1.2 反比例函数的图像和性质 专项练习（2） 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦反比例函数性质及与一次函数综合应用，通过选择、填空、解答题梯度设计，强化数形结合与实际建模能力，培养推理意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质应用|选择1-4题|性质判断与函数值比较|从概念理解到性质应用，构建反比例函数增减性与象限分布认知| |图像综合运用|选择5-8题、填空9-11题|函数图像交点及几何综合|结合一次函数图像，深化图像交点与几何图形（菱形、矩形）性质的关联| |实际问题探究|解答12-14题|面积问题与动态探究|通过矩形围栏、函数平移等实际情境，实现从数学模型到问题解决的转化，发展应用意识|

1.2反比例函数的图像和性质专项练习（2）答案解析 一、选择题 1. 答案：D 解析：该反比例函数为，其中比例系数： A 选项：选项中的点为，代入函数得，因此该点不在函数图象上，A 错误； B 选项：当时，反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，并非第二、第四象限，B 错误； C 选项：当时，函数图象位于第三象限，在该象限内，随的增大而减小，并非增大，C 错误； D 选项：当时，函数图象位于第一象限，在该象限内，随的增大而减小，D 正确。 2. 答案：D 解析：本题的反比例函数为，题目条件为：若，求的取值关系。 由于，在第三象限内，随的增大而减小，因此当时，，结合选项可得的取值范围为，对应选项 D。 3. 答案：B 解析：三个点，，均在反比例函数的图象上： 代入得：，， 因此大小关系为，对应选项 B。 4. 答案：B 解析：反比例函数为，，函数在每个象限内随的增大而减小： 当时，两点均在第三象限，因此，B 选项正确； 其余选项中，当两点不在同一象限时，无法直接根据的大小判断的大小，因此 A、C、D 错误。 5. 答案：D 解析：由反比例函数的图象可知，，且函数图象向右平移，因此。 对于一次函数，说明函数递增，说明函数与轴交于正半轴，因此一次函数图象经过第一、二、三象限，对应选项 D。 6. 答案：C 解析： 已知点在双曲线上，代入得，因此反比例函数解析式为。 由于，因此点的横坐标为，代入反比例函数得的纵坐标为。 同理，，点的横坐标为，代入得的纵坐标为。 ，点的横坐标为，代入得的纵坐标为。 因此第三级阶梯的高，对应选项 C。 7. 答案：B 解析： 设点的坐标为，由于菱形，，因此点的坐标为，菱形的对称中心为对角线中点，坐标为。 已知反比例函数过点和对称中心，代入解得，对应选项 B。 8. 答案：B 解析： 反比例函数，，当时： 的最大值为（时），最小值为（时）； 的最大值为（时），最小值为（时）； 因此，，？不对，正确计算得，对应选项 B。 二、填空题 9. 答案： 解析： 点、、都在反比例函数的图象上： 代入得：，， 因此大小关系为。 10. 答案：①③④ 解析： 设，，则，： ①和的面积均为，因此面积一定相等，①正确； ②若两者面积相等，则，即，此时和重合，与题意矛盾，因此不可能相等，②错误； ③，，，通过计算可得的最大角为锐角，因此一定是锐角三角形，③正确； ④当时，，可以构成等边三角形，④正确。 11. 答案： 解析： 设点的坐标为，由于轴，因此点的纵坐标也为，且，因此点的坐标为。 点在反比例函数上，因此，又因为，解得。 三、解答题 12. 矩形地块问题 (1) 填空：， 解析： 联立反比例函数和一次函数，解得交点为和，因此除了外，另一种情况为。 (2) 不能围出，理由如下： 当木栏总长时，对应的一次函数为，联立得方程： 判别式，方程无实数解，说明两个函数图象没有交点，因此无法围出满足条件的矩形地块。 (3) 直线图象及的值 当直线过点时，代入得： 解得，此时直线与反比例函数图象有唯一交点，图象为直线，与双曲线相切于该点。 (4) 的取值范围： 解析： 由于和的长均不小于，即，联立，可得。 该函数在上递减，在上递增，当时，时，时，因此的取值范围为。 13. 矩形与反比例函数问题 (1) 证明： 设点，，由于四边形是矩形，且轴，因此： 点的坐标为，点的坐标为 对于点，有 对于点，有，因此点也满足反比例函数，即函数图象必经过点。 (2) 求的值： 已知点，因此直线的斜率，结合 (1) 的结论，点，点。 将矩形沿折叠，点的对应点落在轴上，根据折叠的性质，，，结合坐标关系列方程解得： 14. 不动点函数问题 (1) 正确结论： 解析： 根据不动点的定义，联立函数与： ①，联立得，无解，因此不是不动点函数，①错误； ②，联立得，解得，不动点为，并非，②错误； ③，与重合，有无数个解，因此有无数个不动点，③正确。 (2) 满足的条件： 联立，整理得： 当时，方程有唯一解，函数有一个不动点； 当且时，方程有无数解，函数有无数个不动点； 因此条件为：，为任意实数，或且。 (3) 满足的关系式： 抛物线的顶点式为，顶点坐标为。 由于顶点是不动点，因此横纵坐标相等，即： 整理得。 (4) 利润函数相关： 函数表达式：利润 判断：该函数是不动点函数，理由：联立得，整理得，解得，，方程有解，说明存在不动点。 实际意义：该函数的不动点为和，表示当商品的售价为 8 元时，总利润为 8 元；当售价为 9 元时，总利润为 9 元，即此时售价与总利润的数值相等。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2反比例函数的图像和性质 专项练习（2） 适用版本：苏科版九年级数学上册（新教材） 对应章节：第 1 章 第二节 考查题型： 1. 利用反比例函数的性质解决问题； 2. 一次函数图像和反比例函数图像综合运用 一、选择题 1、对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 2、在反比例函数中，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3、若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4、反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5、已知反比例函数y＝的图像如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图像可能是(　　) A．B．C．D． 6、如图,在平面直角坐标系中,“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直,且满足BC=DE=FG=1,点A,C,E,G均在双曲线y=kx的一支上.若点A的坐标为(4,32),则第三级阶梯的高EF=（ ） A．4 B． C． D． 7、如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（ ） A．4 B． C．2 D． 8、若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9、若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 。 10、如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ① 与的面积一定相等； ② 与的面积可能相等； ③ 一定是锐角三角形； ④ 可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是 。 11、如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接．若轴，且，则的值为 。 三、解答题 【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设AB为，BC为．由矩形地块面积为8m2，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=____m，BC=_____m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由； 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点(2,4)时的图象，并求出的值； 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出的取值范围． 13、【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y=ax（a＞0）上第一象限内的两个动点（OD＞OB），以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴。反比例函数y=kx的图象经过点A。 【构建联系】（1）求证：函数y=kx的图象必经过点C。 （2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E。当点E落在y轴上，且点B的坐标为（1，2）时，求k的值。 14、对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为 “不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点． （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是 “不动点函数”，且只有一个不动点； ②是 “不动点函数”，且不动点是； ③是 “不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是 （填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是 “不动点函数”，请直接写出，应满足的条件． （3）探究 2 对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求，满足的关系式． （4）探究 3 某种商品每件的进价为元，在某段时间内，若以每件元出售，可卖出件，获得利润元．请写出关于的函数表达式，判断该函数是否是 “不动点函数”，并说明理由；若该函数是 “不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 学科网（北京）股份有限公司 $