题答题卡模板 第（1）问答题区域 解： 点 在 上，点 、、 三点共线， （平角定义）。 ， 。 。 第（2）问答题区域 解： 选择① 证明。 （已知）， （两直线平行，内错角相等）。 当点 与 重合、点 与 重合时，， 。 在 和 中： （两角分别相等的两个三角形相似）。 （或选证②） 解： 选择② 证明。 四边形 是平行四边形， ，（平行四边形的性质）。 ， （平行于同一直线的两直线平行）。 （两直线平行，内错角相等）。 ， 。 在 和 中： （两角分别相等的两个三角形相似）。 第（3）问答题区域 解： 。 理由： ， …… ① ， …… ② 四边形 是平行四边形， 。 由 ① 得： …… ③ 由 ② 得： 将 代入： …… ④ 由 ③ 和 ④ 得：。 ，， 。 展开得：。 移项得：。 。 第（4）问答题区域 解： 根据题意，图3中 和图4中 全等， （全等三角形的对应边相等）。 图3中 ， 。 由（3）知：， 。 又 ， （两边成比例且夹角相等）。 。 设 ，则 （其中 ）。 ， 。 。 用配方法求最大值： ， 当 时， 取最大值为 。 📝 答题卡书写要点提醒 ✅ 格式规范 1. 每问开头写”解：“ 1. 推理过程用”∵“、”∴“连接 1. 关键步骤分行书写，便于阅卷老师找得分点 1. 最终答案单独成行，醒目 ✅ 几何证明规范 1. 平行线性质：写清是哪两条直线平行，被哪条直线所截，得到什么角相等 1. 相似判定：先写”在 和 中”，再写两个条件，最后写判定方法 1. 全等判定：写清对应的三个条件（边边边、边角边、角边角等） ✅ 代数计算规范 1. 设变量：写清”设 ，则 “，注明取值范围 1. 比例式：写清相似三角形的对应边对应关系 1. 二次函数：用配方法时，配方过程要完整 ✅ 逻辑规范 1. 因果关系清晰：先写条件，再写结论 1. 每步有依据：用”由题意得”、“已知”、“已证”等说明 1. 最后写结论：在证明题最后，用”“写出最终结论 祝同学们中考顺利，金榜题名！ 🎓✨ ( 第 1 页 共 23 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $