2025年中考数学真题完全解读（湖南省卷）

2025年中考数学真题完全解读（湖南省卷） 2025年湖南省中考数学试卷严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，体现了数学学科的核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析等六个方面。试卷注重考查学生的基础知识、基本技能和基本思想方法，同时强调数学知识的应用性和创新性，旨在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。 试卷设计科学合理，题型多样，难度适中，既有对基础知识的全面覆盖，也有对重难点知识的深入考查。试题情境贴近生活实际，注重数学与生活的联系，体现了数学的应用价值。此外，试卷还注重考查学生的数学文化素养，通过融入数学史、数学文化等元素，提升学生的数学兴趣和数学素养。 1.核心素养导向 试卷严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》，突出对抽象能力、推理能力、模型思想、应用意识的考查。例如第26题（二次函数综合）融合几何与代数，体现模型构建与逻辑推理的整合。 2.内容覆盖均衡 数与代数（40%）、图形与几何（35%）、统计与概率（15%）、综合与实践（10%）的占比合理，符合课标要求。如第1-10题覆盖实数、函数、几何变换等基础概念，第23题（统计）强化数据分析和实际应用。 3.难度梯度分明 基础题（60%）、中档题（25%）、难题（15%）分层明显，如第18题（创新题）考查分类讨论思想，体现选拔功能。 从试卷全貌来看，试卷中各知识领域的分值设计，难易控制平衡，作为过渡期一份中考卷，除了压轴题难度系数偏高，前100分命题相当不错，基础和区分度均有设计，有效地实现全省统一命题的平稳过渡。大部分题目的创设与实际应用联系密切，梯度设计细致合理，符合初中学生的认知规律与水平。 相较于2024年，2025年湖南省中考数学试题在以下几个方面出现了新变化： 跨学科融合增强： 第10题（地理+数学）结合经纬度计算弧长，第24题（生活场景）用三角函数解决晾衣问题，体现学科交叉。 创新题型占比提升 第18题以动态参数t定义新运算，考查逻辑推理；第26题（3）问引入几何最值探究，突破传统函数题模式。 阅读量增加 应用题（如第22、24题）题干信息量较往年增加20%，强调信息提取与数学建模能力。 加强对学生思维能力的考查： 试题中增加了更多需要逻辑推理、抽象思维和创新思维的题目，如探究题、开放题等，旨在培养学生的高阶思维能力。 模块 题号 分值 核心考点 变化点 数与代数 1,4,5,12,13,14,19,20,22 38分 实数运算、分式的约分、分式方程、不等式、整式的运算 较去年，分式有关的题型增多 图形与几何 2,8,11,16,17,21,25 33分 轴对称、平移、圆与四边形证明 几何证明题分值增加5%，且压轴题更注重实践探究 函数 6,9,15 9分 平面直角坐标系、反比例函数的图像与性质、一次函数的应用 较去年题型，简单的函数题型增加了一题，更偏向于基础知识。 统计与概率 3,7,23 15分 概率计算、数据统计分析 统计图表阅读难度提升 综合实践 10,18,24,26 25分 跨学科应用、动态几何、函数综合 创新题占比达12% 1. 回归基础，强化训练：扎实掌握数学基础知识，包括概念、公式、定理等，确保基础题不丢分。加强基础题型的训练，如选择题、填空题，提高解题速度和准确率。 数学刷题提高复习质量，数学需要实践，需要大量做题，但要从题海中解脱出来，做题要多总结思路方法技巧，注重发现题与颗之间的内在联系，通过同类对于同类型颗目通过比较发行规律做到出类旁通复习时需要多做习题，从习题中掌握学习的技巧，不同的解题方法。不要在意刷题的数量，要做到每做完一道题就能明白这道题背后运用的公式定理同类型题目的解题思路，做到举一反三，更好地掌握知识点，提高复习质量。 2.注重思维，提升能力：多做探究题、开放题，培养逻辑推理、抽象思维和创新思维能力。学会从多个角度分析问题，灵活运用数学知识解决实际问题。 3.能力提升 突破压轴题型：针对动态参数问题（第18题）、函数与几何综合（第26题），每日1题专项训练。 提高阅读速度：通过长题干应用题（如第24题）练习关键信息标注，限时完成。 4.跨学科整合：补充地理、物理中的数学模型应用（如弧度制、简单机械原理）。 5.探究性学习：模拟第25题的“操作-猜想-证明”流程，培养逻辑链构建能力。 6.注意解题过程的规范性和计算的准确度：中考解题一定要规范，所以在复习中要训练审题运算书写及解题技巧，运算能力是数学学习的基础,是数学考试成败的关键，每次训练做到熟练准确，简洁迅速，是复习时要注意掌握答题技巧，把解题思路作为得分点，比如选择填空，采用特殊指法或者排除法，减少做题时间，做解答题时灵活运用，比如手拉手模型，一线三等角模型等构造辅助线，从而提高解题效率。 6.应试策略，错题归类：时间分配建议：选择题（20分钟）、填空（20分钟）、解答题（基础题20分钟，压轴题60分钟）。建立“易错题库”，如分式方程增根（第5题）、反比例函数增减性（第9题）。 2025年湖南省初中学业水平考试数学试题 （本试卷满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共10小题） 1．下列四个数中，最大的数是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是关键. 根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小. 【详解】解：1. 确定数的正负性： D选项为，是负数；C选项为，非正非负；A选项和B选项均为正数， 负数一定小于非负数，则D和C均小于A和B， 2. 比较正数的大小： ，显然， 故A选项大于B选项， 故选：A. 2．武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查概率公式的计算，掌握其概率的计算是关键． 根据概率的基本公式，计算抽中戏剧类社团的概率． 【详解】解：共有5类社团活动（舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧），每类被抽中的可能性相等，抽中戏剧类社团属于其中1种可能结果， ∴概率为成功事件数除以总事件数，即：， 故选：D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂相乘的运算规则，掌握其运算法则是关键． 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，由此即可求解． 【详解】解：根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加， ∴， 故选：B． 5．将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 6．在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查点的平移，掌握平移规律是关键． 根据平面直角坐标系中点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，即可解题． 【详解】解：点向右平移3个单位长度，横坐标需加3，即，纵坐标2保持不变， ∴平移后的点坐标为， 故选：B． 7．下列调查中，适合采用全面调查的是（   ） A．了解某班同学的跳远成绩 B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况 C．了解全国中学生的身高状况 D．了解某批次汽车的抗撞击能力 【答案】A 【知识点】判断全面调查与抽样调查 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况． 全面调查适用于范围小、精确度要求高或破坏性小的调查；抽样调查适用于范围大、具有破坏性或无法全面调查的情况． 【详解】解：选项A：某班同学人数有限，进行全面调查容易实施且能准确获取每位同学的跳远成绩，适合全面调查，符合题意； 选项B：夏季冷饮市场冰激凌数量庞大，全面调查成本过高，且检测可能破坏产品，适合抽样调查，不符合题意； 选项C：全国中学生人数极多，全面调查耗费资源巨大，通常采用抽样调查，不符合题意； 选项D：检测汽车抗撞击能力会破坏被测车辆，无法对所有汽车进行测试，必须采用抽样调查，不符合题意； 故选：A． 8．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 解法二： ∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为， 故选：． 9．对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．在在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 10．如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（   ） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【答案】C 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 二、填空题（共8小题） 11．如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则 ． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，运用两直线平行，内错角相等是解题关键 ． 根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 12．化简 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式a进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．约分： ； 【答案】 【知识点】约分 【分析】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键． 直接约去分子与分母的公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填 （“甲”或“乙”）先到终点： 【答案】甲 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 从函数图象可知甲乙跑完全程的时间，即可确定答案． 【详解】解：根据图象可得甲到达终点用时秒，乙到达终点用时秒， ∴甲先到达终点， 故答案为：甲． 16．如图，在中，，点是的中点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，直线交于点，连接，则的长是 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形中位线定理，由作图方法可得垂直平分，则点D为的中点，据此可证明是的中位线，则可得到． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， ∴点D为的中点， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 17．如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点， ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的内角问题 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 18．已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则 ； （2）下列结论正确的是 （写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 【答案】 2 ①②/②① 【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用、等边三角形的性质、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，据此求解即可； （2）当，时，可证明，由勾股定理的逆定理可判断①；当，，时，可得；当时，可得，当时，可得，则可求出，据此求出t的取值范围即可判断②；当时，则，则可得到；根据题意不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数），则可得，解不等式组求出整数n即可判断③． 【详解】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为；2； （2）①当，时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴t随b的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，故②正确； ③当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故答案为：①②． 三、解答题（共8小题） 19．计算：． 【答案】 【知识点】零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21．如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切与点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由切线的性质得到，据此根据角的和差关系可得答案； （2）由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得，则可证明，进而可证明． 【详解】（1）解：∵与相切与点， ∴， ∴， ∵， ∴; （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22．同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买，两种香料．已知种材料的单价比种材料的单价多3元，且购买4件种材料与购买6件种材料的费用相等． (1)求种材料和种材料的单价； (2)若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买种材料多少件？ 【答案】(1)A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； (2)最多能购买种材料20件． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． （1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元， 依题意， 解得， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）解：设最多可以购买种材料m件，则购买种材料件， 依题意得：． 解得． ∴m的最大值为20． 答：最多能购买种材料20件． 23．为了解某校七、八年级学生在某段时间内参加公益活动次数（单位：次）的情况，从这两个年级中各随机抽取20名学生进行调查．已知这两个年级的学生人数均为200人． 对抽取的七年级学生在此段时间内参加公益活动次数的统计结果如下： 平均数 方差 同时对抽取的八年级学生的调查数据进行如下统计分析． 【收集数据】从八年级抽取的学生在此段时间内参加公益活动次数如下： 9   8   6   10   8   8   7   3   6   7 7   5   8    4   8   5   7   6   8   6 【整理数据】结果如表： 次数分组 画记 频数 T 2 正一 6 正正 10 【分析数据】数据的平均数是，方差是． 【解决问题】答下列问题： (1)请补全频数分布表和频数分布直方图； (2)请估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数； (3)请从平均数、方差两个量中任选一个，比较该校七、八年级学生在此段时间内参加公益活动次数的情况． 【答案】(1)见解析 (2)120人 (3)见解析 【知识点】用样本的频数估计总体的频数、频数分布表、频数分布直方图、运用方差做决策 【分析】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，方差与平均数，正确理解题意是解题的关键． （1）根据每个年级参与调查的人数都为20人，可求出这一组的频数，再补全统计图与统计表即可； （2）用200乘以样本中该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数占比即可得到答案； （3）根据题意可得八年级的平均数大于七年级的平均数，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，这一组的频数为， 补全统计图与统计表如下： 次数分组 画记 频数 T 2 正一 6 正正 10 T 2 （2）解：人， 答：估计该校八年级学生在此段时间内参加公益活动次数超过6次的人数为120人； （3）解；由题意得，七年级的平均数为，八年级的平均数为， ∵， ∴七年级学生在此段时间内参加公益活动次数比八年级学生的少． 24．如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，未避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】(1)14分米 (2)2分米 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）可证明四边形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，延长交于T，则四边形是矩形，可得；解求出的长，进而求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，分米， ∴分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； （2）如图所示，过点E作于H，延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，，， ∴分米， 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． 25．【问题背景】 如图1，在平行四边形纸片中，过点作直线于点，沿直线将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 【动手操作】 现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点，如图3所示； ②连接，过点作直线交射线于点，如图4所示； ③在边上取一点，分别连接，，，如图5所示． 【问题解决】 请解决下列问题： (1)如图3，填空：______； (2)如图4，求证：； (3)如图5．若，，求证：． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 (3)证明过程见详解 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质证明 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据题意得到，，，由此即可求解； （2）根据题意得到，，是等腰直角三角形，则，，，再证明，则，且，由此即可求解； （3）根据题意，设，则，在中，，，，如图所示，过点作于点，过点作于点，可得，，，，，，可证，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：根据题意，， ∴， ∵将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵直线，即， ∴， ∴， ∴， ∵，点在线段上， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴设，则， 在中，，， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，，即， 解得，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴，即， 解得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形的计算，相似三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质，解直角三角形的计算，相似三角形的判定和性质，数形结合分析是关键． 26．如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当时，求证：； ②当时，求证：； (3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)时，的最大值为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，，，①当时，，因式分解得出，根据得出；②当时，，因式分解得出，根据，得出； （3）延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，，得出，进而证明，得出，结合已知可得，勾股定理求得，进而证明，可得，则，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得： ∴ （2）证明：设直线的解析式为，代入得， ∴ ∴直线为， ∵，，过点作轴交线段于点．直线、都平行于轴，在上， ∴，，， ①当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②当时，， ∴， ∵，即， ∴，即， （3）解：如图，延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为 ∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时，即 又∵ ∴ ∵的解析式为 ∴， 又∵ ∴ ∴，即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司2 / 25 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 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