精品解析：江苏省无锡市2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2026年春学期期末测试样卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为100分钟．试卷满分120分． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校以及考试证号填写在答题卡的相应位置上，并将考试证号下方对应的数字方框涂黑． 3．答选择题必须用铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 5．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 明天下雨 B. 正数大于负数 C. 2月份有30天 D. 射击运动员连续射击两次，均命中靶心 2. 下列各式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 当x=1时，下列分式值为0的是（　　） A. B. C. D. 4. 运用提公因式法将分解因式，应提取的最大公因式是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是（ ） A. 邻边相等 B. 邻角相等 C. 对角互补 D. 对角线相等 6. 2026年6月8日是第18届“世界海洋日”．某校为了解八年级学生海洋知识的掌握情况，从该校八年级800名学生中随机抽取150名学生进行调查．下列说法正确的是（ ） A. 150名学生是总体 B. 每名八年级学生是个体 C. 样本容量为800 D. 样本容量为150 7. 如图，将两张边长为的正方形纸片和两张长、宽分别为，的矩形纸片拼成一个大的矩形．该过程所揭示的关于因式分解的等式是（ ） A. B. C. D. 8. 某科技企业接到生产600万个芯片的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前2个月完成交货．求每月原计划生产芯片多少万个？若设每月原计划生产芯片万个，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为，点，分别是，的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：对于两个分式和，若满足（是不为0的常数），则称是的“和美分式”，此时称为“和美数”．下列结论： ①若，，则是的“和美分式”； ②若，且是的“和美分式”，且“和美数”为2，则； ③若分式和，，（，为常数），则一定是的“和美分式”； ④若是的“和美分式”，则不可能是的“和美分式”． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 分解因式：________． 12. 请写出一个满足条件的的值，使得式子有意义：________． 13. 谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 14. 已知，，则________． 15. 计算：________． 16. 如图，在菱形中，．以为边向外作正方形．连接，则的大小为________． 17. 已知是正整数，是整数，则的最小值为________． 18. 如图，已知正方形与正方形．将正方形的顶点与正方形的对称中心重合（如图1），除去重合部分后，正方形与正方形的剩余图形面积之比为；再将正方形的顶点与正方形的对称中心重合（如图2），除去重合部分后，此时正方形与正方形的剩余图形面积之比为________． 三、解答题（本大题8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 先化简：，再从，，中选出一个合适的的值代入求值． 22. （本题满分8分）为了解某长途汽车站旅客的候车情况，学校综合与实践小组利用周日到车站抽样调查了20名旅客的候车时间，整理得到他们的数据如下（单位：分钟，用表示）：12，35，90，25，75，35，50，15，70，28，58，45，20，65，48，62，95，55，85，27； 将这些数据按下面的范围分组： 候车时间 频数 （1）在上表中，________，________； （2）该小组成员将这些数据绘制成了扇形统计图，请求出“”这一组所对应扇形的圆心角度数； （3）该小组成员通过了解得知当天该车站共发送旅客900人，请你估计候车时间不超过1小时的人数． 23. 如图，在中，点O是对角线的中点，过点O的直线交于点E，交于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，的周长为10，求的周长． 24. 如图，四边形是矩形． （1）尺规作图：在边上确定一点，使得平分；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长．（请直接写出的长度） 25. 观察下列式子： ； ； ； （1）请根据以上规律写出第四个式子，并说明等式成立的理由； （2）请用含有正整数的式子表示上述规律，并加以证明． 26. 【问题提出】 在学习勾股定理过程中，我们进行了如下探究：如图1，在中，，以为边作正方形，面积为，再分别以，为边作正方形，正方形，面积分别为，，则． 数学活动课上，某研究小组提出如下问题： 如图2，以锐角的边为边作矩形，面积为，再分别以，为边作矩形，矩形，使，分别经过点，点，其面积分别为，，则，，之间具有怎样的数量关系？ 【特例引路】 小明从特殊情形入手，如图3，当矩形的边经过点时， （1）试猜想图中，，之间的数量关系，并说明理由； （2）延长，交于点，小明发现，请完成证明． 【一般探究】 （3）请结合图2，写出一般情形的结论，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期期末测试样卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为100分钟．试卷满分120分． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校以及考试证号填写在答题卡的相应位置上，并将考试证号下方对应的数字方框涂黑． 3．答选择题必须用铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 5．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 明天下雨 B. 正数大于负数 C. 2月份有30天 D. 射击运动员连续射击两次，均命中靶心 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义，逐一判断选项即可得到结果； 【详解】解：必然事件是指在一定条件下，一定会发生的事件． 逐一判断选项： A．明天下雨可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求． B．所有正数一定大于负数，是一定会发生的事件，是必然事件，符合要求． C．2月份最多只有29天，不可能有30天，是不可能事件，不符合要求． D．射击运动员连续两次命中靶心可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合要求． 2. 下列各式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件，逐一判断选项即可得到答案，最简二次根式需满足，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 【详解】解： A． ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B． ，被开方数是小数，即含分母，不是最简二次根式； C． 满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； D． ，被开方数含分母，不是最简二次根式； 3. 当x=1时，下列分式值为0的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考虑将x=1代入，使分式分子为0，分母不为0，即可得到结果． 【详解】解：当x=1时,下列分式中值为0的是. 故选:C 【点睛】考查分式值为0的条件：分子为0，分母不为0. 4. 运用提公因式法将分解因式，应提取的最大公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求系数的最大公约数，再找各项相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到最大公因式； 【详解】解：∵ 多项式中，系数4和12的最大公约数为4，各项共有的字母是a和b，a的最低次幂为，b的最低次幂为，c仅在第二项出现，不参与公因式构成， ∴ 最大公因式为； 5. 下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是（ ） A. 邻边相等 B. 邻角相等 C. 对角互补 D. 对角线相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形和矩形的判定定理，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：∵菱形的判定定理为“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，∴本选项符合要求； B选项：∵平行四边形邻角互补，若邻角相等，则每个内角为，该平行四边形是矩形，不是菱形，不符合要求； C选项：∵平行四边形对角相等，若对角互补，则每个内角为，该平行四边形是矩形，不是菱形，不符合要求； D选项：∵对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，不符合要求． 6. 2026年6月8日是第18届“世界海洋日”．某校为了解八年级学生海洋知识的掌握情况，从该校八年级800名学生中随机抽取150名学生进行调查．下列说法正确的是（ ） A. 150名学生是总体 B. 每名八年级学生是个体 C. 样本容量为800 D. 样本容量为150 【答案】D 【解析】 【分析】明确总体、个体、样本容量的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵总体是该校八年级800名学生的海洋知识掌握情况，不是150名学生， ∴A选项错误； ∵个体是每名八年级学生的海洋知识掌握情况，不是每名八年级学生， ∴B选项错误； ∵样本容量是抽取的样本中个体的数量，本题抽取了150名学生进行调查，因此样本容量为150， ∴C选项错误，D选项正确． 7. 如图，将两张边长为的正方形纸片和两张长、宽分别为，的矩形纸片拼成一个大的矩形．该过程所揭示的关于因式分解的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】长方形的面积为，正方形的面积为，面积和为，整个长方形的面积表示为，根据同一个图形的面积相等，建立等式求解即可； 【详解】解：根据题意，得； 8. 某科技企业接到生产600万个芯片的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前2个月完成交货．求每月原计划生产芯片多少万个？若设每月原计划生产芯片万个，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据未知数分别表示原计划完成时间和实际完成时间，再根据“实际比原计划提前2个月完成”得到等量关系：原计划用时实际用时，即可列出方程． 【详解】解：∵每月原计划生产芯片万个，实际每月生产能力比原计划提高， ∴实际每月生产芯片万个， ∵总订单为万个， ∴原计划完成时间为个月，实际完成时间为个月， ∵实际比原计划提前个月完成， ∴． 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为，点，分别是，的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质可得，利用两点之间距离公式求出的长，再根据三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 10. 定义：对于两个分式和，若满足（是不为0的常数），则称是的“和美分式”，此时称为“和美数”．下列结论： ①若，，则是的“和美分式”； ②若，且是的“和美分式”，且“和美数”为2，则； ③若分式和，，（，为常数），则一定是的“和美分式”； ④若是的“和美分式”，则不可能是的“和美分式”． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题为新定义题型，根据“和美分式”的定义，逐一计算每个结论中的值，判断结果是否为非零常数，即可得到正确选项． 【详解】解：① ， ，，符合定义，①正确； ② 根据定义，是的和美分式，和美数为，则 ，②错误； ③ ， ，若时，则，不符合题意，故③错误； ④ 假设是的“和美分式”，则由题意得 解得，即均为常数，不符合题意， 故假设不成立， ∴若是的“和美分式”，则不可能是的“和美分式”，故④正确， 综上，①④正确． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用提取公因式法求解即可． 【详解】解：． 12. 请写出一个满足条件的的值，使得式子有意义：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，求出的取值范围，在取值范围内任取一个符合要求的值即可； 【详解】解：要使二次根式有意义，需满足被开方数为非负数，即 ； 解得 ；在取值范围内任取一个值，可得； 13. 谚语能通过生活化的场景帮助人们直观理解事件发生的可能性．下列事件①水往低处流；②东边日出西边雨；③歪打正着．其中发生概率最大的事件是________．（请填写正确的序号） 【答案】① 【解析】 【分析】先判断三个事件的类型，得到各事件发生的概率范围，比较概率大小即可得到结果． 【详解】解：根据事件的分类可知， ①水往低处流是必然事件，发生概率为， ②东边日出西边雨是随机事件，发生概率满足， ③歪打正着是随机事件，发生概率满足， 比较概率大小可得，大于任意满足的概率，因此发生概率最大的事件是①． 14. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先对所求分式进行通分变形，再将已知的和的值整体代入计算即可得到结果，本题运用了整体代入的思想解题． 【详解】解：∵ 把，代入得： 原式 ． 15. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，计算即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在菱形中，．以为边向外作正方形．连接，则的大小为________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】根据菱形的性质求出的度数和，根据正方形的性质求出的度数和，从而得到和的度数，最后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解 ． 【详解】解：四边形是菱形，，  ，， 四边形是正方形，  ，，  ， ，  在中，，   ． 17. 已知是正整数，是整数，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简，根据二次根式的性质，若二次根式运算结果为整数，则被开方数应为完全平方数，据此即可求出最小正整数． 【详解】解：， 已知是整数，是正整数，因此为整数，即为完全平方数． 因为是质数，所以满足条件的最小正整数为． 18. 如图，已知正方形与正方形．将正方形的顶点与正方形的对称中心重合（如图1），除去重合部分后，正方形与正方形的剩余图形面积之比为；再将正方形的顶点与正方形的对称中心重合（如图2），除去重合部分后，此时正方形与正方形的剩余图形面积之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，令与交于点，与交于点，先证明，得出，从而可得，求出，连接、，令与交于点，与交于点，同理可得，，从而可得，由此计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接、，令与交于点，与交于点， ∵正方形的顶点与正方形的对称中心重合， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵除去重合部分后，正方形与正方形的剩余图形面积之比为， ∴， ∴， 如图：连接、，令与交于点，与交于点， 同理可得， ∴， ∴， ∴将正方形的顶点与正方形的对称中心重合，除去重合部分后，此时正方形与正方形的剩余图形面积之比为 三、解答题（本大题8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到结果； （2）利用平方差公式计算即可得到结果． 【小问1详解】 解：原式 ， 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘以得，， ， ， 解得， 检验：当时，， 原方程的解为； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘以得，， ， ， ， 解得， 检验：当时，， 不是原方程的解， 原方程无解． 21. 先化简：，再从，，中选出一个合适的的值代入求值． 【答案】 化简结果为，当时，值为 【解析】 【分析】先根据分式运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件选出合适的值，代入计算得到结果 ． 【详解】解：原式         ， 分式有意义时，分母不能为，因此，，可得 从中只能选择代入， 当时，原式． 22. （本题满分8分）为了解某长途汽车站旅客的候车情况，学校综合与实践小组利用周日到车站抽样调查了20名旅客的候车时间，整理得到他们的数据如下（单位：分钟，用表示）：12，35，90，25，75，35，50，15，70，28，58，45，20，65，48，62，95，55，85，27； 将这些数据按下面的范围分组： 候车时间 频数 （1）在上表中，________，________； （2）该小组成员将这些数据绘制成了扇形统计图，请求出“”这一组所对应扇形的圆心角度数； （3）该小组成员通过了解得知当天该车站共发送旅客900人，请你估计候车时间不超过1小时的人数． 【答案】（1）， （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）找出候车时间在和的人数，即可得出结果； （2）用乘以“”这一组所占的比例即可得出结果； （3）乘以候车时间不超过1小时的人数所占的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得，候车时间在的有：35，25，35，28，27，即， 候车时间在的有：75，70，65，62，即； 【小问2详解】 解：“”这一组所对应扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：（人）， 故候车时间不超过1小时的人数为人． 23. 如图，在中，点O是对角线的中点，过点O的直线交于点E，交于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，的周长为10，求的周长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， 点O是对角线的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）20 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，所以，，结合点O是对角线的中点，可证明，所以，即可根据平行四边形的判定证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，结合的周长为10，可得，即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 的周长为10， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 24. 如图，四边形是矩形． （1）尺规作图：在边上确定一点，使得平分；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的长．（请直接写出的长度） 【答案】（1）解：如图，点E就是所求作的点； （2） 【解析】 【分析】（1）以点C为圆心，长为半径画弧，与边相交于点E，连接，，根据矩形的性质可得，所以，因为，所以，所以，即平分； （2）根据矩形、直角三角形的性质，并结合等腰三角形的判定，可得，根据勾股定理进一步求得，所以，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：．理由如下： 四边形是矩形 ，， ， ， ， ， ， ， ． 25. 观察下列式子： ； ； ； （1）请根据以上规律写出第四个式子，并说明等式成立的理由； （2）请用含有正整数的式子表示上述规律，并加以证明． 【答案】（1）第四个式子为，理由如下： 左边右边， 因此等式成立； （2）归纳规律得：对任意正整数，； 证明：左边 ， 为正整数， ， ， 左边右边 ， 等式成立． 【解析】 【分析】先观察已知等式中各部分数字的变化规律，归纳得到第四个式子和含的一般性规律，再利用二次根式的性质化简验证等式成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 【问题提出】 在学习勾股定理过程中，我们进行了如下探究：如图1，在中，，以为边作正方形，面积为，再分别以，为边作正方形，正方形，面积分别为，，则． 数学活动课上，某研究小组提出如下问题： 如图2，以锐角的边为边作矩形，面积为，再分别以，为边作矩形，矩形，使，分别经过点，点，其面积分别为，，则，，之间具有怎样的数量关系？ 【特例引路】 小明从特殊情形入手，如图3，当矩形的边经过点时， （1）试猜想图中，，之间的数量关系，并说明理由； （2）延长，交于点，小明发现，请完成证明． 【一般探究】 （3）请结合图2，写出一般情形的结论，并说明理由． 【答案】（1）解：， ∵矩形的边经过点， ∴， ∵矩形的边经过点， ∴， ∵矩形的边经过点， ∴， 又∵， ∴即； （2）证明：延长、交于点， ∵在矩形，矩形，矩形中，，，，, ∴，， 在和中， ∴； （3）解： 过点A作于 L ，交于Q，连接、， 由（2）得，则， ∴， ∴即， 由（1）得，， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用三角形和矩形等底等高，得两者的面积关系，再变形即可的结论； （2）根据矩形的性质和平行线的性质，利用“”即可求证结论； （3）过点A作于 L ，交于Q，连接、，根据矩形得性质得，，结合三角形面积化简即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $