25.3 实际问题与一元二次方程 课件 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解决实际问题，涵盖几何、传播、增长（下降）率三大类型。通过回顾列方程步骤导入，结合封面设计、传染病传染等探究案例，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，用表格梳理数量关系发展推理意识，归纳公式强化模型意识。如几何问题分析矩形面积关系，传播问题用表格呈现传染规律，增长问题总结公式a(1±x)^n=b。助力学生提升问题解决能力，为教师提供结构化教学资源。

第 二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 第 二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程（1） 学习目标 学习重难点 列一元二次方程解决几何问题. 分析题目中的等量关系. 难点 重点 会分析题目中的数量关系并列出一元二次方程解决问题. 回顾复习 列方程解决实际问题的一般步骤有哪些？ 审、设、列、解、检、答 导入新知 知识点 几何问题与一元二次方程 ① 探究 要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 5 分析 由题意得，中央的矩形的长宽之比=封面的长宽之比=27∶21=9∶7 设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm. 由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm， 则中央的矩形的长为 cm，宽为 cm. （27-18x） （21-14x） 6 根据题意，可列出方程 解方程得 故上下边衬的宽度为: 左右边衬的宽度为: 方程的哪个根符合实际意 义？为什么？ 符合实际意义，因为 时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况. 7 思考 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 解:设中央的矩形两边别为9x cm，7x cm. 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为: 故左右边衬的宽度为: cm cm （舍去） 8 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得x1=3，x2=-1（不符合题意，舍去）. 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5. 9 例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m， 可得此边的邻边长为(20-x)m；再由矩形的面积为96 m2，得x(20-x)=96. 解方程，得x1=12，x2=8. 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8 m，12 m. 10 归纳 利用一元二次方程解决几何问题 主要集中在几何图形的面积问题, 找到面积的等量关系是关键. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程. 11 随堂演练 1.如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6 cm，BC=8 cm.点P沿AC边从点A向终点C以1 cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？ B A C P Q 解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9 cm² 根据题意得AP= x cm,PC=(6-x) cm,CQ=2x cm. 解得x1= x2=3. ∴点P，Q出发3 s后可使△PCQ的面积为9 cm². 12 2.如图，在一块宽为20 m, 长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540 ㎡,求道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m. (32-x)(20-x)=540. 整理，得x2-52x+100=0. 解得 x1=2,x2=50(舍去). 答：道路的宽为2 m. 13 3. 如图， 用长为22 m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14 m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1 m 的两扇小门． 解：设扩充后广场的长为3x m，则宽为2x m. 根据题意，得3x·2x·100+30(3x·2x－50×40)=642 000. 解得x1=30，x2=－30(不合题意，舍去)． 所以3x=90，2x=60. 即扩充后广场的长和宽应分别为90 m 和60 m. 14 4. 小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？ （2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由. 15 解：(1)设其中一个小正方形的边长为x cm,则另一个小正 方形的边长为 =(10-x)cm. 依题意x2+(10-x)2=58，解得x1=3,x2=7. 当x=3时，小正方形周长为12 cm；当x=7时，小正方形周长为28 cm. ∴小林应把长为40 cm的铁丝剪为28 cm和12 cm的两段. (2)对.两个正方形的面积之和为： x2+(10-x)2=2x2-20x+100 =2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50 ∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的. ∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是不小于50 cm2的，所以不可能等于48 cm2. 小峰的说法是对的. 16 课堂小结 与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要涉及三角形、四边形等，解题时经常用到三角形的三边关系、三角形全等、面积、勾股定理等内容. 17 第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程（2） 学习目标 学习重难点 列一元二次方程解决问题 分析题目中的等量关系. 难点 重点 会分析题目中的数量关系并列出一元二次方程解决问题. 导入新知 知识点 传播问题与一元二次方程 ① 探究 某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人? 20 分析 设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，第一轮传染后共有 人患了流感. 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮传染后有 人患了流感. 列表格如下： x+1 [x+1+x(x+1)] 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2 21 等量关系为： . 列出方程 . 解方程 x+1+x(x+1)=121 得 x1=10, x2=-12（不合题意，舍去） 故平均一人传染了10个人. 一元二次方程的解可能不符合题意，要记得检验 两轮传染后共有121人患了流感 x+1+x(x+1)=121 22 思考 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感? 第一轮传染后的人数 第二轮传染后的 人数 第三轮传染后的 人数 (1+x)1 (1+x)2 分析 (1+x)3 以1人为传染源,3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331. 还有其他的做法吗？ 23 例 有一种植物，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，若主干、枝干、小分支的总数是73，则每个枝干长出多少个小分支？ 解：设每个枝干长出x个小分支， 根据题意，得1+x+x2=73 . 解得x=8或x=-9（不合题意，舍去）. 因此，每个枝干长出8个小分支. 24 归纳 注意 在解出方程后要注意检验结果是否符合题意或实际情况，要把不符合实际情况的方程的根舍去. 利用一元二次方程解决传播问题的方法 （1）审，设，列，解，检，答； （2）可利用表格梳理数量关系，关注变化规律. 25 巩固练习 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过7 000台？ 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则 1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100. 解得 x1＝9，x2＝－11(不合题意，舍去)．∴x＝9. 4 轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000. 所以，每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑.4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台． 26 随堂演练 2.科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有（　　）名学生． A．12 B．12或66 C．15 D．33 1.早期，甲肝流行，传染性很强.曾有2人同时患上甲肝,在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（ ） A.10 B.9 C.8 D.7 D A 27 3.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间都要比赛一场，共比赛了6场，求初三有几个班. 解：初三有x个班，根据题意，得 解得 x1=4， x2=-3（舍去） 因此，初三有4个班. 28 4.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌. (1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 解：设每个有益菌一次分裂出x个有益菌. 60+60x+60(1+x)x=24000. x1=19，x2=-21（舍去） ∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌. 三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000. 29 一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调后得到一个两位数,这两个两位数之积是2296,则这个两位数是多少？ 解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为(10-x), 原数为10x+(10-x)=9x+10. 对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x. 依题意(9x+10)(100-9x)=2296. 解得 x1=8, x2=2. 当x=8时，这个两位数是82；当x=2时，这个两位数是28 因此，这个两位数是82或28. 30 课堂小结 实际问题 步骤 应用 审、设、列、解、检、答 传播问题 数字问题 比赛问题 31 第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程（3） 学习目标 学习重难点 列一元二次方程解决变化率问题. 分析题目中的等量关系. 难点 重点 会分析题目中的数量关系并列出一元二次方程解决问题. 导入新知 知识点 增长（下降）率问题 ① 探究 两年前生产1 t甲种药品的成本是10000元，生产1 t乙种药品的成本是12000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是6000元，生产1 t乙种药品的成本是7200元.哪种药品成本的年平均下降率较大? 34 分析 设甲种药品成本的年平均下降率为x， 则一年后甲种药品的成本变为 ， 两年后的成本变为 . 列出方程 ， 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 10000（1-x） 10000(1-x) 2 10000(1-x)2=6000 根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于1的正数 35 乙种药品的年平均下降率是多少？ 解：设乙种药品的年平均下降率是y. 根据题意，列出方程为 12000(1-y)2=7200. 解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775(不合题意, 舍去) 乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 比较这两种药品成本的年平均下降额与年平均下降率发现，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定大. 36 例 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为x.根据题意，得 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得4x2+12x-7=0， 解这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5. 这个增长率为50% 37 归纳 利用一元二次方程解决增长（下降）率问题 a（1±x）n=b 其中a为起始量，b为增长（下降）后的量，x为平均增长（下降）率，n为增长（下降）的次数. 38 巩固练习 1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 2.劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300 千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为 . 300(1＋x)2＝363 B 39 3.上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利润为121万元，乙商场七月份利润为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的月平均上升率较大? 解：设甲商场的月平均上升率为x. 则依题意，得 解得 x1=0.1，x2=-2.1 (不合题意舍去). ∴x=0.1=10%. 设乙商场的月平均上升率为y. 则依题意得：200（1+y）2=288 解得:y1=0.2，y2=-2.2(不合题意舍去). ∴y=0.2=20%. ∵0.1＜0.2， ∴乙商场的月平均上升率较大. 100(1＋x)2＝121. 40 4.菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. （1）求平均每次下调的百分率； （2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由. 41 解：（1）设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得 5(1－x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去） ∴平均每次下调的百分率为20%; （2）小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)； 方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)， ∵14400＜15000， ∴小华选择方案一购买更优惠. 42 课堂小结 变化率问题 增长率 下降率 a(1+x)n=b a(1-x)n=b a为增长前的量，x为增长（下降）率， n为增长（下降）次数，b为增长（下降）后的量 43 $